中考數(shù)學(xué)幾何圖形專項(xiàng)訓(xùn)練：圓圓周角定理（含答案與解析）

圓周角定理（專項(xiàng)培優(yōu)訓(xùn)練）

試卷滿分：100分考試時(shí)間：120分鐘難度系數(shù)：0.44

一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合

題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填寫在括號(hào)內(nèi)）

1.（2分）（2023?天寧區(qū)校級(jí)二模）如圖，加為。。的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)、E,BC=BD,/CDB=30°,

2.（2分）（2019秋?宜興市期中）如圖，已知/彳是。。直徑，ZAOC^130°,則等于（）

3.（2分）（2020?張家港市模擬）如圖，4〃是上的兩個(gè)點(diǎn)，8c是直徑，若/—34°,則/勿。等

A.68°B.58°C.72°D.56°

4.（2分）（2019秋?清江浦區(qū)期末）如圖，為。。的直徑，點(diǎn)C、〃均在。。上，ZABC=58°,則N2

為（）

A.32°B.42°C.29°D.22°

5.（2分）（2022秋?阜寧縣期末）如圖，46為。。的直徑，a，是。。上的兩點(diǎn)，N%C=25°,AD^CD,

則/歷1C的度數(shù)是（）

6.（2分）（2023?姜堰區(qū)二模）如圖，在。。中，G9為直徑，弦,AB〃CD,N40B=40°,連接47,貝!J/54C

等于（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

7.（2分）（2023?惠山區(qū)校級(jí)三模）如圖，加是。。直徑，點(diǎn)C,，將窟分成相等的三段弧，點(diǎn)尸在血上.已

知點(diǎn)。在AB上且N4gll5°,則點(diǎn)。所在的弧是（）

D

A.APB.PCC.CDD.DB

8.（2分）（2023?東?？h二模）小明用一個(gè)破損的量角器按照如圖所示的方式測(cè)量/質(zhì)的度數(shù)，讓//及:

的頂點(diǎn)恰好在量角器的圓弧上，兩邊分別經(jīng)過(guò)圓弧上的4C兩點(diǎn).若點(diǎn)/、。對(duì)應(yīng)的刻度分別為55。，

135°,則N/6C的度數(shù)為（）

C.145°D.150°

9.（2分）（2021?高新區(qū)校級(jí)二模）如圖，矩形切中，AB=&,BC=9,以〃為圓心，3為半徑作?！?/p>

￡為。，上一動(dòng)點(diǎn)，連接以至'為直角邊作RtZ\4。；使/應(yīng)0=90°,tan/4F=工，則點(diǎn)尸與點(diǎn)。

3

的最小距離為（）

A.3V10-1B.377C.377-1D.X/109

10.（2分）（2021秋?常州期中）如圖，已知直線為交。。于48兩點(diǎn)，熊是。。的直徑，點(diǎn)。為。。

上一點(diǎn)，且47平分/用￡,過(guò)。作切，陽(yáng)，垂足為〃且膜的=12,。。的直徑為20,則46的長(zhǎng)等于

A.8B.12C.16D.18

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.不需寫出解答過(guò)程，請(qǐng)將正確答案填寫在橫線上）

11.（2分）（2023?鹽都區(qū)三模）如圖，點(diǎn)/是。。中優(yōu)弧曲〃的中點(diǎn)，//劭=70°,。為劣弧初上一點(diǎn),

12.（2分）（2023?工業(yè)園區(qū)校級(jí)二模）如圖，在。。中，弦AB,切相交于點(diǎn)只N竊6=40°,/ABA

30°,則//如的度數(shù)為.

13.（2分）（2023?海陵區(qū)校級(jí)二模）如圖，在RtZk/歐中，ZACB=90°,/胡C=30°,47=4,點(diǎn)，是

邊47上一動(dòng)點(diǎn)，連接物，以初為斜邊作Rt△及應(yīng)，使/應(yīng)斤=30°,/物9=90°,連接磔則△儂

14.（2分）（2023?沛縣三模）如圖，在。。中，弦AB,切相交于點(diǎn)RZB=35°,/APD=77°,則//

的大小是度.

