2017-2018學(xué)年人教a版必修三階段通關(guān)訓(xùn)練(三)含解析-(高一數(shù)學(xué))

階段通關(guān)訓(xùn)練(三)(60分鐘100分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.有一個(gè)容量為66的樣本,數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下:[11.5,15.5)2[15.5,19.5)4[19.5,23.5)9[23.5,27.5)18[27.5,31.5)11[31.5,35.5)12[35.5,39.5)7[39.5,43.5)3根據(jù)樣本的頻率分布估計(jì)數(shù)據(jù)落在[31.5,43.5)的概率約是()A.QUOTE1616B.QUOTE1313C.QUOTE1212D.QUOTE2323【解題指南】利用頻率是概率的近似值解此題.【解析】選B.由條件可知,落在[31.5,43.5)的數(shù)據(jù)有12+7+3=22(個(gè)),故所求概率約為QUOTE22662266=QUOTE1313.2.(2016·開封高一檢測)從裝有5個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球,那么,互斥而不對立的事件是()A.至少有一個(gè)紅球;都是紅球B.至少有一個(gè)紅球;都是白球C.至少有一個(gè)紅球;至少有一個(gè)白球D.恰有一個(gè)紅球;恰有兩個(gè)紅球【解析】選D.可以先考慮哪幾對事件是互斥的,然后從中排除還是對立的事件后,即可獲得互斥而不對立的事件.在各選項(xiàng)所涉及的四對事件中,僅選項(xiàng)B和D中的兩對事件是互斥事件.同時(shí),又可以發(fā)現(xiàn)選項(xiàng)B所涉及事件是一對對立事件,而D中的這對事件可以都不發(fā)生,故不是對立事件.【補(bǔ)償訓(xùn)練】從1,2,…,9中任取兩個(gè)數(shù),其中(1)恰有一個(gè)是偶數(shù)和恰有一個(gè)是奇數(shù).(2)至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù).(3)至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù).(4)至少有一個(gè)奇數(shù)和至少有一個(gè)偶數(shù).在上述事件中,是對立事件的是()A.(1)B.(2)(4)C.(3)D.(1)(3)【解析】選C.對立事件是不可能同時(shí)發(fā)生且和事件為必然事件,由條件知(3)是對立事件.3.如圖,正方形ABCD的邊長為2,△EBC為正三角形.若向正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn),則它落在△EBC內(nèi)的概率為()A.QUOTE3232 B.QUOTE3434 C.QUOTE1212 D.QUOTE1414【解析】選B.正方形的面積為4,S△EBC=QUOTE1212×2×QUOTE33=QUOTE33,所以質(zhì)點(diǎn)落在△EBC內(nèi)的概率為QUOTE3434.4.有一個(gè)奇數(shù)列1,3,5,7,9,…,現(xiàn)在進(jìn)行如下分組,第一組有1個(gè)數(shù)為1,第二組有2個(gè)數(shù)為3,5,第三組有3個(gè)數(shù)為7,9,11,…,以此類推,則從第十組中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)恰為3的倍數(shù)的概率為()A.QUOTE110110 B.QUOTE310310 C.QUOTE1515 D.QUOTE3535【解析】選B.由已知可得前九組共有1+2+3+…+9=45個(gè)奇數(shù),第十組共有10個(gè)奇數(shù),分別是91,93,95,97,99,101,103,105,107,109這10個(gè)數(shù)字,其中恰為3的倍數(shù)的數(shù)有93,99,105三個(gè),故所求概率為P=QUOTE310310.【誤區(qū)警示】本題首先需要找到分組的規(guī)律,然后準(zhǔn)確算出前九組奇數(shù)的個(gè)數(shù),從而找出第十組的所有奇數(shù),否則會(huì)讀不懂題或計(jì)算馬虎而導(dǎo)致錯(cuò)誤.5.(2016·江蘇高考改編)將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次,則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是()A.QUOTE5656 B.QUOTE2323 C.QUOTE1313 D.QUOTE1212【解析】選A.將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次向上的點(diǎn)數(shù)有36種結(jié)果,其中點(diǎn)數(shù)之和小于10的有30種,故所求概率為P=QUOTE30363036=QUOTE5656.6.