圓錐曲線軌跡全歸納（13題型提分練）解析版-2025年高考數(shù)學(xué)

同錐曲線軌跡全歸納(13題型提分練)

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M目錄

題型一：定義法：圓型............................................................................1

題型二：橢圓定義型..............................................................................3

題型三：雙曲線定義型............................................................................6

題型四：拋物線定義型...........................................................................10

題型五：直接設(shè)點(diǎn)型.............................................................................13

題型六：相關(guān)點(diǎn)代入法...........................................................................16

題型七：交軌法.................................................................................18

題型八：參數(shù)消參法.............................................................................22

題型九：空間型：坐標(biāo)法.........................................................................25

題型十：空間型：截面型曲線軌跡.................................................................29

題型十一：空間型：雙球圓錐型...................................................................34

題型十二：立體幾何定角型.......................................................................38

題型十三：復(fù)數(shù)中的軌跡.........................................................................42

英突圍?檐:住蝗分

題型一：定義法：圓型

指I點(diǎn)I迷I津

如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線(如圓、橢圓、雙曲線、拋物線)的定義，可直接寫出所求

的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種方法叫做定義法.

平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓，定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑.

(1)若直線含參，參數(shù)在x系數(shù)出，則不包含豎直，如y=k(x-1)+1,不含想x=1

(2)若直線含參，參數(shù)在y的系數(shù)出，則不含水平，如x+m(y-1)+2=0,不含y=1

(3)若直線參數(shù)在常數(shù)位置，則為一系列平行線，如x+y+c=0與y=-x平行

1.(22-23高三,四川綿陽(yáng)?階段練習(xí))已知加eR,若過(guò)定點(diǎn)4的動(dòng)直線4：工-〃9+加-2=0和過(guò)定點(diǎn)8的動(dòng)

直線4：y-4=-機(jī)(x+2)交于點(diǎn)/>(尸與/,B不重合)，則錯(cuò)誤的是()

A./點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)B.點(diǎn)尸的軌跡方程/+/-5^=0

C.PA2+PB2=25D.2尸4+尸3的最大值為5”

【答案】B

【分析】求出直線恒過(guò)的定點(diǎn)可判斷A,由已知可得兩條直線互相垂直，由此可驗(yàn)證B、C,由已知可得以，尸8,

設(shè)2PAB=9,進(jìn)而求出2P/+P5的最大值，即可判斷D.

【詳解】由動(dòng)直線4：x-w+加-2=。，得x-2+加(1-田=0,所以定點(diǎn)幺(2,1),故A正確；

由動(dòng)直線4：V-4=TW(X+2),可得8(-2,4),

由4:x—my+m-2=0和4：mx+y-4+2m=0,滿足lx加+=0

所以/]，4，可得P4LPB,

所以|尸2「+|依「=|/砰=(2+2)2+(1-如=25,故C正確；

設(shè)尸則(x_2『+(y_l)2+(x+2)2+(y_4『=25,

即點(diǎn)尸的軌跡方程為/+/-5夕=0,而尸與N,B不重合，則xw±2,故B錯(cuò)誤；

因?yàn)樯?_1_尸3,設(shè)/尸48=0,。為銳角，貝l||P旬=5cos6,|P8|=5sin6,

所以2173d+=5(2cos夕+sin。)=5j^sin(d+p),

所以當(dāng)sin(e+e)=l時(shí)，2|尸”|+|尸邳取最大值5石，故D正確.

故選：B.

2.(2022高三?全國(guó)?專題練習(xí))設(shè)"，?R,過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+即+加=0和過(guò)定點(diǎn)8的動(dòng)直線蛆-/-%+2=0

交于點(diǎn)P(XJ),貝力PN|+|P8|的取值范圍是()

A.[百2向B.[V10,2V5]C.[V10,4V5]D.[2后4向

【答案】B

【分析】先由兩直線方程求出48的坐標(biāo)，由于兩直線垂直，所以|尸/『+|尸8「=|/3「=10,若設(shè)

NABP=。,貝IJ|P4|=&3sin8,|%|=而cosS,然后表示出I尸山+I尸3|變形后，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可求得

其范圍.

【詳解】解：由題意可知，動(dòng)直線X+叩+"7=0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)/(0,-1),

動(dòng)直線機(jī)X-〉-加+2=0,即機(jī)(x-l)-y+2=0,經(jīng)過(guò)點(diǎn)定點(diǎn)8(1,2),

動(dòng)直線x+my+m=0和動(dòng)直線mx-y-m+2=0的斜率之積為-1,始終垂直，

/>又是兩條直線的交點(diǎn)，；.尸/_1尸2，.」川，+|28「=|/3|2=10.設(shè)/48/=〃，則|P4|=&3sine,

\PB\=y/\0cos0,

由|尸川》0且|尸,可得8e[0,^]:\PA\+\PB^Vw(sin0+cos0)=275sin(6>+(9e[0,。，

~e[―-,--],sin(0+—)6[-^-,1],2^5sin(0+—)s[V10,,故選：B.