15.（2分）（2023?武進(jìn)區(qū)一模）如圖，正方形極力的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)￡是a7邊上一點(diǎn)，以為直徑在正

方形內(nèi)作半圓。，將△女為沿龐翻折，點(diǎn)C剛好落在半圓。的點(diǎn)尸處，則〃的長(zhǎng)為

16.（2分）（2021秋?洪澤區(qū)校級(jí)期中）如圖，在扇形力8中，//的=110°,將扇形沿過(guò)點(diǎn)8的直

線折疊，點(diǎn)。恰好落在弧相上的點(diǎn)，處，折痕交》于點(diǎn)C則弧4）的度數(shù)為.

17.（2分）（2023春?亭湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，力6是半徑為2的。。的弦，將篇沿著弦A6折疊，正好經(jīng)

過(guò)圓心。，點(diǎn)。是折疊后窟的上一動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)8c交。。于點(diǎn)〃點(diǎn)￡是切的中點(diǎn)，連接/C,

18.（2分）（2022秋?東臺(tái)市月考）如圖，正方形48⑦的邊長(zhǎng)是4,戶點(diǎn)是笈邊的中點(diǎn)，點(diǎn)〃是切邊上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以田為直徑作。。，連接如'交。。于￡點(diǎn)，連接龍，則線段龐的最小值

19.（2分）（2021秋?江陰市校級(jí)月考）如圖，在矩形切中，AB=8,BC=6,尸為劭上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以

戶為圓心,如長(zhǎng)半徑作。尸交劭、比'交于G、"兩點(diǎn)不重合），半徑加的長(zhǎng)度范圍為

連接掰將劣弧身沿著用翻折交加于點(diǎn)〃，則理=

BP

20.（2分）（2018秋?灌云縣期中）如圖，△/回中，/掰C=60°,ZABC^45°,46=4,2是線段6c

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑作。。分別交AB、AC于E、F,連接EF,則線段EF長(zhǎng)度的最小值

三、解答題（本大題共8小題，共60分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

21.（6分）（2022秋?海陵區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)/在y軸正半軸上，點(diǎn)方是第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，以48

為直徑的圓交x軸于〃C兩點(diǎn).

（1）勿與勿滿足什么條件時(shí)，AC=BC,寫出滿足的條件，并證明/C=6C；

（2）在（1）的條件下，若的=1,BD=3&，求切長(zhǎng).

22.(6分)(2022秋?太倉(cāng)市期末)如圖，。。的直徑48=5,弦/C=4,連接比；以C為圓心，BC長(zhǎng)為

半徑畫弧與。。交于點(diǎn)〃連接/ABD,初與/C交于點(diǎn)反

(1)請(qǐng)直接寫出圖中與NG48相等的所有角

(2)求47的長(zhǎng).

23.(8分)(2022秋?姑蘇區(qū)校級(jí)期中)如圖，46是。。的直徑，弦CDLAB,垂足為￡,"為弧〃'上一動(dòng)

點(diǎn)，AK,%的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)凡連接曲KD.

(1)求證：/AKD=/CKF；

(2)已知26=8,切=4愿，求NC7的的大小.

24.(8分)(2023?蘇州模擬)如圖，已知四是。。的直徑，點(diǎn)〃點(diǎn)C均在。。上，連接加交于點(diǎn)2

N/=45°,tanNODE=3.

4

(1)若如=4,求方的長(zhǎng)；

S,

(2)若記△〃史的面積為&,△/位的面積為S,求」的值.

S2

25.（8分）（2020?海陵區(qū)校級(jí)三模）如圖，然為。。的直徑，點(diǎn)。在。。上，過(guò)點(diǎn)。作。。切線必交物

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)。作如〃ZC交切線2c于點(diǎn)E,交比'于點(diǎn)F.

(1)求證：/B=NE；

(2)若48=10,COS6=4,求廝的長(zhǎng).

5

26.（8分）（2023?姜堰區(qū)二模）如圖，△/回是。。的內(nèi)接三角形，點(diǎn)小￡分別在直徑46、弦“'上，

點(diǎn)尸在線段龍的延長(zhǎng)線上，連接6F.

