2017年河南省鄭州市高二(上)期末數(shù)學試卷((含答案))

2016-2017學年河南省鄭州市高二（上）期末數(shù)學試卷（理科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求.1．（5分）不等式＞1的解集為（）A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（0，+∞）2．（5分）a＞b的一個充分不必要條件是（）A．a=1，b=0 B．＜ C．a2＞b2 D．a3＞b33．（5分）在△ABC中，若a=1，b=2，cosA=，則sinB=（）A． B． C． D．4．（5分）等比數(shù)列{an}中，a2+a4=20，a3+a5=40，則a6=（）A．16 B．32 C．64 D．1285．（5分）兩座燈塔A和B與海洋觀測站C的距離分別是akm和2akm，燈塔A在觀測站C的北偏東20°，燈塔B在觀測站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B之間的距離為（）A．akm B．2akm C．akm D．akm6．（5分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)滿足=3，=3，則BE與DF所成角的正弦值為（）A． B． C． D．7．（5分）等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1009=1，則S2017（）A．1008 B．1009 C．2016 D．20178．（5分）過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A，B兩點，若O為坐標原點，則?=（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣49．（5分）設橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，P是C上的點PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，則C的離心率為（）A． B． C． D．10．（5分）在△ABC中，若BC=2，A=120°，則?的最大值為（）A． B．﹣ C． D．﹣11．（5分）正實數(shù)ab滿足+=1，則（a+2）（b+4）的最小值為（）A．16 B．24 C．32 D．4012．（5分）圓O的半徑為定長，A是平面上一定點，P是圓上任意一點，線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡為（）A．一個點 B．橢圓C．雙曲線 D．以上選項都有可能二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）命題“?x∈[﹣，]，tanx≤m”的否定為．14．（5分）若x，y滿足，則z=x+2y的取值范圍為．15．（5分）已知F為雙曲線C：﹣=1的左焦點，A（1，4），P是C右支上一點，當△APF周長最小時，點F到直線AP的距離為．16．（5分）若數(shù)列{an}滿足an+1+（﹣1）n?an=2n﹣1，則{an}的前40項和為．三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明或推理、驗算過程.17．（10分）設f（x）=（m+1）x2﹣mx+m﹣1．（1）當m=1時，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若不等式f（x）+1＞0的解集為，求m的值．18．（12分）在△ABC中，a，b，c的對角分別為A，B，C的對邊，a2﹣c2=b2﹣，a=6，△ABC的面積為24．（1）求角A的正弦值；（2）求邊b，c．19．（12分）Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知an＞0，an2+an=2Sn．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若bn=，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．20．（12分）已知命題p：函數(shù)f（x）=lg（x2﹣2x+a）的定義域為R，命題q：對于x∈[1，3]，不等式ax2﹣ax﹣6+a＜0恒成立，若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．21．（12分）如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面為邊長為1的正方形，側棱AA1=2（1）求直線DC與平面ADB1所成角的大小；（2）在棱上AA1是否存在一點P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小為30°，若存在，確定P的位置，若不存在，說明理由．22．（12分）在圓x2+y2=3上任取一動點P，過P作x軸的垂線PD，D為垂足，=動點M的軌跡為曲線C．（1）求C的方程及其離心率；（2）若直線l交曲線C交于A，B兩點，且坐標原點到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值．

