2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 解析幾何初步 2 圓與圓的方程 2.3 第2課時(shí) 圓與圓的位置關(guān)系（教師用書(shū)）教學(xué)實(shí)錄 北師大版必修2

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章解析幾何初步2圓與圓的方程2.3第2課時(shí)圓與圓的位置關(guān)系（教師用書(shū)）教學(xué)實(shí)錄北師大版必修2授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間設(shè)計(jì)思路本節(jié)課以“圓與圓的位置關(guān)系”為主題，結(jié)合北師大版必修2教材內(nèi)容，通過(guò)實(shí)例分析和練習(xí)，幫助學(xué)生理解并掌握?qǐng)A與圓之間的位置關(guān)系，提高學(xué)生的空間想象能力和解題能力。教學(xué)過(guò)程中，注重理論與實(shí)踐相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和自主學(xué)習(xí)能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生空間觀念，提高幾何直觀能力，通過(guò)圓與圓的位置關(guān)系的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法，增強(qiáng)邏輯推理和數(shù)學(xué)建模能力。同時(shí)，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究興趣，培養(yǎng)合作學(xué)習(xí)和問(wèn)題解決意識(shí)。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)：

學(xué)生在進(jìn)入本節(jié)課之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的基本性質(zhì)，包括圓的定義、半徑和直徑、圓心角和圓周角等基本概念。此外，他們還應(yīng)該掌握了直角坐標(biāo)系的基本知識(shí)，能夠運(yùn)用坐標(biāo)系表示點(diǎn)和圖形。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：

高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣普遍較高，尤其是對(duì)幾何問(wèn)題有較強(qiáng)的探索欲望。學(xué)生的能力方面，他們已經(jīng)具備一定的邏輯推理能力和空間想象能力。學(xué)習(xí)風(fēng)格上，部分學(xué)生可能更傾向于直觀理解，通過(guò)圖形直觀感受幾何關(guān)系；而另一部分學(xué)生可能更擅長(zhǎng)邏輯推導(dǎo)，偏好通過(guò)公式和定理來(lái)解決問(wèn)題。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

在學(xué)習(xí)圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，學(xué)生可能面臨以下困難和挑戰(zhàn)：一是對(duì)于幾何圖形的直觀理解和空間想象能力不足，難以將抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系與具體的圖形對(duì)應(yīng)起來(lái)；二是對(duì)于位置關(guān)系的判定條件理解不夠深入，容易混淆不同情況下的判定方法；三是缺乏解決復(fù)雜幾何問(wèn)題的策略，難以在多個(gè)條件限制下找到合適的解題思路。教學(xué)方法與策略1.采用講授與討論相結(jié)合的教學(xué)方法，通過(guò)講解圓與圓的位置關(guān)系的定義和判定條件，引導(dǎo)學(xué)生思考。

2.設(shè)計(jì)小組合作活動(dòng)，讓學(xué)生通過(guò)繪制圖形、標(biāo)注坐標(biāo)，共同探究不同位置關(guān)系的特征。

3.利用多媒體教學(xué)，展示圓與圓位置關(guān)系的動(dòng)態(tài)變化，幫助學(xué)生直觀理解抽象概念。

4.結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，設(shè)計(jì)練習(xí)題，讓學(xué)生在實(shí)際操作中鞏固知識(shí)，提高應(yīng)用能力。教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課

詳細(xì)內(nèi)容：

-利用多媒體展示生活中常見(jiàn)的圓形物體，如鐘表、硬幣等，引導(dǎo)學(xué)生回顧圓的基本性質(zhì)。

-提問(wèn)：同學(xué)們還記得圓的定義和基本性質(zhì)嗎？請(qǐng)舉例說(shuō)明。

-引入課題：今天我們將學(xué)習(xí)圓與圓的位置關(guān)系，探究?jī)蓚€(gè)圓在不同情況下的相互關(guān)系。

2.新課講授

詳細(xì)內(nèi)容：

（1）圓與圓的位置關(guān)系概述

-講解圓與圓的位置關(guān)系的基本概念，如外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含。

-通過(guò)幾何圖形展示不同位置關(guān)系的特征，幫助學(xué)生建立直觀印象。

（2）判定條件及性質(zhì)

-講解判定兩個(gè)圓位置關(guān)系的條件，如圓心距與兩圓半徑的關(guān)系。

-通過(guò)實(shí)例分析，讓學(xué)生掌握判定方法，并總結(jié)出位置關(guān)系的性質(zhì)。

（3）位置關(guān)系的應(yīng)用

-以實(shí)際問(wèn)題為例，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。

-強(qiáng)調(diào)在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要善于觀察、分析，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。

3.實(shí)踐活動(dòng)

詳細(xì)內(nèi)容：

（1）繪制圖形，標(biāo)注坐標(biāo)