444424」

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查兩直線的位置關(guān)系，考查三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的

關(guān)鍵是由已知得到|尸4「+|尸8「=I。，通過(guò)三角換元轉(zhuǎn)化為利用三角函數(shù)的性質(zhì)求|尸川+|P5|的取

值范圍，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.

(必

3.(24-25高三?福建廈門?階段練習(xí))已知0(0,0),00，T,直線/1：丘-7+2斤+3=0,直線

I2)

4：x+@+3左+2=0,若尸為4,4的交點(diǎn)，貝|3|尸。|+2|尸@的最小值為()

A.3>/3B.6—3^2C.9—3>/2D.3+V^

【答案】A

【分析】利用直線過(guò)定點(diǎn)及兩直線位置關(guān)系先確定P的軌跡，取點(diǎn)構(gòu)造相似結(jié)合三角形三邊關(guān)系計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)橹本€4：丘一>+2無(wú)+3=0,直線4：x+@+3左+2=0,易知/]_L4，

且/"2分別過(guò)定點(diǎn)/(-2,3),8(-2,-3),取其中點(diǎn)C(—2,0),易知

則P點(diǎn)在以C為圓心，3為半徑的圓上，取點(diǎn)噌,。],連接PE,QE,QP,

則3|PO|+2\PQ\^2(\PE\+\PQ\)>2\QE\=2^QO2+OE2=373,

當(dāng)且僅當(dāng)P、。、E三點(diǎn)共線，且尸與線段0E和圓C的交點(diǎn)重合時(shí)取得等號(hào).

故選：A.

4.(22-23高三?福建莆田?階段練習(xí))已知meR,若過(guò)定點(diǎn)力的動(dòng)直線4：x-邛y+機(jī)-2=0和過(guò)定點(diǎn)8的動(dòng)

直線/2：歹-4=-切(》+2)交于點(diǎn)尸(P與N,8不重合)，則下列結(jié)論中正確的是()

A./點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)B.點(diǎn)P的軌跡方程/+/-5^=0

C.P^+PB2=25D.2P/+P8的最大值為50

【答案】ACD

【分析】根據(jù)定點(diǎn)判斷方法、直線垂直關(guān)系、勾股定理、三角函數(shù)輔助角求最值即可得解.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：

I、：x-my+加一2=0可以轉(zhuǎn)化為m(l-y)+x-2=0,

故直線恒過(guò)定點(diǎn)/(2,1),故該選項(xiàng)正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：4：V-4=-%(X+2)恒過(guò)定點(diǎn)2(—2,4),由4：x—即+加一2=0和4：機(jī)x+y—4+2機(jī)=0,滿

Q

足lx〃z+(-加)x1=0,所以/,1/2,可得PALPB,所以|尸/「+歸5『=|48『=+2)2+(>4)2=25,故

C正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)P(x,y),貝I](x-2)2+-1)2+(x+2)2+(y-4)2=25,

即點(diǎn)P的軌跡方程為X2+/-57=0,而P與48不重合，則挖去48兩點(diǎn)故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：

因?yàn)镻AA.PB,設(shè)ZPAB=0,6為銳角，貝WP/|=5cose,|P8|=5sine,

所以2\P^\+\PB\=5(2cos6+sin0)=5V5sin(0+(p),所以當(dāng)sin(6+°)=l時(shí),2陷|+網(wǎng)取最大值5底

故D正確.

故選：ACD.

5.(22-23高三,新疆烏魯木齊?階段練習(xí))設(shè)aeR,過(guò)定點(diǎn)/的動(dòng)直線x+叼+1=0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線

ZMX--2機(jī)+3=0交于點(diǎn)P(x,y),則尸點(diǎn)的軌跡方程是

【分析】根據(jù)兩直線的方程可求得定點(diǎn)/、8的坐標(biāo)，以及兩直線垂直，進(jìn)而可得P點(diǎn)的軌跡是以為直

徑的圓，即得.