（1）請(qǐng)從下列三條信息中選擇兩條作為補(bǔ)充條件，余下的一條作為結(jié)論組成一個(gè)真命題，并說(shuō)明理由.

?DE±AB；②CF=EF；③6F是。。的切線；

你選擇的補(bǔ)充條件是,結(jié)論是;（填寫序號(hào)）

（2）在（1）的條件下，若龐=10,EF=\3,tanB=--求。。的半徑.

5

F

27.（8分）（2022秋?灌南縣校級(jí)月考）已知。。的直徑為10,點(diǎn)4點(diǎn)A點(diǎn)，在。。上，NC46的平分

線交。。于點(diǎn)〃

（1）如圖①，若8c為。。的直徑，AB=6,求〃；BD、切的長(zhǎng);

28.（8分）（2022秋?江都區(qū)月考）在。。中，然為直徑，點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，將劣弧沿弦4c翻折交/方于

點(diǎn)D,連接CD.

(1)如圖1,若點(diǎn)，與圓心。重合，力。=3,求。。的半徑

(2)如圖2,若點(diǎn)〃與圓心。不重合，/胡。=26°,請(qǐng)直接寫出/小4的度數(shù)是,

(3)如圖2,若點(diǎn)，與圓心。不重合，劭=5,AQ7,求/C的長(zhǎng).

圓周角定理（專項(xiàng)培優(yōu)訓(xùn)練）

試卷滿分：100分考試時(shí)間：120分鐘難度系數(shù)：0.44

一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合

題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填寫在括號(hào)內(nèi)）

1.（2分）（2023?天寧區(qū)校級(jí)二模）如圖，A6為。。的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)、E,BC=BD,NCDB=30°,

則OE=（）

A.近

B.M

解：；AB為。。的直徑,BC=BD,

BC=BD,

AAB±CD,

VZBAC=ZCDB=30°,AC=2近,

.*.AE=AC?cos/BAC=3,

VAB為。。的直徑，

AZACB=9O°,

/.AB=COSZBAC=4,

AOA=2,

/.OE=AE-OA=1.

故選：D.

2.（2分）（2019秋?宜興市期中）如圖，已知46是。。直徑，N/0C=13O°,則等于（）

A.65°B.25°C.15°D.35°

解："AOC=：L30°,

AZBOC=50°,

2

/.ZD=2ZBOC=25°,

故選：B.

3.（2分）（2020?張家港市模擬）如圖，A,。是。。上的兩個(gè)點(diǎn)，BC是直徑,若/片34°,則等

解：VZAOC=2ZADC,ZADC=34°,

...NAOC=68°,

VOA=OC,

；.NOAC=NOCA=2（180°-68°）=56。,

故選：D.

4.（2分）（2019秋?清江浦區(qū)期末）如圖，加為。。的直徑，點(diǎn)C、〃均在上，//及：=58°,則/〃

為（）

A.32°B.42°C.29°D.22

解：TAB為。。的直徑，

ZACB=9O°,

VZABC=58°,

；./A=90°-ZABC=32°,

.,.ZD=ZA=32O,

故選：A.

5.（2分）（2022秋?阜寧縣期末）如圖，為。。的直徑，C,〃是。。上的兩點(diǎn)，ZDAC=25°,AD=CD,

則/歷1C的度數(shù)是（）

A.30°B.35°C.40°D.50°

解：連接BD,如圖，

VAB為130的直徑，

；.NACB=9O°,

?；NDAC=/DBC=25°,

,?DA=DC,

.,.弧AD=MCD,

NDBC=NABD=25°,

；.NABC=5O°,

.\ZBAC=90°-ZABC=90°-50°=40°.

故選：C.

6.（2分）（2023?姜堰區(qū)二模）如圖，在。。中，⑺為直徑，弦AB〃CD,NA加=40°,連接47,貝l|N掰。

等于（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

解：：OA=OB,

.?.ZOAB=ZOBA,

VZAOB=40°,

.?.NOAB=70°,

:弦AB//CD,

ZAOD=ZOAB=70°,

_1

.?.NC=2NAOD=35。,

VAB/7CD,

；.NBAC=/C=35°.

