2025年中考數(shù)學幾何模型綜合訓練專題20全等與相似模型之手拉手模型解讀與提分精練（學生版）

專題20全等與相似模型之手拉手模型

全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位。全等三角形、相似三角形與其它知

識點結合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法，

熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就手拉手模型進行梳理及對應試題分析，

方便掌握。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.手拉手模型（全等模型）................................................................................錯誤！未定義書簽。

模型2.手拉手模型（相似模型）................................................................................錯誤！未定義書簽。

.................................................................................................................................................12

大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數(shù)學題目的考察不是一成不變的，學數(shù)學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

模型1.手拉手模型（全等模型）

將兩個三角形（或多邊形）繞著公共頂點旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構成手拉手全等，

也叫旋轉(zhuǎn)型全等。其中：公共頂點A記為“頭”，每個三角形另兩個頂點逆時針順序數(shù)的第一個頂點記為“左

手”，第二個頂點記為“右手”。

等線段，共頂點，旋轉(zhuǎn)前后的圖形大小，形狀不發(fā)生變化，只是位置不同而已。解題是通過三角形全等進

行解決。SAS型全等（核心在于導角，即等角加（減）公共角）。

1）雙等邊三角形型

條件：ABC和DCE均為等邊三角形，C為公共點；連接BE，AD交于點F。

結論：△①△ACD△≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。

證明：∵ABC和DCE均為等邊三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°

∴∠BCA+∠△ACE=∠△ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴ACD≌△BCE（SAS），

∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM△=∠BCM=60°，

過點C作CP⊥AD,CQ⊥BE,則∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴BCQ≌△ACP（AAS）

∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CF平分∠BFD?！?/p>

2）雙等腰直角三角形型

條件：ABC和DCE均為等腰直角三角形，C為公共點；連接BE，AD交于點N。

結論：△①△ACD△≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。

證明：∵ABC和DCE均為等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°

∴∠BCA+∠△ACE=∠△ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴ACD≌△BCE（SAS），

∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠A△NM=∠BCM=90°，

過點C作CP⊥AD,CQ⊥BE,則∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴BCQ≌△ACP（AAS）

∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CN平分∠BND?！?/p>

3）雙等腰三角形型

條件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C為公共點；連接BE，AD交于點F。

結論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。

證明：∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，

又∵BC=AC，CE=CD，∴ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，

又∵∠CMB=∠AMF，∴∠△BCM=∠AFM，過點C作CP⊥AD,CQ⊥BE,則∠CQB=∠CPA=90°，

又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴BCQ≌△ACP（AAS）

∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可△得：CF平分∠BFD。

4）雙正方形形型

條件：四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，C為公共點；連接BG，ED交于點N。

結論：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。

證明：∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°

∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴BCG≌△DCE（SAS），

∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BC△M=∠DNM=90°，

過點C作CP⊥DE,CQ⊥BG,則∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴BCQ≌△DCP（AAS）

∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CN平分∠BND。△

例1．（23-24八年級下·遼寧丹東·期中）如圖，點A，B，C在同一條直線上，△ABD，BCE均為等邊三

角形，連接AE和CD，AE分別交CD、BD于點M，P，CD交BE于點Q，連接PQ，BM，下面結論：①

ABE≌DBC；②DMA60；③PBQ為等邊三角形；④MB平分AMC；⑤PEQ30．其中結論

正確的有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

例2．（2024·山東泰安·中考真題）如圖1，在等腰Rt△ABC中，ABC90，ABCB，點D，E分別在AB，

CB上，DBEB，連接AE，CD，取AE中點F，連接BF．

(1)求證：CD2BF，CDBF；(2)將DBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．

①請直接寫出BF與CD的位置關系：___________________；②求證：CD2BF．

例3．（2023·山東·九年級專題練習）已知，ABC為等邊三角形，點D在邊BC上．

【基本圖形】如圖1，以AD為一邊作等邊三角形VADE，連結CE．可得CECDAC（不需證明）．

【遷移運用】如圖2，點F是AC邊上一點，以DF為一邊作等邊三角DEF．求證：CECDCF．

【類比探究】如圖3，點F是AC邊的延長線上一點，以DF為一邊作等邊三角DEF．試探究線段CE，CD，

CF三條線段之間存在怎樣的數(shù)量關系，請寫出你的結論并說明理由．

例4．（23-24九年級上·浙江臺州·期末）如圖，將VABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△AED，并使C點的對應

