數(shù)列綜合大題歸類：求和放縮不等式-2025年高考數(shù)學一輪復(fù)習知識清單（原卷版）

專題17數(shù)列綜合大題歸類：求和，放縮不等式

更盤點?置擊看考

目錄

題型一：分組求和：公式法........................................................................1

題型二：分組求和：奇偶分段型....................................................................2

題型三：分組求和：正負相間型....................................................................2

題型四：倒序求和型..............................................................................3

題型五：裂項相消1：函數(shù)型......................................................................4

題型六：裂項相消2：指數(shù)型......................................................................5

題型七：裂項相消3：無理根號型..................................................................6

題型八：裂項相消4：分子分母齊次分離型..........................................................6

題型九：裂項相消5：等差指數(shù)混合型..............................................................7

題型十：裂項相消6：正負相間裂和型..............................................................8

題型十一：裂項相消7：三角函數(shù)型................................................................9

題型十二：裂項型證明數(shù)列不等式..................................................................9

題型十三：三角函數(shù)型數(shù)列不等式證明.............................................................10

題型十四：先求和再放縮證明數(shù)列不等式...........................................................11

題型十五：先放縮再求和證明數(shù)列不等式...........................................................12

題型十六：利用導數(shù)不等式證明數(shù)列不等式.........................................................13

^突圍?錯;住蝗分

題型一：分組求和：公式法

指I點I迷I津

等差等比求和是求和的基礎(chǔ)。等差等比求和公式：

等差:前w項和公式：喀口4=血抖.

,q=1,

等比：前〃項和公式：a。-q"）與一。應(yīng)

1.（23-24高三?河北唐山?模擬）己知數(shù)列｛q｝,%=%=1,an+2-5an+1+6an=0.

⑴證明：數(shù)列｛%+「3q,｝為等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑶求數(shù)列｛。,｝的前〃項和S,.

2.（2024?山東?二模）已知數(shù)列｛%｝,｛么｝中，q=4,々=一2,｛%｝是公差為1的等差數(shù)歹|,數(shù)歹

是公比為2的等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列也｝的通項公式；

（2）求數(shù)列｛〃｝的前〃項和卻

3.（23-24高三?重慶九龍坡,模擬）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為工，且滿足q=-2,邑=0.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）設(shè)2=氏+3與求數(shù)歹UK）的前n項和T?.

4.（22-23高三?河南鄭州?期中）已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且滿足S“+”=2aQeN*）.

⑴求證:數(shù)列｛q+1｝為等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列｛6｝的前〃項和

題型二：分組求和：奇偶分段型

;指I點I迷I津

：分組求和法：

1.形如a〃=b,（等差）+C,（等比），用分組求和法，分別求和而后相加減

2.形如a”=b”（等差比）+C”（裂項），用分組求和法，分別求和而后相加減

3.形如a“=b”+c“，（b?,C.為可以求和的常見數(shù)列），用分組求和法，分別求和而后相加減

如果涉及到分段數(shù)列，則.要注意處理好奇偶數(shù)列對應(yīng)的項：

（1）可構(gòu)建新數(shù)列；（2）可“跳項”求和

莪7薩:耘荔麗羸6-藐尊塞礪褊市,4=i,前〃/拓石?；區(qū)j為筱而建藪苒琴正

數(shù)列，4=2,且打+邑=7,%+4=10.⑴求?！芭c或；

..力為奇數(shù)）（*、,.

（2）定義新數(shù)列C,滿足*俚將〈，“eN,求C,前20項的和盤.

如為偶數(shù)）'/

2.（2024?山西?三模）已知等差數(shù)列｛。“｝的公差d>0,前"項和為S,,且華仁=-5,S8=-16.

⑴求數(shù)列｛??｝的通項公式；

（2）若么=；（keN*）,求數(shù)列也｝的前2九項和匕.

3.（23-24高三下?廣東?模擬）已知數(shù)列｛廝｝是公差不為0的等差數(shù)列，其前〃項和為S,，邑=3,%，%，

網(wǎng)成等比數(shù)列.