2016-2017學年河南省鄭州市高二（上）期末數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求.1．（5分）不等式＞1的解集為（）A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（0，+∞）【解答】解：不等式可化為x（x﹣1）＜0，∴0＜x＜1，∴不等式＞1的解集為（0，1），故選B．2．（5分）a＞b的一個充分不必要條件是（）A．a=1，b=0 B．＜ C．a2＞b2 D．a3＞b3【解答】解：A．當a=1，b=0時，滿足a＞b，反之不成立，則a=1，b=0是a＞b的一個充分不必要條件．B．當a＜0，b＞0時，滿足＜，但a＞b不成立，即充分性不成立，C．當a=﹣2，b=1時，滿足a2＞b2，但a＞b不成立，即充分性不成立，D．由a3＞b3得a＞b，即a3＞b3是a＞b成立的充要條件，故選：A3．（5分）在△ABC中，若a=1，b=2，cosA=，則sinB=（）A． B． C． D．【解答】解：∵0＜A＜π，且cosA=，∴sinA==，由正弦定理得，，則sinB===，故選D．4．（5分）等比數(shù)列{an}中，a2+a4=20，a3+a5=40，則a6=（）A．16 B．32 C．64 D．128【解答】解：∵等比數(shù)列{an}中，a2+a4=20，a3+a5=40，∴，解得a=2，q=2，∴a6=2×25=64．故選：C．5．（5分）兩座燈塔A和B與海洋觀測站C的距離分別是akm和2akm，燈塔A在觀測站C的北偏東20°，燈塔B在觀測站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B之間的距離為（）A．akm B．2akm C．akm D．akm【解答】解：根據(jù)題意，△ABC中，∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°，∵AC=akm，BC=2akm，∴由余弦定理，得cos120°=，解之得AB=akm，即燈塔A與燈塔B的距離為akm，故選：D．6．（5分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)滿足=3，=3，則BE與DF所成角的正弦值為（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，設正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長為4，∵點E，F(xiàn)滿足=3，=3，∴B（4，4，0），E（4，3，4），D（0，0，0），F(xiàn)（0，1，4），=（0，﹣1，4），=（0，1，4），設異面直線BE與DF所成角為θ，則cosθ===．sinθ==，∴BE與DF所成角的正弦值為．故選：A．7．（5分）等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1009=1，則S2017（）A．1008 B．1009 C．2016 D．2017【解答】解：∵等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1009=1，∴S2017=（a1+a2017）=2017a1009=2017．故選：D．8．（5分）過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A，B兩點，若O為坐標原點，則?=（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【解答】解：由題意知，拋物線y2=4x的焦點坐標為（1，0），∴直線AB的方程為y=k（x﹣1），由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，設A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，x1+x2=1，y1?y2=k（x1﹣1）?k（x2﹣1）=k2[x1?x2﹣（x1+x2）+1]'則?=x1?x2+y1?y2=x1?x2+k（x1﹣1）?k（x2﹣1）=﹣3．故選：C．9．（5分）設橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，P是C上的點PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，則C的離心率為（）A． B． C． D．【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的離心率為：e==．故選D．10．（5分）在△ABC中，若BC=2，A=120°，則?的最大值為（）A． B．﹣ C． D．﹣【解答】解：∵，∴?4=AC2+AB2﹣2AC?ABcosA?4=AC2+AB2+AC?AB≥2A?CAB+AC?AB=3AC?AB?AC?AB≤∴?=AC?ABcos120°≤，則?的最大值為，故選：A．11．（5分）正實數(shù)ab滿足+=1，則（a+2）（b+4）的最小值為（）A．16 B．24 C．32 D．40【解答】解：正實數(shù)a，b滿足+=1，∴1≥2，解得ab≥8，當且僅當b=2a=4時取等號．b+2a=ab．∴（a+2）（b+4）=ab+2（b+2a）+8=3ab+8≥32．故選：C．12．（5分）圓O的半徑為定長，A是平面上一定點，P是圓上任意一點，線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡為（）A．一個點 B．橢圓C．雙曲線 D．以上選項都有可能【解答】解：∵A為⊙O外一定點，P為⊙O上一動點線段AP的垂直平分線交直線OP于點Q，則QA=QP，則QA﹣QO=QP﹣QO=OP=R，即動點Q到兩定點O、A的距離差為定值，根據(jù)雙曲線的定義，可知點Q的軌跡是：以O，A為焦點，OP為實軸長的雙曲線故選：C．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）命題“?x∈[﹣，]，tanx≤m”的否定為?x∈[﹣，]，tanx＞m．【解答】解：命題“?x∈[﹣，]，tanx≤m”的否定為命題“?x∈[﹣，]，tanx＞m”，故答案為：?x∈[﹣，]，tanx＞m14．（5分）若x，y滿足，則z=x+2y的取值范圍為[0，]．