浙教版八年級數(shù)學下冊沖刺培優(yōu)訓練：特殊平行四邊形

第九講特殊平行四邊形

知識梳理

矩形的概念：有一個角是直角的平行四邊形是矩形。

矩形的性質：

1.平行四邊形的性質矩形都具有。

2.角：矩形的四個角都是直角。

3.邊：鄰邊垂直。

4.對角線：矩形的對角線相等。

5.矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心

是兩條對角線的交點。

由矩形的性質，可以得到直角三角形的一個重要性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

矩形的判定:

1.有1個角是直角的平行四邊形是矩形。

2.有3個角是直角的四邊形是矩形。

3.對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形"）。

證明1個四邊形是矩形，若題設條件與這個四邊形的對角線有關，通常證明這個四邊形的對角線相等。題設中

出現(xiàn)多個直角或垂直時，常采用“3個角是直角的四邊形是矩形”來判定矩形。

菱形的概念：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫作菱形。

菱形的性質：

1.菱形具有平行四邊形的一切性質。

2.菱形的四條邊都相等。

3.菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。

4.菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線。

菱形的面積計算：

1.利用平行四邊形的面積公式。

2.菱形面積=|czb（axb.是兩條對角線的長度）。

菱形的判定：

1.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形）。

2.四條邊都相等的四邊形是菱形。

幾何語言:：AB=BC=CD=DA,...四邊形ABCD是菱形。

3.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形）

幾何語言:：AC，BD,四邊形ABCD是平行四邊形，，平行四邊形ABCD是菱形。

正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫作正方形。

正方形的性質：

1.正方形的四條邊都相等，四個角都是直角。

2.正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角。

3.正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質。

4.兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸。

正方形的判定方法：

1.先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等。

2.先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形有一個角為直角。

3.還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進行判定。

［例1］如圖1.在RtAABC中,/A=9（T,P為邊BC上一動點,PELAB于E,PF±AC于F,動點P從點B出發(fā)，

沿著BC勻速向終點C運動，則線段EF的值大小變化情況是（）。

圖1

A.一直增大B.一直減小C.先減小后增大D.先增大后減少

【變式訓練1】如圖2,在R3ABC中,NBAC=90。,且BA=3,AC=4,點D是斜邊BC上的f動點，過點D分別

作DMLAB于點M,DN±AC于點N,連接MN,則線段MN的最小值為。

【變式訓練2】如圖3,在RtAABC中,NBAC=90。,且BA=9,AC=12,點D是斜邊BC上的一個動點，過點D分

別作DE±AB于點E,DF±AC于點F,點G為四邊形DEAF對角線交點,則線段GF的最小值為（）。

A.-B.-C.-D.-

4522

【例2】如圖4,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上不與A和D重合的一個動點過點P分別作AC和

BD的垂線，垂足為E、F,求PE+PF的值。

【變式訓練3】如圖5：

（1）在矩形ABCD中，AB=3,4。=4,P是線段AD上的動點，PE1AC于點E,PF1BD于點F,如圖①，

圖②，選擇其中一個圖形，探究PE、PF之間存在什么數(shù)量關系，并證明你的結論。

⑵若將“P是線段AD上的動點”改成“P是線段AD延長線上一動點”，如圖③所示，請繼續(xù)探究PE、PF之間

存在什么數(shù)量關系？并證明你的結論。

圖5

【例3】如圖6,已知矩形ABCD,AB=4,AD=6,點E為AB邊的中點，點F為BC邊上的動點，點B和點B關于

EF對稱，則的最小值是.

【變式訓練4】如圖7,在菱形ABCD中，AB=2,"=120。,點P是平面內一點，且UPB=90。,則DP的最

小值為.