如圖的矩形長為5,寬為2,在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆,數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為138顆,則我們可以估計(jì)出陰影部分的面積為()A.QUOTE235235 B.QUOTE23502350 C.10D.不能估計(jì)【解析】選A.利用幾何概型的概率計(jì)算公式,得陰影部分的面積約為QUOTE138300138300×(5×2)=QUOTE235235.二、填空題(每小題5分,共20分)7.從邊長為1的正方形的中心和頂點(diǎn)這五點(diǎn)中,隨機(jī)(等可能)取兩點(diǎn),則該兩點(diǎn)間的距離為QUOTE2222的概率是________.【解析】從五點(diǎn)中隨機(jī)取兩點(diǎn),共有10種情況.如圖,在正方形ABCD中,O為中心,因?yàn)檎叫蔚倪呴L為1,所以兩點(diǎn)距離為QUOTE2222的情況有(O,A),(O,B),(O,C),(O,D)共4種,故P=QUOTE410410=QUOTE2525.答案:QUOTE25258.(2016·廣州高一檢測)先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子,骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為x,y,則log2xy=1的概率為________.【解析】滿足log2xy=1的x,y有(1,2),(2,4),(3,6)這3種情況,而總的可能數(shù)為36種,所以P=QUOTE336336=QUOTE112112.答案:QUOTE1121129.一個(gè)袋子中有5個(gè)紅球,3個(gè)白球,4個(gè)綠球,8個(gè)黑球,如果隨機(jī)地摸出一個(gè)球,記A={摸出黑球},B={摸出白球},C={摸出綠球},D={摸出紅球},則P(A)=________;P(B)=________;P(C∪D)=________.【解析】由古典概型的算法可得P(A)=QUOTE820820=QUOTE2525,P(B)=QUOTE320320,P(C∪D)=P(C)+P(D)=QUOTE420420+QUOTE520520=QUOTE920920.答案:QUOTE2525QUOTE320320QUOTE92092010.設(shè)p在[0,5]上隨機(jī)地取值,則方程x2+px+QUOTEp4p4+QUOTE1212=0有實(shí)根的概率為________.【解析】一元二次方程有實(shí)數(shù)根?Δ≥0,而Δ=p2-4QUOTEp4+12p解得p≤-1或p≥2,故所求概率為P=QUOTE[0,5]?{(-∞,-1]?[2,+∞)}的長度[0,5]的長度[0,5]?{(-∞,-1]?[2,+∞)}的長度[0,5]的長度=QUOTE35答案:QUOTE3535三、解答題(共4小題,共50分)11.(12分)盒子里裝有6個(gè)紅球,4個(gè)白球,從中任取3個(gè)球.設(shè)事件A表示“3個(gè)球中有1個(gè)紅球,2個(gè)白球”,事件B表示“3個(gè)球中有2個(gè)紅球,1個(gè)白球”.已知P(A)=QUOTE310310,P(B)=QUOTE1212,求“3個(gè)球中既有紅球又有白球”的概率.【解析】記事件C為“3個(gè)球中既有紅球又有白球”,則它包含事件A“3個(gè)球中有1個(gè)紅球,2個(gè)白球”和事件B“3個(gè)球中有2個(gè)紅球,1個(gè)白球”,而且事件A與事件B是互斥的,所以P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=QUOTE310310+QUOTE1212=QUOTE4545.12.(12分)某縣城有甲、乙兩種報(bào)紙供居民訂閱,記事件A為“只訂甲報(bào)”,事件B為“至少訂一種報(bào)紙”,事件C為“至多訂一種報(bào)紙”,事件D為“不訂甲報(bào)”,事件E為“一種報(bào)紙也不訂”.判斷下列事件是不是互斥事件;如果是,再判斷它們是不是對立事件:(1)A與C.(2)B與E.(3)B與D.(4)B與C.(5)C與E.【解析】(1)由于事件C“至多訂一種報(bào)紙”中包括“只訂甲報(bào)”,即事件A與事件C有可能同時(shí)發(fā)生,故A與C不是互斥事件.(2)事件B“至少訂一種報(bào)紙”與事件E“一種報(bào)紙也不訂”是不可能同時(shí)發(fā)生的,故B與E是互斥事件;由于事件B發(fā)生會(huì)導(dǎo)致事件E一定不發(fā)生,且事件B不發(fā)生會(huì)導(dǎo)致事件E一定發(fā)生,故B與E還是對立事件.(3)事件B“至少訂一種報(bào)紙”中包括“只訂乙報(bào)”,即有可能“不訂甲報(bào)”,也就是說事件B和事件D有可能同時(shí)發(fā)生,故B與D不是互斥事件.(4)事件B“至少訂一種報(bào)紙”中包括“只訂甲報(bào)”“只訂乙報(bào)”“訂甲、乙兩種報(bào)”.事件C“至多訂一種報(bào)紙”中包括“一種報(bào)紙也不訂”“只訂甲報(bào)”“只訂乙報(bào)”.由于這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生,故B與C不是互斥事件.