復(fù)習(xí)課（第1課時(shí)空間向量與立體幾何）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版選擇性

第1課時(shí)空間向量與立體幾何復(fù)習(xí)課人教B版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)知識(shí)梳理構(gòu)建體系知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

要點(diǎn)梳理

1.空間向量的有關(guān)概念,請(qǐng)完成下表.名稱定義零向量始點(diǎn)和終點(diǎn)相同的向量共線向量?jī)蓚€(gè)非零向量的方向相同或相反相等向量大小相等、方向相同的向量共面向量表示它們的有向線段通過(guò)平移之后,都能在同一平面內(nèi)2.向量加法運(yùn)算常應(yīng)用什么法則?減法運(yùn)算呢?提示:平行四邊形法則、三角形法則、多邊形法則.

三角形法則.3.數(shù)乘向量λa(λ∈R)是如何規(guī)定的?提示:(1)當(dāng)λ=0或a=0時(shí),λa=0;(2)當(dāng)λ≠0且a≠0時(shí),λa的模為|λ||a|,而且λa的方向:①當(dāng)λ>0時(shí),與a的方向相同;②當(dāng)λ<0時(shí),與a的方向相反.4.空間向量的數(shù)量積是如何定義的?數(shù)量積有哪些性質(zhì)?提示:a·b=|a||b|cos<a,b>性質(zhì)有:①a⊥b?a·b=0;②a·a=|a|2=a2;③|a·b|≤|a||b|;④(λa)·b=λ(a·b);⑤a·b=b·a(交換律);⑥(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).5.空間向量基本定理.(1)共線向量基本定理:如果a≠0且b∥a,則存在唯一的實(shí)數(shù)λ,使得b=λa.(2)平面向量基本定理:如果平面內(nèi)兩個(gè)向量a與b不共線,則對(duì)該平面內(nèi)任意一個(gè)向量c,存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(x,y),使得c=xa+yb.(3)共面向量定理:如果兩個(gè)向量a,b不共線,則向量a,b,c共面的充要條件是,存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(x,y),使c=xa+yb.(4)空間向量基本定理:如果空間中的三個(gè)向量a,b,c不共面,那么對(duì)空間中的任意一個(gè)向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.其中,{a,b,c}稱為空間向量的一組基底.6.空間向量的坐標(biāo)表示,請(qǐng)?zhí)羁?已知a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則(1)ua+vb=

(u,v∈R).

(2)|a|==

.

(3)a·b=

.

(4)當(dāng)a≠0時(shí),a∥b?b=λa?

(其中λ∈R).

(5)a⊥b?a·b=0?

.

答案:(1)(ux1+vx2,uy1+vy2,uz1+vz2)(2)

(3)x1x2+y1y2+z1z2(4)x2=λx1,y2=λy1,z2=λz1(5)x1x2+y1y2+z1z2=07.空間M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2)兩點(diǎn)間的距離公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式是什么?8.直線間的關(guān)系與它們方向向量有何聯(lián)系?提示:設(shè)直線l1,l2的方向向量分別是v1,v2,則(1)v1∥v2?l1∥l2或l1與l2重合.(2)l1與l2的夾角θ,θ=<v1,v2>或θ=π-<v1,v2>.(3)l1⊥l2?<v1,v2>=?v1·v2=0.9.空間中的線面關(guān)系、面面關(guān)系如何用向量表示?提示:(1)若v是直線l的一個(gè)方向向量,n是平面α的一個(gè)法向量,則有v∥n?l⊥α;v⊥n?l∥α或l?α.(2)若n1,n2分別是平面α1,α2的一個(gè)法向量,則有n1⊥n2?α1⊥α2;n1∥n2?α1∥α2或α1與α2重合.10.三垂線定理和它的逆定理是什么?提示:定理:如果平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直,則它也和這條斜線垂直.逆定理:如果平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直,則它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直.11.如何用向量法求空間角?12.怎樣用向量法求空間中的距離?提示:(1)點(diǎn)面距離:若A是平面α外一點(diǎn),B是平面α內(nèi)一點(diǎn),n是平面α的一個(gè)法向量,則點(diǎn)A到平面α的距離為(2)線面距離:如果直線l與平面α平行,n是平面α的一個(gè)法向量,A,B分別是l上和α內(nèi)的點(diǎn),則直線l與平面α之間的距離為(3)面面距離:如果平面α與平面β平行,n是平面β的一個(gè)法向量(當(dāng)然也是平面α的一個(gè)法向量),A和B分別是平面α與平面β內(nèi)的點(diǎn),則平面α與平面β之間的距離為(4)兩點(diǎn)間的距離:已知點(diǎn)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則A,B兩點(diǎn)間的距離為【思考辨析】