【例4】如圖8,在邊長為4的菱形ABCD中,BD=4,E、F分別是AD、CD上的動點（包含端點），且AE+CF=4,連

接BE、EF、FBO

⑴試探究BE與BF的數(shù)量關系，并證明你的結論；

⑵求EF的最大值與最小值。

【變式訓練5】如圖9,在邊長為4的菱形ABCD中，BD=4,,E、F分別是邊AD、CD上的動點，且，AE+CF

=4,連接BE、EF、FBO

⑴證明：BE=BF;

⑵求ABEF面積的最小值。

圖9

【變式訓練6】如圖10,菱形ABCD中，AB=4,AABC=60。,NE4F的兩邊分別與射線CB、DC相交于點E、

F,且/.EAF=60%

⑴如圖①，當點E是CB上任意一點時(點E不與B、C重合)，求證：BE=CF;

⑵如圖②，當點E在CB的延長線上時，且./.EAB=15。,求點F至BC的距離。

圖10

【例5】如圖11，四邊形OABC是菱形，點C在x軸上,AB交y軸于點H,AC交y軸于點M。點P從點A出發(fā)，

以2單位長/秒的速度沿折線.A-B-C運動到達點C終止。已知點4(-3,4),,設點P的運動時間為t(秒),APMB

的面積為S(平方單位)。

(1)求點C和點B的坐標;

⑵求點M的坐標；

(3)求S與t的函數(shù)關系式；

圖11

⑷求S的最大值。

【變式訓練7］如圖12,在直角坐標系xOy中，Rt△(MB和RtAOCD的直角頂點A,C始終在x軸的正半

軸上，B,D在第一象限內，點B在直線OD上方，(。。=CD,OD=2,,M為OD的中點,AB與OD相交于E,

當點B位置變化時，RtA(MBAB的面積恒為|o

試解決下列問題：

⑴點D坐標為();

⑵設點B橫坐標為t,請把BD長表示成關于t的函數(shù)關系式，并化簡；

(3)等式BO=BD能否成立？為什么？

(4)設CM與AB相交于E當ABDE為直角三角形時，判斷四邊形BDCF的形狀，并證明你的結論。

【變式訓練8】如圖13,在菱形ABCD中，AB=10,乙48c=60。。點Q從點D出發(fā)沿折線DC-CA-AB以

每秒3個單位長的速度勻速運動，?點P從點B沿BC以每秒1個單位長的速度勻速運動，射線PK隨點P移動,

保持與BC垂直，且交折線AB-AC于點E,交直線AD于點F,當點Q運動到點B時，停止運動，點P也隨之停

止。P、Q兩點同時出發(fā)，設Q運動的時間為t(s)0

⑴當t為何值時，BP=AF?

(2)當t為何值時，QE1AB?

(3)設直線PK掃過菱形ABCD的面積為S,試求S和t之間的函數(shù)關系式；

(4)當Q在線段CD上運動時，請直接寫出APQF為等腰三角形時t的值。

【例6】菱形ABCD的周長為8cm,乙4BC+乙4DC=90°,,以AB為腰，在菱形外作底角是45。的等腰△

4BE,連接AC、CEO請畫出圖形，并直接寫出.AACE的面積。

【變式訓練9】如圖14,在菱形ABCD中*AB=V3,zB=120。，點E是AD邊上的一個動點(不與A、D重

合)，EF||4B交BC于點F,點G在CD上,DG=DE。若AEFG是等腰三角形，則DE的長為,

圖14

【變式訓練10］如圖15,已知點A從點(1,0)出發(fā)，以1個單位長度/秒的速度沿x軸向正方向運動，以0、

A為頂點作菱形OABC，使點B、C在第一象限內，且乙40c=60。,點P的坐標為(0,3),設點A運動了t秒求

⑴點C的坐標(用含t的代數(shù)式表示)；

⑵點A在運動過程中,當t為何值時，使得AOCP為等腰三角形？

【例7】⑴如圖16中圖①在正方形ABCD中,E、F分別是BC、CD上的點，且NE4F=45。,,試判斷BE、DF

與EF三條線段之間的數(shù)量關系，直接寫出判斷結果：。

⑵如圖②在四邊形ABCD中，AB=AD.^BAD=120°,ZB="DC=90。。點E、F分別是BC、CD上的點,

且^EAF=60。,探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關系。

小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點C,使.DG=8E,連接AG,先證明△ABE三△4DG,再證明△

