2023年甘肅省武威市中考數(shù)學模擬試卷（四）（附答案解析）

2023年甘肅省武威市中考數(shù)學模擬試卷（四）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個正確選項。

1.（3分）4的倒數(shù)是（）

A.-4B.4c-4

2.（3分）C60的發(fā)現(xiàn)使人類了解到一個全新的碳世界.如圖是C6O的分子結構圖，包括20

個正六邊形和12個正五邊形，其中正五邊形的一個內角的大小是（）

A.72°B.90uC.108」D.120“

3.（3分）烏鞘嶺是隴中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超過3500米.若用x（米）

表示烏鞘嶺主峰的海拔高度，則x滿足的關系為（）

A.,r<3500B.%W3500C.X23500D.x>3500

4.（3分）關于x的一元二次方程f-3x-%+l=0有實數(shù)根，則々的取值范圍是（）

A.k>一8C.kV8D.k<|

44

5.（3分）如圖，△ABC和AOE/是以點。為位似中心的位似圖形.若幽=2,則下列結

ED5

論正確的是（）

0A20B

'AD=50E

"煙2AC

FE"5

△DEF

6.（3分）5月31日是世界無煙日，小林為了了解所住小區(qū)成年人吸煙的人數(shù)，隨機調查了

10（）個成年人，結果有16個成年人吸煙.關于此次調查，下列說法錯誤的是（)

A.調查的方式是抽樣調查

B.樣本容量是100

C.小林還需要知道小區(qū)里成年人的人數(shù)

D.小林所住小區(qū)共有16個成年人吸煙

7.（3分）利用圓的等分，在半徑為3的圓中作出如圖的圖案，則相鄰兩等分點之間的距離

為（）

A.3B.3近C.4D.6

8.（3分）古代勞動人民在實際生活中有這樣一個問題：“檜子樓六十三，百根腿地里鉆，

兩者各幾何？”其大意為：蛤子和樓共有63個，共有100條腿，間有多少個蛤子，多少

個樓？（椅子有一條腿，樓有兩條腿）設箱子有x個，樓有），個，則F列方程組正確的

是（）

fx+y=63_fx+2y=63

A.<D?<

x+2y=100x+y=100

4

cfx-y=63D卜y=63

x+2y=1001x-2y=100

9.（3分）如圖是一個幾何體的三視圖，主視圖和左視圖均是面積為12的等腰三角形，俯

視圖是直徑為6的圓，則這個幾何體的全面積是（）

俯視圖

A.24TTB.217TC.15KD.127T

10.（3分）如圖①，動點尸從正六邊形的A點出發(fā)，沿A一r一￡一。一。以的速度勻

速運動到點G圖②是點P運動時，的面積1y（c〃『）隨著時間x（s）的變化的關

系圖象，則正六邊形的邊長為（）

二、填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分。

11.（3分）計算牛!§=.

12.（3分）分解因式：a4-1=.

2

13.（3分）若a是方程『+x-1=0的一個解，則代數(shù)式，一的值是_________.

a-1

14.（3分）如圖，平行四邊形4BCO中,對角線AC、8。相交于點O,過點。的直線分別

交AD.BC十點E、F,若AB=2,BC=3,/AOC=6（T,則圖中陰影部分的面枳

是____________________.

15.（3分）如圖，在平面直角坐標系中，已知點4（1,1）,以點。為旋轉中心，將點A逆

時針旋轉到點8的位置，則標的長為

16.<3分）如圖，任意將圖中的某白色方塊涂黑后，能使所有黑色方塊構成的圖形是中

心對稱圖形的概率是

17.（3分）擲實心球是濱州市中考體育測試中的一個項目，如圖所示，一名男生擲實心球,

22.（6分）人工智能越來越多地應用于現(xiàn)實生活，某科技小組的成員小星在一次就餐中,

對餐廳使用的“送菜機器人”很感興趣，于是他與小組成員一起研制了一個簡易的智能

機器人.如圖（1）,機器人底座48固定在桌面/（桌面足夠大）上，且ABVLAB=BC

=30an,CD=20athBC和C?？梢苑謩e繞點8,。自由轉動，且AB,BC,CQ始終在

同一平面內.機器人工作時，某時刻的示意圖如圖（2）所示，ZABC=150°,ZBCD

=100。，求此時點。到桌面/的距離（結果保留一位小數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：sin200~0.34,cos200=0.94,tan200多0.36,-1.73，V5^2.24.