點D點落在直線BC上．(1)如圖1，證明：DA平分EDC；(2)如圖2，AE與BD交于點F，若

AFB50，B20，求BAC的度數(shù)；(3)如圖3，連接BE，若EB13，ED5，CD17，則AD的

長為．

例5．（2022·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）已知在RtABC中，∠ACB＝90°，a，b分別表示∠A，∠B的對邊，

ab．記ABC的面積為S．△

△

(1)如圖1，分別以AC，CB為邊向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．記正方形ACDE的面積為S1，正

方形BGFC的面積為S2．①若S19，S216，求S的值；②延長EA交GB的延長線于點N，連結FN，

交BC于點M，交AB于點H．若FH⊥AB（如圖2所示），求證：S2S12S．

(2)如圖3，分別以AC，CB為邊向形外作等邊三角形ACD和等邊三角形CBE，記等邊三角形ACD的面積

為S1，等邊三角形CBE的面積為S2．以AB為邊向上作等邊三角形ABF（點C在ABF內(nèi)），連結EF，CF．若

△

EF⊥CF，試探索S2S1與S之間的等量關系，并說明理由．

例6．（2024·黑龍江·九年級期中）已知RtABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F(xiàn)為AB邊的中點，且DF=EF，

∠DFE＝90°，D是BC上一個動點．如圖△1，當D與C重合時，易證：CD2＋DB2＝2DF2；

（1）當D不與C、B重合時，如圖2，CD、DB、DF有怎樣的數(shù)量關系，請直接寫出你的猜想，不需證明．

（2）當D在BC的延長線上時，如圖3，CD、DB、DF有怎樣的數(shù)量關系，請寫出你的猜想，并加以證明．

模型2.手拉手模型（相似模型）

“手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個三角形繞著它的項點旋轉(zhuǎn)并放大或縮小(這個頂點不變)，我們稱這樣的圖

形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個頂點稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉(zhuǎn)相似三角形。

手拉手模型有以下特點：1）兩個三角形相似；2）這兩個三角形有公共頂點，且繞頂點旋轉(zhuǎn)并縮放后2個

三角形可以重合；3）圖形是任意三角形（只要這兩個三角形是相似的）。

1）手拉手相似模型（任意三角形）

ADAB

條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，k；

AEAC

BD

結論：ADE∽△ABC，ABD∽△ACE；k；∠BFC=∠BAC.

EC

△ADAE△ADAE

證明：∵k，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴ADE∽△ABC，

ABACABAC

△

∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，

ADABBDAB

∵k，∴ABD∽△ACE，∴k，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=，

AEACECAC

△

2）手拉手相似模型（直角三角形）

OCOA

條件:如圖，AOBCOD90，k；

ODOB

AC1

結論：AOC∽△BOD；k，AC⊥BD，SABCD.

BDABCD2

證明：∵△AOBCOD90，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD，

OCOAACOA

∵k，∴AOC∽△BOD，∴k，∠OAB=∠OBD，

ODOBBDOB

△

1

∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴SABCD.

ABCD2

3）手拉手相似模型（特殊的等邊三角形與等腰直角三角形）

BE

條件:M為等邊三角形ABC和DEF的邊AC和DF的中點；結論：BME∽△CMF；3.

CF

BM△EM

證明：∵M為等邊三角形ABC和DEF的邊AC和DF的中點，∴3，∠BMC=∠EMF=90°，

MCMF

BEBM

∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴BME∽△CMF，∴3，

CFCM

△

BD2

條件:ABC和ADE是等腰直角三角形；結論：ABD∽△ACE；∠ACE=90°；.