AEF=^AGF,,可得出結論，他的結論應是。

請你幫小王同學寫出完整的證明過程。

圖16

【變式訓練H】如圖17,在正方形ABCD中，NE4F的兩邊分別交CB、DC延長線于E、F點且NE4F=45。,

如果BE=1,DF=7,則EF=

【變式訓練⑵如圖18,在正方形ABCD中，點M、N為邊BC和CD上的動點（不含端點），/MAN=45。，下

列四個結論：①當MN=魚MC時，則NBAM=22.5。;②2NAMN-/MNC=90。;③△MNC的周長不變;④/AMN--/

AMB=60°o其中正確結論的序號是________o

【例8】如圖19,在正方形ABCD中,AB=3,點E、F分別在CD、AD上,CE=DF,BE、CF相交于點G,連接DG。

點E從點C運動到點D的過程中，DG的最小值為。

【變式訓練13】如圖20,M、N是正方形ABCD的邊CD上的兩個動點，滿足AM=BN,連接AC交BN于點E,

連接DE交AM于點F,連接CF,若正方形的邊長為6,則線段CF的最小值是。

【變式訓練14】如圖21,正方形ABCD中,AB=3,點E為對角線AC上的動點，以DE為邊作正方形DEFG。點

H是CD上一點且DH=|CD,連接GH,則GH的最小值為。

【例9】已知AABC,分別以BC、AC為邊向形外作正方形BDEC,正方形ACFG,過C點的直線MN垂直于AB

于N,交EF于M,

⑴如圖22,當/ACB=90。時，試證明:①EF=AB;②M為EF的中點；

（2）如圖23,當/ACB為銳角或鈍角時，①EF與AB的數(shù)量關系為（分情況說明）；②M還是EF的

中點嗎？請說明理由。（選擇當/ACB為銳角或鈍角時的一種情況來說明）

【變式訓練15】如圖24以AABC的邊AB、AC為邊分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG,連接EG,試

判斷AABC與AAEG面積之間的關系，并說明理由。

【變式訓練16］如圖25中的圖①，在RtAABC中,/ACB=9(T,AC>BC,分別以AB、BC、CA為一邊向AABC

外作正方形ABDE、BCMNCAFG,連接EF、GM、ND,設AAEF、△BND、ACGM的面積分別為S1、S2,S3。

(1)猜想S3S2、S3的大小關系；

⑵請對⑴的猜想，任選一個關系進行證明；

(3)若將圖①中的RtAABC改為圖②中的任意AABC,若SABC=5,求出S1+S2+S3的值；

(4)若將圖②中的任意AABC改為任意凸四邊形ABCD,若SAEG+SCNK+SIBH+SDFM=a,則四邊形ABCD的

面積為。(直接用含a的代數(shù)式表示結果)

圖25

【例10］如圖26,在正方形ABCD中,E為AD邊上的中點，過A作4F1BE,交CD邊于F,M是AD邊上一

點，且有BM=DM+CD。

⑴求證:點F是CD邊的中點;

(2)求證：4MBC=24ABE。

圖26

【變式訓練17］如圖27以Rt△ABC的斜邊BC為邊在△ABC的同側作正方形BCEF，設正方形的中心為O,

連接AO,如果AB=4,4。=6魚，求AC。

圖27

【變式訓練18］如圖28,四邊形ABCD是正方形，點N是CD的中點，M是AD邊上不同于點A、D的點，

若需=*求證:/NMB=/MBC。

第九講特殊平行四邊形答案

【例1】解:如圖.連接AP,

ZA=90°,

PE±AB,PF±AC,4

四邊形AFPE是矩形，

；.EF=AP,

由垂線段最短可得APLBC時，

AP最短，則線段EF的值最小，

動點P從點B出發(fā)，沿著BC勻速向終點C運動，則線段EF的值大小變化情況是先減小后增大。

故選:C。

【變式訓練1］解:：/BAC=90。,且BA=3,AC=4,

???BC=y/BA2+AC2=5,

VDM±AB,DN±AC,

/.ZDMA=ZDNA=ZBAC=90°,

四邊形DMAN是矩形.

；.MN=AD,

.?.當ADJ_BC時,AD的值最小，

此時,AABC的面積=^ABXAC=^BCxAD,

“cABXAC12

???AD=--------=—

BC5

，MN的最小值為y

故答案為：y

【變式訓練2】解:連接AD、EF,

/BAC=90。,且BA=9,AC=12,

???BC=V92+122=15,

VDE±AB,DF±AC,

ZDEA=ZDFA=ZBAC=90°,

四邊形DEAF是矩形.