【詳解】由x+叼+1=0可知叼=-x-l,所以該直線過(guò)定點(diǎn)

由利》:->一2%+3=0可得加(^-2)=y一3,所以該直線過(guò)定點(diǎn)8(2,3),因?yàn)閘x機(jī)-加xl=0,

所以直線x+叼+1=0與加x-y-2m+3=0垂直，所以上4_|_尸3,即P點(diǎn)的軌跡是以48為直徑的圓,

所以尸點(diǎn)的軌跡方程是上—二+^-|J=㈠-:丫,即1X_1J+^-|J=|.

題型二：橢圓定義型

指I點(diǎn)I迷I津

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓

的點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距

L（20-21高三?浙江金華?模擬）如圖，/尸。0=60。，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2,M為2C中點(diǎn)，G為4ABC

的重心，B,C分別在射線。尸，上運(yùn)動(dòng)，記M的軌跡為G，G的軌跡為。2，則（）

A.q為部分圓，G為部分橢圓B.q為部分圓，G為線段

c.G為部分橢圓，G為線段D.G為部分橢圓，G也為部分橢圓

【答案】C

【分析】建系如圖，由兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)M的軌跡方程，由此得G為部分橢圓；過(guò)

點(diǎn)A作與y軸垂直的直線分別交。尸于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)尸，得等邊AOM,由平面幾何可得G是等邊AOEF

的外心,由此可得點(diǎn)G的軌跡為y軸在曲線￡內(nèi)的一段線段.

【詳解】以。為原點(diǎn)，以NP。。的角平分線為了軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.

依題意得直線OQ的方程為y=瓜,直線。尸的方程為V=-屈.

設(shè)點(diǎn)可友-島),C(c,V3c),由忸C|=2得e—c)2+30+c)2=4(*),

X=b+c=2x

設(shè)點(diǎn)〃[x,y)因?yàn)镸是5C的中點(diǎn)，所以,即《

b-c=

-C)耳

42_,

將其代入（*）得77^+12x2=4,即可+了一1,故M的軌跡G為橢圓在NP。。內(nèi)部的部分.

3

3

過(guò)點(diǎn)A作與V軸垂直的直線分別交OP于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)尸，貝卜?！晔@然也是等邊三角形.

下面證明等邊△4BC的重心G即等邊△。環(huán)的外心.

設(shè)2OCB=a,貝1」/。8。=120°-。=//。/，又NBOC=NCE4=60。,S.BC=AC,所以AOBC三

因此OC=4F.

在AOGC和AFG/中，ZOCG=0+30°=ZFAG,又GA=GC,所以AOGCMA尸G/,則OG=FG,同理可

證OG=EG,即點(diǎn)G是等邊AOEF的外心，所以，點(diǎn)G在了軸上移動(dòng)，故點(diǎn)G的軌跡G為了軸在曲線G內(nèi)

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解決本題的關(guān)鍵.

2.(2024?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè))單位向量向量］滿足卜+0=］。巧+2,若存在兩個(gè)均滿足此條件的向量

4也，使得4+-共仇+可，設(shè)Z，4也在起點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，終點(diǎn)分別為4瓦,%則s△陽(yáng)％的最大值()

A.2GB.V3C.4D.2

【答案】B

【分析】設(shè)3=(L0),b=(x,y),整理得1+；=1,可知點(diǎn)片,與在橢圓上，設(shè)與關(guān)于點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為

B3,分析可知4綜層三點(diǎn)共線，結(jié)合橢圓性質(zhì)分析求解.

【詳解】由題意不妨設(shè)7=(1,0),b=(x,y),則N+B=(X+1J),

因?yàn)?+,=Z+2,則J(x+1)+/=［X+2,整理得3+?=1,

可知向量g的終點(diǎn)2的軌跡為橢圓，且/。,0)為橢圓的右焦點(diǎn)，

可知點(diǎn)昂不在橢圓上，設(shè)為關(guān)于點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為員，因?yàn)橥?￡=川區(qū)+4,則6=(4-1)/+而，

可得西=(1T)西+幾力，由(1-幾)+4=1可知4"自三點(diǎn)共線，

設(shè)4(項(xiàng),必)，因?yàn)?。為線段與區(qū)的中點(diǎn)，則邑侔,=2%明=2x1|O^|.|y1|=|y||<V3,

當(dāng)且僅當(dāng)片為短軸頂點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，所以S△叫Bz的最大值為百?故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩點(diǎn)：

1.設(shè)3=(1,0),b=(x,y),求得向量否的終點(diǎn)8的軌跡為橢圓；

2.設(shè)為關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為耳,可知4片,與三點(diǎn)共線.

3.(23-24高三上?上海?模擬)設(shè)圓Q和圓Q是兩個(gè)定圓，動(dòng)圓P與這兩個(gè)定圓都相切，則動(dòng)圓P的圓心的

軌跡不可能是()

A.B.

