專題12 將軍飲馬模型（原卷版）

專題12將軍飲馬模型將軍飲馬模型在考試中，無論是解答題，還是選擇、填空題，都是學(xué)生感覺有困難的地方，也恰是學(xué)生能力區(qū)分度最重要的地方，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主。在解決幾何最值問題主要依據(jù)是：①兩點之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。希望通過本專題的講解讓大家對這類問題有比較清晰的認(rèn)識。模型1、將軍飲馬--兩定一動求線段和的最小值【模型探究】A，B為定點，m為定直線，P為直線m上的一個動點，求AP+BP的最小。圖1圖2（1）如圖1，點A、B在直線m兩側(cè)：輔助線：連接AB交直線m于點P，則AP+BP的最小值為AB.（2）如圖2，點A、B在直線同側(cè)：輔助線：過點A作關(guān)于定直線m的對稱點A’，連接A’B交直線m于點P，則AP+BP的最小值為A’B.例1．（2022·廣東·九年級專題練習(xí)）已知點，，在x軸上的點C，使得最小，則點C的橫坐標(biāo)為_______．例2．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，是等邊三角形，AD是BC邊上的高，E是AC的中點，P是AD上的一個動點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，的度數(shù)為______．例3．（2022·浙江·臨海市八年級開學(xué)考試）如圖，正△ABC的邊長為2，過點B的直線l⊥AB，且△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對稱，D為線段BC′上一動點，則AD+CD的最小值是_____．例4．（2023.浙江八年級期中）如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動點，E是AC邊上一點，若AE＝2，當(dāng)EF＋CF取得最小值時，則∠ECF的度數(shù)為多少？例5．（2023·江陰市八年級月考）某班級在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數(shù)學(xué)模型：直線同旁有兩個定點、，在直線上存在點，使得的值最小．解法：如圖1，作點關(guān)于直線的對稱點，連接，則與直線的交點即為，且的最小值為．請利用上述模型解決下列問題：（1）幾何應(yīng)用：如圖2，中，，，是的中點，是邊上的一動點，則的最小值為；（2）幾何拓展：如圖3，中，，，若在、上各取一點、使的值最小，畫出圖形，求最小值并簡要說明理由．模型2、將軍飲馬--兩動一定求線段和的最小值【模型探究】已知定點A位于定直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.輔助線：過點A作關(guān)于定直線m、n的對稱點A’、A’’，連接A’A’’交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QA的最小值為A’A’’.例1．如圖，在銳角△ABC中，∠ACB＝50°；邊AB上有一定點P，M、N分別是AC和BC邊上的動點，當(dāng)△PMN的周長最小時，∠MPN的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°例2．（2022·安徽·合肥市八年級階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB上找一點M，在OA上找一點N，使△PMN周長最小，則此時△PMN的周長為___．例3.（2023.山東八年級期末）如圖所示，在四邊形ABCD中，∠A＝90o，∠C＝90o，∠D＝60o，AD＝3，AB＝，若點M、N分別為邊CD，AD上的動點，則△BMN的周長最小值為（） A. B. C.6 D.3模型3、將軍飲馬--兩動兩定求線段和的最小值【模型探究】A，B為定點，在定直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）如圖1，兩個點都在直線外側(cè)：輔助線：連接AB交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB.（2）如圖2，一個點在內(nèi)側(cè)，一個點在外側(cè)：輔助線：過點B作關(guān)于定直線n的對稱點B’，連接AB’交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB’.圖1圖2（3）如圖3，兩個點都在內(nèi)側(cè)：輔助線：過點A、B作關(guān)于定直線m、n的對稱點A’、B’，連接A’B’交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QA的最小值為A’B’.（4）如圖4，臺球兩次碰壁模型：輔助線：同圖3輔助線作法。圖3圖4例1．（2023.浙江八年級期中）如圖所示，∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OM＝12，ON＝4．點P、Q分別是OA、OB上動點，則MQ+PQ+NP的最小值是．例2．（2022·湖北武漢市·九年級期中）如圖，點A在y軸上，G、B兩點在x軸上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC與GB關(guān)于y軸對稱，∠GAH＝60°，P、Q分別是AG、AH上的動點，則BP＋PQ＋CQ的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．9例3．（2022·湖北青山·八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點D為AB中點，連接CD，點P、Q分別為CE、CD上的動點．（1）求證：△ADC為等邊三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．模型4、將軍飲馬--線段差的最大值【模型探究】A，B為定點，在定直線m上分別找兩點P，使PA與PB的差最大。（1）如圖1，點A、B在直線m同側(cè)：輔助線：延長AB交直線m于點P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此時最大，因此點P為所求的點。（2）如圖2，點A、B在直線m異側(cè)：輔助線：過B作關(guān)于直線m的對稱點B’,連接AB’交點直線m于P,此時PB=PB’，PA-PB最大值為AB’圖1圖2例1．（2022·福建福州·八年級期中）如圖，在等邊中，E是邊的中點，P是的中線上的動點，且，則的最大值是________．例2．（2023·重慶·八年級專題練習(xí)）如圖，四邊形中，，，點為直線左側(cè)平面上一點，的面積為則的最大值為___．例3．（2022·重慶大渡口·七年級期末）如圖，，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，平面內(nèi)直線BC的左側(cè)有一點P，連接BP，CP，，將沿BC翻折至同一平面得到，連接．若取得最大值時，則______．課后專項訓(xùn)練1.（2022·河南八年級期末）如圖，在中，，，，，平分交于點，，分別是，邊上的動點，則的最小值為__________．2．（2022·四川成都·七年級期末）如圖，分別以線段AB的兩個端點為圓心，以大于AB長為半徑作弧，兩弧交于點M和點N，在直線MN上取一點C，連接CA，CB，點D是線段AC的延長線上一點，且CD＝AC，點P是直線MN上一動點，連接PD，PB，若BC＝4，則PD+PB的最小值為___．3．（2022·安徽蕪湖市·八年級期末）如圖，在中．，若，，，將折疊，使得點C恰好落在AB邊上的點E處，折痕為AD，點P為AD上一動點，則的周長最小值為___．4．（云南省紅河哈尼族彝族自治州建水縣2021-2022學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在等邊中，BC邊上的高，E是高AD上的一個動點，F(xiàn)是邊AB的中點，在點E運動的過程中，存在最小值，則這個最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．85．（2022·山東山東·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段所在直線的解析式為，是的中點，是上一動點，則的最小值是(