AA

圖⑴圖⑵

23.（6分）某校在踐行以“安全在我心中，你我一起行動”為主題的手抄報評比活動中，

共設置了“交通安全、消防安全、飲食安全、校園安全”四個主題內容，推薦甲和乙兩

名學生參加評比，若他們每人從以上四個主題內容中隨機選擇一個，每個主題被選擇的

可能性相同.

交通安全消防安全飲食安全校園安全

（1）甲選擇“校園安全”主題的概率為;

（2）請用畫樹狀圖法或列表法求甲和乙選擇不同主題的概率.

四、解答題：本大題共5小題，共40分.解答時，應寫出必要的文字說明，證明過程或演算

步驟。

24.（7分）“垃圾分類新時尚，文明之風我先行”.某地自開展“創(chuàng)衛(wèi)、創(chuàng)文工作”以來，

廣大群眾積極參與各項工作.新修訂的生活垃圾分類標準為廚余垃圾、有害垃圾、其他

垃圾和可回收物四類，為了促使居民更好地了解垃圾分類知識，小珂所在的小區(qū)隨機抽

取了50名居民進行線上垃圾分類知識測試.將參加測試的居民的成績進行收集、整理，

繪制成如下頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖：

線上垃圾分類知識測試頻數(shù)分布表

成績分組頻數(shù)

50?603

60?709

70WxV80m

80?9012

90?1008

C.成績在80WXV90這一組的成績?yōu)?0,81,82,83,83,85,86,86,87,88,88,

89.

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）表中，〃的值為；

（2）請補全頻數(shù)分布圖；

（3）小到居住的社區(qū)大約有居民2000人，若測試成績達到80分為良好，那么估計小珂

所在的社區(qū)成績良好的人數(shù)約為人；

（4）若測試成績在前十五名的居民可以領到“垃圾分類知識小達人”獎章.已知居民A

的得分為87分，請說明居民4是否可以領到“垃圾分類知識小達人”獎章？

線上垃圾分類知識測試頻數(shù)分布直方圖

25.（7分）如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，△/W。的邊44垂直于x軸，垂

足為點反比例函數(shù)），=K（x>0）的圖象經過A。的中點C,交A4于點。，且AO=

X

3.若點。的坐標為（4,〃）.

（1）求反比例函數(shù)y=區(qū)的表達式.

（2）設點石是x軸上一動點，若△。石8的面積等于6,求點E的坐標.

26.(8分)如圖，AB是00的直徑，。是00上一點，0QJ_AC于點。，過點A作C。的

切線，交0D的延長線于點P,連接PC并延長與43的延長線交于點E.

(1)求證：PC是O。的切線；

(2)若PC=6,tanE=2,求8E的長.

4

27.(8分)某校數(shù)學活動小組探究了如下數(shù)學問題：

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,△A8C中，N8AC=90°,A8=AC.點尸是底邊8c上一點，

連接4P,以AP為腰作等腰RtZkAPQ,且NR\Q=90°,連接CQ.求證：BP=CQ；

(2)變式探究：如圖2,△A4C中，N84C=90。，AB=AC.點。是腰48上一點，連

接CP,以CP為底邊作等腰心△CPQ,連接4Q,判斷BP和4。的數(shù)量關系，并說明理

由；

(3)問題解決：如圖3,正方形ABC。的邊長為10,點P是邊48上一點，以。P為對

角線作正方形O￡PQ,連接AQ.若設正方形。EPQ的面積為y,AQ=x.求)，與x的函

數(shù)關系式.

圖3

28.（10分）如圖，拋物線y」J+bx+c與坐標軸相交于人（0,-2）,B（4,0）兩點，

2

點D為直線人8下方拋物線上一動點，過點。作x軸的垂線，垂足為G；0G交直線

于點E.

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）求EO的最大值；

（3）過點4的直線y=-〃+8交），軸于點C,交直線DG于點”，〃是y軸上一點，當

四邊形BEHF是矩形時，求點H的坐標.

2023年甘肅省武威市中考數(shù)學模擬試卷（四）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個正確選項。

1.（3分）4的倒數(shù)是（）

A.-4B.4C.-AD.-1

44

【答案】D

【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義：乘枳是1的兩個數(shù)，即可求解.

【解答】解：4的倒數(shù)是

4

故選：D.

【點評】本題主要考杳了倒數(shù)的定義，正確理解定義是解題關鍥.

2.（3分）。6。的發(fā)現(xiàn)使人類了解到?個全新的碳世界.如圖是C6O的分子結構圖，包括20

個正六邊形和12個正五邊形，其中正五邊形的一個內角的大小是（）

A.72°B.90°C.108,D.120°

【答案】C

【分析】根據(jù)多邊形的內角和公式及正多邊形性質計算即可.