-學(xué)生分組，每組繪制兩個(gè)圓的圖形，并標(biāo)注圓心坐標(biāo)和半徑。

-通過(guò)觀察圖形，討論兩圓的位置關(guān)系，并得出結(jié)論。

（2）判斷位置關(guān)系

-教師給出兩圓的圓心距和半徑，讓學(xué)生判斷兩圓的位置關(guān)系。

-學(xué)生分組討論，得出結(jié)論后，每組派代表匯報(bào)。

（3）解決實(shí)際問(wèn)題

-教師給出實(shí)際問(wèn)題，要求學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決。

-學(xué)生分組討論，共同解決問(wèn)題，并分享解題思路。

4.學(xué)生小組討論

寫(xiě)3方面內(nèi)容舉例回答XXX：

（1）圓心距與兩圓半徑的關(guān)系

-舉例：已知兩圓的圓心距為5，半徑分別為3和4，判斷兩圓的位置關(guān)系。

-回答：兩圓相交。

（2）判定條件及性質(zhì)

-舉例：已知兩圓的圓心距為8，半徑分別為5和3，判斷兩圓的位置關(guān)系。

-回答：兩圓外離。

（3）位置關(guān)系的應(yīng)用

-舉例：已知兩圓的圓心距為7，半徑分別為4和3，求兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)。

-回答：設(shè)兩圓的圓心分別為O1和O2，兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為P，則OP=1，O1P=4，O2P=3。

5.總結(jié)回顧

內(nèi)容：

-回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)圓與圓的位置關(guān)系及其判定條件。

-總結(jié)本節(jié)課的重難點(diǎn)，如判定條件、性質(zhì)及應(yīng)用。

-鼓勵(lì)學(xué)生在課后繼續(xù)練習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)。

用時(shí)：45分鐘教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-《圓的方程》相關(guān)章節(jié)，探討圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和非標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)換。

-《圓的性質(zhì)》章節(jié)，深入分析圓的對(duì)稱性、圓心角和圓周角等性質(zhì)。

-《圓的面積和周長(zhǎng)》章節(jié)，復(fù)習(xí)圓的面積和周長(zhǎng)的計(jì)算公式及其應(yīng)用。

-《圓與直線的位置關(guān)系》章節(jié)，學(xué)習(xí)圓與直線相交、相切、相離的判定方法。

2.拓展建議：

-鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)閱讀相關(guān)數(shù)學(xué)雜志或書(shū)籍，如《數(shù)學(xué)通報(bào)》、《數(shù)學(xué)教學(xué)研究》等，以獲取更多關(guān)于圓的幾何性質(zhì)和應(yīng)用的信息。

-建議學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源，如在線幾何軟件（如Geogebra）來(lái)直觀地探索圓的性質(zhì)和圓與圓的位置關(guān)系。

-建議學(xué)生參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽或挑戰(zhàn)，如美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽（AMC）或國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO），以提升解題技巧和數(shù)學(xué)思維。

-推薦學(xué)生觀看教育視頻，如KhanAcademy的幾何課程，以獲得不同角度的教學(xué)內(nèi)容和解釋。

-鼓勵(lì)學(xué)生參與數(shù)學(xué)小組討論，通過(guò)團(tuán)隊(duì)合作解決復(fù)雜的幾何問(wèn)題，提高解決問(wèn)題的能力。

-建議學(xué)生嘗試設(shè)計(jì)自己的幾何實(shí)驗(yàn)，通過(guò)實(shí)際操作來(lái)加深對(duì)圓的性質(zhì)和位置關(guān)系的理解。

-推薦學(xué)生閱讀歷史書(shū)籍，了解圓在數(shù)學(xué)發(fā)展史上的重要地位和幾何學(xué)的起源。

-建議學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)建模，將圓的性質(zhì)應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中，如建筑設(shè)計(jì)、城市規(guī)劃等領(lǐng)域。典型例題講解1.例題：

已知兩圓的方程分別為\((x-2)^2+(y+3)^2=9\)和\((x-5)^2+(y-1)^2=16\)，求兩圓的位置關(guān)系。

解答：

首先計(jì)算兩圓的圓心距\(d\)：

\[d=\sqrt{(5-2)^2+(1+3)^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\]

兩圓的半徑分別為\(r_1=3\)和\(r_2=4\)。由于\(d=r_1+r_2\)，所以兩圓外切。

2.例題：

在直角坐標(biāo)系中，圓\(x^2+y^2=25\)與直線\(y=2x+3\)相交于點(diǎn)\(A\)和\(B\)，求弦長(zhǎng)\(AB\)。

解答：

將直線方程代入圓的方程中，得到：

\[x^2+(2x+3)^2=25\]

\[x^2+4x^2+12x+9=25\]

\[5x^2+12x-16=0\]

解這個(gè)一元二次方程，得到\(x\)的兩個(gè)解，然后分別代入直線方程求出\(y\)的值，得到點(diǎn)\(A\)和\(B\)的坐標(biāo)。

使用距離公式計(jì)算\(AB\)的長(zhǎng)度：

\[AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\]

3.例題：

已知兩圓的方程分別為\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)和\((x-3)^2+(y+1)^2=9\)，求兩圓的公共弦方程。

