青海省西寧市二十一中2024-2025學(xué)年3月高三年級(jí)調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁(yè)
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青海省西寧市二十一中2024-2025學(xué)年3月高三年級(jí)調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知向量,滿足||=1,||=2,且與的夾角為120°,則=()A. B. C. D.2.已知拋物線的焦點(diǎn)為,若拋物線上的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)恰好在射線上,則直線被截得的弦長(zhǎng)為()A. B. C. D.3.已知復(fù)數(shù)(1+i)(a+i)為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位),則實(shí)數(shù)a=()A.-1 B.1 C.0 D.24.已知過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線的條數(shù)有().A.0 B.1 C.2 D.35.已知平面向量滿足與的夾角為,且,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.6.如圖所示程序框圖,若判斷框內(nèi)為“”,則輸出()A.2 B.10 C.34 D.987.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的值為()A. B. C. D.8.《九章算術(shù)》中記載,塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱,陽(yáng)馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖,在塹堵中,,,當(dāng)陽(yáng)馬體積的最大值為時(shí),塹堵的外接球的體積為()A. B. C. D.9.已知定義在上的函數(shù)的周期為4,當(dāng)時(shí),,則()A. B. C. D.10.已知實(shí)數(shù)滿足則的最大值為()A.2 B. C.1 D.011.如圖,將兩個(gè)全等等腰直角三角形拼成一個(gè)平行四邊形,將平行四邊形沿對(duì)角線折起,使平面平面,則直線與所成角余弦值為()A. B. C. D.12.已知雙曲線C:1(a>0,b>0)的焦距為8,一條漸近線方程為,則C為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,則=___________,_____________________________14.若,則________,________.15.內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,若,則__________.16.學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類(lèi)的,,,四件參賽作品,只評(píng)一件一等獎(jiǎng),在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下:甲說(shuō):“或作品獲得一等獎(jiǎng)”;乙說(shuō):“作品獲得一等獎(jiǎng)”;丙說(shuō):“,兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”;丁說(shuō):“作品獲得一等獎(jiǎng)”.若這四位同學(xué)中有且只有兩位說(shuō)的話是對(duì)的,則獲得一等獎(jiǎng)的作品是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知,.(1)解;(2)若,證明:.18.(12分)已知拋物線:的焦點(diǎn)為,過(guò)上一點(diǎn)()作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線分別與交于,兩點(diǎn),(1)證明:直線的斜率是-1;(2)若,,成等比數(shù)列,求直線的方程.19.(12分)已知函數(shù).(1)若不等式有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)函數(shù)的最小值為,若正實(shí)數(shù),,滿足,證明:.20.(12分)如圖,四棱錐中,四邊形是矩形,,,為正三角形,且平面平面,、分別為、的中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)求幾何體的體積.21.(12分)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足,,,(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式﹔(2)設(shè),求證:.22.(10分)設(shè)數(shù)列的前列項(xiàng)和為,已知.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求證:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】

先計(jì)算,然后將進(jìn)行平方,,可得結(jié)果.【詳解】由題意可得:∴∴則.故選:D.本題考查的是向量的數(shù)量積的運(yùn)算和模的計(jì)算,屬基礎(chǔ)題。2.B【解析】

由焦點(diǎn)得拋物線方程,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)對(duì)稱可求出點(diǎn)的坐標(biāo),寫(xiě)出直線方程,聯(lián)立拋物線求交點(diǎn),計(jì)算弦長(zhǎng)即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為,則,即,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,如圖:∴,解得,或(舍去),∴∴直線的方程為,設(shè)直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為,由,解得或,∴,∴,故直線被截得的弦長(zhǎng)為.故選:B.本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,屬于中檔題.3.B【解析】

化簡(jiǎn)得到z=a-1+a+1【詳解】z=1+ia+i=a-1+a+1i為純虛數(shù),故a-1=0故選:B.本題考查了根據(jù)復(fù)數(shù)類(lèi)型求參數(shù),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4.C【解析】

