最佳方案類問題（解析版）-中考數(shù)學二輪復習難點題型專項突破

專題04最佳方案類問題

類型1一次函數(shù)實際應用

1.（2021?黔西南州中考）甲、乙兩家水果商店，平時以同樣的價格出售品質相同的櫻桃.春節(jié)期間，甲、乙兩家

商店都讓利酬賓，甲商店的櫻桃價格為60元/修；乙商店的櫻桃價格為65元/版.若一次購買2館以上，超過2影

部分的櫻桃價格打8折.

（1）設購買櫻桃Mg,y甲，了乙（單位：元）分別表示顧客到甲、乙兩家商店購買櫻桃的付款金額，求y甲，y乙

關于x的函數(shù)解析式；

（2）春節(jié)期間，如何選擇甲、乙兩家商店購買櫻桃更省錢？

解：（1）由題意可得：y甲=60x,

當xW2時，y乙=65x,

當x>2時，3^=65X2+65X0.8（x-2）=52x+26,

._/65x（x42）

52x+26（x>2）：

V

（2）當60x<52x+26時，即時，到甲商店購買櫻桃更省錢；

4

當60x=52x+26時，即》=也時，到甲、乙兩家商店購買櫻桃花費相同；

4

當60x>52x+26,即x>」底時，到乙商店購買櫻桃更省錢.

4

2.（2021?西寧中考）城鄉(xiāng)學校集團化辦學已成為西寧教育的一張名片.“五四”期間，西寧市某集團校計劃組織鄉(xiāng)

村學校初二年級200名師生到集團總校共同舉辦“十四歲集體生日”.現(xiàn)需租用A,B兩種型號的客車共10輛，

兩種型號客車的載客量（不包括司機）和租金信息如表：

型號載客量租金單價

（人/輛）（元/輛）

A16900

B221200

若設租用/型客車x輛，租車總費用為y元.

（1）請寫出y與x的函數(shù)關系式（不要求寫自變量取值范圍）；

（2）據(jù)資金預算，本次租車總費用不超過11800元，則/型客車至少需租幾輛？

（3）在（2）的條件下，要保證全體師生都有座位，問有哪幾種租車方案？請選出最省錢的租車方案.

解：（1）y=900x+1200（10-x）=-300x+12000,

：.y=-300x+12000；

(2)根據(jù)題意，得-300x+12000W11800,

解得：x22,

3

應為正整數(shù)，

：.A型客車至少需租1輛；

（3）根據(jù)題意，得16x+22（10-x）2200,

解得xW也?，

3

結合（2）的條件，ZwxW也，

33

應為正整數(shù)，

取1,2,3,

租車方案有3種，

方案一：/型客車租1輛，8型客車租9輛；

方案二：/型客車租2輛，5型客車租8輛；

方案三：/型客車租3輛，3型客車租7輛；

\>=-300x+12000,k<0,

隨x的增大而減小，

...當x=3時，函數(shù)值y最小，

,最省錢的租車方案是/型客車租3輛，8型客車租7輛.

3.（2021?興安盟中考）移動公司推出4B,C三種套餐，收費方式如表:

套餐月保底費（元）包通話時間（分鐘）超時費（元/分鐘）

A381200.1

B583600.1

C118不限時

設月通話時間為x分鐘，N套餐，8套餐的收費金額分別為為元，”元.其中8套餐的收費金額及元與通話時

間尤分鐘的函數(shù)關系如圖所示.

(1)結合表格信息，求為與X的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；

(2)結合圖象信息補全表格中8套餐的數(shù)據(jù)；

(3)選擇哪種套餐所需費用最少？說明理由.

解：(1)當0WxW120時，為=38；

當x>120時，乃=38+0.1(x-120)=0.1x+26,

.f38(0<x<120)

"71=(0.lx+26(x>120)：

(2)由圖象可知，當月保底費為58元；包通話時間360分鐘；超時費：(70-58)+(480-360)=0.1(元),

故答案為：58,360,0.1；

(3)當x>360時，設：y2=kx+b,

又：圖象過點(360,58),(480,70)兩點,

.f360k+b=58

l480k+b=70，

解得，k=0.1,

lb=22

?.y2^0.1x+22；

.f58(0<x<360)

"y2=[0.lx+22(x>360)；

當為=58,0.1x+26=58,

解得x=320,

...當x=320時，/、8套餐所需費用一樣多，都比C套餐花費少；

當0Wx<320時，N套餐所需費用最少.

