湖北省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷 含解析

湖北省部分學(xué)校學(xué)年度高中三月月考數(shù)學(xué)考試卷注意事項(xiàng)：．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題1.設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A.48B.84C.90D.【答案】C【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，，成等比數(shù)列，計(jì)算可求得.【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列的前項(xiàng)和，因?yàn)?，所以公比，所以，，，成等比?shù)列，又，，所以，，所以.故選：C2.某條公共汽車線路收支差額與乘客量12）不改變支出費(fèi)用，提高車票價(jià)格.下面給出的四個(gè)圖形中，實(shí)線和虛線分別表示目前和建議后的函數(shù)關(guān)系，則（）A.①反映建議（21）B.①反映建議（12）C.②反映建議（12）D.④反映建議（12）第1頁(yè)/共19頁(yè)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)收支差額的計(jì)算公式可得正確的判斷.【詳解】對(duì)于建議（1同，且縱截距變大，故①反映建議（1對(duì)于建議（2映建議（2）.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，注意根據(jù)給出的建議結(jié)合題設(shè)中的計(jì)算公式分析出圖象變化的規(guī)律，此題為基礎(chǔ)題.3.已知隨機(jī)變量，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，則（）A.7B.8C.9D.10【答案】B【解析】【分析】由二項(xiàng)分布的概念，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性即可求解.【詳解】由題得，由題知在中，最大值只有，即在中，最大值只有，由二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性可知.故選：.4.直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)，則它的傾斜角是（）A.B.C.或D.【答案】B【解析】【分析】由已知的兩點(diǎn)坐標(biāo)求出過(guò)兩點(diǎn)直線方程的斜率,然后利用直線的斜率等于傾斜角的正切值求出直線的傾斜角度數(shù).第2頁(yè)/共19頁(yè)【詳解】設(shè)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)的直線方程的斜率為,且該直線的傾斜角為,由題意可知:,又,則.故選【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求出過(guò)兩點(diǎn)直線方程的斜率及傾斜角問(wèn)題,需要掌握直線斜率與傾斜角之間的關(guān)系,本題較為基礎(chǔ).5.已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.13B.C.9D.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)可得，故求的最小值，轉(zhuǎn)化為求的最小值，再根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合解.【詳解】如圖所示，圓的圓心為，半徑為4，圓的圓心為，半徑為1，可知，所以，故求的最小值，轉(zhuǎn)化為求的最小值，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，設(shè)坐標(biāo)為，第3頁(yè)/共19頁(yè)則，解得，故，因?yàn)?，可得，?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D.6.已知空間四點(diǎn)，，，，則四面體的體積為（）A.B.C.15D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知點(diǎn)坐標(biāo)求平面的一個(gè)法向量，向量法求到面的距離，且為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，最后應(yīng)用棱錐的體積公式求體積.【詳解】由題設(shè)為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，且，，，若是面的一個(gè)法向量，則，令，則，則到面距離，所以四面體的體積為.故選：B第4頁(yè)/共19頁(yè)7.若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的求出直線與圓相切時(shí)的值，再結(jié)合圖形即可求解.【詳解】由題意可得，有兩個(gè)根，由得，所以曲線是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的軸的上半部分（含直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)直線與相切時(shí)，圓心到直線距離，解得或第5頁(yè)/共19頁(yè)當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線斜率為，結(jié)合圖形可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.8.正三棱臺(tái)618）A.3B.4C.5D.6【答案】D【解析】【分析】由截面圖結(jié)合等面積法和勾股定理列出關(guān)于r的等量關(guān)系求出r即可求解.【詳解】由題可知上下底正三角形的高分別為，由幾何體結(jié)構(gòu)特征結(jié)合題意可知內(nèi)切球與上、下底面切點(diǎn)為上下底的重心，故如左圖所示作截面，得到右圖，設(shè)內(nèi)切球半徑為，則有即，所以正三棱臺(tái)的高為6.故選：D.二、多選題9.以下四個(gè)命題，其中是真命題的有（A.命題“”的否定是“”B.若，則第6頁(yè)/共19頁(yè)C.函數(shù)且的圖象過(guò)定點(diǎn)D.若某扇形的周長(zhǎng)為6cm，面積為2，圓心角為，則【答案】ACD【解析】ABC質(zhì)可判斷；對(duì)于D，由扇形的周長(zhǎng)、面積公式計(jì)算可判斷.