D.

【分析】按動(dòng)圓尸與圓a、圓&內(nèi)切、外切情況分類，結(jié)合橢圓、雙曲線定義確定軌跡的可能情況即得.

【詳解】設(shè)動(dòng)圓尸的半徑為「，圓。和圓a的半徑分別是耳,々,

①當(dāng)。=々，且兩圓外離時(shí)，

尸+八二OXPr-rx-\OXP

若圓尸與圓a、圓a都外切或都內(nèi)切，則有或，

r-r=\OP'

r+r2=02P22

于是|QP|=|。2尸|,此時(shí)點(diǎn)P的軌跡是線段002的中垂線;

r-rx=OXP\+rx=OxP\

若圓尸與圓a、圓a一個(gè)外切一個(gè)內(nèi)切，則有或*

OP

r+r2=O2P\rf=2\'

于是||。尸|-|。2尸||=1+々，此時(shí)點(diǎn)尸的軌跡是雙曲線,

因此此時(shí)點(diǎn)P的軌跡是一條直線和一個(gè)雙曲線，B可能;

②當(dāng)4片々，且兩圓內(nèi)含時(shí)（不妨設(shè)。＞々），\op2\＜rx-r2＜rx+r2,

rx—r=OXP\

若圓尸與圓Q、圓a都內(nèi)切，則有＜,即有|。0+|。2尸卜上弓，此時(shí)尸點(diǎn)軌跡為橢圓;

r-r2=02Pl

rx-r=OXP\

若圓尸與圓a內(nèi)切、與圓。2外切時(shí)，則有＜,即有|。0+|。2尸|=/+2,此時(shí)尸點(diǎn)軌跡為橢圓;

r+r2=O2P\

因此尸點(diǎn)軌跡為兩個(gè)橢圓，c可能;

③當(dāng)兩圓4片々且兩圓外離時(shí)（不妨設(shè)外＞々），\op2\＞rx+r2＞rx-r2,

r+r1=OXP\r

若圓尸與圓a、圓a都外切或都內(nèi)切，則有＜或?-L

r+r2=O2P\r-r2=\O2P\'

有||。產(chǎn)巾。2尸||=廣4,尸點(diǎn)軌跡為雙曲線;

r

r-rx-OXP\+i=01Pl

若圓尸與圓。、圓a一個(gè)外切一個(gè)內(nèi)切，則有或?

rOP

r+r2=O2P\~i=2\'

有心尸|-||。2尸卜4+々，尸點(diǎn)軌跡為雙曲線,

因此尸點(diǎn)軌跡為兩個(gè)雙曲線，D可能;

而兩個(gè)圓相交或相外切時(shí)，尸點(diǎn)軌跡是被直線。02分成的不連續(xù)的兩段圖形，軌跡不可能是完整的橢圓

兩圓內(nèi)切時(shí)，尸點(diǎn)軌跡是直線。。2被其中較大的圓分成的在該圓外部的兩條射線（不含端點(diǎn)），A不可能.

故選:A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及軌跡形狀的判斷問(wèn)題，利用基本軌跡定理、橢圓、雙曲線及拋物線定義是求解問(wèn)

題的關(guān)鍵.

4.（23-24高三?陜西榆林?模擬）已知點(diǎn)N（2,0）,動(dòng)點(diǎn)/在圓環(huán)（x+2『+/=64上運(yùn)動(dòng)，線段/N的垂直

平分線交于尸點(diǎn)，則尸的軌跡方程為；若動(dòng)點(diǎn)0在圓（x++/=1上運(yùn)動(dòng),則的最大值為.

【答案】—+^=16

1612

【分析】由題意得出尸4=7W,得到點(diǎn)尸滿足|PM|+|PN|=8>4,根據(jù)橢圓的定義，求得點(diǎn)P表示",N為

焦點(diǎn)的橢圓，即可求解.

將求|尸。|最大值的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)尸到圓心C（T,O）距離最大值的問(wèn)題，結(jié)合點(diǎn)尸滿足橢圓方程，轉(zhuǎn)化為

二次函數(shù)求給定區(qū)間的最大值即可.

【詳解】由題意，圓（尤+2）2+/=64的圓心為“（-2,0）,點(diǎn)N（2,0）,線段4N的垂直平分線交于點(diǎn)P,

所以尸是0V的垂直平分線上的一點(diǎn)，所以照|=忸叫，又由以叫=8,所以點(diǎn)尸滿足歸必+|尸叫=8>4,

根據(jù)橢圓的定義，可得點(diǎn)尸表示為焦點(diǎn)的橢圓，其中2a=8,2c=4,

22

可得a=4,c=2,所以6=k7=12,所以橢圓的方程為土+匕=1.

