高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類）第5版課件：二重積分的概念與性質(zhì)

三、二重積分的性質(zhì)

一、引例二、二重積分的定義與可積性四、曲頂柱體體積的計(jì)算

二重積分的概念與性質(zhì)

解法:

類似定積分解決問(wèn)題的思想:一、引例曲頂柱體的體積

給定曲頂柱體:底：

xoy面上的閉區(qū)域D頂:連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面求其體積.

1)“分割”用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n個(gè)2)“取近似”在每個(gè)3)“求和”則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體

4)“取極限”令

二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個(gè)常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù),

引例中曲頂柱體體積:如果在D上可積,也常記作二重積分記作這時(shí)直線來(lái)劃分區(qū)域D,此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的

因二重積分存在定理:若函數(shù)定理2.(證明略)定理1.在D上可積.限個(gè)點(diǎn)或有限個(gè)光滑曲線外都連續(xù),積.在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域D上除去有例如,在D:上二重積分存在;在D上二重積分不存在.

三、二重積分的性質(zhì)(k為常數(shù))

為D的面積,則

特別,由于則5.若在D上6.設(shè)D的面積為

,則有

7.(二重積分的中值定理)證:由性質(zhì)6可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點(diǎn)在閉

為D的面積,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因此

區(qū)域D上例1.

比較下列積分的大小:其中解:積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(diǎn)(1,0),而域D位從而于直線的上方,故在D上

例2.判斷積分的正負(fù)號(hào).解:分積分域?yàn)閯t原式=猜想結(jié)果為負(fù)

但不好估計(jì).舍去此項(xiàng)

例3.估計(jì)下列積分之值解:

D的面積為由于積分性質(zhì)5即:1.96I2D

8.設(shè)函數(shù)D位于x軸上方的部分為D1,當(dāng)區(qū)域關(guān)于y軸對(duì)稱,函數(shù)關(guān)于變量x有奇偶在D上在閉區(qū)域上連續(xù),域D關(guān)于則則性時(shí),仍有類似結(jié)果.在第一象限部分,則有

x軸對(duì)稱,四、曲頂柱體體積的計(jì)算設(shè)曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的

同樣,曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計(jì)算

例4.求兩個(gè)底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積.解:設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為利用對(duì)稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為

內(nèi)容小結(jié)1.二重積分的定義2.二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)3.曲頂柱體體積的計(jì)算二次積分法

被積函數(shù)相同,且非負(fù),思考與練習(xí)解:

由它們的積分域范圍可知1.比較下列積分值的大小關(guān)系:

2.

設(shè)D是第二象限的一個(gè)有界閉域,且0<y<1,則的大小順序?yàn)?)提示:因0<y<1,故故在D上有

3.計(jì)算解:

4.證明:其中D為解:利用題中x,y位置的對(duì)稱性,有又D的面積為1,故結(jié)論成立.

第二節(jié)作業(yè)備用題1.估計(jì)的值