故選：B.

7.（2分）（2023?惠山區(qū)校級(jí)三模）如圖，加是。。直徑，點(diǎn)C,〃將窟分成相等的三段弧，點(diǎn)戶在京上.已

知點(diǎn)0在篇上且/加g115°,則點(diǎn)0所在的弧是）

A.APB.PCC.CDD.DB

解：VZAPQ=115°,

ZAPQ所對(duì)應(yīng)優(yōu)弧ABQ,

???根據(jù)圓周角定理易知優(yōu)弧痛所對(duì)圓心角為230。，

則劣弧APQ所對(duì)應(yīng)圓心角/AOQ=130°,

：C、D為源的三等分點(diǎn)，

.,.ZAOD=120°

故Q應(yīng)位于DB上，

故選：D.

8.（2分）（2023?東?？h二模）小明用一個(gè)破損的量角器按照如圖所示的方式測(cè)量的度數(shù)，讓N/6C

的頂點(diǎn)恰好在量角器的圓弧上，兩邊分別經(jīng)過(guò)圓弧上的4。兩點(diǎn).若點(diǎn)4C對(duì)應(yīng)的刻度分別為55。，

135°,則N/6C的度數(shù)為（）

&

A.135°B.140°C.145°D.150°

解：連接OA,OC,DA,DC,設(shè)。0的直徑為EF,如圖，

B

「

D

VZAOE=55°,ZEOC=135°,

?\ZAOC=ZEOC-ZAOE=135°-55°=80°,

ZADC=vZA0C=40°

VZABC+ZADC=180°,

/.ZABC=180°-ZADC=18O°-40°=140°.

故選：B.

9.（2分）（2021?高新區(qū)校級(jí)二模）如圖，矩形26切中，A8=6,BC=9,以〃為圓心，3為半徑作。〃

tanN/*2，則點(diǎn)方與點(diǎn)。

￡為?！ㄉ弦粍?dòng)點(diǎn)，連接力￡,以絲為直角邊作Rt△/陰使/應(yīng)0=90°,

3

的最小距離為（）

D-109

解：如圖，取AB的中點(diǎn)G,連接FG.FC.GC.

AE=3,

VAB=6,AG=GB,

.*.AG=GB=3,

VAD=9,

AG31

一9=3',

AD

AFAG

AEAD,

:四邊形ABCD是矩形，

.?.NBAD=NB=NEAF=90°,

二NFAG=NEAD,

/.△FAG^AEAD,

AFG：DE=AF：AE=1：3,

VDE=3,

.\FG=1,

???點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以G為圓心1為半徑的圓,

?；GC=VBC2+BG2=3瓦，

，F(xiàn)C，GC-FG,

AFC^3\/T0-1,

ACF的最小值為3^/10-1.

故選：A.

10.（2分）（2021秋?常州期中）如圖，已知直線處交。。于46兩點(diǎn)，/￡是。。的直徑，點(diǎn)C為。。

上一點(diǎn)，且/C平分/以￡,過(guò)C作切，身，垂足為〃且減的=12,。。的直徑為20,則的長(zhǎng)等于

（）

A.8B.12C.16D.18

解：連接。C,過(guò)。作。F_LAB,垂足為F,

VOA=OC,

ZOCA=ZOAC,

VAC平分NPAE,

.".ZDAC=ZCAO,

AZDAC=ZOCA,

；.PB〃OC,

：CD_LPA,

.,.ZOCD=ZCDA=ZOFD=90°,

...四邊形DCOF為矩形，

.*.OC=FD,OF=CD.

VDC+DA=12,

設(shè)AD=x,貝UOF=CD=12-x,

V0O的直徑為20,

/.DF=OC=10,

.,.AF=10-x,

在RtAAOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2.

即(10-X)2+(12-X)2=102,

解得xl=4,x2=18.