解答：

將兩圓的方程相減，消去平方項(xiàng)，得到：

\[(x-1)^2-(x-3)^2+(y-2)^2-(y+1)^2=4-9\]

\[-4x+8+-4y+4=-5\]

\[-4x-4y+12=-5\]

\[4x+4y=17\]

所以公共弦方程為\(x+y=\frac{17}{4}\)。

4.例題：

在直角坐標(biāo)系中，圓\(x^2+y^2=16\)的圓心在原點(diǎn)，直線\(y=-\frac{1}{2}x+b\)與圓相交于點(diǎn)\(P\)和\(Q\)，當(dāng)\(P\)和\(Q\)的坐標(biāo)分別為\((4,0)\)和\((0,4)\)時(shí)，求\(b\)的值。

解答：

將點(diǎn)\(P\)和\(Q\)的坐標(biāo)代入直線方程，得到兩個(gè)方程：

\[0=-\frac{1}{2}\cdot4+b\]

\[4=-\frac{1}{2}\cdot0+b\]

解這兩個(gè)方程，得到\(b=2\)。

5.例題：

已知兩圓的方程分別為\((x-2)^2+(y-3)^2=1\)和\((x-4)^2+(y-5)^2=4\)，求兩圓的公切線方程。

解答：

首先計(jì)算兩圓的圓心距\(d\)：

\[d=\sqrt{(4-2)^2+(5-3)^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\]

兩圓的半徑分別為\(r_1=1\)和\(r_2=2\)。由于\(d=r_1+r_2\)，所以兩圓外切。

設(shè)公切線方程為\(y=kx+c\)，通過(guò)圓心到直線的距離公式，可以得到兩個(gè)方程：

\[\frac{|k\cdot2-3+c|}{\sqrt{k^2+1}}=1\]

\[\frac{|k\cdot4-5+c|}{\sqrt{k^2+1}}=2\]

解這兩個(gè)方程，得到\(k\)和\(c\)的值，從而得到公切線方程。課堂1.課堂評(píng)價(jià)：

-提問(wèn)環(huán)節(jié)：通過(guò)提問(wèn)學(xué)生關(guān)于圓與圓的位置關(guān)系的基本概念和判定條件，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度。例如，提問(wèn)“如何判斷兩個(gè)圓是相交的？”或“圓心距與兩圓半徑的關(guān)系在判定位置關(guān)系時(shí)有什么作用？”通過(guò)學(xué)生的回答，教師可以評(píng)估學(xué)生對(duì)理論知識(shí)的理解。

-觀察環(huán)節(jié)：在學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐活動(dòng)時(shí)，教師應(yīng)觀察學(xué)生的操作過(guò)程，包括繪制圖形、標(biāo)注坐標(biāo)、分析圖形等，以評(píng)估學(xué)生的實(shí)踐能力和空間想象能力。

-測(cè)試環(huán)節(jié)：在課堂結(jié)束時(shí)，教師可以通過(guò)小測(cè)驗(yàn)或隨堂練習(xí)來(lái)檢測(cè)學(xué)生對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的掌握情況。例如，給出幾個(gè)簡(jiǎn)單的判斷題或填空題，讓學(xué)生在限定時(shí)間內(nèi)完成。

2.及時(shí)反饋：

-對(duì)于提問(wèn)環(huán)節(jié)，教師應(yīng)鼓勵(lì)所有學(xué)生積極參與，并對(duì)學(xué)生的回答給予及時(shí)的反饋。對(duì)于正確回答的學(xué)生，給予肯定和表?yè)P(yáng)；對(duì)于回答錯(cuò)誤的學(xué)生，教師應(yīng)耐心解釋，幫助學(xué)生理解錯(cuò)誤原因。

-在觀察環(huán)節(jié)，教師應(yīng)給予學(xué)生正面的鼓勵(lì)，對(duì)于表現(xiàn)出色的學(xué)生，可以給予額外的表?yè)P(yáng)或獎(jiǎng)勵(lì)。

-在測(cè)試環(huán)節(jié)，教師應(yīng)立即批改學(xué)生的答案，并在下節(jié)課開(kāi)始時(shí)進(jìn)行講解，確保學(xué)生能夠及時(shí)了解自己的學(xué)習(xí)效果。

3.課后輔導(dǎo)：

-對(duì)于在課堂測(cè)試中表現(xiàn)不佳的學(xué)生，教師應(yīng)提供課后輔導(dǎo)，幫助他們鞏固基礎(chǔ)知識(shí)。

-教師可以通過(guò)一對(duì)一輔導(dǎo)或小組輔導(dǎo)的形式，針對(duì)學(xué)生的具體問(wèn)題進(jìn)行講解，確保每個(gè)學(xué)生都能夠跟上教學(xué)進(jìn)度。

4.作業(yè)評(píng)價(jià)：

-教師應(yīng)認(rèn)真批改學(xué)生的作業(yè)，對(duì)于作業(yè)中的錯(cuò)誤，給予詳細(xì)的批注和改正建議。

-作業(yè)評(píng)價(jià)不僅要關(guān)注學(xué)生的答案是否正確，還要關(guān)注學(xué)生的解題過(guò)程和方法，以評(píng)估學(xué)生的思