；.EF=AD,

.?.當AD_LBC時,AD的值最小,此時，AABC的面積=|aBXAC=：BCxAD,

.cABXAC9X1236

???AD=--------=------=—

BC155

???EF的最小值為y

:點G為四邊形DEAF對角線交點，

-I-1o

???GF=-EF=—■,

25

故選:B。

【例2】解：連接OP,如圖所示:

??,矩形ABCD的兩邊AB=3,BC=4,

??.S矢巨形ABCD=ABBC=12,OA=OC,OB=OD,AC=BD,

AC=7AB2+BC2=5,

SA0D="矩形ABCD=3,0A=0D=|

SROD=SA0P+SD0P=-OA-PE+-OD-PF=

IOX(PF+PF)=|XjX(PE+PF)=3,

12

???QE+PF=^o

【變式訓練3]⑴解：PE+PF=羨;理由如下：

設AP=x,PD=4-x0

:四邊形ABCD是矩形，

???ZADC=90°,BD=AC,

???由勾股定理得：AC=V32+42=5,

NEAP二NEAP,/AEP=NADC;

???AAEP^AADC,

PEAPPEx.

—=—，即nn一=-circleds,

CDAC35

同理可得ADFPs^DAB,

.-.PF=[x②，①+②得?=|,

12

：.PE+PF=^-;

(2)解：PF-PE=9理由如下：

,?AAPC的面積=AADC的面積+APDC的面積，

■■--AC-PF=-x3x4+-x3xPD,

222

???5PF=12+3PD,

,,PE_AB_3

,PD-BD-5,

???PD=-PE,

3

A5PF+12=5PE,

17

PF-PE=

【例3】解：：四邊形ABCD是矩形AB=4,AD=6,點E為AB邊的中點，點B和點B，關于EF對稱,

???AE=BE=B'E=2,ZX=90°,

DE=y/AE2+AD2=2V10,

當點B，在線段DE上時，B'D取得最小值，此時B'D=2V10-2,故答案為：2VIU-2。

【變式訓練4】解:：/APB=90。，

.??點P在以AB為直徑的圓上，

如圖，設圓心為O,連接OPQD過點O作OHLAD,交DA延長線于點H,

在AOPD中,PD>OD-OP,

..?當點P在OD上時,DP有最小值，

,在菱形ABCD中,AB=2,NC=120。，

.\AO=1,ZBAH=60°,

???AH=-AO=-,0H=WAH=—,

222

DH=

2

???OD=y/DH2+OH2=后+|=V7,

/.DP的最小值=OD-OP=47-1,故答案為V7-1.

【例4】解:⑴BE=BF,證明如下：

四邊形ABCD是邊長為4的菱形,BD=4,

.?.△ABD、ACBD都是邊長為4的正三角形，

；AE+CF=4,

CF=4-AE=AD-AE=DE,

又BD=BC=4,ZBDE=ZC=60°,

_.DE=CF

在ABDE和ABCF中zBDE=ZC,

.BD=BC

：.ABDE^ABCF(SAS),

；.BE=BF;

(2)VABDE^ABCF,

ZEBD=ZFBC,

ZEBD+ZDBF=ZFBC+ZDBF,

/.ZEBF=ZDBC=60°,

又：BE=BF,

/.ABEF是正三角形，

.\EF=BE=BF,

當動點E運動到點D或點A時，BE的最大值為4,

當BE_LAD,即E為AD的中點時,BE的最小值為2V3

：EF=BE,

；.EF的最大值為4,最小值為2V3

【變式訓練5】解:⑴BE=BF,證明如下：

四邊形ABCD是邊長為4的菱形,BD=4,

AABD.ACBD都是邊長為4的正三角形，

：AE+CF=4,

CF=4-AE=AD-AE=DE,

又BD=BC=4,ZBDE=ZC=60°,

DE=CF

在ABDE和ABCF中\(zhòng)/.BDE=ZC,

.BD=BC

ABDE^ABCF(SAS),

.\BE=BF;

(2)VABDE^ABCF,

ZEBD=ZFBC,

JNEBD+NDBF=NFBC+NDBF,

???ZEBF=ZDBC=60°,

又?.?BE=BF,

ABEF是正三角形,

.\EF=BE=BF,

當BE±AD,BPE為AD的中點時,BE的最小值為2V5此時"EF的面積為：中X(2對=3?