【詳解】對(duì)于A，由全稱命題的否定，可知選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，若，則，根據(jù)的單調(diào)性，可知，故B不正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故其過(guò)定點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，則有，又，故D正確.故選：ACD10.下列說(shuō)法中正確的是（）A.回歸直線恒過(guò)樣本中心點(diǎn)，且至少過(guò)一個(gè)樣本點(diǎn)B.用決定系數(shù)刻畫回歸效果時(shí)，越接近1，說(shuō)明模型的擬合效果越好C.將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)正數(shù)后，標(biāo)準(zhǔn)差變大D.基于小概率值的檢驗(yàn)規(guī)則是：當(dāng)時(shí)，我們就推斷不成立，即認(rèn)為和不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)【答案】BD【解析】【分析】由回歸直線的性質(zhì)即可判斷A；利用相關(guān)指數(shù)的性質(zhì)即可判斷B；由標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)即可判斷C；由獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想即可判斷D.【詳解】A：回歸直線恒過(guò)樣本點(diǎn)的中心正確，但不一定會(huì)過(guò)樣本點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；B：用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫回歸效果時(shí)，越接近1，說(shuō)明模型的擬合效果越好，故B正確；C：將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，數(shù)據(jù)的波動(dòng)性不變，第7頁(yè)/共19頁(yè)故方差不變，則標(biāo)準(zhǔn)差不變，故C錯(cuò)誤；D：根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)可知D正確.故選：BD如圖，在正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方形則下列說(shuō)法正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.若平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條線段C.存在點(diǎn)，使得平面D.若直線與平面所成角的正切值為的軌跡是以【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，對(duì)于A，根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化，可證明體積為定值；對(duì)于B，取、中點(diǎn)、、、、平面點(diǎn)的軌跡為線段；對(duì)于C，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面求出、D的軌跡方程，即可判斷.【詳解】不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，對(duì)于A選項(xiàng)，，三棱錐的體積，第8頁(yè)/共19頁(yè)點(diǎn)到平面的距離為，所以三棱錐的體積為定值，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，取、中點(diǎn)，連接、、、，由且，知是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，平面，同理可得平面，因?yàn)?，、平面，所以平面平面，又平面，則平面，而Q在平面上，且平面平面，則點(diǎn)的軌跡為線段，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、，設(shè)，則，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，取，則.第9頁(yè)/共19頁(yè)若平面，則，即存在，使得，則，解得，故不存在點(diǎn)使得平面，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，平面的一個(gè)法向量為，，若直線與平面所成角的正切值為，則此角的正弦值是，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)為正方形所以點(diǎn)是以為圓心，為半徑的圓弧（正方形的圓弧，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間幾何體體積的方法如下：若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．第卷（非選擇題）三、填空題12.已知函數(shù)，則_______．【答案】6【解析】【分析】利用瞬時(shí)變化率和極限思想求得，再結(jié)合函數(shù)解析式求得即可.【詳解】因，由可得，故.第10頁(yè)/共19頁(yè)故答案為：6.13.過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F作傾斜角為30°AB______．【答案】8【解析】【分析】寫出直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，利用弦長(zhǎng)公式求解即可.（也可以直接使用雙曲線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式代值求解）【詳解】由雙曲線，得，，焦點(diǎn)，傾斜角，法一：直線斜率，直線方程為，聯(lián)立消得，，由韋達(dá)定理知，代入弦長(zhǎng)公式，得.法二：.故答案為：8.14.陽(yáng)春三月，草長(zhǎng)鶯飛；絲絳拂堤，盡飄香玉.三個(gè)家庭的3位媽媽帶著3名女寶和2名男寶共8人踏春.3名女寶相鄰且不排最前面也不排最后面；為了防止2名男寶打鬧，2人不相鄰，且不排最前面也不排最后面.則不同的排法種數(shù)共有___________種（用數(shù)字作答）.