1612

22q

??,圓C的方程為（x+l）2+/=l，..?圓心C（TO）,半徑r=l,設(shè)P（x,y）,則L+L=1,丁=12-

16124

P到圓心C的距離|PC|=J（x+iy+y2=^（X+1）2+12-|X2=^（x+4）2+9,

又xe[-4,4].?.當(dāng)工=4時(shí)，|PC|取得最大值5,，忸。|的最大值為：1Pql1ax+r=5+1=6,

22

故答案為：上+匕=1,

1612

題型三：雙曲線定義型

指I點(diǎn)I迷I津

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定

點(diǎn)做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.

1.（22-23高三?江西?階段練習(xí)）已知點(diǎn)/（0,20）,川2亞,0）,點(diǎn)尸為圓x?+/_5&x+&y+12=0上一

點(diǎn)，則|尸/|一|尸理的最小值為《）

4#)

A.2B.4rD,正

55

【答案】D

【分析】4,3為兩個(gè)定點(diǎn)，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為以a2為焦點(diǎn)的雙曲線與圓有交點(diǎn)，由此求|以|-|尸耳的最小值.

\2\2

(5行(6

【詳解】圓C：一+必-5岳+缶+12=0,化成標(biāo)準(zhǔn)方程為X----+----yd----=1，圓心

2JI2J

，5加封

半徑為1.點(diǎn)/(0,2后)，8(2后,0),如圖所示:

由的"砧=T，所以aB,C三點(diǎn)共線,有|AB|=4,忸C|=l.

問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為：已知點(diǎn)，(-2,0),8(2,0),點(diǎn)尸為圓C:(X-3)2+/=1上一點(diǎn)，求陽(yáng)1TpM的最小值，

如圖所示：

設(shè)|/M|-|P5|=2a(a>0),則點(diǎn)夕軌跡為以N,B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支,

22

雙曲線方程為三-一J=l，由點(diǎn)P在圓C:(x-3)2+y2=l上，所以雙曲線與圓有交點(diǎn),

a4—a

(22

=1

由4-a2,消去了，得4x?-6。\+(/+4/=0,

(X-3)2+/=1

△=(一6叫2-16(/+4/)=20/-64/>0,解得a2餐,

則\PA\~\PB\=2。2竽，所以網(wǎng)H尸邳的最小值W-

故選：D

【點(diǎn)睛】L求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法.具體過(guò)程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標(biāo)

準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a,b,c,e及漸近線之間的關(guān)系，求出a,6的值.

2.解答曲線與曲線相交的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或必建立一元二次方程，然后借助

根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，要強(qiáng)化聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能

力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題.

2.（21-22高三?江蘇南通?階段練習(xí)）在矩形AB2W中，4/=8,AB=6,把邊48分成〃等份，在笈8的

延長(zhǎng)線上，以82的〃分之一為單位長(zhǎng)度連續(xù)取點(diǎn).過(guò)邊N8上各分點(diǎn)和點(diǎn)4作直線，過(guò)82延長(zhǎng)線上的對(duì)應(yīng)

分點(diǎn)和點(diǎn)/作直線，這兩條直線的交點(diǎn)為尸，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)尸滿足的方程可能是（）

22

B.

6436v7

丫2v222

C.---------=l(x>4,y>0)D.————=l(x>8,j/>0)

169V76436v7

【答案】C

【分析】設(shè)尸（％Jo）,結(jié)合題意找出％與為的關(guān)系式，即可求解.

【詳解】設(shè)尸（%,%）,則與24,為20,根據(jù)題意，易得直線//7）：y=tI（x+4）,直線

由%：V="h（x+4），令x=4,得了=&\,因此邊上各分點(diǎn)坐標(biāo)為4,生，

由的：＞=』7（X-4）,令y=6,得X=6（X「4）+4,因此延長(zhǎng)線上的對(duì)應(yīng)分點(diǎn)坐標(biāo)為

x4

o-y0

a一日+4力,

I%）

6（%―4）8-022

結(jié)合題意，可知F—Z74,化簡(jiǎn)得叢-為=1.

——=-2——169

86

因此點(diǎn)尸滿足的方程為：工-匕=1（x24,y20）.

故選：C.