判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)單位向量都相等.(

)(2)若兩向量相等,則它們的模相等.(

)(3)對(duì)于任意一個(gè)非零向量a,λa(λ∈R)可以表示所有與a共線的向量.(

)(4)零向量與任意兩個(gè)向量共面.(

)(5)若兩直線的方向向量平行,則兩直線平行.(

)(6)若兩平面的法向量垂直,則兩平面垂直.(

)(7)二面角的大小等于其兩半平面的法向量的夾角.(

)(8)若平面α∥平面β,則α上任意一點(diǎn)到平面β的距離都等于α,β之間的距離.(

)×√√√×√×√專題歸納核心突破專題整合

專題一

空間向量及其運(yùn)算

分析:可借助于三角形法則、平行四邊形法則求解(1)(2)兩問;借助共面向量定理解答(3)問.平行四邊形法則和三角形法則是向量線性運(yùn)算的基本法則,充分理解相應(yīng)法則是求解此類問題的基礎(chǔ).專題二

利用空間向量解決平行、垂直問題【例2】

如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是平面對(duì)角線B1D1,A1B上的點(diǎn),且D1E=2EB1,BF=2FA1.(1)求證:直線EF∥AC1;(2)若EF是兩異面直線B1D1,A1B的公垂線,求證:該長(zhǎng)方體為正方體.分析:利用直線的方向向量和平面的法向量求解問題.有些問題中的線線、線面、面面平行垂直的問題,使用向量轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算,往往能化難為易,產(chǎn)生事半功倍的效果.【變式訓(xùn)練2】

如圖,在四面體ABCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,求證:AD⊥BC.專題三

向量法求空間角【例3】

如圖,正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直,M是CE與AD的交點(diǎn),AC⊥BC,且AC=BC.(1)求證:AM⊥平面EBC;(2)求直線AB與平面EBC所成角的大小;(3)求二面角A-EB-C的大小.(1)證明:∵四邊形ACDE是正方形,∴EA⊥AC.∵平面ACDE⊥平面ABC,∴EA⊥平面ABC.以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,如圖所示.設(shè)EA=AC=BC=2,則A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,2).∵M(jìn)是正方形ACDE的對(duì)角線的交點(diǎn),∴M(0,1,1).∴AM⊥EC,AM⊥CB.又EC∩CB=C,AM?平面EBC,∴AM⊥平面EBC.利用向量法求空間角,就是將空間角轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量所成夾角問題,從而通過(guò)向量運(yùn)算解決問題.解答此類問題時(shí),必須弄清要求的空間角和向量夾角間的關(guān)系.【變式訓(xùn)練3】

如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M為B1C1上一點(diǎn),且B1M=2,點(diǎn)N在線段A1D上,A1D⊥AN.(2)求直線AD與平面AMN夾角的正弦值;(3)求平面AMN與平面ABCD夾角的余弦值.專題四

求空間距離【例4】

在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,CC1=2.(1)求點(diǎn)D1到直線AC的距離;(2)求點(diǎn)B1到平面ABC1的距離;(3)求證:平面A1BC1∥平面ACD1;(4)求(3)中,兩平面間的距離.分析:建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量求解.解:(1)如圖,過(guò)點(diǎn)D作DO⊥AC,交AC于O點(diǎn),連接D1O,∵DD1⊥平面ABCD,∴由三垂線定理可得,D1O⊥AC.(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.則D(0,0,0),D1(0,0,2),A(1,0,0),A1(1,0,2),B(1,1,0),B1(1,1,2),C(0,1,0),C1(0,1,2).令z2=1,得x2=2,y2=2.∴m1=(2,2,1),m=m1.又平面A1BC1與平面ACD1不重合,∴平面A1BC1∥平面ACD1.(4)由(3)知平面A1BC1∥平面ACD1,∴點(diǎn)B到平面ACD1的距離即為兩平行平面間的距離d.求點(diǎn)到直線的距離,經(jīng)常用三垂線定理,在相應(yīng)的直角三角形內(nèi)解決問題.求直線到平面、平面到平面的距離時(shí),往往轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離.求點(diǎn)到平面的距離,常用的方法有:(1)作出垂線,在直角三角形內(nèi)解決問題;(2)利用等體積轉(zhuǎn)化;(3)利用向量法.【變式訓(xùn)練4】

如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2,D為CC1的中點(diǎn).(1)求證:AB1⊥平面A1BD;(2)求二面角A-A1D-B的余弦值;(3)求點(diǎn)C到平面A1BD的距離.(1)證明:如圖,取BC的中點(diǎn)O,連接AO.因?yàn)椤鰽BC為正三角形,所以AO⊥BC.因?yàn)樵谡庵鵄BC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中點(diǎn)O1,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則B(1,0,0),D(-1,1,0),高考體驗(yàn)