CE2

△AB△AD2

證明：∵ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°，

ACAE2

△

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴ABD∽△ACE，

BDAB2△

∴，∠ACE=∠ABD=90°

CEAC2

例1．（2023·江西·一模）圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學相關問題的重要手段之一，小麗和小亮對等腰只角形的

旋轉(zhuǎn)變換進行研究．

(1)[觀察猜想]如圖1，ABC是以AB、AC為腰的等腰三角形，點D、點E分別在AB、AC上．且DE∥BC，

將ADE繞點A逆時針△旋轉(zhuǎn)a（0°≤a≤360°）．請直接寫出旋轉(zhuǎn)后BD與CE的數(shù)量關系；

(2)△[探究證明]如圖2，ACB是以∠C為直角頂點的等腰直角三角形，DE∥BC分別交AC與AB兩邊于點E、

點D．將ADE繞點A△逆時針旋轉(zhuǎn)至圖中所示的位置時，（1）中結論是否仍然成立．若成立，請給出證明；

若不成立△，請說明理由；

(3)[拓展延伸]如圖3，BD是等邊ABC底邊AC的中線，AE⊥BE，AE∥BC．將ABE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)到

FBE，點A落在點F的位置，若△等邊三角形的邊長為4，當AB⊥BE時，求出△DF2的值．

△

例2．（2024·山東棗莊·二模）綜合實踐

問題背景：借助三角形的中位線可構造一組相似三角形，若將它們繞公共頂點旋轉(zhuǎn)，對應頂點連線的長度

存在特殊的數(shù)量關系，數(shù)學小組對此進行了研究，如圖1，在ABC中，DB=90°，ABBC4，分別取AB，

AC的中點D，E，作VADE．如圖2所示，將VADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，連接BD，CE．

(1)探究發(fā)現(xiàn)：旋轉(zhuǎn)過程中，線段BD和CE的長度存在怎樣的數(shù)量關系？寫出你的猜想，并證明．

(2)性質(zhì)應用：如圖3，當DE所在直線首次經(jīng)過點B時，求CE的長．

例3．（2024·四川成都·中考真題）數(shù)學活動課上，同學們將兩個全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個

頂點，然后將其中一個紙片繞這個頂點旋轉(zhuǎn)，來探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．已知三角形紙片ABC和ADE中，

ABAD3，BCDE4，ABCADE90．

BD

【初步感知】（1）如圖1，連接BD，CE，在紙片ADE繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，試探究的值．

CE

【深入探究】（2）如圖2，在紙片ADE繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，當點D恰好落在ABC的中線BM的延長線上時，

延長ED交AC于點F，求CF的長．

【拓展延伸】（3）在紙片ADE繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，試探究C，D，E三點能否構成直角三角形．若能，直

接寫出所有直角三角形CDE的面積；若不能，請說明理由．

例4．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐

數(shù)學模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學應用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結合其他數(shù)學知

識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學經(jīng)驗，并將其運用到更廣闊的數(shù)學天地．

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在ABC和△AEF中，ABAC，AEAF，BACEAF30，連接BE，CF，

延長BE交CF于點D．則BE與CF的數(shù)量關系：______，BDC______；

(2)類比探究：如圖2，在ABC和△AEF中，ABAC，AEAF，BACEAF120，連接BE，CF，

延長BE，F(xiàn)C交于點D．請猜想BE與CF的數(shù)量關系及BDC的度數(shù)，并說明理由；

(3)拓展延伸：如圖3，ABC和△AEF均為等腰直角三角形，BACEAF90，連接BE，CF，且點B，

E，F(xiàn)在一條直線上，過點A作AMBF，垂足為點M．則BF，CF，AM之間的數(shù)量關系：______；

(4)實踐應用：正方形ABCD中，AB2，若平面內(nèi)存在點P滿足BPD90，PD1，則S△ABP______．

例5．（2024·山西·模擬預測）綜合與實踐

問題背景：在數(shù)學活動課上，老師帶領同學們進行三角形旋轉(zhuǎn)的探究，已知VABC和DEF均為等邊三角

形，O是BC和DF的中點，將DEF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)．

猜想證明：(1)如圖①，在DEF旋轉(zhuǎn)的過程中，當點E恰好在CB的延長線上時，AB交EF于點H，試判

斷△BEH的形狀，并說明理由；(2)如圖②，在DEF旋轉(zhuǎn)的過程中，當點E恰好落在邊AC上時，連接CF，

試猜想線段AE與線段CF的數(shù)量關系，并加以證明；(3)如圖③，若AB23,DE2，連接BF，設DE所

在直線與BC所在直線交于點M，在DEF旋轉(zhuǎn)的過程中，當點B，F(xiàn)，E在同一直線上時，在M，O兩點

中的其中一點恰好是另一點與點C構成的線段的中點，請直接寫出此時BF的長．

例6．（2024·山東濟南·模擬預測）

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，矩形AEFG與矩形ABCD相似，且矩形AEFG的兩邊分別在矩形ABCD的邊AB和AD