：CD=12-x大于0,故x=18舍去,

.?.x=4,

???AD=4,AF=10-4=6,

VOF±AB,由垂徑定理知，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，

.,.AB=2AF=12.

故選：B.

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.不需寫出解答過(guò)程，請(qǐng)將正確答案填寫在橫線上）

11.（2分）（2023?鹽都區(qū)三模）如圖，點(diǎn)4是。。中優(yōu)弧期〃的中點(diǎn)，NABD=70°,。為劣弧加上一點(diǎn),

解：??,點(diǎn)A是。。中優(yōu)弧BAD的中點(diǎn),

即第=⑥

；.NADB=/ABD=70°,

/.ZA=180°-ZABD-ZADB=40°,

VZA+ZBCD=180°,

.?.ZBCD=180°-40°=140°.

故答案為:140°.

12.（2分）（2023?工業(yè)園區(qū)校級(jí)二模）如圖，在。。中，弦48,切相交于點(diǎn)只/。8=40°,ZABD=

30°,則///刃的度數(shù)為.

又,.?/A=ND=40°,ZB=3O°,

；./APD=/B+ND=70°,

故答案為：70。.

13.（2分）（2023?海陵區(qū)校級(jí)二模）如圖，在麻△/歐中，ZACB^9Q°,/的C=30°,47=4,點(diǎn)。是

邊47上一動(dòng)點(diǎn)，連接初，以M為斜邊作就△〃）￡,使/皿'=30°,/㈣=90°,連接CF.則△優(yōu)

面積的最大值是

解：過(guò)點(diǎn)E作EM_LAC,交AC的延長(zhǎng)線于M,

；/ACB=9O°,/BAC=30°,

BCJ,

.-.AB"2,

VZBDE=3O°,ZBED=9O°,

.,.△ACB^ADEB,ZABD+ZDBC=ZCBE+ZDBC=60°,

BE_BD

/.BCAB,ZABD=ZCBE,

BE二BC

.-.BD"AB,

/.△ADB^ACEB,

CEBC_1

ADAB2,ZBAD=ZBCE=30°,

；.AD=2CE,

；./ECM=60°,

.,.ZCEM=30",

；.CE=2CM,

EM=VCE2-EM2=V3CM,

；.AD=2CE=4CM,

：.CD=(4-4CM)，

.SACDE=1^DXEH=yx(4-4CM)xV3CM=-273(CM2-CM)=-273(CM蔣)

近

.?.△CDE面積的最大值是2.

近

故答案為：2.

14.（2分）（2023?沛縣三模）如圖，在中，弦/區(qū)切相交于點(diǎn)2/8=35°,NAPD=77°,則

的大小是度.

ZA=ZD=ZAPD-ZB=77°-35°=42

故答案為：42.

15.（2分）（2023?武進(jìn)區(qū)一模）如圖，正方形極力的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)￡是a7邊上一點(diǎn)，以為直徑在正

方形內(nèi)作半圓。，將△〃四沿龐翻折，點(diǎn)C剛好落在半圓。的點(diǎn)尸處，則"的長(zhǎng)為

解：如圖：連接DO,OF,DE與CF相交于點(diǎn)G,

?/四邊形ABCD是正方形，將4DCE沿DE翻折得到△DEF,

/.DC=DA,DC=DF,DE垂直平分CF,

/.DA=DF,

'DA=DF

-0A=0F

在△DAO與△DFO中，IDODO.

.'.△DAO^ADFO(SSS),

.,.NA=/DFO,

VZA=90°,

.,.ZDFO=90°,

又?.?/DFE=/C=90°,

.?.ZDFO=ZDFE=90°,

...點(diǎn)0、F、E三點(diǎn)共線,

設(shè)CE=EF=x,則OE=OF+EF=l+x,BE=2-x,OB=1,

；/OBE=90°,

.,.OB2+BE2=OE2,

12+(2-x)2=(1+x)2,

_2

解得片3,

即CE￡

VDE垂直平分CF,

；.CF=2CG,ZDGC=90°，

:NDCB=90°,

.DE=7CD2-KE2=^22+(-1-)2=2V10

3

?戶皿端端

2_

京二CG

2-/10"2

3,

CG平

解得5,

CF=2CG=^^

故答案為：5.