【解答】解：x，y滿足，不是的可行域如圖：z=x+2y化為：y=﹣+，當y=﹣+經過可行域的O時目標函數(shù)取得最小值，經過A時，目標函數(shù)取得最大值，由，可得A（，），則z=x+2y的最小值為：0；最大值為：=．則z=x+2y的取值范圍為：[0，]．故答案為：[0，]．15．（5分）已知F為雙曲線C：﹣=1的左焦點，A（1，4），P是C右支上一點，當△APF周長最小時，點F到直線AP的距離為．【解答】解：設雙曲線的右焦點為F′（4，0），由題意，A，P，F(xiàn)′共線時，△APF周長最小，直線AP的方程為y=（x﹣4），即4x+3y﹣16=0，∴點F到直線AP的距離為=，故答案為：16．（5分）若數(shù)列{an}滿足an+1+（﹣1）n?an=2n﹣1，則{an}的前40項和為820．【解答】解：由于數(shù)列{an}滿足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．從而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…從第一項開始，依次取2個相鄰奇數(shù)項的和都等于2，從第二項開始，依次取2個相鄰偶數(shù)項的和構成以8為首項，以16為公差的等差數(shù)列．{an}的前40項和為10×2+（10×8+×16）=820，故答案為：820三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明或推理、驗算過程.17．（10分）設f（x）=（m+1）x2﹣mx+m﹣1．（1）當m=1時，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若不等式f（x）+1＞0的解集為，求m的值．【解答】（本題12分）解：（1）當m=1時，不等式f（x）＞0為：2x2﹣x＞0?x（2x﹣1）＞0?x＞，x＜0；因此所求解集為；…（6分）（2）不等式f（x）+1＞0即（m+1）x2﹣mx+m＞0∵不等式f（x）+1＞0的解集為，所以是方程（m+1）x2﹣mx+m=0的兩根因此?．…（12分）18．（12分）在△ABC中，a，b，c的對角分別為A，B，C的對邊，a2﹣c2=b2﹣，a=6，△ABC的面積為24．（1）求角A的正弦值；（2）求邊b，c．【解答】解：（1）由在△ABC中，a2﹣c2=b2﹣①，整理得cosA==，則sinA==；（2）∵S=bcsinA=24，sinA=，∴bc=80，將a=6，bc=80代入①得：b2+c2=164，與bc=80聯(lián)立，解得：b=10，c=8或b=8，c=10．19．（12分）Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知an＞0，an2+an=2Sn．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若bn=，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．【解答】解：（1）由題得an2+an=2Sn，an+12+an+1=2Sn+1，兩式子相減得：結合an＞0得an+1﹣an=1…..（4分）令n=1得a12+a1=2S1，即a1=1，所以{an}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，即an=n…..（6分）（2）因為bn==（n≥2）所以Tn=+…+①Tn=+…++②…..（8分）①﹣②得Tn=1++…+﹣=﹣，所以數(shù)列{bn}的前n項和Tn=3﹣．…..（12分）20．（12分）已知命題p：函數(shù)f（x）=lg（x2﹣2x+a）的定義域為R，命題q：對于x∈[1，3]，不等式ax2﹣ax﹣6+a＜0恒成立，若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：當P真時，f（x）=lg（x2﹣2x+a）的定義域為R，有△=4﹣4a＜0，解得a＞1．…..（2分）當q真時，即使g（x）=ax2﹣ax﹣6+a在x∈[1，3]上恒成立，則有a＜在x∈[1，3]上恒成立，而當x∈[1，3]時，=≥，故a＜．…..（5分）又因為p∨q為真命題，p∧q為假命題，所以p，q一真一假，…..（6分）當p真q假時，a＞1．…..（8分）當p假q真時，a＜…..（10分）所以實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，）∪（1，+∞）…..（12分）21．（12分）如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面為邊長為1的正方形，側棱AA1=2（1）求直線DC與平面ADB1所成角的大??；（2）在棱上AA1是否存在一點P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小為30°，若存在，確定P的位置，若不存在，說明理由．【解答】解：（1）∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面為邊長為1的正方形，側棱AA1=2，∴以點D為坐標原點O，DA，DC，DA1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，…..（2分）D（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，1，），C（0，1，0），，=（0，1，），=（0，1，0），設平面ADB1的法向量為，則，取z=1，得=（0，﹣，1），…..（4分）設直線DC與平面所ADB1成角為θ，則sinθ=|cos＜＞|==，∵θ∈[0，]，∴θ=，∴直線DC與平面ADB1所成角的大小為．…..（6分）（2）假設存在點P（a，b，c）