【解答】解：:?正五邊形的內角和為：（5-2）X18O0=540",

???該正五邊形的每個內角為：540。-5=108°,

故選：C.

【點評】本題考查多邊形的內角和與正多邊形的性質，此為基礎且重要知識點，必須熟

練掌握.

3.（3分）烏鞘嶺是隴中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超過3500米.若用x（米）

表示烏鞘嶺主峰的海拔高度，則x滿足的關系為（）

A.xV3500B.%W3500C.x^35OOD.x>3500

【答案】。

【分析】根據(jù)烏鞘嶺是隴中高原和河西走廊的天然分界和主峰海拔超過3500米得出答案

即可.

【解答】解：???烏鞘嶺是隴中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超過3500米，x(米)

表示烏鞘嶺主峰的海拔高度，

???Q35OO,

故選：D.

【點評】本題考查了不等式的意義，能正確列出不等式是解此題的關鍵.

4.(3分)關于x的一元二次方程』-3x-%+l=0有實數(shù)根，則女的取值范圍是()

A.k>?$B.C.&D.

4.44飛4

【答案】B

【分析】先根據(jù)判別式的意義得到△=(-3)2-4X1X(-A+I)20,然后解關于k

的一元一次不等式即可.

【解答】解：根據(jù)題意得：△=(-3)2-4XlX(-R1)20,

解得k，-立.

4

故選：B.

【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0(40)的根與A=b2-4ac

有如下關系：當八>0時,，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=()時，方程有兩個相等的

實數(shù)根；當△<()時，方程無實數(shù)根.

5.(3分)如圖，△ABC和△OEF是以點。為位似中心的位似圖形.若膽=2,則下列結

ED5

論正確的是()

B毀上

*0E"5

s

C,上至上D.里3

S5FE5

八AnDEmF

【答案】B

【分析】根據(jù)位似三角形的性質逐項分析即可得出答案.

【解答】解：:△ABC和△?！晔且渣c。為位似中心的位似圖形，延上，

ED5

.?.空=2,故A錯誤，不符合題意；

0D5

毀上，故8正確，符合題意；

0E5

A

^AK=（2）24故C錯誤，不符合題意；

SA_525

△DEF

里3,故。錯誤，不符合題意.

DF5

故選：B.

【點評】本題考查了位似變換：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相

交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心.

6.（3分）5月31日是世界無煙日，小林為了了解所住小區(qū)成年人吸煙的人數(shù)，隨機調查了

100個成年人，結果有16個成年人吸煙.關于此次調查，下列說法錯誤的是（）

A.調查的方式是抽樣調查

B.樣本容量是100

C.小林還需要知道小區(qū)里成年人的人數(shù)

D.小林所住小區(qū)共有16個成年人吸煙

【答案】。

【分析】直接利用樣本容量的定義以及抽樣調查的定義分別分析得出答案.

【解答】解：A、調查的方式是抽樣調查，原說法正確，故此選項不符合題意；

8、樣本容量是100,原說法正確，故此選項不符合題意；

C小林還需要知道小區(qū)里成年人的人數(shù)，原說法正確，故此選項不符合題意；

。、小林所住小區(qū)占工-=16%的成年人吸煙，原說法錯誤，故此選項符合題意.

100

故選：D.

【點評】此題主要考查了樣本容量以及抽樣調查的定義，正確把握相關定義是解題關鍵.

7.（3分）利用圓的等分，在半徑為3的圓中作出如圖的圖案，則相鄰兩等分點之間的距離

為（)

A.3B.3V3C.4D.6

【答案】A

【分析】如圖，連接。4,。從根據(jù)等邊三角形的判定和性質定理即可得到結論.

【解答】解：如圖，連接CM,OB,

VZAOB=^—=60°,OA=OB,

6

，△人08是等邊三角形，

?"B=OA=3,

???相鄰兩等分點之間的距離為3,

故選：A.

【點評】本題考查了正多邊形與圓，等邊三角形的判定和性質，熟練掌握正六邊形的性

質是解題的關鍵.

8.（3分）古代勞動人民在實際生活中有這樣一個問題：“皓子樓六十三，百根腿地里鉆，

兩者各幾何？”其大意為：裕子和樓共有63個，共有100條腿，問有多少個粉子，多少

個樓？（殆子有一條腿，樓有兩條腿）設檜子有x個，樓有y個，則下列方程組正確的

是（）

fx+y=63口fx+2y=63

x+2y=100x均=100

Cfx-y=63D[xq=63

x+2y=100x-2y=100

【答案】A

【分析】根據(jù)“拾子和樓共有63個，共有100條腿”，即可得出關于x,y的二元一次方

程組，此題得解.

