結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

第十一章結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)

???本章的問題：

A.什么是動(dòng)力荷載？

B.結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算與靜力計(jì)算的主要區(qū)別在哪？

C.本章自由度的概念與幾何組成分析中的自由度概念有何不同？

D.建立振動(dòng)微分方程的方法有幾種？

E.什么是體系的自振頻率、周期？

F.什么是單自由度體系的自由振動(dòng)？

G.什么是單自由度體系的受迫振動(dòng)？

H.什么是多自由度體系的自由振動(dòng)？

I.什么是多自由度體系的受迫振動(dòng)？

J.什么叫動(dòng)力系數(shù)？動(dòng)力系數(shù)的大小與哪些因素有關(guān)？

K.單自由度體系位移的動(dòng)力系數(shù)與內(nèi)力的動(dòng)力系數(shù)是否一樣？

L.在振動(dòng)過程中產(chǎn)生阻尼的原因有哪些？

§11-1概述

前面各章都是結(jié)構(gòu)在輕力荷載作用卜的計(jì)算，在實(shí)際工程中往往還遇到另外一類荷載，

即荷載的大小和方向隨時(shí)訶而改變，這一章我們將討論這類荷載對結(jié)構(gòu)的反應(yīng)。

荷載分：

廠靜力荷載：是指施力過程緩慢，不致使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生顯著的加速度，因而可以略去慣性

力影響的荷載。在靜力荷載作用下，結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)，荷載的大小、

J方向、作用點(diǎn)及由它所引起的結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、位移等各種量值都不隨時(shí)間

而變化。

J動(dòng)力荷載：在動(dòng)力荷載作用下，結(jié)構(gòu)將發(fā)生振動(dòng)，各種量值均隨時(shí)間而變化，因而

其計(jì)算與靜力荷載作用下有所不同，二者的主要差別就在于是否考慮慣

性力的影響。

有時(shí)確定荷載是靜荷載還是動(dòng)荷載要根據(jù)對結(jié)構(gòu)的反應(yīng)情況來確定，若在荷載作

用下將使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生不容忽視的加速度，即動(dòng)力效應(yīng)，就應(yīng)按動(dòng)荷載考慮。

在，程結(jié)構(gòu)中，除了結(jié)構(gòu)自重及?些永久性荷載外，具他荷載都具有或大或小的

動(dòng)力作用。當(dāng)荷載變化很慢，其變化周期遠(yuǎn)大于結(jié)構(gòu)的自振周期時(shí)，其動(dòng)力作用是很

小的，這時(shí)為了簡億計(jì)算，可以將它作為靜力荷載處理。在工程中作為動(dòng)力荷載來考

慮的是那些變化激烈、動(dòng)力作用顯著的荷載。

如風(fēng)荷載對?般的結(jié)構(gòu)可當(dāng)做靜荷載，而對?些特殊結(jié)構(gòu)往往當(dāng)做動(dòng)荷載考慮。

荷載按動(dòng)力作用的變化規(guī)律，又可分為如卜幾種：

(1)簡諧周期荷載這是指荷載隨時(shí)間按正弦(或余弦)規(guī)律改變大小的周期性荷載，例

如具有旋轉(zhuǎn)部件的機(jī)器在等速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)其偏心質(zhì)量產(chǎn)生的離心力對結(jié)

構(gòu)的影響就是這種荷載。這類荷載在工程中見的較多。

(2)沖擊荷載這是指荷載很快地全部作用于結(jié)構(gòu)，而作用時(shí)間很短即行消失的荷載，

例：如打樁機(jī)的樁錘對樁的沖擊、車輪對軌道接頭處的撞擊等。

(3)突加荷載在一瞬間施加于結(jié)構(gòu)上并繼續(xù)留在結(jié)構(gòu)上的荷載，例如糧食口袋卸落在

倉庫地板上時(shí)就是這種荷載。這種荷載包括對結(jié)構(gòu)的突然加載和突然卸載。

這里要注意突加荷載、和沖擊荷載的區(qū)別。

(4)快速移動(dòng)的荷載例如高速通過橋梁的列車、汽車等。

(5)隨機(jī)荷載例如風(fēng)力的脈動(dòng)作用、波浪對碼頭的拍擊、地震對建筑物的激振等，這

種荷載的變化極不規(guī)則，在任一時(shí)刻的數(shù)值無法預(yù)測，其變化規(guī)律不能

用確定的函數(shù)關(guān)系來表達(dá)，只能用概率的方法尋求其統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

3、如果結(jié)構(gòu)受到外部因素干擾發(fā)生振動(dòng)，而在以后的振動(dòng)過程中不再受外部干擾

力作用，這種振動(dòng)就稱為自由振動(dòng)；若在振動(dòng)過程中還不斷受到外部干擾力作用，則稱為強(qiáng)

迫振動(dòng)。研究自由振動(dòng)是研究強(qiáng)迫振動(dòng)的基礎(chǔ)。

4、結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的目的：

在于確定動(dòng)力荷載作用下結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、位移等量值隨時(shí)間而變化的規(guī)律，從而

找出其最大值以作為設(shè)計(jì)的依據(jù)％因此，研究強(qiáng)迫振動(dòng)就成為動(dòng)力計(jì)算的一項(xiàng)根本任

務(wù)。然而，結(jié)構(gòu)在強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)各截面的最大內(nèi)力和位移都與結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)時(shí)的版率和

振動(dòng)形式密切有關(guān)，因而尋求結(jié)構(gòu)自振頻率和振型就成為研究強(qiáng)迫振動(dòng)的前提。

§11—2結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度

在動(dòng)力荷載作用下，結(jié)構(gòu)將發(fā)生彈性變形，其上的質(zhì)點(diǎn)將隨結(jié)構(gòu)的變形而振動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)