3.（2018高三上,全國(guó),專題練習(xí)）已知定點(diǎn)不（-2,0）,F2（2,0）,N是圓。：上任意一■點(diǎn)，點(diǎn)片關(guān)

于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為M,線段耳河的中垂線與直線G“相交于點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸的軌跡是

A.直線B.圓

C.橢圓D.雙曲線

【答案】D

【分析】由N是圓上任意—點(diǎn)，可得cw=l,結(jié)合已知，由垂直平分線的性質(zhì)可得產(chǎn)川=郎,

從而可得|叫-PF\=\PF2-PM\=MF2=20N=2為定值，由雙曲線的定義可得點(diǎn)P的軌跡是以耳罵為焦點(diǎn)

的雙曲線.

【詳解】因?yàn)镹為邛/中點(diǎn)，。為片名中點(diǎn)，所以優(yōu)M=2|ON|=2,

因?yàn)镻在線段的中垂線上，所以I因HPM，因此歸耳卜下修=周期=2|。川=2,即點(diǎn)尸的軌跡是雙曲

線，故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查定義法求軌跡方程、雙曲線定義的應(yīng)用，屬于難題.求軌跡方程的常見(jiàn)方法有:①直接

法，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)（xj）,根據(jù)題意列出關(guān)于XJ的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)符合已知曲線的

定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把xj分別用第三個(gè)變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將

代入/（%，%）=0.

4.（20-21高三?湖北武漢?模擬）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)可卜人,0）和瑪（石,0）連線的

斜率之積等于g,記點(diǎn)尸的軌跡為曲線E,直線/：V=Mx-2）與￡交于A,8兩點(diǎn)，貝U（）

A.￡的方程為了-r=1B.E的離心率為百

C.E的漸近線與圓（x-2）2+/=l相切D.滿足|/同=2月的直線/有2條

【答案】CD

V12

【解析】由已知結(jié)合斜率的兩點(diǎn)式有?不V用=],即可得E的方程x為=l,xw±L6,進(jìn)而可求￡

的離心率，利用圓心到E的漸近線距離判斷圓與E的漸近線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線/與曲線E,結(jié)合

M卻=坂聲|西-91求左值的個(gè)數(shù)，由此即可判斷各選項(xiàng)的正誤.

2

【詳解】令尸（x,y）,由題意得：匕V萬(wàn),二V?!=1]'即得'X一/=1，"±/6—，

??.A錯(cuò)誤，又a3c=2,即e=&亙，故B錯(cuò)誤，

3

由E的漸近線為〉=±[x,而（x-2y+_/=l圓心為（2,0）,半徑為1,

273

；.（2,0）到y(tǒng)=±gx距離為"=）^=1,故E的漸近線與圓（x-2y+/=l相切，故C正確,

聯(lián)立曲線E與直線/的方程，整理得：（1-3/）/+12左2；―3（4左2+1）=0,△=1+左2＞（）,

12人23（4左2+1）

而\AB\=Vl+VI再-%1=273,

123左2_/123/一1

代入整理：MB/粗+內(nèi)）=26,即有左2=1或/=o（由尸o與X-y2=i,x中土石無(wú)交點(diǎn)，舍去），故

13k—113

左=±1,.?.D正確.故選：CD

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛:

（1）兩點(diǎn)式表示斜率時(shí)要保證分母不為0,從而確定曲線E的軌跡要去掉土內(nèi).

（2）由恒國(guó)=V1ZF|無(wú)「％1=2百求得k值要考慮曲線E的軌跡不包含x/士省的情況舍掉增根.

5.（24-25高三?全國(guó)?模擬）過(guò)曲線C上一點(diǎn)P作圓^+好句的兩條切線，切點(diǎn)分別為48,若

kpA%=2,則曲線C的方程為.

【答案】2x2-/=l且x、l）

【分析】設(shè)尸及切線方程，由直線與圓相切得出關(guān)于斜率左的方程，由判別式得出其+需＞1,再由斜率關(guān)

系計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)P（%o，yo）,則過(guò)點(diǎn)P的切線方程為夕-%=上口-％）,即依-＞+%-何）=0，

所以為得（x；—1快2-2%%上+就一1=0,

則L，KB是此方程的兩根，x：T*0,A=4x^-4（x^-l）（^-l）＞0,即x；+y：＞l,

-p2_1n

故a?G="=2,得線—就=1,而要滿足題意需P在圓外，則無(wú)：＞彳,

不）一13

即曲線C的方程為2尤2_/=］（無(wú)2＞2§且一片1）.

7

故答案為：2x2-y2=l（x2＞|Mx2^l）

題型四：拋物線定義型

;指I點(diǎn)I迷I津

；平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線1(1不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線

的焦點(diǎn)，直線I叫做拋物線的準(zhǔn)線.