)A． B． C． D．6．（2022·河南安陽市·八年級期末）如圖，在中，，，的面積為12，于點D，直線EF垂直平分BC交AB于點E，交BC于點F，P是線段EF上的一個動點，則的周長的最小值是（）A．6 B．7 C．10 D．127.（2022?蕪湖期末）如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面積為8，BD平分∠ABC．若M、N分別是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．88．（2022·河南·安陽市殷都區(qū)教科培中心八年級期末）如圖，在中，，邊的垂直平分線分別交，于點，，點是邊的中點，點是上任意一點，連接，，若，，周長最小時，，之間的關(guān)系是（

）A． B． C． D．9．（2022·廣東廣州·八年級期末）如圖，點D是∠FAB內(nèi)的定點且AD=2，若點C、E分別是射線AF、AB上異于點A的動點，且△CDE周長的最小值是2時，∠FAB的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．90°11．（2022·湖北·武漢市六中位育中學(xué)八年級）如圖，，為上一動點，，過作交直線于，過作交直線于點，若，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，則________．12．（2021·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，四邊形中，，，點為直線左側(cè)平面上一點，的面積為則的最大值為___．13．（2022·湖北十堰·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，．在BC，CD上分別找一點M，N，使周長最小，則的度數(shù)為_________．14．（2022·河南濮陽·八年級期末）如圖，等邊三角形的邊長為5，A、B、三點在一條直線上，且．若D為線段上一動點，則的最小值是________．15．如圖，∠AOB＝45°，P是∠AOB內(nèi)的一點，PO＝10，點Q，R分別在∠AOB的兩邊上，△PQR周長的最小值是．16．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分別是邊AB、AC、BC上的動點，連接PM、PN和MN，則PM+PN+MN的最小值是．17．（2022·江蘇南通·一模）平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點P（m，m＋2），