⑴求的通項公式；

f+3,n=2k,

（2）若2=/?，左eN*,求數(shù)列｛%｝的前100項和九

[2"，n=ZQk；-l,

4.（23-24高三?江蘇鹽城?期末）已知等差數(shù)列｛%｝的首項為1,公差4=2.數(shù)列他J為公比q=2的等比數(shù)

列，且&，4+3,4成等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛%｝和數(shù)列也｝的通項公式；

為奇數(shù)（、

⑵若c〃=1小便將，求數(shù)列C”的前2〃項和

也，”為偶數(shù)

題型三：分組求和：正負相間型

指I點I迷I津

正負相間求和：

1.奇偶項正負相間型求和，可以兩項結(jié)合構(gòu)成“常數(shù)數(shù)列”。

2.如果需要討論奇偶，一般情況下，先求偶，再求奇。求奇時候，直接代入偶數(shù)項公式，再加上最后的

奇數(shù)項通項。

1.（24-25高三?全國?練習）已知數(shù)列氏求數(shù)列｛%｝的前〃項和S”.

⑴求｛%｝的通項公式；

⑵設(shè)〃=（Iog3%y,Cn=（-l）"/—+/—］，求數(shù)列｛與｝的前，項和T..

12+12+2）

3.（2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛”“｝滿足弓=1,a?>0,篦是數(shù)列｛外｝的前〃項和，對任意〃eN*,

有250=2%+%-1

⑴求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）設(shè)么=（-1尸4,求｛bn｝的前100項的和.

4.（23-24高三?廣東深圳?期末）已知等差數(shù)列｛4“｝的前〃項和為S“，S9=81,且/T,%+1,%+3成等

比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）若“eN*,是數(shù)列他,｝的前〃項和.求心

題型四：倒序求和型

指I點I迷I津

倒序求和:

倒序求和，多是具有中心對稱的“函數(shù)型”，此類函數(shù)具有“和定”的特征，滿足“和定”特征的還有組

合數(shù)。

1丫

1.（2022高三?全國?模擬）設(shè)4（%,%）,8（%,為）是函數(shù)〃x）=7+log2-的圖象上任意兩點，且

=1（04+02）,已知點M的橫坐標為

22

⑴求證：M點的縱坐標為定值；

（2）若Sn=++N'，且2求S”；

2.（20-21高三?全國?模擬）已知函數(shù)/■（無）=:/+3無，數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，點（〃總乂〃?二）均在函

數(shù)八”的圖象上.

(1)求數(shù)列｛?｝的通項公式；

(2)若函數(shù)g(x)=1g,令b.=g］蔡，(〃eN*),求數(shù)列｛2｝的前2020項和心期.

3.(20-21高三?江蘇蘇州?期中)己知〃“)=4+%&++-優(yōu)+，LTN)

(1)若a“=〃T，求/(〃)；

(2)若用=3"一1,求〃20)除以5的余數(shù)

4.(2324高三?四川成都?模擬)已知數(shù)列｛4｝滿足：爭墨+墨+…+殳=小—*),數(shù)列圾｝滿足

bn=聲.⑴求數(shù)列｛〃〃｝的通項公式；

⑵求2+40gz的值；

⑶求4+82+，3H-----怎的值.

題型五：裂項相消1:函數(shù)型

指I點I迷I津

函數(shù)型，指的是“型

pq

(1)f(n)=t(q-p),差型;

(2)f(n)是分離常數(shù)型；

1.(24-25高三?廣東?開學考試)已知數(shù)列｛4｝的各項均為正數(shù)，4=1,5“為｛4,｝的前〃項和，且

2

(心2).

S“+Si

⑴求｛%｝的通項公式;

(2)設(shè)4=/親,

記色｝的前“項和為北，求證：Tn<~.

2.(23-24高三?江西，模擬)已知數(shù)列｛%｝滿足苑+瘋+…+購=笠12.3

⑴求｛q｝的通項公式；

,2及+1,、3

(2)設(shè)/=——，記數(shù)列出｝的前〃項和為加證明：7<S?<1.

anan+l4

3.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測)設(shè)數(shù)列｛氏｝的前凡項和為5“馮=1,且=.

⑴求數(shù)列｛。,｝的通項公式；

(2)若2=白飛，數(shù)列也｝的前〃項和為&V”eN*Z<根恒成立，求實數(shù)加的最小值.

an'an+\

4.（23-24高三?河北石家莊,模擬）已知等差數(shù)列｛/J的前〃項的和為5“,52，邑,邑-2成等差數(shù)列，且

成等比數(shù)列.