【解答】解：???蛤子和樓共有63個，

，x+y=63；

???拾子和樓共有100條腿,

.*.x+2y=100.

/_

???根據(jù)題意可列出方程組.

（2+2y=100

故選：A.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元?次方程組，找準等量關系，正確列出二元

一次方程組是解題的關鍵.

9.（3分）如圖是一個幾何體的三視圖，主視圖和左視圖均是面積為12的等腰三角形，俯

視圖是直徑為6的圓，則這個幾何體的全面積是（）

俯視圖

A.24nB.21irC.15nD.12n

【答案】A

【分析】依據(jù)題意可得這個幾何體為圓錐，其全面積=側面積+底面積.

【解答】解：圓錐的高=12X2+6=4,

母線長=^42+（64-2）2=5，

圓錐的全面積=TTX（64-2）2+TTX（64-2）X5=9ir+15n=24n.

故選：A.

【點評】本題考查由三視圖判斷幾何體，圓錐的計算.用到的知識點為：有2個視圖為

三角形，另個視圖為圓的幾何體是圓錐.

10.（3分）如圖①，動點P從正六邊形的A點出發(fā)，沿以lan/s的速度勻

速運動到點C,圖②是點。運動時，△A6的面積），（0/）隨著時間x（s）的變化的關

系圖象，則正六邊形的邊長為（）

【答案】B

【分析】由圖②得，點〃運動過程中，△ACP的面積的最大值為3d§”戶,此時點P在

點E上,由題得△AC￡為等邊三角形，根據(jù)面積公式求出AC,進而求出邊長.

【解答】解：由圖②得，點戶運動過程中，△ACP的面積的最大值為3d

此時點P在點E上，由題得△ACE為等邊三角形，

艮嘩AC2=375,

4

,\AC=2^J~3cm,

VZ5=120°,BA=RC,

AC=1：

?*.AB=2cni.

故答案為：B.

【，點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象的分析，等邊三角形面積公式是解題關鍵.

二、填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分。

11.（3分）計算知/=-2.

【答案】-2.

【分析】一個數(shù)x的立方等于“，即/=〃，則設個數(shù)x即為。的立方根，記作x=%,

據(jù)此即可求得答案.

【解答】解：返=-2,

故答案為：-2.

【點評】本題考查立方根的定義，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握.

12.（3分）分解因式：J-i=（/+］）（“+［）（〃-1）.

【答案】見試題解答內容

【分析】運用平方差公式進行兩次分解即可.

【解答】解：1,

=(/+J)(^2-1),

=(a2+1)(〃+1)(a-1).

故答案為：(a2+l)(?+1)(4-1).

【點評】本題考查了用平方差公式分解因式，注意利用平方差公式進行兩次分解，注意

分解要徹底.

2

13.(3分)若。是方程f+x-1=0的一個解.，則代數(shù)式，一的值是-1.

a-l

【答案】-I.

2

【分析】將“代入一元二次方程可以得到J=1然后代入代數(shù)式，一中計算即可.

a-l

【解答】解：:a是方程?+.”1=0的一個解，

/.cP+a-1=0,

a2=1-a，

a-l

=l-a

a71

=-1,

故答案為：-1.

【點評】本題考查一元二次方程的解，明確方程的解一定使得方程成立是解題的關健.

14.(3分)如圖，平行四邊形A8CD中，對角線AC、日。相交于點。，過點。的直線分別

交AD.BC于點E、F,若A4=2,BC=3,NAQC=60°,則圖中陰影部分的面積是

3a

1?

2.

【分析】由平行四邊形的性質可知陰影部分面積為平行四邊形面積的一半，進而可求出

結果.

【解答】解：???平行匹邊形A8CO中，對角線AC、相交于點O,

:?S/\AFO=S/、CEO,

???陰影部分面積等于△8C。的面積，即為nABCO面積的一半,

過點C作C匕LAD于點P,

,:CD=AB=2,ZADC=6(r,

???。尸=1,CP=43,

S平行四邊形人BCO=BC、CP=3、巧，

???陰影部分面積為2返，

2

故答案為：百巨.

2

【點評】本題考查平行四邊形的性質，熟練掌握平行四邊形對邊平行且相等的性質是解

題關鍵.

15.(3分)如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(1,1),以點。為旋轉中心，將點A逆

時針旋轉到點8的位置，則靠的氏為一亞2L_.

【分析】由點人(1,1),可得。4=J而工=、歷，點A在第一象限的角平分線上，

那么408=45°,再根據(jù)弧長公式計算即可.