L(21-22高三下?浙江?階段練習(xí))己知點(diǎn)F(0,1),直線/：y=—1,P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作直線/的

垂線，垂足為Q,且存?斯=麗?冠，動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為C,已知圓M過(guò)定點(diǎn)。(0,2),圓心〃在軌跡C

上運(yùn)動(dòng)，且圓M與x軸交于/、3兩點(diǎn)，設(shè)|。0=/2，則%+'的最大值為()

”2。

A.2B.3C.272D.372

【答案】C

(2、

【分析】利用數(shù)量積運(yùn)算可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C方程，設(shè)進(jìn)而得到O"的方程為：

22

(x-a)2+(y--)2=a2+(--2)2,可得/(a+2,0),B(a-2,0),利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得，

44

4+，2_彳+片_2a2+16

,再利用基本不等式即可得出.

2hI/2dQ，+64

【詳解】設(shè)尸(工,切,則。依，-1),

QP?QF=FPFQ,.*.(0,j+l),(—x,2)=(x,j/—l),(x,—2),.-.2(y+l)=x2—2(y—1),.t.x2=4y.

(2\22

動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡C為：x2=4y.設(shè).(fl￡R).則OM的方程為：(x-a)2+(y-—)2=a2+(---2)2.

(4J44

2

化為——2ax+「=4-/.令y=o,則2"+屋=4,解得x=a+2,或q—2.

2

取4(。+2,0),B(a~2f0).??.|叫=)=&+2)2+4,\DB\=l2=^a-2)+4.當(dāng)時(shí),

11J2+/2

’1?’2_’1丁’2

------1----------------------2亞，當(dāng)且僅當(dāng)

I2/1I、12

%+%的最大值為2行.故選：C.

。=±2百時(shí)取等號(hào).當(dāng)。=。時(shí)，y-+y-=2.綜上可得:

1

,2424

2.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知P是直線/：x-y-2=0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C:y=/的兩條

切線尸/,PB,切點(diǎn)分別為A,B,則八板的重心G的軌跡方程為（）

142412

A.y——x2—xH—B.y——x2—xH—

333333

214421

C.y=—x2——x+—D.y=—x2——x+—

333333

【答案】B

【分析】設(shè)4（久1,月），8（%242），^PAB的重心為G（x,y）,由定理1.1知「償棄,%62），再由重心公式得到號(hào)，

%=4d-3y,代入直線/方程整理即可.

【詳解】設(shè)4（孫月），B（x2,y2）,AP/8的重心為G（xj）.

由定理1.1知pgl廣西冷），則由三角形的重心坐標(biāo)公式，

可得x=±+；+x.=.,

必+>2+ypX；+X：+再12

3-3

2

于是，Xp=x,yp=4xp-3y=4x-3y,

2

由點(diǎn)P在直線/：x_y_2=0上得x_(4f_3切_2=0,gpy=|x-1x+|.

其中定理1.1及證明：如圖，拋物線d=2勿（p>0）上兩個(gè)不同的點(diǎn)A,3的坐標(biāo)分別為4（久1）1）,B

（久222），

以A,8為切點(diǎn)的切線正/,心相交于點(diǎn)尸，我們稱弦N2為阿基米德的底邊.

手蟲;證明:由廣，

定理LL點(diǎn)P的坐標(biāo)為,則V=一，

22PP

所以過(guò)點(diǎn)A的切線方程為廣。?。▁-%!）,過(guò)點(diǎn)3的切線方程為廣。?。▁

-尤2），聯(lián)立這兩個(gè)方程

再將x=土產(chǎn)代入點(diǎn)A處的切線方程,

可得廣江+土］五/再］二以這表明'點(diǎn)尸的坐標(biāo)為【平萱J.故選："

2Ppi2）2p

3.（20-21高三?廣西南寧?模擬）拋物線：V=4x的過(guò)焦點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為（）

A.y1-x-1B./=工-；C.y2-2(x-l)D.y1-lx—\

【答案】C

【解析】設(shè)出過(guò)焦點(diǎn)的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立求出兩根之和，可得中點(diǎn)的坐標(biāo)，消去參數(shù)可得中點(diǎn)

的軌跡方程.

【詳解】由拋物線的方程可得焦點(diǎn)尸(1,0),可得過(guò)焦點(diǎn)的直線的斜率不為0,

設(shè)直線方程為：x=my+l,

設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)4不，乂)，B?,%),設(shè)4B的中點(diǎn)P(x,y),

聯(lián)立直線與拋物線的方程可得：

22

y-4my-4=0,必+了2=4機(jī)，xt+x2=m(yx+y2)+2=4m+2,

|y-2/^21

所以可得一c，消去加可得尸的軌跡方程：/=2%-2,故選：C.