在振動(dòng)過程中任一瞬時(shí)的位置，可以用某種獨(dú)立的參數(shù)來表示。例如圖U-la所示簡支梁

在跨中固定著一個(gè)重量較大的物體，如果梁本身的自重較小而可略去，并把重物簡化為一個(gè)

集中質(zhì)點(diǎn)，則得到圖11—lb所示的計(jì)算簡圖。如果不考慮質(zhì)點(diǎn)m的轉(zhuǎn)動(dòng)和梁軸的伸縮，則

質(zhì)點(diǎn)m的位置只要用一個(gè)參數(shù)y就能確定。我們把結(jié)構(gòu)在彈性變形過程中確定全部質(zhì)點(diǎn)位

置所需的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目，稱為該結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度。據(jù)此，圖11—I所示的梁在振動(dòng)中將

只具有?個(gè)自由度。結(jié)構(gòu)振動(dòng)自由度的數(shù)目，在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中具有很重要的意義。具有一個(gè)

自由度的結(jié)構(gòu)稱為單自由度結(jié)構(gòu)，自由度大于1的結(jié)構(gòu)則稱為多自由度結(jié)構(gòu)。

圖11-1

在確定結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

不能根據(jù)結(jié)構(gòu)有幾個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)就判定它有幾個(gè)自由度，而應(yīng)該由確定質(zhì)點(diǎn)位置所需的

獨(dú)立參數(shù)數(shù)目來判定。例如圖11—2a所示結(jié)構(gòu)，在絕雙剛性的桿件上附有三個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)，

它們的位置只需一個(gè)參數(shù)，即桿件的轉(zhuǎn)角ao便能確定，故其自由度為lo又如圖ll-2b

所示簡支梁上附有三個(gè)集中質(zhì)量，若梁本身的質(zhì)量可以略去，又不考慮梁的軸向變形和質(zhì)點(diǎn)

的轉(zhuǎn)動(dòng)，則其自由度為3,因?yàn)楸M管梁的變形曲線可以有無限多種形式，但其上三個(gè)質(zhì)點(diǎn)的

位置卻只需由撓度yi、y?，、\3,就可確定。又如圖Il-2c所示剛架，雖然只有一個(gè)集中質(zhì)

點(diǎn)，但其位置需由水平位移力和豎直位移y2：兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)才能確定，因此自由度為2。

￡/-00

?￡

(?)(*>

圖11-2

在確定剛架的自由度時(shí)，我們?nèi)砸檬軓澲睏U上任意兩點(diǎn)之間的距離保持不變的假定。

根據(jù)這個(gè)假定并加入最少數(shù)量的鏈桿以限制剛架上所有質(zhì)點(diǎn)的位置，則該剛架的自由度數(shù)目

即等于所加入鏈桿的數(shù)目。例如圖“一2d所示剛架上雖有四個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)，但只需加入三根

鏈桿便可限制其全部質(zhì)點(diǎn)的位置.(11一2),故其自由度為3。由此可見，自由度的數(shù)目不完全

取決于質(zhì)點(diǎn)的數(shù)目，也與結(jié)構(gòu)是否靜定或超靜定無關(guān)。當(dāng)然，自由度的數(shù)目是隨計(jì)算要求的

精確度不同而有所改變的，如果考慮到質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性，則相應(yīng)地還要增加控制轉(zhuǎn)動(dòng)的約束,

才能確定自由度數(shù)。

以上是對于具有離散質(zhì)點(diǎn)的情況而言的。但是，在實(shí)際結(jié)構(gòu)中，質(zhì)量的分布總是比較

復(fù)雜的，除了有較大的集中質(zhì)量外，一般還會(huì)有連續(xù)分布的質(zhì)量。例如圖11—2f所示的梁，

其分布質(zhì)量集度為m(kg/m),此時(shí)，可看作是無窮多個(gè)mdx的集中質(zhì)量，所以它是無限自

由度。當(dāng)然完全按實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算，情況會(huì)變得很復(fù)雜。因此我們常常針對某些具體問題，

采用一定的簡化措施，把實(shí)際結(jié)構(gòu)簡化為單個(gè)或多個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算。例如圖11-

3a所示機(jī)器的塊式基礎(chǔ)，當(dāng)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，基礎(chǔ)將產(chǎn)生垂直振動(dòng)?若用彈簧表示地基的彈性，

用一個(gè)集中質(zhì)量代表基礎(chǔ)的質(zhì)量，就可簡化為圖示的支承集中質(zhì)量的彈簧，使結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為單

自由度結(jié)構(gòu)。又如圖11—3b所示的水塔，頂部水池較重，塔身重量較輕，在略去次要因素

后，就可簡化為圖示的直立懸臂梁在頂端支承集中質(zhì)量的單自由度結(jié)構(gòu)。

圖11-3

§11—3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)

研究結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算，我們先從單自由度的簡單結(jié)構(gòu)開始。

所謂自由振動(dòng)，是指結(jié)構(gòu)在振動(dòng)進(jìn)程中不受外部干擾力作用的那種振動(dòng)。產(chǎn)生自由振

動(dòng)的原因只是由于在初始時(shí)刻的干擾。

初始的干擾有兩種情%pI)由于結(jié)構(gòu)具有初始位移；

U2)由于結(jié)構(gòu)具有初始速度；或者這兩種干擾同時(shí)存在。

例如圖11—4所示，在跨中支承集中質(zhì)量的簡支梁，若把質(zhì)點(diǎn)m拉離其原有的彈性平

衡位置，達(dá)到圖中虛線所示的偏離位置，然后突然放松，則質(zhì)點(diǎn)將在原有平衡位置附近往復(fù)

