數(shù)學(xué)-湖南省炎德英才2025屆高三九校聯(lián)盟第二次聯(lián)考試題和答案

湖南省2025屆高三九校聯(lián)盟第二次聯(lián)考1.已知集合A={x||x-1|<2},B={y∈Z|y=2=},則A∩B=A.(一1,3)B.[1,3]C.{1,2}D.{0,1,2}AAA.1AAC及C6.歐拉函數(shù)p(n)(n∈N")的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n,且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例A.60B.308.對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)f(x),若存在一個(gè)點(diǎn)xo,使得f(xo)=xo,那么我們稱f(x)為滿足f(x;)=xi,CD.f(x)=2sinx+2cosxC9.若(x+1)?=ao+a?x+a?x2+a?x3+aAx?+B.數(shù)據(jù)ao,ai,a?,a?,a?,as的30%分位數(shù)為5C.數(shù)據(jù)a?+1,a?,a?,a?,a?,as+3的標(biāo)準(zhǔn)差為3A.直線AB與平面ACD所成角的正弦值為1B,三棱錐C-ABD的體積C.平面ABD的方程為x+√2y+√3z-2=00,若g(xy+1)=g(x+1)g(y+1),h(2)=4g(2),則A.g(1)=0B.f(1)=0數(shù)學(xué)試題第2頁(共5頁)15.(本小題滿分13分)數(shù)學(xué)試題第3頁(共5頁)18.(本小題滿分17分)已知直線l:y=x+1與雙曲線及其漸近線分別交于點(diǎn)A,B和點(diǎn)C,D.(3)若m=2,過雙曲線M上一點(diǎn)P向雙曲線N:作切線L?,l?,其斜率分別為k?,k?,問是否存在這樣的λ,使得k?·k?為定值?若存在，求出λ的值及定值k?·k?;若不存19.(本小題滿分17分)(2)設(shè)函數(shù)f(x)=x-1+klnx(k≠0),直線l是曲線y=f(x)在點(diǎn)(t,f(t))(t>1)處的切線.求證：直線L不經(jīng)過點(diǎn)(1,0);(3)已知函數(shù),對任意a>0,判斷是否存在b>0,使函數(shù)與g(x)在區(qū)間(0,+一)內(nèi)存在“公切點(diǎn)”?并說明理由.數(shù)學(xué)試題第5頁(共5頁)湖南省2025屆高三九校聯(lián)盟第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案命題學(xué)校：桑植縣一中審題學(xué)校：湖南師大附中一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)12345678CBCCDBAD故選C.3.C【解析】已知拋物線,化為標(biāo)準(zhǔn)形式為x2=16y,則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p=8.故選C.5.D【解析】因?yàn)镻(3,4)為角α的終邊上一點(diǎn)，則,將角α的終邊繞原點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得故選D.6.B【解析】由題知φ(2)=1,φ(4)=2,φ(6)=2,φ(8)=4,φ(10)=4,可組成五位數(shù)的個(gè)數(shù)為,故解得即直線L過定點(diǎn)D(0,-1),且不含直線x+y+1=|AB|min=2√4-2=2√2,但此時(shí)直線AB為x+y+1=0,不合題意，所以2√2<因?yàn)閥=x+lnx-1在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)=1-Inx不可能為“3型不動點(diǎn)”函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對于B,令f(x)=5-Inx-e2=x(x>0),即x+Inx+e2-5=0.因?yàn)閥=x+lnx+e-5在區(qū)間(0,+一)上單調(diào)遞增，所以f(x)=5-Inx-e2不可能為“3型不動點(diǎn)”函數(shù)，故B錯(cuò)誤；所以當(dāng)x<0時(shí)，的圖象與直線y=x有且只有一個(gè)交點(diǎn)；令f(x)=1,,解得x=2,此時(shí)f(2)=2,所以直線y=x與曲線相切于點(diǎn)(2,2).所以直線y=x與曲線共有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)學(xué)試題參考答案-1所以為“2型不動點(diǎn)”函數(shù)，故C錯(cuò)誤；作出f(x)的圖象，如圖所示.易知其與直線y=x有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即2sinx+2cosx=x有三個(gè)不同的解，所以f(x)=2sinx+2cosx為“3型不動點(diǎn)”函數(shù)，故D正確.故選D.二、選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)題號9答案ao=1,a?=5,a?=10,a?=10,a=5,as=1,數(shù)據(jù)按從小到大順序排列為1,1,5,5,10,10,故30%分位數(shù)為第二個(gè)數(shù)1,故B錯(cuò)誤；由數(shù)據(jù)為2,5,10,10,5,4,則平均數(shù)為6,方差為9,標(biāo)準(zhǔn)差為3,故C正確；32,則X～N(32,o2),D正確.故選ACD.得得,故與平面ACD所成角的正弦值為1,則直線AB⊥平面ACD.則,故B錯(cuò)誤；AB=(-2,√2,0),則平面ABD的一個(gè)法向量為n=(1,√2,√3),所以平面ABD的方程為(x-2)+√2y+√3z=0,化簡得x+√2y+√3z-2=0,故C正確；AD在AB上的投影向量,故D正確.故選CD.令x=0,得g(1)=g(1)g(y+1),若g(y+1)=1,則h(y+1)=0,而h(2)=4,所以g(1)=0令x=-1,y=-1,得g(2)=g(0)g(0)=1,則g(0)=1.