【解答】解：???點4(1,1),

/.OA=712+12=V2＞點A在第一象限的角平分線上，

???以點。為旋轉中心，將點A逆時針旋轉到點B的位置，

；?NAOB=45°,

...標的長為45幾乂夜=亞三

1804

故答案為返2L.

4

【點評】本題考查了弧長公式：/=匚2里（弧長為/,圓心角度數(shù)為〃，圓的半徑為R）,

180

也考杳了坐標與圖形變化-旋轉，求出以及NAO4=45°是解題的關鍵.

16.（3分）如圖，任意將圖中的某一白色方塊涂黑后，能使所有黑色方塊構成的圖形是中

心對稱圖形的概率是1.

一2一

2

【分析】把一個圖形繞著某一個點旋轉180°,如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合,

那么這個圖形稱為中心對稱圖形，結合概率公式計算即可.

【解答】解：如圖，當涂黑1、2、3區(qū)域時，所有黑色方塊構成的圖形是中心對稱圖形,

?二p（是中心對稱圖形）44

0乙

故答案為：1.

【點評】本題考查了中心對稱圖形的定義，概率的計算，正確理解中心對稱圖形的定義，

掌握概率公式是解題的關鍵.

17.（3分）擲實心球是濱州市中考體育測試中的一個項目，如圖所示，一名男生擲實心球，

實心球行進的路線是一段拋物線，已知實心球出手時離地面2米，當實心球行進的水平

距離為4米時達到最高點，此時離地面3.6米，這名男生此次拋擲實心球的成績是」

【答案】10.

【分析】已知拋物線的頂點（4,3.6）,拋物線與），軸的交點（0,2）,可設拋物線的頂點

式，并求出解析式；要得到實心球的成績，即求出與工軸交點對應的x的值即可.

【解答】解：拋物線的頂點（4,3.6）,設拋物線的解析式為：），=a（x-4）2+3.6

把（0,2）代入解析式可求得

2

拋物線的解析式為：y=—L（X-4）+3.6

當產。時，4（X-4）2+3.6=0

解得：X1=-2（舍去），X2=10,

即這名男生此次拋擲實心球的成績是10米；

故答案為：10.

【點評】本撅考杳點的坐標的求法及二次函數(shù)的實際應用，此題為數(shù)學建模撅，借助二

次函數(shù)解決實際問題.

18.（3分）如圖，四邊形48CO是平行四邊形，以點B為圓心，的長為半徑作弧交4。

于點E,分別以點C、E為圓心，大于工CE的長為半徑作弧，兩弧交于點P，作射線8P

2

交八。的延長線于點F,ZCBE=60°,BC=4,則85的長為4y.

【答案】473.

【分析】由尺規(guī)作圖知8￡=BC=4,BF平分NCBE,再利用平行線的性質和角平分線的

定義可知BE=3E=4,過點E作EH工BF丁H,則再根據(jù)含30°角的直角三

角形的性質可得BH=?M，從而得出BF的長.

【解答】解：由尺規(guī)作圖知8E=3C=4,/好平分NC4E,

???NCB〃=NEB尸=,/cBE=30°，

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：,AD//BC,

:,/F=/CBF,

：,ZF=ZEBF=3Qa,

:?BE=FE,

過點E作EHLBF于H,則BH=FH,

?2"=暴=2，

乙

:,BH=MEH=2時,

:?BF=2BH=4a，

故答案為：473.

【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質，尺規(guī)作圖，等腰三角形的性質等知識，證

明8￡=石尸是解題的關鍵.

三、解答題：本大題共5小題，共26分.解答時，應寫出必要的文字說明，證明過程或演算

步驟。

19.（4分）計算：卜2|-2cos45°+（A）\

【答案】見試題解答內容

【分析】利用負整數(shù)指數(shù)轅的性質以及零指數(shù)箱的性質和特殊角的三角函數(shù)值分別化簡

得出答案.

【解答】解：原式=1+2-2XY1+4

2

-7-V2.

【點評】此題主要考查了負整數(shù)指數(shù)幕的性質以及零指數(shù)幕的性質和特殊角的三角函數(shù)

值等知識，正確化簡各數(shù)是解題關鍵.

20.（4分）化簡：一^--------J—

x2-2x+lx2-x2X2-2X

【答案】

X-1

【分析】先通分算括號內的，把除化為乘,再約分即可.

【解答】解：原式=[―J-J、].區(qū)(￡1),

(x-1)2x(x-1)x+1

=2x-x+l.2x(x-1)

x(x-1)2x+1

=x+1.2x(xT)

x(x-1)之x+1

2

x-1

【點評】本題考查分式的混合運算，解題的關鍵是掌握分式的基本性質，把分式通分和

約分.