振動(dòng)。由于在振動(dòng)進(jìn)程中不再受到外來干擾，所以這時(shí)的振動(dòng)就是自由振動(dòng)。這是由于結(jié)構(gòu)

具有初始位移而引起自由振動(dòng)的例子。又如若對圖11—4的質(zhì)點(diǎn)施加瞬時(shí)沖擊作用，在極短

的時(shí)間內(nèi)使其獲得一定的初速度，當(dāng)它還來不及發(fā)生顯著的位移時(shí)，外力又突然消失，這樣

引起的結(jié)構(gòu)振動(dòng)，便是初始速度干擾下產(chǎn)生自由振動(dòng)的例子。

原有平育位置

/

強(qiáng)迫偏離位置

圖11-4

影響結(jié)構(gòu)振動(dòng)的因素很多，阻尼是其中之一，為簡單起見不妨先略去阻尼的影響。

1、不考慮阻尼時(shí)的自由振動(dòng)

對于各種單自由度結(jié)構(gòu)的振動(dòng)狀態(tài)，都可以用一個(gè)簡單的質(zhì)點(diǎn)彈簧模型來描述，如圖

11—5a所示，彈簧下端懸掛一質(zhì)量為m的重物。我們?nèi)〈酥匚锏撵o力平衡位置為計(jì)算位移

y的原點(diǎn)，并規(guī)定位移y和質(zhì)點(diǎn)所受的力都以向下為正。設(shè)彈簧發(fā)生單位位移時(shí)所需加的力

為系為K”,稱為彈簧的剛度；而在單位力作用下產(chǎn)生的位移為b”，稱為彈簧的柔度，但兩

者的關(guān)系為

圖11-5

為了尋求結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)其位移以及各種量值隨時(shí)間變化的規(guī)律，應(yīng)先建立振動(dòng)微分方程,

然后求解。建立振動(dòng)微分方程有兩種基本方法：

[(I)是根據(jù)達(dá)朗伯原理(動(dòng)靜法)列出動(dòng)力平衡方程，乂稱剛度法;

1(2)是列位移方程，又稱柔度法。

下面分別討論。

(1)列動(dòng)力平衡方程設(shè)質(zhì)點(diǎn)m在振動(dòng)中的任一時(shí)刻位移為y,取該質(zhì)點(diǎn)為隔離體

(圖11—5b),若不考慮質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)所受到的阻力，則作用于其.上的外力有：

(a)彈簧拉力5=-人沙負(fù)號表示其實(shí)際方向恒與位移y的方向相反，亦即永遠(yuǎn)指

向靜力平衡位置。此力有把質(zhì)點(diǎn)m拉回到靜力平衡位置的趨勢，故又稱為恢復(fù)力。

d2y

(b)慣性力/=-%，〃它的方向總是與加速度y=Y?的方向相反，故有一負(fù)號。

dt~

至于彈簧處于靜力平衡位置時(shí)的初拉力，則恒與質(zhì)點(diǎn)的重量mg相平衡而抵消，故

在振動(dòng)過程中這兩個(gè)力都毋須考慮。

質(zhì)點(diǎn)在慣性力I與彈簧的恢復(fù)力S作用下將維持動(dòng)力平衡，故應(yīng)有

I+S=O

將I和S的算式代入即得

-wy-^,y=O

或my+1y=0

,2ki.

命蘇=」■(11—1)

m

則有y十?2y=0(112)

這就是單自由度結(jié)構(gòu)在自由振動(dòng)時(shí)的微分方程。

(2)列位移方程上述振動(dòng)微分方程也可以按下述方法來建立：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)m振動(dòng)時(shí),

把慣性力/=_"“看作是一個(gè)靜力荷載，則在其作用下結(jié)構(gòu)在質(zhì)點(diǎn)處的位移y應(yīng)等于(圖11

—5c)：

),=//二一利他

亦即my+A:,1y=0

可見與方法】結(jié)果相同。

式(11-2)是一個(gè)具有常系數(shù)的線性齊次微分方程，其通解形式由高等數(shù)學(xué)知：

y(/)=Acoscot+A2sinaH(b)

取y對時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)，則得質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻的速度

j(/)=一0Asincot+a)\coscot(c)

此兩式中的積分常數(shù)Ai和Az可由振動(dòng)的初始條件來確定。

若當(dāng)1=0時(shí)，位移y=y。，速度y=j()

則有Ai=yo,A,=—

(0

因此y=%cos（ot+—sincot

co

其中y。稱為初位移，先稱為初速度。

再考察結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)曲線，由位移曲線知：是由兩部分組成：（1）是由初位移y。

引起的，表現(xiàn)為余弦規(guī)律；

（2）是由初速度為弓起的，表現(xiàn)為正弦規(guī)律（圖11—6a、b）。二者之間的相位差為一

直角，后者落后于前者9cp

詳見下圖（11—6）

圖11-6

若令)b=asine(d)

y

—=acos(po(e)