當”=118時，0.1x+22=118,

解得x=960,

當x=960時，B、C套餐所需費用一樣多，都比/套餐花費少;

當320Vx<960時，2套餐所需費用最少.

當x>960時，C套餐所需費用最少，

綜上所述：當0WxW320時，/套餐所需費用最少;

當320VxW960時，8套餐所需費用最少;

當x>960時，C套餐所需費用最少.

4.(2021?德陽中考)今年，“廣漢三星堆”又有新的文物出土，景區(qū)游客大幅度增長.為了應對暑期旅游旺季，方

便更多的游客在園區(qū)內休息，景區(qū)管理委員會決定向某公司采購一批戶外休閑椅.經(jīng)了解，該公司出售弧形椅和

條形椅兩種類型的休閑椅，已知條形椅的單價是弧形椅單價的0.75倍，用8000元購買弧形椅的數(shù)量比用4800

元購買條形椅的數(shù)量多10張.

(1)弧形椅和條形椅的單價分別是多少元？

(2)已知一張弧形椅可坐5人，一張條形椅可坐3人，景區(qū)計劃共購進300張休閑椅，并保證至少增加1200個

座位.請問：應如何安排購買方案最節(jié)省費用？最低費用是多少元？

解：(1)設弧形椅的單價為x元，則條形椅的單價為0.75x元，根據(jù)題意得：

解得x=160,

經(jīng)檢驗，x=160是原方程的解，且符合題意,

/.0.75x=120,

答：弧形椅的單價為160元，條形椅的單價為120元;

(2)設購進弧形椅加張，則購進條形椅(300-m)張，由題意得:

5m+3(300-m1N1200,

解得加力150；

設購買休閑椅所需的費用為少元,

則%=160加+120(300-加)，

即沙=40切+36000,

V40>0,

沙隨加的增大而增大，

當以=150時，少有最小值，沙最小=40X150+36000=42000,

300-加=300-150=150；

答：購進150張弧形椅，150張條形椅最節(jié)省費用，最低費用是42000元.

5.(2021?南通中考)2兩家超市平時以同樣的價格出售相同的商品.暑假期間兩家超市都進行促銷活動，促銷

方式如下：

/超市：一次購物不超過300元的打9折，超過300元后的價格部分打7折；

3超市：一次購物不超過100元的按原價，超過100元后的價格部分打8折.

例如，一次購物的商品原價為500元，

去/超市的購物金額為：300X0.9+(500-300)X0.7=410(元)；

去2超市的購物金額為：100+(500-100)X0.8=420(元).

(1)設商品原價為x元，購物金額為V元，分別就兩家超市的促銷方式寫出了關于x的函數(shù)解析式；

(2)促銷期間，若小剛一次購物的商品原價超過200元，他去哪家超市購物更省錢？請說明理由.

解：(1)由題意可得，當xW300時，^=0.9%；當x>300時，^=0.9X300+0.7(x-300)=0.7x+60,

,,fO.9x(x4300)

yA[0.7x+60(x>300)

當x>100時，yB=100+0.8(x-100)=0.8x+20；

Jx(x<100)

兀一(0.8x+20(x>100)’

(2)由題意，得0.9x>0.8x+20,解得x>200,

；.200<xW300時，到B超市更省錢；

0.7x+60>0.8x+20,解得x<400,

.*.300<x<400,到3超市更省錢；

0.7x+60=0.8x+20,解得x=400,

...當x=400時，兩家超市一樣；

0.7x+60<0.8x+20,解得x>400,

.?.當x>400時，到/超市更省錢；

綜上所述，當200Vx<400到8超市更省錢；當x=400時，兩家超市一樣；當x>400時，到/超市更省錢.