⑴求｛廝｝的通項公式；

,n+11

（2）若么=一丁，數(shù)列｛g｝的前〃項的和為北，試比較】與右的大小，并證明你的結(jié)論.

anan+\7。

題型六：裂項相消2：指數(shù)型

指I點I迷I津

指教型，類仞后教型的列項思維

1.（23-24高三?河南?模擬）已知數(shù)列｛4｝滿足4=1。,。用=3?！?2.

⑴求｛q｝的通項公式；

〃一11

（2）若a=Q；2）a，記數(shù)列也｝的前〃項和為（，求證：（、＜5.

2.（23-24高三下?河南?模擬）已知數(shù)列｛4“｝滿足ax=3,a?+1=3an-2/7+1.

⑴求證:｛%-科為等比數(shù)列；

（2）數(shù)列也-小的前"項和為九求數(shù)列卜飛了-1］的前”項和刀,.

LW+iJ

3.（23-24高三?云南曲靖?模擬）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且2%-%=2,8=30.

⑴求數(shù)列｛&,｝的通項公式；

2”

b----------------

⑵若"foT70駕］，求數(shù)列也｝的前”項和小

Z—1z—1

4.（23-24高三?湖北武漢?模擬）如圖形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法商功》中，后人稱

為“三角垛三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球......，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)

列5｝

⑴求數(shù)列｛冊｝的通項公式;

(2)若數(shù)列｛.｝的前〃項和S“=%,數(shù)列｛q｝滿足C“=(2%_])(24_1)，求數(shù)列kJ的前〃項和1

題型七：裂項相消3：無理根號型

指I點I迷I津

無理根式型裂項：

1_sjn+k—y[n

一般情況下，無理型裂項相消滿足：?+k

1.(23-24高三?四川南充?期末)已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，且％=1嗎=g+2%,5“是數(shù)列｛g｝的前鼠項和.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式;

,1〃數(shù)列抄/的前〃項和求證:

⑵設(shè)“keN*),T,,I<L

2.(23-24高三?遼寧本溪?期末)設(shè)正項數(shù)列｛?！埃枪顬閐(dwO)的等差數(shù)列，其前〃項和為S“，已知

(q+qj

%=3,S"=

2d

(1)求｛4｝的通項公式;

⑵求數(shù)列的前〃項和5.

3.(2024?湖南邵陽?三模)已知函數(shù)〃同=2，g(x)=/(x)+ar.

⑴若g(x)在尤=0處取得極值，討論g(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)曲線y=〃x)在點P(私〃〃少(0＜心＜2)處的切線為/,證明：除點尸外，曲線段y=F(x)(O4x42)總

在/的下方；

1140--

⑶設(shè)、'所+G證明：沙(％)—。+九

4.(2024?福建三明?三模)已知數(shù)列｛?！埃凉M足q冊―，冊=(也),weN*.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛叫的前〃項和為S“，若不等式(-1)"⑸-144S：對任意的〃eN*恒成立，求實數(shù)t的取值范圍；

1h—b2一匕h-/-/、丁*\

⑶記----F，求證：L0+-L++—j^＜6(neN).

log2an也g

題型八：裂項相消4：分子分母齊次分離型

T旨I點I迷I津

;分離常數(shù)型

分式型，如果分子分母都是一次，或者分子二次分母一次，如果不能裂項，可以考慮通過分離常數(shù),

;把分子次氟降下來。

I________________________________________________________________________________________________

1.(23-24高三?浙江麗水?期中)設(shè)數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，前〃項和為5,,%+%=18,，。=100.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵設(shè)2=——的前〃項和為證明：看<?fl+:1.

aa

?n+l24

2.(2024?河北滄州?模擬預(yù)測)設(shè)正項數(shù)列｛即｝的前〃項和為S,，已知=

⑴求數(shù)列｛即｝的通項公式；

2

(2)設(shè)么，求數(shù)列｛^｝的前?項和T“.

S-n

3.(23-24高三?安徽蕪湖?模擬)設(shè)｛q｝是正項數(shù)列，且其前〃項和為S“，已知S“=：(G+2)2.