【變式訓練6】解:⑴證明:連接AC,如圖①中，

???ZBAC=ZEAF=60°,

???ZBAE=ZCAE,

(/.BAE=Z-CAF

在ABAE和ACAF中BA^AC,

.AB=^ACF

：.ABAE^ACAF,

/.BE=CF;

⑵如圖②中，過點A作AGLBC于點G,過點F作FHLEC于點H,

,/ZEAB=15°,ZABC=60°,

/AEB=45。，

在RtAAGB?43,VZABC=60°,AB=4,

ABG==2,AG=V3BG=2V3,

在RtAAEG中,：ZAEG=ZEAG=45°,

???AG=GE=2V3,

EB=EG-BG=2V3-2,

AAEB^AAFC,

；.AE=AF,EB=CF=2V3-2,

在R3CHF中=1800-/.BCD=60°,CF=2y/3-2,

FH=CF?sin60°=(2百-2).日=3-怎

...點F至IJBC的距離為：3—舊。

【例5】解:⑴???A(-3,4),

AH=3,OH=4,由勾股定理得：AO=yjAH2+OH2=5,

:菱形OABC,

.?.OA=OC=BC=AB=5,

/.BH=AB-AH=5-3=2,

；.B(2,4),C(5,0)。

⑵設直線AC的解析式是y=kx+b,

把A(-3,4),C(5,0)代入得(4=止解得「丁,

I0=5k+b[3亳

???直線AC的解析式為y=-|x+j,

當x=0時,y=2.5,

.?.M(0,2.5)。

⑶過M作MN_LBC于N,

:菱形OABC,

ZBAC=ZOCA,

VMO±CO,MN±BC,

；.OM=MN,

當0St<2.5時,P在AB上.MH=4-2.5=|,

-1-1QQIC

S=-xBPxMH=-x(5-2t)x-=--t+—

22、,224,

3,15

???S=——td——,

24

當2.5<tW5時,P在BC上.S=gxPBXMN=2x(2t-5)x|=jt-y,

八

SC=-51---2--5,

24

答：S與t的函數(shù)關系式是S=—六+?(0孕<2.5)或5=|t-^(2.5<t<5).

(4)當P在AB上時，高MH一定，只有BP取最大值即可，即P與A重合，S最大是|x5X|=^,

同理在BC上時，P與C重合時，S最大是：x5x?=E，，s的最大值是

2244

答：S的最大值是個

4

【變式訓練7】解：⑴。(打聞;

⑵由RtAOAB的面積為［得B(3),

???BD2=AC2+(AB-CD)2,

BD2=(V2-t)2+&-V2)2=t2+^-2V2(t+i)+4circlel,

=(t+{J-2V2(t++2=(t+i-V2),

"""BD=|t+——V2|=t+——V2>;

22

⑶解法一:若OB=BD,則OB=BDo

在RtAOAB中，OB2=OA2-+AB2=r+/

由①得t2+^=t2+^-2V2(t+I)+4,

解得t+￡=■,1產(chǎn)—V2t+1=0,

???=(A/2)-4=-2<0,.?.此方程無解,

/.OB^BDo

解法二:若OB=BD,則B點在0D的中垂線CM上。

VC(a,0),在等腰RSOCM中,可求得

，直線CM的函數(shù)關系式為y=-x+V2circZe3,

由RtAOAB的面積為J得B點坐標滿足函數(shù)關系式.y=：cirde4,聯(lián)立③，④得/-+1=0,

??,=(V2)-4=-2<0,「?此方程無解，

.,.OB^BDo

解法三:若OB=BD,則B點在OD的中垂線CM上，如圖①,

過點B作BG±y軸于G,CM交y軸于H,VSOBG=S04B=

而S(JMH~SMOC=JSDOC=￡XV2X3=3,顯^SAHMO與SAOBG矛盾。

/.OB^BDo

⑷如果ABDE為直角三角形，因為/BED=45。,①當/EBD=90。時，此時F,E,M三點重合，如圖②,

：BF_Lx軸,DC_Lx軸，

；.BF〃DC,

.?.此時四邊形BDCF為直角梯形。

②當NEDB=90。時，如圖③，

VCFXOD,

；.BD〃CE又AB_Lx軸,DC_Lx軸，

；.BF〃DC,.