6.(2021?黔東南州中考)黔東南州某銷售公司準備購進/、8兩種商品，已知購進3件/商品和2件3商品，需

要1100元；購進5件/商品和3件2商品，需要1750元.

(1)求/、2兩種商品的進貨單價分別是多少元？

(2)若該公司購進/商品200件，5商品300件，準備把這些商品全部運往甲、乙兩地銷售.已知每件/商品

運往甲、乙兩地的運費分別為20元和25元；每件3商品運往甲、乙兩地的運費分別為15元和24元.若運往

甲地的商品共240件，運往乙地的商品共260件.

①設運往甲地的/商品為x(件)，投資總運費為y(元)，請寫出y與x的函數(shù)關系式；

②怎樣調運/、8兩種商品可使投資總費用最少？最少費用是多少元？(投資總費用=購進商品的費用+運費)

解：(1)設N商品的進貨單價為x元，8商品的進貨單價為了元,

根據(jù)題意，得什+2y=1100,

i5x+3y=1750

解得:h=200,

ly=250

答：/商品的進貨單價為200元，2商品的進貨單價為250元；

（2）①設運往甲地的4商品為x件，則設運往乙地的/商品為（200-x）件，

運往甲地的2商品為（240-x）件，運往乙地的3商品為（60+x）件，

貝iJy=20x+25（200-x）+15（240-x）+24（60+x）=4x+10040,

Ay與x的函數(shù)關系式為y=4x+10040；

②投資總費用w=200X200+300X250+4x+10040=4x+125040,

自變量的取值范圍是：0WxW200,

"：k=4>0,

隨x增大而增大.

當x=0時，w取得最小值，.最小=125040（元），

最佳調運方案為：調運240件8商品到甲地，調運200件/商品、60件2商品到乙地，最少費用為125040

元.

答：調運240件3商品到甲地，調運200件/商品、60件3商品到乙地總費用最少，最少費用為125040兀.

7.（2021?宜昌中考）甲超市在端午節(jié)這天進行蘋果優(yōu)惠促銷活動，蘋果的標價為10元/彷，如果一次購買4奴以上

的蘋果，超過4kg的部分按標價6折售賣.

x（單位：奴）表示購買蘋果的重量，y（單位：元）表示付款金額.

（1）文文購買3館蘋果需付款30元;購買5館蘋果需付款46元;

（2）求付款金額y關于購買蘋果的重量x的函數(shù)解析式；

（3）當天，隔壁的乙超市也在進行蘋果優(yōu)惠促銷活動，同樣的蘋果的標價也為10元/館，且全部按標價的8折

售賣，文文如果要購買10飯?zhí)O果，請問她在哪個超市購買更劃算？

解：（1）由題意可知：文文購買3炫蘋果，不優(yōu)惠，

...文文購買3奴蘋果需付款：3X10=30（元），

購買5館蘋果，4炫不優(yōu)惠，1館優(yōu)惠，

,購買5飯?zhí)O果需付款：4X10+1X10X0.6=46（元），

故答案為：30,46；

（2）由題意得：

當0<xW4時，y=10x,

當x>4時，y=4X10+（x-4）X10X0.6=6x+16,

/.付款金額y關于購買蘋果的重量x的函數(shù)解析式為：尸［I。'（°，產，）

6x+16（x>4）

X.

（3）文文在甲超市購買10炫蘋果需付費：6X10+16=76（元），

文文在乙超市購買10版蘋果需付費：10X10X0.8=80（元），

文文應該在甲超市購買更劃算.

8.（2021?寧波中考）某通訊公司就手機流量套餐推出三種方案，如下表:

工方案2方案C方案

每月基本費用（元）2056266

每月免費使用流量（兆）1024m無限

超出后每兆收費（元）nn

A,B,C三種方案每月所需的費用?（元）與每月使用的流量x（兆）之間的函數(shù)關系如圖所示.

（1）請直接寫出m,n的值.

（2）在/方案中，當每月使用的流量不少于1024兆時，求每月所需的費用y（元）與每月使用的流量x（兆）

之間的函數(shù)關系式.