設(shè)切點(diǎn)為,則,由于直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),可得切線的斜率,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)處的切線斜率,建立關(guān)于的方程,從而可求方程.【詳解】若直線與曲線切于點(diǎn),則,又∵,∴,∴,解得,,∴過(guò)點(diǎn)與曲線相切的直線方程為或,故選C.本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率,求解曲線的切線的方程,其中解答中熟記利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線的方程是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.5.D【解析】

由已知可得,結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律,建立方程,求解即可.【詳解】依題意得由,得即,解得.故選:.本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算,向量垂直的應(yīng)用,考查計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.6.C【解析】

由題意,逐步分析循環(huán)中各變量的值的變化情況,即可得解.【詳解】由題意運(yùn)行程序可得:,,,;,,,;,,,;不成立,此時(shí)輸出.故選:C.本題考查了程序框圖,只需在理解程序框圖的前提下細(xì)心計(jì)算即可,屬于基礎(chǔ)題.7.B【解析】

列出每一次循環(huán),直到計(jì)數(shù)變量滿足退出循環(huán).【詳解】第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):,退出循環(huán),輸出的為.故選:B.本題考查由程序框圖求輸出的結(jié)果,要注意在哪一步退出循環(huán),是一道容易題.8.B【解析】

利用均值不等式可得,即可求得,進(jìn)而求得外接球的半徑,即可求解.【詳解】由題意易得平面,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,又陽(yáng)馬體積的最大值為,所以,所以塹堵的外接球的半徑,所以外接球的體積,故選:B本題以中國(guó)傳統(tǒng)文化為背景,考查四棱錐的體積、直三棱柱的外接球的體積、基本不等式的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng).9.A【解析】

因?yàn)榻o出的解析式只適用于,所以利用周期性,將轉(zhuǎn)化為,再與一起代入解析式,利用對(duì)數(shù)恒等式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),即可求得結(jié)果.【詳解】定義在上的函數(shù)的周期為4,當(dāng)時(shí),,,,.故選:A.本題考查了利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),屬于中檔題.10.B【解析】

作出可行域,平移目標(biāo)直線即可求解.【詳解】解:作出可行域:由得,由圖形知,經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),其截距最大,此時(shí)最大得,當(dāng)時(shí),故選:B考查線性規(guī)劃,是基礎(chǔ)題.11.C【解析】

利用建系,假設(shè)長(zhǎng)度,表示向量與,利用向量的夾角公式,可得結(jié)果.【詳解】由平面平面,平面平面,平面所以平面,又平面所以,又所以作軸//,建立空間直角坐標(biāo)系如圖設(shè),所以則所以所以故選:C本題考查異面直線所成成角的余弦值,一般采用這兩種方法:(1)將兩條異面直線作輔助線放到同一個(gè)平面,然后利用解三角形知識(shí)求解;(2)建系,利用空間向量,屬基礎(chǔ)題.12.A【解析】

由題意求得c與的值,結(jié)合隱含條件列式求得a2,b2,則答案可求.【詳解】由題意,2c=8,則c=4,又,且a2+b2=c2,解得a2=4,b2=12.∴雙曲線C的方程為.故選:A.本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.?196?3【解析】

由二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)得:,令x=1,則1+a0+a1+…+a7=(1+1)×(1-2)7=-2,所以a0+a1+…+a7=-3,得解.【詳解】由二項(xiàng)式(1?2x)7展開(kāi)式的通項(xiàng)得,則,令x=1,則,所以a0+a1+…+a7=?3,故答案為:?196,?3.本題考查二項(xiàng)式定理及其通項(xiàng),屬于中等題.14.【解析】

根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式計(jì)算得到答案.【詳解】,故.故答案為:;.本題考查了誘導(dǎo)公式和二倍角公式,屬于簡(jiǎn)單題.15.【解析】∵,∴,即,∴,∴.16.B【解析】