令y=-1,得g(1-x)=g(0)g(1+x),即g(1-x)=g(1+x),即g(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，所以h(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，無法判斷f(x)的圖象是否關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，B項(xiàng)錯(cuò)誤，C項(xiàng)正確；因?yàn)閔(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，所以h(O)+h(2)=h(-1)+h(3)=h(-2)+h(4)=…=h(-2023)+h(2025)=0,所以項(xiàng)正確.故選ACD.法二：構(gòu)造函數(shù)g(x)=(x-1)?,則有h(x)=4(x-1)3,,代入驗(yàn)證有g(shù)(1)=0,A正確；h(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，故h(O)+h(2)=h(-1)+h(3)=…=h(-2023)+h(2025)=0,數(shù)學(xué)試題參考答案-2所正確，故選ACD.三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)所以an=3n-2,12.590【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題知解所以an=3n-2,的蒙日圓，由A,B為橢圓C=1上任意兩點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足∠APB恒為銳角，得點(diǎn)P在圓x2+y2=2+m外，又動點(diǎn)P在直線x-√3y-8,解得,所以橢圓C的離心率的取值范圍為【解析】類比分析可以知道，小球在正方體內(nèi)部運(yùn)動，“小米正方體”的8個(gè)角合在一起剛好是一個(gè)直徑為正方體棱長一半的球體，12條棱除開小球部分，余下的剛好可以組成與球半徑相同且高為正方體棱長一半的三個(gè)圓柱體.剩余部分是個(gè)類似十字的幾何體，可算得該幾何體體積為4.所以“小米正方體”的體積為四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)因?yàn)閟inCcosB+sinBcos又因?yàn)閟inA≠0,所以,又A∈(0,π),則………(6分)(2)因?yàn)橛捎嘞叶ɡ淼胊2=b2+c2-2bccosA,即,化簡得b2+c2=48,………(8分)由正弦定理.…………………(13分)16.【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)P為半圓弧AD上(不含A,D點(diǎn))一動點(diǎn)，所以PD⊥AP,……………(1分)因?yàn)榘雸A面APD⊥底面ABCD,平面APDN平面ABCD=AD,ABC平面ABCD,所以AB⊥平面PAD,………………又DPC平面PAD,所以ABLPD,………………………(4分)因?yàn)镻DLAP,APNAB=A,AP,ABC平面PAB,所以PD⊥平面PAB,………………………(5分)又PBC平面PAB,所以PD⊥PB.…………(6分)ABCD的直線為≈軸建立空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)點(diǎn)P為半圓弧AD上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)時(shí)，∠PAD=30°,……(7分)由四邊形ABCD是邊長為5的正方形，設(shè)平面PBD的法向量為m=(x,y,z),所以設(shè)二面角A-BD-P的平面角大小為θ,則由平方關(guān)系可得.…………………(14分)所以當(dāng)點(diǎn)P為半圓弧AD上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)時(shí)，二面角A-BD-P的正弦值為………(15分)17.【解析】(1)法一：根據(jù)題意可知，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,………(3分)∴隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望……………………(4分)(2)記事件A?,A?,A?分別表示該學(xué)生來自甲、乙、丙組，事件B表示該同學(xué)能猜對，由全概率公式可得：(3)法一：由題意可知積分增加1分的概率為,增加2分的概率為………………(10分)記得分為n的概率為P,,易得,……(11分)∴數(shù)列{Pn+1-P,}是以為首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列，數(shù)學(xué)試題參考答案-4所以，丁組獲勝的概率為.…………(15分)法二：丁組要恰好獲得10分，可以將丁組代表摸球的情況分為六類：第一類：連續(xù)摸5次，恰好10分，記為事件C,則其概率為第二類：連續(xù)摸6次，恰好10分，記為事件D,則其概率為第三類：連續(xù)摸7次，恰好10分，記為事件E,則其概率為;…(11分)第四類：連續(xù)摸8次，恰好10分，記為事件F,則其概率為第五類：連續(xù)摸9次，恰好10分，記為事件G,則其概率為第六類：連續(xù)摸10次，恰好10分，記為事件H,則其概率為,………………(13分)因此，丁組獲得勝利的概率為P=Pc+Pp+PE+PF+PG+PH解得0<m<3或3<m<4(4分)(2)證明：設(shè)A(x?,y?),B(x2,y?),由韋達(dá)定理可知,………………(5分)設(shè)AB的中點(diǎn)為E(xo,yo),則有又雙曲線的漸近線方程為,聯(lián)立可得即,同理,………………(8分)從而CD的中點(diǎn)為,即AB與CD的中點(diǎn)重合，則有AE=EB,CE=ED,即AC=BD.(9分)(3)設(shè)過點(diǎn)P(x?,y?)且與雙曲線N相切的直線方程為y-y?=k(x—x?),即y=kx+y?-kx?,聯(lián)立可得(3-2k2)x2-4k(y?-kx?)x-2(y?-kx?)2-6λ=0,…(11分)由題意可知，3-2k2≠0,且△=16k2(y?-kx?)2+4(3-2k2)[2(y?-kx?)2+6λ]=0,化簡得(y?-kx?)2+λ(3-2k2)=0,即(x2-2λ)k2-2x?ysk+y3+3x=0,(13分)…(15分)……(15分)若k?·k?為定值，則有,化簡得.此時(shí)k但此時(shí),這與②矛盾，所以不存在這樣的λ,使得k?·k