（3）在這三種方案中，當每月使用的流量超過多少兆時，選擇C方案最劃算？

解：⑴根據(jù)題意,加=3072,

n=（56-20）4-（1144-1024）=0.3；

（2）設在/方案中，當每月使用的流量不少于1024兆時，每月所需的費用y（元）與每月使用的流量x（兆）

之間的函數(shù)關系式為1W0）,

把（1024,20）,（1144,56）代入，得：

［20=1024k+b,解得［k=0.3,

156=1144k+blb=-287.2

：.y關于x的函數(shù)關系式為y=0.3x-287.2（x21024）；

（3）3072+（266-56）+0.3=3772（兆），

由圖象得，當每月使用的流量超過3772兆時，選擇C方案最劃算.

9.（2021?資陽中考）我市某中學計劃舉行以“奮斗百年路，啟航新征程”為主題的知識競賽，并對獲獎的同學給

予獎勵.現(xiàn)要購買甲、乙兩種獎品，已知1件甲種獎品和2件乙種獎品共需40元，2件甲種獎品和3件乙種獎

品共需70元.

（1）求甲、乙兩種獎品的單價；

（2）根據(jù)頒獎計劃，該中學需甲、乙兩種獎品共60件，且甲種獎品的數(shù)量不少于乙種獎品數(shù)量的工，應如何購

2

買才能使總費用最少？并求出最少費用.

解：（1）設甲種獎品的單價為X元/件，乙種獎品的單價為y元/件，

依題意，得：（x+2y=40,

l2x+3y=70

解得卜=20.

[y=10

答：甲種獎品的單價為20元/件，乙種獎品的單價為10元/件.

（2）設購買甲種獎品機件，則購買乙種獎品（60-加）件，設購買兩種獎品的總費用為卬元，

???甲種獎品的數(shù)量不少于乙種獎品數(shù)量的工，

2

m（60-機）,

；.加之20.

依題意，得：w=20w+10（60-m）=10w+600,

V10>0,

隨m值的增大而增大，

當學校購買20件甲種獎品、40件乙種獎品時，總費用最少，最少費用是800元.

10.（2021?連云港中考）為了做好防疫工作，學校準備購進一批消毒液.已知2瓶/型消毒液和3瓶3型消毒液共

需41元，5瓶N型消毒液和2瓶8型消毒液共需53元.

（1）這兩種消毒液的單價各是多少元？

（2）學校準備購進這兩種消毒液共90瓶，且8型消毒液的數(shù)量不少于/型消毒液數(shù)量的工，請設計出最省錢

3

的購買方案，并求出最少費用.

解：（1）設/型消毒液的單價是X元，8型消毒液的單價是y元，

f2x+3y=41

l5x+2y=53，

解得（x=7.

ly=9

答：N型消毒液的單價是7元，8型消毒液的單價是9元；

（2）設購進/型消毒液。瓶，則購進8型消毒液（90-a）瓶，費用為校元，

依題意可得：w=7a+9（90-a'）=-2.+810,

,：k=-2<0,

隨a的增大而減小，

?：B型消毒液的數(shù)量不少于/型消毒液數(shù)量的工，

3

90-

3

解得。?67工，

2

.,.當a=67時，w取得最小值，此;時w=-2X67+810=676,90-a=23,

答：最省錢的購買方案是購進/型消毒液67瓶，購進8型消毒液23瓶，最低費用為676元.

類型2二次函數(shù)實際應用

11.（2021?德州中考）某公司分別在48兩城生產同種產品，共100件.N城生產產品的成本〉（萬元）與產品數(shù)

量x（件）之間具有函數(shù)關系y=/+20x+100,3城生產產品的每件成本為60萬元.