則位移方程可寫成：y=asin?。/+夕）

且有y=acocos（。，+（p）

可見這種振動(dòng)是簡諧振動(dòng)（圖11—6c）,式中a表示質(zhì)點(diǎn)的最大位移，稱為振幅，0稱為

初相角。由于sin。/和cosot都是周期性函數(shù)，它們每經(jīng)歷一定時(shí)間就出現(xiàn)相同的數(shù)值，

若給時(shí)間I一個(gè)增量7二二，則位移y和速度夕的數(shù)值均不變，故T稱為周期，其常用單

CD

位為秒（s）；周期的倒數(shù),代表每秒鐘內(nèi)所完成的振動(dòng)次數(shù)，稱為工程頻率；而①=且即

TT

為2乃秒內(nèi)完成的振動(dòng)次數(shù)，稱為圓頻率，通常。用得較多，又簡稱為頻率，其單位為次/

（2萬秒）

頻率也可用下式計(jì)算：

式中g(shù)表示重力加速度，表示由于重量mg所產(chǎn)生的靜力位移。

結(jié)論：計(jì)算單自由度結(jié)構(gòu)的自振頻率時(shí)，只需算出剛度k”或柔度匹或位移△“，

代入式（11—8）即nJ求得。由該式nJ知，

結(jié)構(gòu)自振頻率隨剛度k.i的增大和質(zhì)量m的減小而增大，

這一特點(diǎn)在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中對■如何控制結(jié)構(gòu)自振頻率有重要意義。因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)的自振頻率只

取決于它自身的整昂和剛度，所以它反映著結(jié)構(gòu)固有的動(dòng)力特性（即為固有頻率外部干

擾力只能影響振幅和初相角的大小而不能改變結(jié)構(gòu)的自振頻率。如果兩個(gè)結(jié)構(gòu)具有相同的自

振頻率，則它們對動(dòng)力荷載的反應(yīng)也將是相同的。公式表明，G）隨的增大而減小，也

就是說，若把質(zhì)點(diǎn)安放在結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生最大位移處，則可得到最低的自振頻率和最大的振動(dòng)周

圖11-7

例11一1：圖11一7所示三種支承情況的梁，其跨度都為1,且E1都相等，在中

點(diǎn)有一集中質(zhì)量m。當(dāng)不考慮梁的自重時(shí)，試比較這三者的自振頻率。

解：由式（11—8］可知，在計(jì)算單自由度結(jié)構(gòu)的自振頻率時(shí)，可先求出該結(jié)構(gòu)在重

量p=mg作用下的靜力位移。根據(jù)以前學(xué)過的位移計(jì)算的方法，可求出這二種情況相應(yīng)的靜

力位移分別為:

篇,島

代入式（11一8）即可求得三種情況的自振頻率分別為:

據(jù)此可得外：。2:例=?：1?51：2.

此例說明隨著結(jié)構(gòu)剛度的加大，其自振頻率也相應(yīng)地增高。

前面的計(jì)算沒有考慮阻尼的影響，實(shí)際結(jié)構(gòu)的振動(dòng)是有阻尼的影響的，下面予以考慮。

2.考慮阻尼作用時(shí)的自由振動(dòng)

物體的自由振動(dòng)由于各種阻力的作用將逐漸衰減卜去，而不能無限延續(xù)。

阻尼力可分為兩種：（1）是外部介質(zhì)的阻力，例如空氣和液體的阻力、支承的摩擦等;

（2）來源于物體內(nèi)部的作用，例如材料分子之間的摩擦和粘著性等。

由于內(nèi)外阻尼的規(guī)律不同，且與各種建筑材料的性質(zhì)有關(guān)，因而確切估計(jì)阻尼的作

用是一個(gè)很復(fù)雜的問題。對此，人們提出過許多不同的建議，為使計(jì)算較簡單，通常是

引用福格第（Voigt）假定，即近似認(rèn)為振動(dòng)中物體所受的阻尼力與其振動(dòng)速度成正比，這

稱為粘滯阻尼力，即

r=-py（0

式中￡稱為阻尼系數(shù)，負(fù)號表示阻力它的方向恒與速度的方向相反。

圖11-8

當(dāng)考慮阻尼力時(shí):質(zhì)點(diǎn)m上所受的力將如圖11一8所示，增加阻尼一項(xiàng)?？紤]其動(dòng)

力平衡，應(yīng)有

I+R+S=0

my+/3y+k}]y=0(g)

仍令(o2=^~

m

并令2A=2(h)

in

則有：y+2仔+32)，=。(12—9)

這是一個(gè)線性常系數(shù)齊次微分方程，設(shè)共解的形式為

y=cen

代入原微分方程⑴一9),可得確定r的特征方程

產(chǎn)+2無+蘇=0其兩個(gè)根分別為：

22

r.2=-k±yjk-(o根據(jù)阻尼大小不同的情況有以下三種情況：

(1)k<co即小阻尼情況此時(shí)特征根弓、是兩個(gè)復(fù)數(shù)，式(11—9)的通解為

kt2222

y=e(cos\lco-kt+B2sinyja)-kl)

k,

=e~(coscot+B2sincot)(i)

其中0)=\!蘇一k?(11—10)

稱為有阻尼自振頻率。常數(shù)￡、3,可由初始條件確定：將f=0時(shí)y=)%和)，=.%

代入式(i)

可得

收為，星=2

CD

故y=""(yCOS〃/+)o+6osi。4/)(11~II)

(O'

上式也可寫為

y=be~k,sin(6974-^>')(11—12)

其中

(UT3)

,co'yn

tg(p=-T-(H-14)

宣+期力

式(11—12)的位移一時(shí)間曲線如圖11-9所示,即為衰減的正弦曲線，其振幅按""

的規(guī)律減小，故攵稱為衰減系數(shù)。

在工程中還經(jīng)常采用阻尼比

作為阻尼的基本參數(shù)。由式(11一10)有

少=3.-.(11—15)

可見。'隨阻尼的增大而減小。在一般建筑結(jié)構(gòu)中4是一個(gè)很小的數(shù)，約在o.oi?si

之間，因此有阻尼自振頻率3'與無阻尼自振頻率口很接近，可認(rèn)為

co'(k)