此時四邊形BDCF為平行四邊形，下證平行四邊形BDCF為菱形：

解法一:在ABDO中，OB2=0D2+BD2,

...12+看=4+產(chǎn)+專-2&(t+§+4,

t+-=2V2,

［方法(circle1］/一2所+1=0.VBD在0D上方，

解得t=&-11=e+1或t=V2+l,i=V2-1(舍去)，

得5(V2-1-V2+1),

［方法②］由②得BO=t+^-V2=2V2-V2=VX此時BD=CD=V2,

.?.此時四邊形BDCF為菱形。

解法二:在等腰RtAOAE與等腰RtAEDB中，

,/OA=AE=t,OE=伍!則ED=BD=2—舟

???AB=AE+BE=t+V2（2-V2t）=242-t,

2-\/2-t—即t+：=以下同解法一,此時BD—CD=V2,

:?此時四邊形BDCF為菱形。

【變式訓練8］解:(l)：PF，BC,/ABC=6(T,AB=10,

PF=5V3,

?；E為PF的中點，

5V3

???PnrE7=—,

2

???BP=攝

t=-;

2

⑵當點Q在DC上時,3t-5=10-2t,t=3。

當點Q在AC上運動時，不可能，

當Q在AB上運動時,10-(10-t)-(3t-20)=5,t=7.5。

(3)在前5秒鐘內,BP=t,PE=V3t,

S=yt2(0<t<5),

在5秒后運動時，掃過的面積是梯形，S=l(t-5+t)5V3=5V3t-yV3O

(4)APQF為等腰三角形時，t=1竺等1。

【例6】解:AACE的面積為2或2-V2cm2,

①如圖，當NABE=90。時,NEAB二NABC=45。，

.,.AE//BC,.*.SAACE=SAABE,

「菱形ABCD的周長為8cm,

.\AB=BE=2,

1?

?，,SACE=SABE=5x2x2=2cm;

②如圖，當NBAE=90。時作CF±AB于F,連接EF則NEAF=NCFA=90。,

???AE〃CF,￡

，?SACE=^AFE>

...菱形ABCD的周長為8cm,

???AB=AE=BC=2,,c

ARtABCF中，BF=VX

AF=2-42,

2

SACE=SAFE=XAF=3X2X（2—V2）—2—y/2,cmc

【變式訓練9】解:1?四邊形ABCD是菱形,/B=120。，

ZD=ZB=120°,

；.EF〃AB,

EF=AB=V3,

ZDEF=ZA=60°,ZEFC=ZB=120°,

VDE=DG,

ZDEG=ZDGE=30°,

ZFEG=30°,

當AEFG為等腰三角形時，

①當EF=EG時，EG=V3,

如圖①，過點D作DHLEG于H,

EH=^EG=號在RtADEH中，DE

②GE=GF時，如圖②,

過點G作GQLEF,

???四=海=冬

在RtAEQG中,NQEG=30。,

.\EG=1,

過點D作DPLEG于P,

???PE=|EG=|,

同①的方法得，DE=?

③當EF=FG時,，乙EFG=180。-2x30。=120°="FE此時，點C和點G重合，點F和點B重合，不符

合題意，

故答案為：1或

【變式訓練101解:⑴過點C作CH±x軸于點H,根據(jù)題意得OA=l+t,

四邊形OABC是菱形,.,.OC=OA=l+t,

ZAOC=60°,

11

OH^OC-cos60-=1OC=j(l+t),

CH=OC-sin60°=^(l+t),

點C的坐標為：Q(l+t>y(l+0；)

(2)①當以O為等腰三角形頂點時,OC=OP,...l+t=3,

t=2;

②當以c為等腰三角形頂點時，PC=OC，則CH=IOP=I，即f(1+1)=I，解得t=V3-1;