[y=2m

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求軌跡方程的常見(jiàn)方法有：1、定義法；2、待定系數(shù)法；3、直接求軌跡法；4、反求

法；5、參數(shù)方程法等等.

4.(2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))已知曲線C上的點(diǎn)滿足：到定點(diǎn)(1,0)與定直線了軸的距離的差為定值加，其中,

點(diǎn)A,8分別為曲線C上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)5恒在點(diǎn)A的右側(cè)，則()

A.若加=g,則曲線C的圖象為一條拋物線

B.若加=1,則曲線C的方程為/=4x

C.當(dāng)機(jī)＞1時(shí)，對(duì)于任意的/(再,%),B(x2,y0),都有㈤＞|引

D.當(dāng)加＜-1時(shí)，對(duì)于任意的，(XQo),8(%，%)，都有|再|(zhì)＞|司

【答案】AC

【分析】設(shè)曲線C上的點(diǎn)P(x,y),由題意求出的方程，分工20、x＜0化簡(jiǎn)后逐項(xiàng)判斷可得答案.

【詳解】對(duì)于A,若機(jī)=g，設(shè)曲線c上的點(diǎn)P(x,y),由題意可得加-廣六-上段,

化簡(jiǎn)得/=2x+k|-當(dāng)時(shí)，/=3x—為拋物線，

44

33

當(dāng)xvO時(shí)，y2=x—,因?yàn)閤＜0,所以x—＜0,而＞20,顯然不成立，

44

綜上，若冽=；,則曲線。的圖象為一條拋物線，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若加=1,設(shè)曲線。上的點(diǎn)尸(%,y),由題意可得J(x—iy+y2一國(guó)=1,

化簡(jiǎn)得好=2工+2忖，當(dāng)％之0時(shí)，/=4x為拋物線，當(dāng)九＜0時(shí)，＞=。為一條射線，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若加＞1,設(shè)曲線C上的點(diǎn)P(%,y),由題意可得“工一球+產(chǎn)一國(guó)=加,

化簡(jiǎn)得/=2x+2m\x\+m2-1,因?yàn)榧樱?,當(dāng)xNO時(shí)，y2=+—,

為開(kāi)口向右，頂點(diǎn)為的拋物線的一部分，，當(dāng)x＜0時(shí)，/=2（1-⑼1-號(hào)蛇

為開(kāi)口向左，頂點(diǎn)為［一,。1的拋物線的一部分，，且（—,。）與［一,。）關(guān)于x=g對(duì)稱,其圖象大致如

下，

因?yàn)?（芯,％）,8（%2，%））兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，根據(jù)對(duì)稱性可得忖|＞卜|，故c正確；

對(duì)于D,若加＜-1,設(shè)曲線C上的點(diǎn)P（%,y）,由題意可得+、2一國(guó)=加,

2

化簡(jiǎn)得歹2=2x+2加|乂+加2一1,因?yàn)榧樱家?,當(dāng)時(shí)，y=2（m+l）|x--——

為開(kāi)口向左，頂點(diǎn)為（一,o］的拋物線的一部分，當(dāng)x＜0時(shí)，/=2（1-加）口

為開(kāi)口向右,頂點(diǎn)為［一的拋物線的一部分，且］一,o］與［一,。］關(guān)于x=；對(duì)稱，其圖象大致如下,

因?yàn)橛迷?外）,8仁，%）兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，根據(jù)對(duì)稱性可得聞＜闖，故D錯(cuò)誤.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是設(shè)曲線c上的點(diǎn)P（x,y）,求出P點(diǎn)的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合求出答案.

5.（24-25高三?全國(guó),模擬）設(shè)廠（1,0）,點(diǎn)V在x軸上，點(diǎn)p在了軸上，且旃=2而，PM_LPF,當(dāng)點(diǎn)P

在V軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N的軌跡方程為

【答案】/=4x

【分析】設(shè)M(x0,O),尸(0,%),N(x,y),根據(jù)聞麗可得Xo+y：=0,根據(jù)曲=2赤可得

x()=-x,%=g,v，代入即可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)河伉,0),尸(0,%),N(x,y),則由=(%,-%),即=(一先),

MN=(x-x0,y),MP=(-x0,y0),

因?yàn)橛蒍_而，則兩7?而=x()+K=0,又因?yàn)轲?2癥，貝葉：°,即｛1,

5=2%y=-y

、0N

可得-X+或=0,即「=4x.故點(diǎn)N的軌跡方程是J?=4x.故答案為