若在某一時(shí)刻，“振幅為笫，經(jīng)過一個(gè)周期后的振幅為此+1,則有

_2?_=心=eT=產(chǎn)

yje"

上式兩邊取對數(shù)得

In=^coT=^co—?2^(11—15)

K+is'

稱為振幅的對數(shù)遞減量。同理，當(dāng)經(jīng)過j個(gè)周期后，有

皿上匚=萬必

2(11—15a)

若由實(shí)驗(yàn)測出”及尤+1或，則可由式(11—15)或式(11—15a)求出阻尼比J。

(2)左即大阻尼情況此時(shí)特征根，［、弓為兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)，式(11—9)的通解為

y=ekl^Qchy/k2-cert+C2M

這是非周期函數(shù)，因此不會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)，結(jié)構(gòu)受初始干擾偏離平衡位置后將緩慢地回復(fù)到原有

位置。

(3)女=3即臨界阻尼情況此時(shí)特征根是一對重根。2二一左，式(11—9)的通解為

)，=e-”(G+CR

這也是非周期函數(shù)，故也不發(fā)生振動(dòng)。這是由振動(dòng)過渡到非振動(dòng)狀態(tài)之間的臨界情況，此時(shí)

阻尼比4=1,相應(yīng)的夕售稱為臨界阻尼系數(shù)，用力，表示。在式(h)中，令4=3可得

Pcr=2m3(1)

由式(j)及(h)、(1)又有

愿

表明阻尼比J即為阻尼系數(shù)￡與臨界阻尼系數(shù)?、，之比。

§11-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)

強(qiáng)迫振動(dòng)，是指結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載及外來干擾力作用下產(chǎn)生的振動(dòng)。若干擾力P")直接

作用在質(zhì)點(diǎn)m上，則質(zhì)點(diǎn)受力將如圖11一1()所示。同理由動(dòng)力平衡條件得：

/+R+S+PQ)=O

即相》+尸)，+*=p⑴

或9+—p(f)(11—16)

ni

圖11-10

這個(gè)微分方程的解也包括兩部分:

(I)為相應(yīng)齊次方程的通解y°,它由上一節(jié)式(i)表示為

y0=(B]coscot+B2sina)t)

(2)是與干擾力p(t)相適應(yīng)的特解它將隨干擾力的不同而異。本節(jié)先來討論干

擾力為簡諧周期荷載時(shí)的情況。具有轉(zhuǎn)動(dòng)部件的機(jī)器在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于不平衡質(zhì)量所產(chǎn)生

的離心力的豎直或水平分力就是這種荷載的例子，它一股可表為

P(i)=Psin0T(II-17)

其中。為干擾力的頻率，p為干擾力的最大值。代入微分方程解出如教材所述結(jié)果。

表達(dá)式較繁，實(shí)際應(yīng)用只應(yīng)用平穩(wěn)階段。

由上述推導(dǎo)可知，振動(dòng)系由三部分組成：

(1)是由初始條件決定的自由振動(dòng)；

(2)第二部分是與初始條件無關(guān)而伴隨干擾力的作用發(fā)生的振動(dòng)，但其頻

率與體系的自振頻率/一致，稱為伴生自由振動(dòng)。由于這兩部分振

動(dòng)都含有因子H軻，故它們將隨時(shí)間的推移而很快衰減掉；

(3)最后只剩下按干擾力頻率。而振動(dòng)的第三部分，稱為純強(qiáng)迫振動(dòng)或穩(wěn)

態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)(圖—

我們把振動(dòng)開始的一段時(shí)訶內(nèi)，幾種振動(dòng)同時(shí)存在的階段稱為過渡階段：而把后面只跑.下純

強(qiáng)迫振動(dòng)的階段稱為平穩(wěn)階段。通常過渡階段比較短，因而在實(shí)際問題中平穩(wěn)階段比較重要，

故一般只著重討論純強(qiáng)迫振動(dòng)。下面仍分別就考慮和不考慮阻尼兩種情況來討論。

I.不考慮阻尼的純強(qiáng)迫振動(dòng)

此時(shí)因4=0,由式⑴一19)的第三項(xiàng)可知純強(qiáng)迫振動(dòng)方程成為

p.八

y=----------r-sinOt(11—20)

'皿①2-*

因此，最大的動(dòng)力位移(即振幅)為

八二P_I__匕

(H-21)

皿㈤2_夕2)Q-m32

[2

0)

但是，02="，代入上式，得：

tn

A=-TT/^n=ZO\r(II—21a)

1-4

co~

式中)1=/廊，代表將振動(dòng)荷載的最大值p作為靜力荷載作用于結(jié)構(gòu)上時(shí)所引起

的靜力位移，而

(11—22)

承4位移動(dòng)力系數(shù)：為最大的動(dòng)力位移與靜力位移之比值。

若我們求出了內(nèi)力的動(dòng)力系數(shù)，也可仿此計(jì)算結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用下的最大內(nèi)力。

需要指出：

在單自由度結(jié)構(gòu)上，當(dāng)干擾力與慣性力的作用點(diǎn)重合時(shí)，位移動(dòng)力系數(shù)和內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)

是完全一樣的，此時(shí)對這兩類動(dòng)力系數(shù)可不作區(qū)分而統(tǒng)稱為動(dòng)力系數(shù)。

由式(11—22)可知，動(dòng)力系數(shù)隨比值2而變化。當(dāng)干擾力的頻率接近于結(jié)構(gòu)的自振頻率

時(shí)，動(dòng)力系數(shù)就迅速增大；當(dāng)二者無限接近時(shí)，理論上〃將成為無窮大，此時(shí)內(nèi)力和位移

都將無限增加。對結(jié)構(gòu)來說，這種情形是危險(xiǎn)的。此時(shí)所發(fā)生的振動(dòng)情況稱為共振。但實(shí)