(5)由(4)的分析,事件E“一種報(bào)紙也不訂”僅僅是事件C中的一種可能情況,事件C與事件E可能同時(shí)發(fā)生,故C與E不是互斥事件.13.(13分)甲、乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間在某處會(huì)面,并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘,過時(shí)即可離去.求兩人能會(huì)面的概率(用兩種方法).【解析】方法一:以x軸和y軸分別表示甲、乙兩人到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)間,則兩人能夠會(huì)面的條件是|x-y|≤15.在如圖所示平面直角坐標(biāo)系下,(x,y)的所有可能結(jié)果是邊長為60的正方形區(qū)域,而事件A“兩人能夠會(huì)面”的可能結(jié)果由圖中的陰影部分表示.由幾何概型的概率公式得:P(A)=QUOTESASSAS=QUOTE602-452602602-4所以兩人能會(huì)面的概率是QUOTE716716.方法二:設(shè)事件A={兩人能會(huì)面}.(1)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組0到1之間的均勻隨機(jī)數(shù),x1=RAND,y1=RAND.(2)經(jīng)過伸縮變換,x=x160,y=y160,得到兩組[0,60]上的均勻隨機(jī)數(shù).(3)統(tǒng)計(jì)出試驗(yàn)總次數(shù)N和滿足條件|x-y|≤15的點(diǎn)(x,y)的個(gè)數(shù)N1.(4)計(jì)算頻率fn(A)=QUOTEN1NN1N14.(13分)某日用品按行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成五個(gè)等級(jí),等級(jí)系數(shù)x依次為1,2,3,4,5.現(xiàn)從一批該日用品中隨機(jī)抽取20件,對其等級(jí)系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得到頻率分布表如下:x12345fa0.20.45bc(1)若所抽取的20件日用品中,等級(jí)系數(shù)為4的恰有3件,等級(jí)系數(shù)為5的恰有2件,求a,b,c的值.(2)在(1)的條件下,將等級(jí)系數(shù)為4的3件日用品記為x1,x2,x3,等級(jí)系數(shù)為5的2件日用品記為y1,y2,現(xiàn)從x1,x2,x3,y1,y2這5件日用品中任取兩件(假定每件日用品被取出的可能性相同),寫出所有可能的結(jié)果,并求這兩件日用品的等級(jí)系數(shù)恰好相等的概率.【解析】(1)由頻率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1,即a+b+c=0.35.因?yàn)槌槿〉?0件日用品中,等級(jí)系數(shù)為4的恰有3件,所以b=QUOTE320320=0.15.等級(jí)系數(shù)為5的恰有2件,所以c=QUOTE220220=0.1.從而a=0.35-b-c=0.1,所以a=0.1,b=0.15,c=0.1.(2)從日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取兩件,所有可能的結(jié)果為:{x1,x2},{x1,x3},{x1,y1},{x1,y2},{x2,x3},{x2,y1},{x2,y2},{x3,y1},{x3,y2},{y1,y2},即基本事件的總數(shù)為10.設(shè)事件A表示“從日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取兩件,其等級(jí)系數(shù)相等”,則A包含的基本事件為{x1,x2},{x1,x3},{x2,x3},{y1,y2},共4個(gè).故所求的概率P(A)=QUOTE410410=0.4.【能力挑戰(zhàn)題】將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次,將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為a,b.(1)求直線ax+by+5=0與圓x2+y2=1相切的概率.(2)將a,b,5的值分別作為三條線段的長,求這三條線段能圍成等腰三角形的概率.【解析】(1)先后2次拋擲一枚骰子,將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為a,b,事件總數(shù)為6×6=36.因?yàn)橹本€ax+by+5=0與圓x2+y2=1相切,所以有QUOTE5a2+b25a2+由于a,b∈{1,2,3,4,5,6}.所以,滿足條件的情況只有a=3,b=4或a=4,b=3兩種情況.所以,直線ax+by+5=0與圓x2+y2=1相切的概率是QUOTE236236=QUOTE118118.(2)先后2次拋擲一枚骰子,將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為a,b,事件總數(shù)為6×6=36.因?yàn)?三角形的一邊長為5,所以,當(dāng)a=1時(shí),b=5,(