上，BC:AB1:3，連接CF．線段CF與DG的數(shù)量關系為；

(2)拓展探究：如圖2，將矩形AEFG繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，其它條件不變．在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中的結論是

否仍然成立，請利用圖2進行說理．

(3)解決問題：當矩形ABCD的邊ADAB時，點E為直線CD上異于D，C的一點，以AE為邊作正方形AEFG，

點H為正方形AEFG的中心，連接DH，若AD4，DE2，直接寫出DH的長．

例7．（2024·廣東深圳·二模）如圖，在等腰直角ABC中，ABBC4，D為BC上一點，E為BC延長線

上一點，且∠DAE45，AE2AD，則BD．

1．（23-24九年級·遼寧盤錦·開學考試）如圖，在VABC中，ABC45，過點C作CDAB于點D，過

點B作BMAC于點M，連接MD，過點D作DNMD，交BM于點N．CD與BM相交于點E，若點E是

CD的中點，則下列結論：①ACBE；②DMDN；③AMD45；④NE3ME．其中正確的有（）

個．

A．4B．3C．2D．1

2．（2022·湖南·中考真題）如圖，點O是等邊三角形ABC內(nèi)一點，OA2，OB1，OC3，則AOB與

BOC的面積之和為（）

3333

A．B．C．D．3

424

3．（23-24九年級上·遼寧大連·期中）如圖，在ABC中，ACBC，ACB90，AB8，點D是邊AB上

的一個動點，連接CD，過點C作CECD，使CECD，連接DE，點F是DE的中點，連接CF并延長，

交AB邊所在直．線．于點G，若BG2，則AD的長為．

4.（23-24九年級上·廣東深圳·期中）如圖，等腰直角ABC中，BAC90，BC6，過點C作CDBC，

CD2，連接BD，過點C作CEBD，垂足為E，連接AE，則AE長為．

5．（2024·河南周口·模擬預測）如圖，ABC是等邊三角形，AB6，點E是BAC的平分線AD上的一動

點，連接CE，將點E繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60得到點F，連接CF，BF．若△BCF是直角三角形，則線段AE

的長為

6．（2024·山東泰安·三模）將矩形ABCD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形A1BC1D1，點A、C、D的對應點分別

為A1、C1、D1．如圖，當A1D1過點C時，若BC5，CD3，則A1A的長為．

7．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，將YABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到ABCD的位置，使點B落在BC

3

上，BC與CD交于點E若AB3,AD4,BB，則BAB（從“行1,2,3”中選擇一個符合

2

要求的填空）；DE．

8．（2024·上海徐匯·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在RtABC中，∠CAB=90°，AB=AC，點D為斜邊BC上一點，

且BD=3CD，將ABD沿直線AD翻折，點B的對△應點為B′，則sin∠CB′D=．

△

9．（23-24九年級上·遼寧大連·期末）【問題初探】（1）在數(shù)學活動課上，王老師給出下面問題：如圖1，ABC

和△DCE是等邊三角形，點B、C、E不在同一條直線上，請找出圖中的全等三角形并直接寫出結論

________________；（寫出一對即可）

上面幾何模型被稱為“手拉手”模型，面對題目時我們也會“尋模而入，破模而出”．

【類比分析】（2）如下圖，已知四邊形ABCD中，ADC0180，ABCD，CE是BCD的平

1

分線，且CDDE．將線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到線段EP．當120時，連接PD，試判斷線段PD

2

和線段BD的數(shù)量關系，并說明理由；①小明同學從結論出發(fā)給出如下解題思路：可以先猜測線段PD和線

段BD的數(shù)量關系，然后通過逆用“手拉手”模型，合理添加輔助線，借助“全等”來解決問題；②小玲同學從

條件入手給出另一種解題思路：可以根據(jù)條件120，則AEP60，再通過“手拉手”模型，合理添加輔

助線，構造與△PDE全等的三角形來解決問題．

請你選擇一名同學的解題思路（也可另辟蹊徑）來解決問題，并說明理由．

【拓展延伸】（3）如下圖，ABC中，當A60時，點D、E為AC、AB上的點，CDBE，CED30，

若BC7，CE5，求線段ED的長．

10．（23-24九年級下·四川達州·開學考試）已知，VABC與VADE都是等腰直角三角形，BACDAE90，

ABAD，連接BD，CE．

(1)如圖1，求證BDCE；(2)如圖2，點D在VABC內(nèi)，B，D，E三點在同一直線上，過點A作VADE的

高AH，證明：BECE2AH；(3)如圖3，點D在VABC內(nèi)，AD平分BAC，BD的延長線與CE交于

點F，點F恰好為CE中點，若BC4，求線段AD的長．

11．（2023·河南新鄉(xiāng)·模擬預測）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在ABC中，AB＝AC，BAC60，D為BC邊上