16.（2分）（2021秋?洪澤區(qū)校級(jí)期中）如圖，在扇形的6中，ZW=110°,將扇形沿過(guò)點(diǎn)6的直

線折疊，點(diǎn)。恰好落在弧惑上的點(diǎn)。處，折痕交處于點(diǎn)4則弧的度數(shù)為

解：如圖，連接OD,

由翻折的性質(zhì)可知，OB=BD,

.\OB=BD=OD,

.?.NBOD=/OBD=/ODB=60°，

.,.ZAOD=ZAOB-ZBOD

=110°-60°

=50°,

即弧AD的度數(shù)為50°,

故答案為：50°.

17.（2分）（2023春?亭湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，A8是半徑為2的。。的弦，將篇沿著弦折疊，正好經(jīng)

過(guò)圓心。，點(diǎn)C是折疊后窟的上一動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)"7交。。于點(diǎn)〃點(diǎn)￡是切的中點(diǎn)，連接/C,/〃，

EO.則EO的最小值為.

解：連接OA和OB,作OFJ_AB.連接AE,EF.

由題知：AB沿著弦AB折疊，正好經(jīng)過(guò)圓心0,

；.OF=2OA=2OB,

.?.ZAOF=ZBOF=60°,

ZAOB=120°,

.?.NACB=120°,

2

ND=2/AOB=60°,

/ACD=180°-/ACB=60°,

AACD是等邊三角形，

VE是CD中點(diǎn),

/.AE1BD,

又：OF_LAB,

F是AB中點(diǎn)，

即，EF是^ABE斜邊中線，

；.AF=EF=BF,

即，E點(diǎn)在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng).

所以，當(dāng)E、。、F在同一直線時(shí)，0E長(zhǎng)度最,

此時(shí),AE=EF,AEXEF,

:。。的半徑是2,即0A=2,OF=1,

.\AF=V3（勾股定理），

/.OE=EF-OF=AF-0F=V3-1.

故答案為：Vs-1.

18.（2分）（2022秋?東臺(tái)市月考）如圖，正方形⑦的邊長(zhǎng)是4,尸點(diǎn)是a7邊的中點(diǎn)，點(diǎn)〃是切邊上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以田為直徑作連接即交。。于￡點(diǎn)，連接班；則線段龍的最小值為

FC

，NCEH=90°,

/.ZCEF=18O°-90°=90°,

...點(diǎn)E在以CF為直徑的。M上,

連接EM、DM,

:正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4,F點(diǎn)是BC邊的中點(diǎn)，

_1

，BC=CD=4,ZBCD=90°,CF=2BC=2,

；.FM=MC=EM=1,

在RtZiDMC中，DM具CD"C2=V42+12=5/17,

:DENDM-EM,

.?.當(dāng)且僅當(dāng)D、E、M三點(diǎn)共線時(shí)，線段DE取得最小值,

線段DE的最小值為舊-1,

故答案為：717-1.

19.（2分）（2021秋?江陰市校級(jí)月考）如圖，在矩形四切中，AB=8,BC=6,戶為初上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以

戶為圓心，陽(yáng)長(zhǎng)半徑作。R。戶交BD、BC交于G、〃（兩點(diǎn)不重合），半徑解的長(zhǎng)度范圍為

連接四將劣弧用沿著用翻折交物于點(diǎn)〃，則理=

BP

過(guò)P作PQ_LBD,連接PG、P'M、P，P交GH于點(diǎn)。,

圖4

設(shè)BP=5x=PG=P'G=P'M,

則PO=P'O=3x,GO=4x,

2P'Q'PG=2GO?PPI

24

；.P'Q=5x,

-----------------7_

/.MQ=GQ=vP'G2-P/Q2=5x,

14

MG=5x,

11

APM=PG-MG=5x,

11

PMVx11

/.BP=5x=25.

故答案為：0<PBW5,25.