際上由于阻尼力的存在，共振時(shí)內(nèi)力和位移雖然很大，但并不會(huì)趨于無窮大，而且共振時(shí)的

振動(dòng)也是逐漸由小變大，而不是一下就變得很大的。但是，內(nèi)力和位移的值過大也是不利的,

因此，在設(shè)計(jì)中應(yīng)盡量避免發(fā)生共振。

2.考慮阻尼的純強(qiáng)迫振動(dòng)

取式(11—19)的笫三項(xiàng)，并命

e?)p

=Acos。

〃？3?-4)+4鏟蘇。2

■」I(e)

2g。尸A.f

——i=--------；-------------=-Asm(p

,〃[(蘇y+42,

則將有

y=Asin(?！?(11—23)

式中A為有阻尼的純強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅，0是位移與荷載之間的相位差。由式(e)得：

振幅4=/1￡(11-24)

..-行+入m

動(dòng)力系數(shù)4=/:=(11-25)

卜-斗蟀

VI60J3

可見動(dòng)力系數(shù)〃不僅與。和口的比值有關(guān)，而且還與阻尼比4有關(guān)，這種關(guān)系可繪成圖

11-12所示的曲線。

圖11-12

現(xiàn)在，結(jié)合圖11—12來研究〃隨與而變化的情況，并對位移與荷載的相位關(guān)系作一

CD

簡單討論。

（1）當(dāng)。遠(yuǎn)小于“時(shí)，則2很小，因而〃接近于lo這表明可近似地將Psina作為

co

靜力荷載來計(jì)算。這時(shí)由于振動(dòng)很慢，因而慣性力和阻尼力都很小，動(dòng)力荷載主要由結(jié)構(gòu)的

恢復(fù)力所平衡。

由式（11—23）可知，位移），與荷載P"）之間有一個(gè)相位差0,也就是說在有阻尼的強(qiáng)

迫振動(dòng)中，位移y要比荷載PQ）落后一個(gè)相位0；然而在無阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)中，由式（11—

20）可知，位移），與荷載P"）是同步的（當(dāng)時(shí)），或是相差18（）。亦即方向相反的（當(dāng)

時(shí)）。這是有無阻尼的重大差別。不過在目前的有殂尼振動(dòng)中，由于遠(yuǎn)小于故

從式（11—25）可知，此時(shí)相位差。也很小，因而位移基本上與荷載同步。

（2）當(dāng)。遠(yuǎn)大于。時(shí)，則從很小，這表明質(zhì)量近似于不動(dòng)或只作振幅很微小的顫動(dòng)。這

時(shí)由于振動(dòng)很快，因而慣性力很大，結(jié)構(gòu)的恢復(fù)力和阻尼力相對地說可以忽略，此時(shí)動(dòng)力荷

載主要由慣性力來平衡。由于慣性力是與位移同相位的，所以動(dòng)力荷載的方向只能是與位移

的方向相反才能平衡。由式（11一25）亦可知，此時(shí)相位差差180°。

'Psinft

圖11-13

下面通過一個(gè)例題來說明方法的應(yīng)用。

例H-2重量Q=35kN的發(fā)電機(jī)置于簡支梁的中點(diǎn)上（圖11—13）,并知梁的慣性矩

I=8.8X10-5m4,E=210GPa,發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)其離心力的垂直分力為PsinOt,且p=10kN。

若不考慮阻尼，試求當(dāng)發(fā)電機(jī)每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)為。=500"min時(shí)，梁的最大彎矩和撓度（梁的

自重可略去不計(jì)）。

解：在發(fā)電機(jī)的重量作用下，梁中點(diǎn)的最大靜力位移為

QP_35X1Q3X43

A=2.53xl0-3機(jī)

48E/-48X210X109X8.8X10-5

&=I9.81

故自振頻率為60==62.31/5

A,,2.53x10-3

八2萬〃2x3.14x500.

干擾力的頻率為9=——=------------=52.31/5

6060

根據(jù)公式可計(jì)算出動(dòng)力系數(shù)//=—^-r=—」~~7=3.4

.'-B）

求得跨中點(diǎn)最大彎矩

35x43.4x10x4

M=+〃此-69kN?m

4

梁中點(diǎn)最大撓度為

QPPP

)’max='+苴=+4

48EZ48E7

(35+3.4X10)XIQ3X43

=4.98x10-3m=4.98〃〃〃

48X210X109X8.8X10-5

圖11-14

以上的分析都是干擾力p⑴直接作用在質(zhì)點(diǎn)山上的情形。在實(shí)際問題中，也可能有干擾

力p⑴不直接作用在質(zhì)點(diǎn)上。例如上圖11—14a所示簡支梁，集中質(zhì)點(diǎn)m在點(diǎn)1處，而干擾

力則作用在點(diǎn)2處。建立質(zhì)點(diǎn)m的振動(dòng)方程時(shí)，用柔度法較簡便，現(xiàn)討論如下。

設(shè)單位力作用在點(diǎn)1時(shí)使點(diǎn)1產(chǎn)生的位移為跖一單位力作用在點(diǎn)2時(shí)使點(diǎn)1產(chǎn)生的位

移為42：（圖“—Mb、c）.若在任一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)m處的位移為y,則作用在質(zhì)點(diǎn)m上的慣性