O

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)令2=[也+eN*),求凡｝的前〃項和卻

2a?凡，''

32.(23-24高三?江蘇鹽城?期末)數(shù)列｛%｝中，卬=一(，2a?=a?_-/7-l(?>2,nN*)

1G設(shè)￡=4,+&

⑴求證:數(shù)列｛a｝是等比數(shù)列;

(2)求數(shù)列｛曲｝的前〃項和，；

求不超過鳥⑼的最大的整數(shù).

題型九：裂項相消5：等差指數(shù)混合型

指I點I迷I津

形如—心型-------g型，可以“仿寫”裂差，再通過反解湊配系數(shù)(或者直接構(gòu)造湊配)

(kn+b)[k(n+Y)+b]qn+l

加rn+c1_1111

如----------------------------;-r-----------------------------rJ1

(kn+b)[k(n+V)+b]q"(kn+b)q"k(n+1)+Z?q/!

,注意湊配“同構(gòu)”形式以裂項達到相消的目的

1.(2024.全國.模擬預(yù)測)己知正項數(shù)列也｝的前〃項和為S“，且滿足S；-(2"-1)S"-2"=0.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式.

.n+2.、

⑵記b-=/+1）］，求數(shù)列也｝的前"項和T”?

2.（2024?山西臨汾?二模）已知數(shù)列｛4｝,也｝滿足％=1,勿=2%,么她心=同聲

⑴計算出,%,并求數(shù)列｛七｝的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛%｝滿足C,=,求數(shù)列｛%｝的前〃項和T*.

an*an+l*"n

3.（2024高三?全國?模擬）已知等差數(shù)列｛。“｝的前n項和為S“，數(shù)列色｝是等比數(shù)列，a,=bx=\,S3=b3+2,

S4=b4+2.

⑴求4與。;

（2）設(shè)q=（\1泡,求數(shù)列上,｝的前〃項和刀.

4.（23-24高三?江蘇連云港?期中）已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為且滿足：％=1,"a“M=2S“+〃（〃eN*）.

⑴求數(shù)列｛為｝的通項公式。,；

⑵設(shè)年=〃，求數(shù)列也｝的前幾項和T,；

乙,anan+l

⑶設(shè)數(shù)列｛1｝的通項公式為c“=T；,問:是否存在正整數(shù)上使得G，令cm（m>3,meN）成等差數(shù)列？若

存在，求出方和加的值；若不存在，請說明理由.

題型十：裂項相消6：正負相間裂和型

:指I點I迷I津

正負型：等差裂和型

形如（-形".上2-型,如果￡（!1）=；16"+1+2”），則可以分子裂差：

aja,,+i

（_］）”.f⑺=（_1）”/區(qū)+1出“）=（_［）“LL）

a，a

n?+ia“?a,+ia?a?+1

L_______________________________________________________________________________________

1.（23-24高三?湖北武漢?期中）已知數(shù)列｛4｝的首項4=1,且滿足。向+見=3、2",數(shù)列出｝的前"項和工

1

滿足s.=w（a+i9y,且a〉。.

⑴求證：｛%-2"｝是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列也｝的通項公式；

⑶設(shè)g=（??-2"）辭-,求數(shù)列匕｝的前n項和卻

1o

2.（2024?四川?模擬預(yù)測）已知S,為正項數(shù)列｛%｝的前〃項和，%=3且,+5向=［*「；.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)若bn=(-1嚴添篇,求也｝的前10項和T10.

3.(23-24高三?海南省直轄縣級單位?模擬)設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”.若對任意的正整數(shù)〃，總存在正

整數(shù)加，使得5"金，則稱｛4｝是"“數(shù)列〃.

(2n=l

⑴若an=2」〃>2，判斷數(shù)列｛%｝是否是"H數(shù)列"；

(2)設(shè)也｝是等差數(shù)列，其首項仇=1,公差deN*,且也｝是數(shù)列"，

①求d的值；

②設(shè)4=(T)"2為數(shù)列仁｝的前/項和，證明：或“g

4.(23-24高三湖北?期中)已知等差數(shù)列｛即｝的前〃項和為S,,且邑=4邑，生“=2a“+l(〃eN*)

⑴求數(shù)列｛即｝的通項公式；

(2)設(shè)d=(-1)°9山，求數(shù)列｛,｝的前〃項和為

anan+\

題型十一：裂項相消7：三角函數(shù)型

1.(2024高三?全國?模擬)已知在數(shù)列｛%J中，a1=l,nan+l-(n+V)an=l.