③當以p為等腰三角形頂點時QP=PC,NPOC=30。，

OC=3A/3,

1+t=3>/3,

t=3V3—1,

綜上可知，當”遍-1,t=2,t=3遍-1時，均可使得AOCP為等腰三角形。

【例7】解:(1)結論:EF=BE+DF。理由如下:

如圖①中，在正方形ABCD中,：AB=AD,NBAD=ZADC=NB=90。,

把AABE繞點A逆時針旋轉90。得到AADE,

???^ADF=/.ADE'=90°,

.?.點F、D、E共線，

AAE'AF=90°-45°=45°=LEAF,

在AAFE和AAFE'中，

rAF=AF

JZFAE=ZFAE,,

[AE=A戌.

AAFE^AAFE'(SAS),

EF=FE'=DE'+DF=BE+DFO

(2)結論:EF=BE+DF成立。理由如下：

如圖②中，因為AB=AD,所以可以將AABE繞點A旋轉到AADG位置,

???ZB+ZADF=180°,ZB=ZGDA,

???ZGDA+ZADF=180°,

???G、D、F共線，

ZBAE+ZDAF=ZEAF=60°,ZGAD=ZBAE,

???ZGAF=ZEAF,

在4FAE和AFAE中，

(AF=AF

《NFAE=/FAG,

???AFAE^AFAG(SAS),EF=FG=DG+DF=BE+DFO

【變式訓練11］解如圖把4ABE繞點A逆時針旋轉90。到DA,交CD于點G,

由旋轉的性質可知,AG=AE,DG=BE,NDAG=NBAE,

???ZEAF=45°,

ZDAG+ZBAF=45°,AD

又丁ZBAD=90°,/|V'、"G

ZGAF=45°,\k

在2XAEF和2kAGF中，^7

CAE=AG

《/EAF=/GAF,

IAF=AF

AAEF^AAGF(SAS),

AEF=GF,

VBE=1,DF=7,

JEF=GF=DF-DG=DF-BE=7-1=6,故答案為:6O

【變式訓練12】解:①:,?,正方形ABCD中,AB=AD,/B=NADC=NC=90。,

??.MN2=MC2+NC2,

當MN=V2MC時,MN2=2MC2,

AMC2=NC2,

AMC=NC,

???BM=DN,

???ZXABM之△ADN(SAS),

ZBAM=ZDAN,

NMAN=45。，

:.NBAM=22.5。,故①正確;