力為/=_〃“，在慣性力I和干擾力P共同作用下，如圖所示，質(zhì)點(diǎn)m處的位移

將為:

），二西/+品=a］（一沖）+如

即："［），+*=至pQ）

(11.28)

這就是質(zhì)點(diǎn)m的振動(dòng)微分方程。由此可見，對于這種情況，本節(jié)前面導(dǎo)出的各個(gè)計(jì)算

公式都是適用的，只不過須將公式中的p（t）用委〃（。來代替。

o\1

§11-5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)

下面討論幾種特殊荷載的作用。

1、瞬時(shí)沖量：該荷載就是荷載p只在極短的時(shí)間&右0內(nèi)給予振動(dòng)物體的沖量。如圖

11—15a所示，設(shè)荷載的大小p,作用的時(shí)間為△，，則其沖量以Q=P加來計(jì)算，即圖中陰

影線所表示的面積。

（6）

圖11-15

設(shè)在t=0時(shí)，有沖量Q作用于單自由度質(zhì)點(diǎn)上，且假定沖擊以前質(zhì)點(diǎn)原來的初位移和

初速度均為零，則在瞬時(shí)沖量作用卜.質(zhì)點(diǎn)m將獲得初速度先，此時(shí)沖量Q全部轉(zhuǎn)移給質(zhì)點(diǎn),

使其增加動(dòng)量，動(dòng)量增值即為加乳，故由。二小將可得

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)獲得初速度其后還未產(chǎn)生位移時(shí)，沖量即行消失，所以質(zhì)點(diǎn)在這種沖擊下將產(chǎn)

生自由振動(dòng)。將%=。和＞0=幺代入式（11一“），便得到瞬時(shí)沖量Q作用下質(zhì)點(diǎn)m的位移

m

方程為

4M

），=e~（團(tuán)sin◎"］=-^―"⑦"sin0"（II—29）

\co'）mco'

如不考慮阻尼則有

1￡p(r)sin6y(r-r)Jr

y(f)=y0coscot+—sincot(11—34)

comco

有了式(11—31)?(11-34)各式，只須把已知的干擾力P(T)代入進(jìn)行積分運(yùn)算，便

可解算此種干擾力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)。下面研究兩種特殊荷載作用下的解答。

圖11-16

(1)突加荷載這是指突然施加于結(jié)構(gòu)上并保持常量繼續(xù)作用的荷載，我們以加載那一

瞬間作為時(shí)間的起點(diǎn)，其變化知!律如圖Il—16a所示，設(shè)結(jié)構(gòu)在加載前處于靜止?fàn)顟B(tài)，則

可將產(chǎn)?)二p代入式(16—31)進(jìn)行積分求得

pC0S4/+絲in〃f

y=-71一產(chǎn)

〃依rcoI

cos〃f+%siiw)

瑞

co'

TT

將此式對f求一階導(dǎo)數(shù)，并令其等于零。即可求得產(chǎn)生位移極值的各時(shí)刻。當(dāng)，=二時(shí)，最

co'

大動(dòng)力位移y(1為

g3K

”=居(1+e”')

由此可得動(dòng)力系數(shù)為

4=1+e°,

若不考慮阻尼影響，則彳=0,co'=,式(16-35)成為

P

y=------7(1-coscot)=yxl(1-coscot)(11-38)

mW

最大動(dòng)力位移為

X/=2.%

結(jié)論：即在突加荷載作用下，最大動(dòng)力位移為靜止位移的兩倍，圖U“6b給出了式(11-38)

所示的振動(dòng)曲線，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)在靜力平衡位置附近作簡諧振動(dòng)。

§11—6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)

多自由度體系的振動(dòng)和單自由度體系類似，要解微分方程組，所以計(jì)算較繁。用到一

些高等數(shù)學(xué)知識。重點(diǎn)要理解力學(xué)原理和處理的方法，不要為數(shù)學(xué)知識所迷惑。

1.振動(dòng)微分方程的建立

多自由度結(jié)構(gòu)的振動(dòng)微分方程，同樣可按前述兩種基本方法來建立：

(1)列動(dòng)力平衡方程，即剛度法

(2)列位移方程，即柔度法

圖11-18

設(shè)圖ll—18a所示無重量的簡支梁支承著n個(gè)集中質(zhì)量g、im、…、若略去梁的

軸向變形和質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，則為n個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)。設(shè)在振動(dòng)中任一時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)的位移分別為

yi?y2、…、yn<)

按剛度法建立振動(dòng)微分方程時(shí)，可以采取類似于位移法的步驟來處理。首先加入附加

鏈桿阻止所有質(zhì)點(diǎn)的位移［圖11—18b),則在各質(zhì)點(diǎn)的慣性力-町取，=1、2、…、n)作用

下，各鏈桿的反力即等于機(jī),無;其次令各鏈桿發(fā)生與各質(zhì)點(diǎn)實(shí)際位置相同的位移(圖11-

18c),此時(shí)各鏈桿上所需施加的力為R,(i=l、2、…、n)。若不考慮各質(zhì)點(diǎn)所受的阻尼

力，則將上述兩情況疊加，各附加鏈桿上的總反力應(yīng)等于零，由此便可列出各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力平

衡方程。以質(zhì)點(diǎn)叫.為例，有

叫科+耳=0(a)

而Ri的大小取決于結(jié)構(gòu)的剛度和各質(zhì)點(diǎn)的位移值，由疊加原理，它可寫為

R=⑥y+匕2%+???+￡/+???+/“+???+(b)

式中⑥、樂等是結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)，它們物理意義見圖16—18d、e。例如即為j點(diǎn)發(fā)生

