2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型綜合訓(xùn)練專題32最值模型之將軍遛馬模型與將軍過橋（造橋）模型解讀與提分精練（學(xué)生版）

專題32最值模型之將軍遛馬模型與將軍過橋（造橋）模型

將軍遛馬模型和將軍過橋（造橋）模型是將軍飲馬的姊妹篇，它是在將軍飲馬的基礎(chǔ)上加入了平移的

思想，主要還是考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就將軍遛馬模型

和將軍過橋（造橋）模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

在解決將軍遛馬和將軍過橋（造橋），不管是橫向還是縱向的線段長度（定長），只要將線段按照長

度方向平移即可，即可以跨越長度轉(zhuǎn)化為標準的將軍飲馬模型，再依據(jù)同側(cè)做對稱點變異側(cè)，異側(cè)直接連

線即可。利用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜模型變成基本模型就簡單容易多了，從此將軍遛馬和將軍過橋（造

橋）再也不是問題！

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模型1.將軍遛馬模型......................................................................................................................................1

模型2.將軍造橋（過橋）模型......................................................................................................................3

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模型1.將軍遛馬模型

將軍遛馬模型：已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側(cè)，且PQ間長度恒定，

在直線m上要求P、Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小。

點A、B在直線m異側(cè)（圖1-1）；點A、B在直線m同側(cè)（圖1-2）；

圖1-1圖1-2

將軍遛馬模型（異側(cè)型）：如圖1-1，過A點作AC∥m,且AC=PQ，連接BC，交直線m于Q，Q向左平移

PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。

∵PQ為定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。

∵AC∥m，AC=PQ，得到四邊形APQC為平行四邊形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB，

再利用“兩點之間線段最短”，可得PA+QB的最小值為CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB.

圖1-1圖1-2

將軍遛馬模型（同側(cè)型）：如圖1-2，過A點作AE∥m,且AE=PQ，作B關(guān)于m的對稱點B’，連接B’E，交

直線m于Q，Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。

∵PQ為定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。

∵AE∥m，AE=PQ，得到四邊形APQE為平行四邊形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB，

根據(jù)對稱，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’，

再利用“兩點之間線段最短”，可得QE+QB’的最小值為EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。

例1．（2023·陜西·模擬預(yù)測）如圖，菱形ABCD的邊長為3，∠BAD＝60°，點E、F在對角線AC上（點E

在點F的左側(cè)），且EF＝1，則DE+BF最小值為________

例2．（2023·安徽合肥·校考三模）在邊長為2的正方形ABCD中，點E、F是對角線BD上的兩個動點，且

始終保持BFBE1，連接AE、CF，則AECF的最小值為（）

A．22B．3C．25D．251

例3．（2024·河北邯鄲·三模）如圖，在邊長為1的菱形ABCD中，ABC60，將△ABD沿射線BD的方

向平移得到△ABD，分別連接AC，AD，BC，則ACBC的最小值為（）

A．1B．2C．3D．2

例4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上兩點(點E靠近點A)，

且EF22，當BEBF的最小值為210時，AB的長為．

模型2.將軍造橋（過橋）模型

將軍造橋（過橋）模型:已知，如圖2，將軍在圖中點A處，現(xiàn)要過河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建

造，問：橋建在何處能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。

圖2-1圖2-2

將軍造橋（過橋）模型：如圖2-2，過A點作AA’∥MN，且AA’=MN，連接A’B，

∵AA’∥MN，且AA’=MN∴四邊形APQC為平行四邊形，故AM=A’N，

∵MN為定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。

再利用“兩點之間線段最短”，可得AM+NB的最小值為A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。

例1．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，YABCD中，AB3，AD2，DAB60，DFAB，BECD；

垂足分別為點F和E．點G和H分別是DF和BE上的動點，GH∥AB，那么AGGHCH的最小值為______．

例2．（2023·江蘇蘇州·校考二模）如圖，在Rt△ABC中，ACB90,BAC30,AB23．如果在三角

形內(nèi)部有一條動線段MN∥AC，且MN1，則AMBNCN的最小值為________．

例3．（2024·陜西西安·二模）如圖1，正方形ABCD的邊長為4，點E、F是對角線BD上兩動點，且EF2，

將點C沿EF的方向平移2個單位得到點H，連接CH、FH．

(1)①四邊形ECHF的形狀為_____________；

②連接AC、AF，當點A，F(xiàn)，H共線時，CECF的值為_____________．

(2)自古以來，黃河就享有“母親河”的美譽，是中華文明的發(fā)源地之一，也是中華民族生生不息、賴以生存

的搖籃．如圖2，某地黃河的一段出現(xiàn)了分叉，形成了“Y”字型支流，分叉口有一片三角形地帶的濕地，在

支流1的左上方有一村莊A，支流2的右下方有一開發(fā)區(qū)B，為促進當?shù)氐慕?jīng)濟發(fā)展，經(jīng)政府決定在支流1

和支流2上分別修建一座橋梁PQ、MN（支流1的兩岸互相平行，支流2的兩岸也互相平行，橋梁均與河

岸垂直），你能幫助政府計算一下由村莊A到開發(fā)區(qū)B理論上的最短路程嗎？（即APPQQMMNNB和

的最小值）．經(jīng)測量，A、B兩地的直線距離為2000米，支流1、支流2的寬度分別為1503米、250米，

且與線段AB所夾的銳角分別為60、30．

1．（2023安徽中考學(xué)二模）如圖，菱形ABCD的邊長為23，∠ABC＝60°，點E、F在對角線BD上運動，

且EF＝2，連接AE、AF，則AEF周長的最小值是（）

△

A．4B．4+3C．2+23D．6

2．（2023·廣西·二模）已知，在河的兩岸有A，B兩個村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離AB