（1）當/城生產多少件產品時，A,8兩城生產這批產品成本的和最小，最小值是多少？

（2）從/城把該產品運往C,。兩地的費用分別為1萬元/件和3萬元/件；從2城把該產品運往C,。兩地的

費用分別為1萬元/件和2萬元/件.C地需要90件，。地需要10件，在（1）的條件下，怎樣調運可使48兩

城運費的和最小？

解：（1）設/,8兩城生產這批產品的總成本的和為〃（萬元），

則少=/+20x+100+60（100-x）

=x2-40x+6100

=（x-20）2+5700,

...當x=20時，少取得最小值，最小值為5700萬元，

城生產20件，A,3兩城生產這批產品成本的和最小，最小值是5700萬元；

（2）設從/城把該產品運往C地的產品數(shù)量為〃件，則從4城把該產品運往。地的產品數(shù)量為（20-〃）件；

從8城把該產品運往。地的產品數(shù)量為（90-"）件，則從2城把該產品運往。地的產品數(shù)量為（10-20+〃）

件，運費的和為尸（萬元），

由題意得：華,

110-20切>0

解得10W"W20,

P=n+3（20-n）+（90-ri'）+2（10-20+n）

=幾+60-3〃+90-n+2n-20

—n-2H+130

=-九+130,

根據(jù)一次函數(shù)的性質可得：

產隨”的增大而減小，

...當〃=20時，尸取得最小值，最小值為110,

.??從/城把該產品運往C地的產品數(shù)量為20件，則從N城把該產品運往。地的產品數(shù)量為0件；

從8城把該產品運往C地的產品數(shù)量為70件，則從5城把該產品運往。地的產品數(shù)量為10件時，可使4B

兩城運費的和最小.

12.(2021?湖州中考)今年以來，我市接待的游客人數(shù)逐月增加，據(jù)統(tǒng)計，游玩某景區(qū)的游客人數(shù)三月份為4萬人,

五月份為5.76萬人.

(1)求四月和五月這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長百分之幾；

(2)若該景區(qū)僅有8兩個景點，售票處出示的三種購票方式如下表所示：

購票方式甲乙丙

可游玩景點AB/和8

門票價格100元/人80元/人160元/人

據(jù)預測，六月份選擇甲、乙、丙三種購票方式的人數(shù)分別有2萬、3萬和2萬，并且當甲、乙兩種門票價格不變

時，丙種門票價格每下降1元，將有600人原計劃購買甲種門票的游客和400人原計劃購買乙種門票的游客改為

購買丙種門票.

①若丙種門票價格下降10元，求景區(qū)六月份的門票總收入；

②問：將丙種門票價格下降多少元時，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值？最大值是多少萬元？

解：(1)設四月和五月這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長率為X,

由題意，得4(1+x)2=5.76,

解這個方程，得xi=0.2,x2=-2.2(舍去)，

答：四月和五月這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長率為20%；

(2)①由題意，得

100X(2-10X0.06)+80X(3-10X0,04)+(160-10)X(2+10X0.06+10X0.04)=798(萬元).

答：景區(qū)六月份的門票總收入為798萬元.

②設丙種門票價格降低m元，景區(qū)六月份的門票總收入為少萬元，

由題意，得

沙=100(2-0.06m)+80(3-0,04m)+(160-m)(2+0.06m+0.04m),

化簡，得W=-0.1(m-24)2+817.6,

：-0.K0,

當心=24時，少取最大值，為817.6萬元.

答：當丙種門票價格下降24元時，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值，最大值是817.6萬元.

13.(2020?無錫中考)有一塊矩形地塊/5CD,48=20米，3c=30米.為美觀，擬種植不同的花卉，如圖所示，

將矩形ABCD分割成四個等腰梯形及一個矩形，其中梯形的高相等，均為x米.現(xiàn)決定在等腰梯形AEHD和BCGF

中種植甲種花卉；在等腰梯形4RFE和CD//G中種植乙種花卉；在矩形EFG8中種植丙種花卉.甲、乙、丙三

種花卉的種植成本分別為20元/米2、60元/米2、40元/米2,設三種花卉的種植總成本為y元.

(1)當x=5時，求種植總成本y；

(2)求種植總成本y與x的函數(shù)表達式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)若甲、乙兩種花卉的種植面積之差不超過120平方米，求三種花卉的最低種植總成本.

解：(1)當x=5時，EF=20-2x=10,