一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋△轉(zhuǎn)60°得到AE，則：

(1)①∠ACE的度數(shù)是；②線段AC，CD，CE之間的數(shù)量關系是．

拓展探究：(2)如圖2，在ABC中，AB＝AC，BAC90，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線

段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)△90°得到AE，連接EC，請寫出∠ACE的度數(shù)及線段AD，BD，CD之間得數(shù)量關

系，并說明理由；

解決問題：(3)如圖3，在RtDBC中，DB＝3，DC=5，∠BDC＝90°，若點A滿足AB＝AC，∠BAC＝90°，

請直接寫出線段AD的長度．△

12．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預測）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在ABC中，AB＝AC，BAC60，D為BC邊上

一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋△轉(zhuǎn)60°得到AE，則：

(1)①∠ACE的度數(shù)是；②線段AC，CD，CE之間的數(shù)量關系是．

拓展探究：(2)如圖2，在ABC中，AB＝AC，BAC90，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線

段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)△90°得到AE，連接EC，請寫出∠ACE的度數(shù)及線段AD，BD，CD之間得數(shù)量關

系，并說明理由；

解決問題：(3)如圖3，在RtDBC中，DB＝3，DC=5，∠BDC＝90°，若點A滿足AB＝AC，∠BAC＝90°，

請直接寫出線段AD的長度．△

13．（2024·浙江紹興·?？家荒＃締栴}探究】（1）如圖1，銳角ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等腰

直角ABE和等腰直角ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝△∠CAD＝90°，連接BD，CE，試猜想BD與

CE的△大小關系，不需要△證明．

【深入探究】（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的值；

甲同學受到第一問的啟發(fā)構造了如圖所示的一個和ABD全等的三角形，將BD進行轉(zhuǎn)化再計算，請你準確

的敘述輔助線的作法，再計算；△

【變式思考】（3）如圖3，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，則

CD＝．

14．（2024·江西·中考真題）綜合與實踐：如圖，在Rt△ABC中，點D是斜邊AB上的動點（點D與點A不

CECB

重合），連接CD，以CD為直角邊在CD的右側構造Rt△CDE，DCE90，連接BE，m．

CDCA

特例感知（1）如圖1，當m1時，BE與AD之間的位置關系是______，數(shù)量關系是______；

類比遷移（2）如圖2，當m1時，猜想BE與AD之間的位置關系和數(shù)量關系，并證明猜想．

拓展應用（3）在（1）的條件下，點F與點C關于DE對稱，連接DF，EF，BF，如圖3．已知AC6，

設ADx，四邊形CDFE的面積為y．①求y與x的函數(shù)表達式，并求出y的最小值；②當BF2時，請

直接寫出AD的長度．

15．（2024·廣東深圳·模擬預測）在平面內(nèi)，將一個多邊形先繞自身的頂點A旋轉(zhuǎn)一個角度0180，

再將旋轉(zhuǎn)后的多邊形以點A為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應線段的比為k，稱這種變

換為自旋轉(zhuǎn)位似變換．若順時針旋轉(zhuǎn)，記作TA,順,k；若逆時針旋轉(zhuǎn)，記作TA,逆,k．

VV

例如：如圖①，先將ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)50，得到A1BC1，再將A1BC1以點B為位似中心縮小到原

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來的，得到A2BC2，這個變換記作TB,逆50,．

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(1)如圖②，ABC經(jīng)過TC,順60,2得到△ABC，用尺規(guī)作出△ABC．（保留作圖痕跡）

(2)如圖③，ABC經(jīng)過TB,逆,k1得到△EBD，ABC經(jīng)過TC,順,k2得到△FDC，連接AE，AF．求

證：四邊形AFDE是平行四邊形．(3)如圖④，在