首先根據(jù)“學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)四件參賽作品只評(píng)一件一等獎(jiǎng)”,故假設(shè)分別為一等獎(jiǎng),然后判斷甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的說(shuō)法的正確性,即可得出結(jié)果.【詳解】若A為一等獎(jiǎng),則甲、丙、丁的說(shuō)法均錯(cuò)誤,不滿足題意;若B為一等獎(jiǎng),則乙、丙的說(shuō)法正確,甲、丁的說(shuō)法錯(cuò)誤,滿足題意;若C為一等獎(jiǎng),則甲、丙、丁的說(shuō)法均正確,不滿足題意;若D為一等獎(jiǎng),則乙、丙、丁的說(shuō)法均錯(cuò)誤,不滿足題意;綜上所述,故B獲得一等獎(jiǎng).本題屬于信息題,可根據(jù)題目所給信息來(lái)找出解題所需要的條件并得出答案,在做本題的時(shí)候,可以采用依次假設(shè)為一等獎(jiǎng)并通過(guò)是否滿足題目條件來(lái)判斷其是否正確.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1);(2)見(jiàn)解析.【解析】

(1)在不等式兩邊平方化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為二次不等式,解此二次不等式即可得出結(jié)果;(2)利用絕對(duì)值三角不等式可證得成立.【詳解】(1),,由得,不等式兩邊平方得,即,解得或.因此,不等式的解集為;(2),,由絕對(duì)值三角不等式可得.因此,.本題考查含絕對(duì)值不等式的求解,同時(shí)也考查了利用絕對(duì)值三角不等式證明不等式,考查推理能力與運(yùn)算求解能力,屬于中等題.18.(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】

(1)設(shè),,由已知,得,代入中即可;(2)利用拋物線的定義將轉(zhuǎn)化為,再利用韋達(dá)定理計(jì)算.【詳解】(1)在拋物線上,∴,設(shè),,由題可知,,∴,∴,∴,∴,∴(2)由(1)問(wèn)可設(shè)::,則,,,∴,∴,即(*),將直線與拋物線聯(lián)立,可得:,所以,代入(*)式,可得滿足,∴:.本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用,在處理直線與拋物線位置關(guān)系的問(wèn)題時(shí),通常要涉及韋達(dá)定理來(lái)求解,本題查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,是一道中檔題.19.(1)(2)見(jiàn)解析【解析】

(1)分離得到,求的最小值即可求得的取值范圍;(2)先求出,得到,利用乘變化即可證明不等式.【詳解】解:(1)設(shè),∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.故.∵有解,∴.即的取值范圍為.(2),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.∴,即.∵.當(dāng)且僅當(dāng),,時(shí)等號(hào)成立.∴,即成立.此題考查不等式的證明,注意定值乘變化的靈活應(yīng)用,屬于較易題目.20.(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】

(1)由題可知,根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì),得出,根據(jù)矩形的性質(zhì)得出,所以,再利用線面平行的判定定理即可證出平面;(2)由于平面平面,根據(jù)面面垂直的性質(zhì),得出平面,從而得出到平面的距離為,結(jié)合棱錐的體積公式,即可求得結(jié)果.【詳解】解:(1)∵,分別為,的中點(diǎn),∴,∵四邊形是矩形,∴,∴,∵平面,平面,∴平面.(2)取,的中點(diǎn),,連接,,,,則,由于為三棱柱,為四棱錐,∵平面平面,∴平面,由已知可求得,∴到平面的距離為,因?yàn)樗倪呅问蔷匦?,,,,設(shè)幾何體的體積為,則,∴,即:.本題考查線面平行的判定、面面垂直的性質(zhì)和棱錐的體積公式,考查邏輯推理和計(jì)算能力.21.(1)證明見(jiàn)解析,;(2)證明見(jiàn)解析【解析】

(1)由,作差得到,進(jìn)一步得到,再作差即可得到,從而使問(wèn)題得到解決;(2),求和即可.【詳解】(1),,兩式相減:①用換,得②

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