21.(6分)今年是“一帶一路”倡議提出及建設開啟的十周年.十年來，我國與151個國

家、32個國際組織簽署了20()余份共建“一帶一路”合作文件，在基礎設施建設、能源

建設、交通運輸、脫貧等多個方面取得成果，為多個國家的合作發(fā)展帶來好消息.如圖，

北京與雅典、莫斯科建立了“一帶一路”貿易合作關系，記北京為A地，莫斯科為B地,

雅典為。地，若想建一個貨物中轉倉，使其到A,B,C三地的距離相等，那么如何選擇

中轉倉的位置？請你用尺規(guī)作圖設計出中轉倉的位置P,保留作圖痕跡，不用說明理由，

并描黑作圖痕跡.

【答案】作圖見解析過程.

【分析】作線段AB,AC的垂直平分線交于點P,點P即為所求.

【解答】解：如圖，點尸即為所求.

【點評】本題考查作圖-應用與設計作圖，線段的垂直平分線的性質等知識，解題的關

鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.

22.（6分）人工智能越來越多地應用于現(xiàn)實生活，某科技小組的成員小星在一次就餐中,

對餐廳使用的“送菜機器人”很感興趣，于是他與小組成員一起研制了一個簡易的智能

機器人.如圖（1）,機器人底座A8固定在桌面/（桌面足夠大）上，且ABLLAB=BC

=30a〃，CD=20cin,BC和CO可以分別繞點。自由轉動，且A4,BC,CQ始終在

同一平面內.機器人工作時，某時刻的示意圖如圖（2）所示，N/WC=I5O°,NBCD

=100°,求此時點。到桌面/的距離（結果保留一位小數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：sin200—.34,cos20°~0.94,tan200比0.36,V3^1.73>遙比2?24?

AA

圖⑴圖⑵

【答案】此時點。到桌面/的距離約為49.2cm.

【分析】過點作。立L/,垂足為七，過點C作。F_LA8,交八區(qū)的延長線于點尸，延長

/C與EQ相交于點G,根據(jù)題意可得：EG工FG,人產=日7,根據(jù)垂直定義可得NCF8=

NCGO=90°,再利用平角定義可得NCBF=30°,從而利用直角三角形的兩個銳角互

余可得NFCB=60°,然后利用平角定義可得NGCQ=20°,在中，利用銳角

三角函數(shù)的定義求出3尸的長，從而求出A尸的長，最后在Rt^CQG中，利用銳角三角

函數(shù)的定義求出。G的長，從而利用線段的和差關系進行計算，即可解答.

【解答】解：過點。作。從L/,垂足為E,過點。作CELA6,交的延長線于點P,

延長FC與EO相交「點G,

AE

由題意得：EGLFG,AF=EG,

:?/CFB=/CGD=90°,

VZABC=\50°,

AZCBF=1800-ZABC=30a，

：.ZFCB=W-ZCBF=6()°,

VZBCD=100°,

AZGCD=180°-NBCD-NFCB=20°,

在RtABCF中，BC=30cm,

???BF=8C?cos30°=30義返=15a(cm),

2

'：AB=30cm,

：,AF=AB+BF=(3O+15V3)cm,

：.GE=AF=(3O+15V3)cm,

在Rt^COG中，CD=20an,

ADG=CD-sin20<!弋20X0.34=6.8(cin),

：,DE=EG-DG=30+15^3-6.8弋49.2(cm),

???此時點D到桌面/的距離約為49.2cm.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)?/p>

輔助線是解題的關鍵.

23.(6分)某校在踐行以“安全在我心中，你我一起行動”為主題的手抄報評比活動中，

共設置了“交通安全、消防安全、飲食安全、校園安全”四個主題內容，推薦甲和乙兩

名學生參加評比，若他們每人從以上四個主題內容中隨機選擇一個，每個主題被選擇的

可能性相同.

交通安全消防安全飲食安全校園安全

(1)甲選擇“校園安全”主題的概率為-1;

-4-

(2)請用畫樹狀圖法或列表法求甲和乙選擇不同主題的概率.

【答案】(1)1；

4

（2）旦.

4

【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；

（2）畫樹狀圖，求得所有等可能的結果數(shù)，再找出甲和乙選擇不同主題的結果數(shù)，利用

概率公式求解即可.

【解答】解：（1）由題意，甲選擇“校園安全”主題的概率為』，

4

故答案為：1.

4

（2）設交通安全、消防安全、飲食安全、校園安全分別為A、B、C、D,

共有16種等可?能的結果，其中甲和乙選擇不同主題的結果有12種，

則甲和乙選擇不同主題的概率為」2=3.