考點(diǎn)一

求異面直線所成角1.(2021·全國(guó)乙高考)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為B1D1的中點(diǎn),則直線PB與AD1所成的角為(

)解析:(方法一)如圖,連接BC1,PC1.由正方體的性質(zhì)可得AD1∥BC1,故∠PBC1為直線PB與AD1所成的角.答案:D考點(diǎn)二

求直線與平面所成角2.(2023·全國(guó)乙高考)已知△ABC為等腰直角三角形,AB為斜邊,△ABD為等邊三角形,若二面角C-AB-D為150°,則直線CD與平面ABC所成角的正切值為(

)解析:(方法一)如圖,取AB的中點(diǎn)O,連接OC,OD,則由題可知∠DOC為二面角C-AB-D的平面角,∴∠DOC=150°.(方法二)取AB的中點(diǎn)O,連接OC,OD.以O(shè)為原點(diǎn),的方向分別為x軸、y軸正方向,過(guò)點(diǎn)O作平面ABC的垂線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略).答案:C3.(多選題)將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角,其中正確的結(jié)論是(

)A.AC⊥BDB.AB,CD所成角為60°C.△ADC為等邊三角形D.AB與平面BCD所成角為60°答案:ABC4.(2021·浙江高考)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,∠ABC=120°,AB=1,BC=4,PA=,M,N分別為BC,PC的中點(diǎn),PD⊥DC,PM⊥MD.(1)證明:AB⊥PM;(2)求直線AN與平面PDM所成角的正弦值.(1)證明:在△CDM中,DC=1,MC=2,∠DCM=60°,則DM=,所以CD⊥DM.又因?yàn)镃D⊥PD,所以CD⊥平面PDM.因此CD⊥PM.又因?yàn)锳B∥CD,所以AB⊥PM.(2)解:如圖,以D為原點(diǎn),分別以射線DM,DC為x,y軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系D

-xyz,5.(2023·全國(guó)甲高考)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距離為1.(1)證明:A1C=AC;(2)已知AA1與BB1距離為2,求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值.(1)證明:∵A1C⊥底面ABC,BC?平面ABC,∴A1C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.又A1C,AC?平面ACC1A1,∴BC⊥平面ACC1A1.又BC?平面BCC1B1,∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.如圖,過(guò)點(diǎn)A1作A1O⊥CC1交CC1于點(diǎn)O,又平面ACC1A1∩平面BCC1B1=CC1,∴A1O⊥平面BCC1B1.∵A1到平面BCC1B1的距離為1,∴A1O=1.∵A1C⊥平面ABC,AC?平面ABC,∴A1C⊥AC.(2)解:∵A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,∴A1C,AC,BC兩兩垂直.考點(diǎn)三

求二面角6.(2023·全國(guó)乙高考)如圖,在三棱錐P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=2,PB=PC=,BP,AP,BC的中點(diǎn)分別為D,E,O,AD=DO,點(diǎn)F在AC上,BF⊥AO.(1)證明:EF∥平面ADO;(2)證明:平面ADO⊥平面BEF;(3)求二面角D-AO-C的正弦值.又因?yàn)镋為PA的中點(diǎn),則EF∥PC,又D,O分別為PB,BC的中點(diǎn),所以DO∥PC,則EF∥DO,因?yàn)镋F?平面ADO,DO?平面ADO,所以EF∥平面ADO.所以AO2+DO2=AD2,故AO⊥DO.因?yàn)镋F∥DO,則AO⊥EF,又因?yàn)锳O⊥BF,BF∩EF=F,BF,EF?平面BEF,所以AO⊥平面BEF,又因?yàn)锳O?平面ADO,所以平面ADO⊥平面BEF.因?yàn)镺,F分別為BC,AC的中點(diǎn),連接OF,所以O(shè)F∥AB,且OF=AB=1.又因?yàn)锳B⊥BC,所以O(shè)F⊥BC,所以二面角P-BC-A的平面角為∠POF,設(shè)∠POF=θ(0°<θ<180°).7.(2021·北京高考)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E為A1D1的中點(diǎn),直線B1C1交平面CDE于點(diǎn)F.(1)求證:點(diǎn)F為B1C1中點(diǎn);(1)證明:∵CD∥C1D1

,CD?平面A1B1C1D1,C1D1?平面A1B1C1D1,∴CD∥平面A1B1C1D1.由題意可知平面CDE∩平面A1B1C1D1=EF,CD?平面CDE,∴CD∥EF,∴C1D1∥EF.又點(diǎn)E為A1D1的中點(diǎn),∴點(diǎn)F為B1C1的中點(diǎn).(2)解:以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為