【答案】288【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合相鄰與不相鄰問(wèn)題，列式計(jì)算即得.第11頁(yè)/共19頁(yè)【詳解】第一步：先將3名母親作全排列，共有種排法；第二步：將3名女寶“捆綁”在一起，共有種排法；第三步：將“捆綁”在一起的3名女寶作為一個(gè)元素，在第一步形成的2個(gè)空中選擇1個(gè)插入，有種排法；第四步：首先將2名男寶之中的一人，插入第三步后相鄰的兩個(gè)媽媽中間，然后將另一個(gè)男寶插入由女寶與媽媽形成的2個(gè)空中的其中1個(gè)，共有種排法.所以不同的排法種數(shù)有：（種）.故答案為：288四、解答題15.試分別根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列的前5項(xiàng)：（1），，，其中；（2），，其中．【答案】（1）1，2，4，8，16（2）2，，，，．【解析】1）根據(jù)遞推公式，對(duì)依次賦值求解；（2）根據(jù)遞推公式，對(duì)依次賦值求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，，其中，所以，，．因此，?shù)列的前5項(xiàng)依次為1，2，4，8，16．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，其中，?2頁(yè)/共19頁(yè)所以，，，．因此，數(shù)列的前5項(xiàng)依次為2，，，，．16.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，.已知.（1）求角的大??；（2）設(shè)，（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的值.【答案】（1）（2【解析】1）由正弦定理計(jì)算可得，即；（2；（ⅱ）由余弦定理得推論計(jì)算可得，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系以及三角恒等變換計(jì)算可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】依題意根據(jù)由正弦定理可得；又，所以可得，即，所以，第13頁(yè)/共19頁(yè)可得，又，解得.【小問(wèn)2詳解】（?。┯梢约?，利用余弦定理可得，解得；（ⅱ）由，可得；又，因此可得；可知，；所以.17.已知平面內(nèi)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比等于2.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）記（1）中的軌跡為，過(guò)點(diǎn)的直線被所截得的線段的長(zhǎng)為，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】1）由已知等量關(guān)系，利用直接步驟法坐標(biāo)代入關(guān)系式化簡(jiǎn)整理可求軌跡；（2.直線方程，利用垂直關(guān)系將弦長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離，由點(diǎn)到直線距離公式得關(guān)于的方程求解可得.第14頁(yè)/共19頁(yè)小問(wèn)1詳解】已知，由題意可知，，坐標(biāo)代入得，整理得，故點(diǎn)的軌跡方程為；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線的方程為，由圓，則圓心為，半徑為，此時(shí)弦長(zhǎng)為，滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)斜率為，則直線的方程為，即，則圓心到直線的距離.因?yàn)橹本€被所截得的線段的長(zhǎng)為，所以，則，所以，解得，所以直線的方程為.綜上，滿足條件的直線的方程為或.第15頁(yè)/共19頁(yè)18.是菱形，，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，（1）求證：（2）若，求直線與平面所成角的正弦值【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】1）根據(jù)線線垂直可得平面，即可根據(jù)線面垂直的性質(zhì)求解，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面法向量，即可利用向量的夾角公式求解.【小問(wèn)1詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接．∵四邊形為菱形，且，則，又∵為等邊三角形，∴，而，平面，∴平面．又∵平面，∴．【小問(wèn)2詳解】第16頁(yè)/共19頁(yè)若，由可知，，而，故平面，而．以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，分別為軸、軸、軸的正方向建系．則，，，，．故，，設(shè)平面的法向量∴∴即令，則，，所以，平面的法向量．設(shè)直線與平面所成角為，∴所以直線與平面所成角的正弦值為．19.已知橢圓的焦點(diǎn)在的一個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形，且其周長(zhǎng)為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線（不與坐標(biāo)軸垂直）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，①若直線的斜率為1，求弦長(zhǎng)．②設(shè)直線與直線交于點(diǎn)．點(diǎn)在軸上，為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，四邊形是菱形．試問(wèn)：直線PD是否過(guò)定點(diǎn)？若成立，請(qǐng)求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．第17頁(yè)/共19頁(yè)【答案】（1）；（2）①，②過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)為.【解析】1）根據(jù)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)以及等邊三角形的性質(zhì)可得且，即可求，可得橢圓方程；（2，進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)可得的方