20.（2分）（2018秋?灌云縣期中）如圖，△/a'中，ZBAC=6Qa,ZABC=45°,46=4,〃是線段8c

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以力〃為直徑作。。分別交于E、F,連接EF,則線段用長(zhǎng)度的最小值為.

解：由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為^ABC的邊BC上的高時(shí)，直徑AD最短,

如圖，連接OE,OF,過(guò)。點(diǎn)作OH_LEF,垂足為H,

:在RtZ\ADB中，ZABC=45°,AB=4,

；.AD=BD=2衣，即止匕時(shí)圓的直徑為2圾，

由圓周角定理可知NEOH=NFOH=/BAC=60°,

V3逅

???在RSEOH中，EH=OE*sinZEOH=V2x2=2,

由垂徑定理可知EF=2EH=遍，

故答案為：Vs.

BD

三、解答題（本大題共8小題，共60分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

21.（6分）（2022秋?海陵區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)/在y軸正半軸上，點(diǎn)6是第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，以4B

為直徑的圓交x軸于〃C兩點(diǎn).

（1）勿與勿滿足什么條件時(shí)，AC=BC,寫出滿足的條件，并證明/C=8C；

（2）在（1）的條件下，若如=1,BD=3V2）求切長(zhǎng).

當(dāng)OA=OD時(shí)，AC=BC,

證明：：/AOD=90°,

...△AOD是等腰直角三角形,

；./ODA=45°,

NODA=NABC=45°,

VAB是圓的直徑，

；./ACB=90°,

/BAC=45°,

ZBAC=ZABC,

，AC=BC；

(2)TAB是圓的直徑，

；./ADB=90°,

.,.ZAOC=ZADB=90°,

VZACO=ZABD,

.,.△AOC^AADB,

AOC：DB=OA：AD,

?：AD=MOA=?,

.'.OC：3近=1：近,

.?.OC=3,

；.DC=OC-OD=3-1=2.

22.（6分）（2022秋?太倉(cāng)市期末）如圖，。。的直徑45=5,弦/C=4,連接8C,以。為圓心，BC長(zhǎng)為

半徑畫弧與。。交于點(diǎn)〃連接力〃，BD,即與AC交于點(diǎn)、E.

（1）請(qǐng)直接寫出圖中與/竊彳相等的所有角;

（2）求力（的長(zhǎng).

解：(1)VCB=CD,

CB=CD,

ZCAB=ZCBD=ZCAD；

故答案為：ZCBD,ZCAD；

(2)TAB為直徑，

ZACB=ZADB=90",

在RtAACB中，BC=VAB2-AC2=VS2-42=3,

VZCBE=ZCAB,NBCE=NACB,

/.△CBE^ACAB,

ACE：CB=CB：CA,即CE：3=3：4,

9

解得CE=4,

2Z

；.AE=AC-CE=4-4=4,

在RtZ\BCE中，BE=VBC2CE2+（4）=4,

VZDAE=ZCBE,ZD=ZC,

/.△ADE^ABCE,

215

/.AD：BC=AE：BE,即AD：3=4：4,

7_

解得AD=5,

7_

即AD的長(zhǎng)為虧.

23.（8分）（2022秋?姑蘇區(qū)校級(jí)期中）如圖，也是。。的直徑，肱CDLAB,垂足為￡,人為弧上一動(dòng)

點(diǎn)，AK,%的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)先連接％,KD.

（1）求證：ZAKD=ZCKF-,

（2）已知48=8,切=4?,求/，尸的大小.

B

VZCKF是圓內(nèi)接四邊形ADCK的外角,

/.ZCKF+ZAKC=180°,ZAKC+ZADC=180°

.,.ZCKF=ZADC,

：AB為。。的直徑，弦CDJ_AB,

BD=BC,

/.AT=AC,

.,.ZADC=ZAKD,

.\ZAKD=ZCKF；

(2)解:連接OD,

VAB為OO的直徑，AB=8,

.,.OD=OA=4,

:弦CD_LAB,CD=4近，

_1

.,.DE=CE=2CD=2?,

在RtZ\ODE中，OE=V0D2-DE2=2,

；.AE=6,

AE6

在RtAADE中，tan/ADE=DE=2>/3=V3,

.?.ZADE=60°,

,/ZCKF=ZADE=60o.