164

【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的

列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件.用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總

情況數(shù)之比.

四、解答題：本大題共5小題，共40分.解答時，應寫出必要的文字說明，證明過程或演算

步驟。

24.（7分）“垃圾分類新時尚，文明之風我先行”.某地自開展“創(chuàng)衛(wèi)、創(chuàng)文工作”以來，

廣大群眾積極參與各項工作.新修訂的生活垃圾分類標準為廚余垃圾、有害垃圾、其他

垃圾和可回收物四類，為了促使居民更好地了解垃圾分類知識，小珂所在的小區(qū)隨機抽

取了50名居民進行線上垃圾分類知識測試.將參加測試的居民的成績進行收集、整理，

繪制成如下頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖：

a.線上垃圾分類知識測試頻數(shù)分布表

成績分組頻數(shù)

50?603

60?709

70?80m

8(0V9O12

90<A<1008

C.成績在80WxV90這一組的成績?yōu)?0,81,82,83,83,85,86,86,87,88,88,

89.

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）表中，〃的值為18；

（2）請補全頻數(shù)分布圖：

（3）小到居住的社區(qū)大約有居民200（）人，若測試成績達到80分為良好，那么估計小珂

所在的社區(qū)成績良好的人數(shù)約為800人:

（4）若測試成績在前十五名的居民可以領到“垃圾分類知識小達人”獎章.已知居民A

的得分為87分，請說明居民4是否可以領到“垃圾分類知識小達人”獎章？

線上垃圾分類知識測試頻數(shù)分布直方圖

（2）作圖見解析部分；

（3）800；

（4）居民A可以領到“垃圾分類知識小達人”獎章.

【分析】（1）根據(jù)題意，可以得到樣本容量，然后即可計算出〃?的值；

（2）根據(jù)頻數(shù)分布表中的數(shù)據(jù)和〃?的值，可以將頻數(shù)分布表補充完整；

（3）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，可以計算出小珂所在的社區(qū)良好的人數(shù)；

（4）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，可以得到88分是第多少名，從而可以得到居民A是否可以領

到“垃圾分類知識小達人”獎章.

【解答】解：（1）由題意可得.表中，〃的值為：50-3-9-12-8=18.

故答案為：18；

(2)由(1)值機的值為18,

由頻數(shù)分布表可知80WxV90這?組的頻數(shù)為12,

補全的頻數(shù)分布直方佟如圖所示：

線上垃圾分類知識測試頻數(shù)分布直方圖

(3)估計小珂所在的社區(qū)良好的人數(shù)約為2000X絲電=800(人),

50

故答案為:800；

(4)由題意可得，87分是第12名，

故居民人可以領到“坨圾分類知識小達人”獎章.

【點評】本題考查頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖、用樣本估計總體、樣本容量，解答木

題的關鍵是明確頻率=頻數(shù)?總數(shù).

25.(7分)如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，AABO的邊AB垂直于x軸，垂

足為點8,反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象經過A。的中點C,交AB于點D,且AO=

x

3.若點。的坐標為(4,〃).

(1)求反比例函數(shù)y=區(qū)的表達式.

(2)設點E是x軸上一動點，若ACEB的面積等于6,求點E的坐標.

（2）（-2,0）或（10,0）.

【分析】（I）根據(jù)線段中點的概念求出點C的坐標，解方程組求出匕得出反比例函數(shù)

的解析式；

（2）設點E的坐標為（x,0）,根據(jù)△CE8的面積等于6求出x的值即可.

【解答】解：（1）???點。的坐標為（4,〃），AD=3,

???點A的坐標為（4,什3）,

???點C是AO的中點，

???點C的坐標為（2,生旦），

2

把點C、。的坐標代入y=K,

x

4n=k

得2X小

乙

解得：（吟

Ik=4

則反比例函數(shù)的解析式為：產士

x

（2）設點￡的坐標為（x,0）,

由（1）知，C（2,2）.

：SACBE=^-BEX2=6,

2

:?BE=6,

當點E在點3左側時,E（-2,0）；

當點正在點8右側時，E（10,0）.

綜上所述，點E的坐標為（-2,0）或（10,0）.

【點評】本題考查的是待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，熟知待定系數(shù)法求反比例函數(shù)

解析式的一般步驟是解題的關鍵.

26.（8分）如圖，48是0。的直徑，。是。。上一點，OQ_LAC于點。，過點A作。。的

切線，交0。的延長線于點P,連接PC并延長與A8的延長線交于點￡.