②如圖，將^ABM繞點A順時針旋轉90。得AADE,

貝!]ZEAN=ZEAM-ZMAN=90°-45°=45°,

fAE=AM

貝[J在4EAN和AMAN中/NEAN=NMAM

[AN=AN

：.AEAN^AMAN(SAS),AZAMN=ZAED,

???ZAED+ZEAM+ZENM+ZAMN=360°,

.,.2ZAMN+90°+(180°-ZMNC)=360°,

???2NAMN-NMNC=90。,故②正確；

?:VAEAN^AMAN,

JMN二EN=DE+DN=BM+DN,

???△MNC的周長為：

MC+NC+MN=(MC+BM)+(NC+DN尸DC+BC,

〈DC和BC均為正方形ABCD的邊長，故AMNC的周長不變，故③正確；

④如圖，將4ADN繞點A逆時針旋轉90。得AABF,

ZMAF=90°-ZMAN=45°,

NMAN=NMAF,在AMAN和^MAF中,

'AF=AN

/.FAM=NAM,

、AM=AM

：.AMAN^AMAF(SAS),

???NAMN二NAMB,故④錯誤。

綜上①②③正確。

故答案為:①②③。

【例8】解:如圖,

??.四邊形ABCD是正方形,

JBC=CD,ZBCE=ZCDF=90°,

VCE=DF,

ABCE^ACDF(SAS),

???ZEBC=ZFCD,

ZFCD+ZBCG=90°,

JZCBE+ZBCG=90°,

ZCGB=90°,

???點G的運動軌跡是以BC為直徑的0O，當O,G,D共線時,DG的值最小，最小值=歷歷■-|=容,

故答案為：喑。

【變式訓練13］解：如圖，

在正方形ABCD中,AD=BC=CD,

ZADONBCD,ZDCEtNBCE,D^MNC

在RtAADM和RtABCN中，///為

(AD=BC\/\

UM=BN'-------\

AD

：.RtAADM^RtABCN(HL),

JNDAM=NCBN,

BC=CD

在ADCE和ZkBCE中.zDCE=乙BCE,

CE=CE

：.ZXDCE名△BCE(SAS),

???ZCDE=ZCBE,

ZDAM=ZCDE,

ZADF+ZCDE=ZADC=90°,

JZDAM+ZADF=90°,

JZAFD=180°-90°=90°,

取AD的中點0,連接OF、OC,則OF=D0=\AD=3,

在RtAODC中，OC=yjDO2+DC2=375,

根據(jù)三角形的三邊關系,OF+CF>OC,

當。、F、C三點共線時，CF的長度最小，最小值=OC-OF=3V5-3,

故答案為：有3-3。

【變式訓練14】解:連接CG,：四邊形ABCD是正方形,四邊形DEFG是正方形,

/.DA=DC,DE=DG,ZADC=ZEDG=90°,ZDAC=45°,長---------齊

.*.ZADE=ZCDG,\

.,.△ADE^ACDG(SAS),/

ZDCG=ZDAE=45°,

；?點G的運動軌跡是射線CG,根據(jù)垂線段最短可知，當GHLCG時，GH的值最小，vD”=|CD=2,

.*.CH=CD-DH=3-2=1,

,最小值=CH-sin45°=1xy=C//-sin45°=1Xy_

故答案為：22.

［例9］解:(1)①由題意得:CA=CF,CB=CE,/ACB=/FCE,

AECF^ABCA,.,.EF=AB;

@VZCAN+ZCBN=90°,ZBCN+CBN=90°,

ZCAN=ZCBN,

又：ZCBN=ZMCF,.\/MCF=/CAN,由①知AECFdBCA,

NCAN=/MFC,故NMCF=NMFC,

；.MC=MF,同理得ME=MC,即得M為EF的中點。

(2)①當/ACB為銳角時,EF>AB,當/ACB為鈍角時,EF<AB,②過F作FH〃CE交MN于H,

ZHCF+ZACN=90°,ZCAN+ZACN=90°,

/.ZHCF=ZCAN,

ZHFC+ZFCE=180°,ZACB+ZFCE=180°,

.\ZHFC=ZACB,

又,?FC=CA,.\△HCF0ABCA,

；.BC=HF=EC,

；.FH〃CE,且HF=EC,

..?四邊形CEHF是平行四邊形，

；.M為EF的中點。

【變式訓練15］解:AABC和AAEG的面積相等。

理曲過C作CHJ_AB于H,過G作GO_LEA交EA延長線于O,則/O=/CHA=90。，

ZEAG+ZGAO=180°,

:四邊形ABDE和四邊形ACFG是正方形，

AE=AB,AC=AG,ZEAB=ZGAC=90°,

^.EAG+AHAC=360°-90°-90°=180°,

ZGAO=ZCAH,

N。=UHC

在AAGO和AACH中zGXO=/.CAH,

AG=AC

：.△AGO絲△ACH(AAS),；.GO=CH,

1'"AE=AB,S4BC=XCH,SAEG=xGO,

AABC和AAEG的面積相等。

【變式訓練16】解:(1)猜想：Si=S2=S3。

(2)如圖①，延長FA,過點E作EHLFA于H,由已知:NBAE=NCAH=90。,

JNCAB=NHAE,

ZACB=ZAHE=90°,AE=AB,

AHAE^ACAB,

???EH=BC,

???SAEF=^EH-AF=^BC-AC

—SABC，

SI-^ABC>

同理：S2—SAB5s3=SABC。

?*-St=S2=S3。

⑶如圖②,

分別過點G和A作GQ±MC于Q,APJ_BC于P,

由已知:ZGCA=ZQCB=90°,

JNGCQ=NACP,

又「ZGQC=ZAPC=90°,GC=AC,

:?△GCQ之△ACP,

???GQ=AP,

,*SCCM=5GQ,MC,

SABC=^AP-BC,MC=BC,

???SocM=^ABC>

*',S3=sABC,

同理：S]=SABC,S2=SABC。