⑴求數(shù)列｛an｝的通項公式；

(2)若數(shù)列也｝滿足仇=sin(^a,i+1)+cos(7r<7?),求數(shù)列也“｝的前2024項和罩2小

2.(23-24高三下?河南?模擬)已知數(shù)列｛4｝的前w項和為S",4=1,%=3,5角+S“_=2⑸+1)(〃22)

⑴求S/

(2)若￡=——-—求數(shù)列也｝的前1012項和62.

anan+\

3.(2024?福建泉州?二模)已知數(shù)列｛/J和｛%｝的各項均為正，且。3=山仇,｛%｝是公比3的等比數(shù)列.數(shù)列

｛a"的前〃項和S“滿足4S”=a；+2a”.

⑴求數(shù)列｛an｝,｛與｝的通項公式；

b

⑵設(shè)C"=(h_器_丁+%8s所,求數(shù)列｛%｝的前n項和T”.

4.(2023?安徽安慶?模擬預(yù)測)已知％=：,a“10，S],tana“+i=」一("eN*).

4I2Jcos%'7

⑴求tan%,tangJan%；

(2)證明：｛tai?%,｝是等差數(shù)列，并求出tan%“；

⑶設(shè)"tan'ana,求也｝的前“項和$“?

題型十二：裂項型證明數(shù)列不等式

指I點I迷I津

裂項型證明數(shù)列不等式：

1.裂項求和。

2.求和后的函敷數(shù)到式子，具有敖縮和單調(diào)性兩方面的特征。

3.一些求和后的式子，還可以通過構(gòu)透新函數(shù)，求導證明

45.(23-24高三?江蘇常州?模擬)已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,,滿足：二*=%+1,且g=3.

n

⑴求證：數(shù)列｛"“｝為等差數(shù)列，并求其通項公式；

["7)21偽奇數(shù)

(2)記2=anan+2,數(shù)列｛2｝的前2〃項和為耳，若不等式(-1))+/二<應(yīng)對一切〃eN*恒成

為偶數(shù)”+

立，求4的取值范圍.

2.(23-24高三?安徽?期中)已知數(shù)列｛時｝的前〃項和為S,,滿足(〃一1萬7-安-3)S,=24,n>2,%=1.

⑴求數(shù)列阻｝的通項公式；

(2)若數(shù)列口的前〃項和為(，證明：當,22時一、<北<吧.

,、112n+l

3.(23-24高三?山西?期中)已知數(shù)列｛g｝滿足-------=——，且％=L

aa

?！?1nn+\

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

2

(2)若數(shù)列也｝滿足a=二，記數(shù)歹式2｝的前〃項和為小求證：T?<4.

an

4.(23-24高一下?上海?期中)設(shè)S,是數(shù)列｛%｝的前〃項和，且凡是S,和2的等差中項.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)記d=%,(%+ak+1+...+an)(l<k<n).

①求數(shù)列｛4｝。W左W〃)的前〃項和1;

r\02r\n

②設(shè)/(〃)=亍+亍+...+亍(〃eN*),是否存在常數(shù)。，使"(7Z)<c對〃?N*恒成立？若存在，求出。的最

小值；若不存在，說明理由：

題型十三：三角函數(shù)型數(shù)列不等式證明

指I點I迷I津

三角翦敷敷列不等式：

1.利用三角函數(shù)的周期型。

2.利用三角函數(shù)正余弦的數(shù)的有界性。

3.一些題型，可以借助泰勒公式等導效形式證明的結(jié)論

1.(23-24高三?湖北?期中)18世紀早期英國牛頓學派最優(yōu)秀代表人物之一的數(shù)學家泰勒(BrookTaylor)發(fā)

現(xiàn)的泰勒公式（又稱麥克勞林公式）有如下特殊形式：當"X）在彳=0處的〃（〃eN*）階導數(shù)都存在時，

〃x）=〃0）+廣⑼”+…+其中，廣⑺表示“X）的二階導數(shù)，即

為廣（%）的導數(shù),*（X）523）表示/（X）的〃階導數(shù).