（1）求證：PC是。。的切線：

（2）若PC=6,tanE=2,求8E的長.

4

【答案】見解答.

【分析】（1）如圖，連接0C由“垂徑定理”可知，。。垂直平分4。，所以NA0P=N

COP,由S/1S可證明△。人PgZXCOP,所以NOCP=/O/1P,由切線的性質可知，ZOAP

=90°,所以/0C尸=90°,即OC_L?C,由此可得結論；

（2）連接BC,根據(jù)正切函數(shù)可得AE的長，利用勾股定理可得PE的長，因為AB是。0

的直徑，所以NAC8=90°=ZECO,所以NEC8=NAC。，因為。4=0C,所以NQ4C

=ZACO=ZECB,易證△￡Q?SAE4C,所以EC：EA=EB：EC,代入數(shù)值可得答案.

【解答】證明：（1）如圖，連接OC,

VOD1AC,0D經過原點,

垂直平分AC,

JZAOP=ZCOP,

在也。/1尸和△C。尸中，

rOA=OC

,ZAOP=ZCOP^

OP=OP

???△0/1尸且△COP(SAS),

：?40CP=N0AP,

???布是o。的切線，

???2040=90°,

.".ZOCP=90°,BPOC±PC,

???PC是O。的切線.

(2)連接BC,如圖,

???/W是。。的直徑，

，NAC8=90°=NECO,

，/ECB+/BCO=NRCO+NACO,

，NEC8=NAC。，

\'OA=OC,

/.ZOAC=ZACO=ZECB,

*：ZE=ZE,

：AECBsREAC,

：,ECtEA=EB：EC,

:,Ed=EA*EB,

VtanE=-^.=—,B4=B4=6,

AE4

22=22=0,

???AE=8,^=VAP+AEV6+8L

：?EC=PE=PC=4,

：,BE=^-=2.

【點評】本題考查了切線的性質及判定，相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定

和性質，證明圓的切線的問題常用的思路是根據(jù)切線的判定定理轉化成證明垂直的閏題.

27.(8分)某校數(shù)學活動小組探究了如下數(shù)學問題:

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,/XABC中，ZBAC=90°,A8=AC.點P是底邊8C上一點，

連接AR以A尸為腰作等腰RtaAPQ,且N%Q=90°,連接CQ.求證：BP=CQ；

(2)變式探究：如圖2,△ABC中，ZBAC=90°,A8=AC.點P是腰AB上一點，連

接CP,以CP為底邊作等腰RtZXCPQ,連接AQ,判斷8戶和AQ的數(shù)量關系，并說明理

由；

(3)問題解決：如圖3,正方形ABCO的邊長為1(),點P是邊人8上一點，以DP為對

角線作正方形OEP。，連接AQ.若設正方形OEPQ的面積為y,AQ=x.求y與x的函

數(shù)關系式.

圖1圖2圖3

【答案】(1)證明見解答過程；

(2)BP=V2AQ.理由見解答過程；

(3)>'=V2-1OV2A+1OO.

【分析】(1)根據(jù)已知條件利用邊角邊證明△4APgZ\ACQ,再利用仝等三角形的性質

即可得到BP和CQ的數(shù)最關系；

(2)根據(jù)任意等腰直角三角形的直角邊與斜邊的比是相等的，利用兩邊成比例且夾角相

等的判定定理證明△CBPs^CAQ,之后再由相似三角形對應邊成比例即可得到BP和

AQ的數(shù)量關系；

(3)連接B。，先由正方形的性質判斷出△84。和△PQ。都是等腰直角三角形，再利用

與第二問同樣的方法證出△6P￡>S/^AQO,由相似比求出6Q,再由勾股定理求得DP,

則可列出關系式.

【解答】(1)證明：???△4PQ是等腰直角三角形，NBIQ=90°,

二在△ABC中，NBAC=90°,AB=AC

f：AP=AQ,ZBAP+zlPAC=ZCAQ+Zf^C.

：.ZBAP=ZCAQ

在△AS”和△ACQ4?,

rAB=AC

<ZBAP=ZCAQ,

AP=AQ

?△ACQ(SAS'),

：.BP=CQ；

(2)解:BPWEAQ.理由如下：

???△CPQ是等腰直角三角形，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC

AZACB=ZQCP=45a,或￡=2^,

PCBC2

???ZBCP+ZACP=ZACQ+ZACP=45°,

：.ZBCP=ZACQ.

,△C3Ps△CAQ,

.QCACAQV2

“PC-BC-BP-2'

???BP=V2AQ：

(3)解：如圖，連接BD.

???四邊形ABC。是正方形，四邊形。EPQ是正方形,

?