＝10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M

點為靠近A村莊的河岸上一點，則AM+BN的最小值為()

A．213B．1+35C．3+37D．85

3．（2024·四川瀘州·一模）如圖，在直角坐標系中，A2,0，B0,2，C是OB的中點，點D在第二象限，

且四邊形AOCD為矩形，P是CD上一個動點，過點P作PHOA于H，Q是點B關(guān)于點A的對稱點，則

BPPHHQ的最小值為．

4．（2022·四川自貢·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB4，BC2，G是AD的中點，線段EF在邊AB

上左右滑動；若EF1，則GECF的最小值為____________．

5．（2023上·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，線段MN在對角線BD上

運動，若⊙O的周長為2，MN1，則AMN周長的最小值是．

6．（2023秋·河南南陽·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中將ABD沿射線BD平移，

得到EGF，連接EC、GC．求ECGC的最小值為______．

7．（2024·江蘇揚州·一模）如圖，在矩形ABCD中，點E、F是對角線BD上的兩點，CBD30，ABEF，

DF

點G是邊BC的中點．當GEAF取最小值時，的值為．

BE

8．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD中，AB12，AD6，E是AB邊上一動點，過點E作

對角線AC的垂線，分別交AC于點O、交直線CD于點F，則點E在運動過程中，AFFEEC的最小值

是．

9．（2024·廣東廣州·三模）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于O，線段MN在對角線BD上運動，若O的面積

為2，MN1，則（1）O的直徑長為；（2）AMN周長的最小值是．

10．（2024·吉林長春·三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yx24x3與y軸交于點A，與x軸的

一個交點為點B，點B在拋物線對稱軸左側(cè)，線段CD在對稱軸上，CD2，則四邊形ABCD周長的最小值

為．

1

11．（2024·江蘇蘇州·二模）如圖，等邊ABC的邊長為3，點D在邊AC上，AD，線段PQ在邊BA上

2

1

運動，PQ，有下列結(jié)論：①CP與QD可能相等；②AQD與BCP可能相似；③四邊形PCDQ面積的

2

31337

最大值為；④四邊形PCDQ周長的最小值為3，其中，正確結(jié)論的序號為.

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12．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，OD4，E是OD

的中點，PQ是對角線AC上的一條動線段，若BPEQ的最大值為5，則PQ的長為．

13．（2024·江蘇連云港·二模）如圖，正方形的邊ABCD長為4，E是AB的中點，P是DE上的動點，過點P

作FGDE，分別交AD，BC于點F，G．當DGEF取最小值時，則EF的長是．

14．（2024·四川廣安·二模）如圖，CD是直線x1上長度固定為1的一條動線段．已知點A1,0，B0,4，

則BCAD的最小值為．

15．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上兩點(點E靠近點A)，

且EF22，當BEBF的最小值為210時，AB的長為．

16．（23-24九年級下·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，平面直角坐標系xOy中，點A是直線y2x7上一動點，

將點A向右平移1個單位得到點B，點C2，0，則OBCB的最小值為，此時點B坐標為．

17．（2024·陜西西安·二模）如圖，在平面直角坐標系中，點A2，0，B0，1，C0，3，將線段AB沿x軸

向右平移得到AB，連接AC，BC，則ACBC的最小值為．

18．（2023上·陜西西安·九年級?？茧A段練習(xí)）（1）問題提出如圖①，在ABC中，ABAC6,BAC120，

點D，E分別是AB,AC的中點．若點M，N分別是DE和BC上的動點，則AMMN的最小值是______．

（2）問題探究：如圖②，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋（與河床垂直），橋造在何處，

才能使從A到B的路徑AMNB最短．博琳小組針對該問題展開討論，小旭同學(xué)認為：過A作河

岸的垂線，使AAMN，MN為河寬，連接AB，AB與河的一岸交于點N，此時在點N處建橋，可使從A

到B的路徑AMNB最短．你認為小旭的說法正確嗎？請說明理由．（3）問題解決：如圖③，在矩

形ABCD中，AB60,BC80．E、F分別在AB,CD上，且滿足EF∥BC，BE20．若邊長為10的正方

形MNPQ在線段EF上運動，連接BM、DP，當BMDP取值最小時，求EN的長．

19．（2023.山東中考二模）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0），經(jīng)過點A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三

點．(1)求拋物線的解析式及頂點M的坐標；(2)連接AC、BC，N為拋物線上的點且在第四象限，當SNBC=SABC