⑴根據(jù)公式估計cosg的值；（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）

%3572n-l3

⑵由公式可得：sin￥=x---++（-1）—當%>0時，請比較sinx與x-Z的大小，

3!5!7!yZn—1y.6

.（1）

sin------

并給出證明；（3）已知“eN*,證明：寸+1.

2.（2024?甘肅張掖?模擬預(yù)測）泰勒公式是一個非常重要的數(shù)學定理，它可以將一個函數(shù)在某一點處展開成

無限項的多項式.當“X）在x=0處的M“GN*）階導數(shù)都存在時，它的公式表達式如下：

〃同=〃0）+/，（0卜+工?/+/羋1++/W"x"+.注：:（。）表示函數(shù)在原點處的一階導

數(shù)，尸（。）表示在原點處的二階導數(shù)，以此類推，廣'（。）（，后3）表示在原點處的〃階導數(shù).

⑴根據(jù)公式估算cosl的值，精確到小數(shù)點后兩位；

丫2

（2）當％>0時，比較cosx與1——的大小，并證明；

2

111

證明：++2?—271+1

⑶設(shè)〃$N*,+一>---------

11

tan—tan一tan—2n

23n

3.(2024高三?全國模擬)已知函數(shù)/(x)=ln(%+l)—-.

⑴證明:/(九)之0;

⑵求證：sin--——Fsin--——F+sin—<in2(neN.

n+1n+22nv7

4.（23-24高三?四川成都?期中）意大利畫家達?芬奇提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂,

那么項鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茨等得出懸鏈線可為雙曲余弦函數(shù)ch（x）=W二的圖象,

類似的可定義雙曲正弦函數(shù)sh（x）=《J.它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì).

⑴類比正弦函數(shù)的二倍角公式，請寫出（不證明）雙曲正弦函數(shù)的一個正確的結(jié)論：Sh（2x）=

（2）當x>0時，比較sh（x）與尤的大小，并說明理由；

22

shsh

⑶證明：他皿+他半\n)c4",3、

+r+H----->2n-~~;(?eN)

tanl2〃+1

tanitan-tan—

23n

題型十四：先求和再放縮證明數(shù)列不等式

1.（24-25高三?遼寧?開學考試）已知S,為數(shù)列｛4｝的前〃項和,為數(shù)列也｝的前〃項和,

2a+1,〃為奇數(shù)

氏+2=2%+1一％,勿=2.為偶數(shù)也=2=6

⑴求｛4｝的通項公式；

⑵若&-邑“<2025,求”的最大值;

11〃3

⑶設(shè)Cn=證明：

,2〃一、2n/z=iq

2.（23-24jWj二,江西南昌?模擬）已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，an=2-Sn,nGN*.

⑴求數(shù)列｛氏｝的通項公式；

（2）是否存在實數(shù)2,使數(shù)列［“+加+￡1為等差數(shù)列？若存在，求出2的值：若不存在，請說明理由；

2一”-9m

⑶已知數(shù)列〃｝,————其前〃項和為（，求使得?w<?；<：對所有〃cN*都成立的自然

（（+1）（氏+|+1）44

數(shù)加的值.

3.（23-24高三?浙江?模擬）已知數(shù)列｛%｝滿足卬=2,幺匚^=pa"+（-1）°eN）

an

（D若P=0，求數(shù)列｛3"?%｝的前w項和S”.

（2）若p=l,設(shè)數(shù)列的前w項和為4,求證：1<7；<1,

4.（23-24高三?河北承德?期末）己知正項數(shù)列｛叫滿足數(shù)列抄“｝的前幾項和為S“，且

的+I=2S.+2,4=：=2.

⑴求｛為｝,｛2｝的通項公式;

nU11

⑵證明：

z=l%Z

題型十五：先放縮再求和證明數(shù)列不等式

指I點I迷I津

先放縮后裂項，放縮的目的是為了“求和”，這也是湊配放縮形式的目標。對于遞推公式，不放縮難以

求和，所以放縮成能求和的形式。

1.（23-24高三?天津北辰?模擬）已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，%=7,%=1