24.(8分)(2023?蘇州模擬)如圖，已知"是。。的直徑，點(diǎn)〃點(diǎn)C均在。。上，連接加交46于點(diǎn)￡,

ZJ=45°,tan/0DE=

4

(1)若2=4,求。的長(zhǎng)；

S,

(2)若記應(yīng)的面積為Si,△4F的面積為5,求的值.

So

D

解：（工）連接oc,如圖,

VOA=OC,

；./OCA=/A=45°,

/.ZAOC=90°,

VOC=OD,

.?.ZOCD=ZD,

OE3_

在RtZ\OCE中，tan/OCE=OC=tanD=4,

3.

.*.OE=40c=3,

...CE=VOE2-K)C2=VS2+42=5；

(2)過(guò)C點(diǎn)作OH_LCD于H點(diǎn)，如圖，則CH=DH,

OE3,

在RtZkOCE中，tan/OCE=OC=tanD=4,

設(shè)0E=3x,0C=4x,

22

.?.CE=V0E-K)C=5X,

2OH*CE=2QC-OE,

3x?4x12

；.0H=5x=5x,

I~22J(4x)2-(絲x)2—

在RtZiOCH中，CH=vOC-OH=V5=5x

16

DH=5x,

162

HE=CE-CH=5x-5x=5x,

2622

?*.DE=DH-HE=5x-5x=5x,

1±127_12

VS1=2OH-DE=2?5x?5x,S2=2OC?AE=2?4x?7x,

25.(8分)(2020?海陵區(qū)校級(jí)三模)如圖，/為。。的直徑，點(diǎn)。在。。上，過(guò)點(diǎn)C作。。切線切交掰

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)。作應(yīng)'〃力。交切線2c于點(diǎn)E,交比'于點(diǎn)F.

(1)求證：NB=4E；

(2)若/夕=10,COS5=A,求環(huán)的長(zhǎng).

5

(1)證明：連接OC,如圖所示:

VAB為。0的直徑,

AZACB=ZACO+ZOCB=90°.

VDE是。O的切線，

/.ZOCD=ZACO+ZACD=90°,

.?.NOCB=NACD,

VOB,OC是。O的半徑,

.,.OB=OC,

/.ZB=ZOCB,

VOE/7AC,

/.ZACD=ZE,

.,.ZB=ZE；

BC

(2)解：在Rt/XACB中，cosB=AB=5,AB=10,

；.BC=8,

：OC=OA=OB,

_1_1

；.oc=2AB=2xio=5,

2222

.-.AC=VAB-BC=V10-8=6,

VZACB=ZOCE=90°,NB=/E,

/.△ACB^AOCE,

ACAB旦此

/.OC=OE,即5=OE,

25

.\OE=3,

VOF/7AC,。為AB中點(diǎn)，

_1

/.OF=2AC=3,

2516

26.（8分）（2023?姜堰區(qū)二模）如圖，△Z6C是。。的內(nèi)接三角形，點(diǎn)久￡分別在直徑46、弦“'上，

點(diǎn)尸在線段以的延長(zhǎng)線上，連接6F.

（1）請(qǐng)從下列三條信息中選擇兩條作為補(bǔ)充條件，余下的一條作為結(jié)論組成一個(gè)真命題，并說(shuō)明理由.

①DELAB；②CF=EF；③CF是。。的切線；

你選擇的補(bǔ)充條件是,結(jié)論是；（填寫序號(hào)）

（2）在（1）的條件下，若龐=10,哥'=13,tnB=-）求。。的半徑.

a5

F

解：補(bǔ)充條件是①②，結(jié)論是③，理由如下:

連接0C,

VOA=OC,

ZA=ZOCA,

;CF=EF,

...NFCE=NFEC,

VZAED=ZFEC,

ZFCE=ZAED,

VED±AB,

ZA+ZAED=90°,

AZOCA+ZFCE=90°,

半徑OC_LFC,

AC