單位位移(其余各點(diǎn)位移均為零)時(shí)i點(diǎn)處附加鏈桿的反力。把式(b)代入(a),有

町R+3,+(2%+…+K)'“=0(c)

同理，對每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都列出這樣一個(gè)動(dòng)力平衡方程，于是可建立n個(gè)方程如下:

gM+心+也-+心“二。、

用2%+的y+k22y2++k2llyn=0

(11-43)

mk

n凡+nl"+匕2%+??+上1m°」

寫成矩陣形式為

網(wǎng)

(11-430

0

或簡寫為

MY+KY=0(11-43")

其中M為質(zhì)量矩陣，在集中質(zhì)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)中它是對角矩陣：K為剛度矩陣，根據(jù)反力互等定

理，它是對稱矩陣；y為加速度列向量；Y為位移列向量。

式(11-43)或式(11—43”)就是按剛度法建立的多自由度結(jié)構(gòu)的無限尼自由振動(dòng)微分方

程。

圖11-19

如果按柔度法來建，.振動(dòng)微分方程，則可將各質(zhì)點(diǎn)的慣性力看作是靜力荷載（圖II-

19a）,在這些荷載作用下，結(jié)構(gòu)上任一質(zhì)點(diǎn)皿處的位移應(yīng)為

X=鄉(xiāng)（一叫乂）+4（一/）%）+???+為（一見上）+…+4（一嗎X）+…+（一叫戈J（d）

式中多、%等是結(jié)構(gòu)的柔度系數(shù)，它們的物理意義見圖11—19b、c所示。據(jù)此，我們可

以建立n個(gè)位移方程:

X+&〃??+如叫兒++%也只=。

)'2+為+32M兒+…+y=0

n(11-44)

X,+凡M乂+%呵％++黑m,%=°J

寫出矩陣形式，就有

(11-44')

或簡寫為

丫+55=0(11-44")

其中S為結(jié)構(gòu)的柔度矩陣，根據(jù)位移互等定理，它也是對稱矩陣。

式（11—44）或（11—44”）就是按柔度法建立的多自由度結(jié)構(gòu)的無阻尼自由振動(dòng)微分方程。

若對式(11—44”)左乘以5",則有

S-lY+MY=O⑸

與式(12—43”)對比，顯然應(yīng)有

b"=K(11—45)

即柔度矩陣和剛度矩陣是互為逆陣的?？梢姴徽摪磩偠确ɑ蛉岫确▉斫⒔Y(jié)構(gòu)的振動(dòng)

微分方程，實(shí)質(zhì)都一樣，只是表現(xiàn)形式不同而已。當(dāng)結(jié)構(gòu)的柔度系數(shù)比剛度系數(shù)較易求得時(shí),

宜采用柔度法，反之則宜采用剛度法。

2.按柔度法求解

現(xiàn)在討論按柔度法建立的振動(dòng)微分方程的求解。設(shè)式(16—44)的特解取如下形式：

y=dsin(M+。)(z=l,2,,/?)(g)

亦即設(shè)所有質(zhì)點(diǎn)都按同?頻率同?相位作同步簡請振動(dòng)，但各質(zhì)點(diǎn)的振幅值各小相同。將式

(g)代入式(16—44)并消去公因子sin(<y/+Q)可得

(］、

:M--2―+電嗎4++比-4=0)

k

(1、

b2MA+邑啊--74+??，+邑砥4=0I

(0)>(11-46)

,町4+。2加24++時(shí)也--F4=°

寫成矩陣形式則為

(1、

8M-EA=()(11-469

I①’)

這里

A=［\4…A］，

為振幅列向量，E是單位矩陣。

式(11-46)為振幅，且Ai、A?、…、An的齊次方程，稱為振幅方程。當(dāng)A卜A2、…、

An全為零時(shí)該式滿足，但這對應(yīng)于無振動(dòng)的靜止?fàn)顟B(tài)。要得到A|、A2、…、An不全為零的

解答，則必須是該方程組的系數(shù)行列式等于零，即：

1

4M出2巧

“產(chǎn)”=0

(H-47)

或?qū)懗?/p>

6M--LE=0(11-479

co~

將行列式展開，可得到一個(gè)含」v的n次代數(shù)方程，由此可解出」的n個(gè)正實(shí)根，從而得

co"co"

出n個(gè)自振頻率幼、02、…、/”，若按它們的數(shù)值由小到大依次排列，則分別稱為第一、

第二、…、第n頻率.并總稱為結(jié)構(gòu)白振的頻譜。我們把用以確定“數(shù)值的式(16—47］或式

(16—47，)稱為頻率方程。

將n個(gè)白振頻率中的任一個(gè)軟代入式(g),即得特解為

k)

y-=A；A)sin?J+(pk)(i=1,2,…，力)(11—48)

此時(shí)各質(zhì)點(diǎn)按同一頻率例作同步簡諧振動(dòng)，但各質(zhì)點(diǎn)的位移相互間的比值

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卻并不隨時(shí)間而變化，也就是說在任何時(shí)刻結(jié)構(gòu)的振動(dòng)都保持同一形狀，整個(gè)結(jié)構(gòu)就像一個(gè)

單自由度結(jié)構(gòu)一樣在振動(dòng)。我們把多自由度結(jié)構(gòu)按任一自振頻率以進(jìn)行的簡諧振動(dòng)稱為主

振動(dòng)，而其相應(yīng)的特定振動(dòng)形式稱為主振型或簡稱振型。

要確定振型便要確定各質(zhì)點(diǎn)振幅間的比值。為此，可將再值代回振幅方程(II-46)而

得

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