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浙江省江山市2025年高三下學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量陽光指標(biāo)調(diào)研數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,滿足,且的最大值是最小值的4倍,則的值是()A.4 B. C. D.2.若函數(shù)在時(shí)取得極值,則()A. B. C. D.3.把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)是偶函數(shù),則實(shí)數(shù)的最小值是()A. B. C. D.4.已知為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在上,若直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為,則()A. B. C. D.5.下列幾何體的三視圖中,恰好有兩個(gè)視圖相同的幾何體是()A.正方體 B.球體C.圓錐 D.長(zhǎng)寬高互不相等的長(zhǎng)方體6.已知函數(shù),不等式對(duì)恒成立,則的取值范圍為()A. B. C. D.7.如圖,在等腰梯形中,,,,為的中點(diǎn),將與分別沿、向上折起,使、重合為點(diǎn),則三棱錐的外接球的體積是()A. B.C. D.8.已知函數(shù)滿足,設(shè),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知邊長(zhǎng)為4的菱形,,為的中點(diǎn),為平面內(nèi)一點(diǎn),若,則()A.16 B.14 C.12 D.810.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,則()A.25 B.32 C.35 D.4011.已知函數(shù),若函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.12.如圖,在正方體中,已知、、分別是線段上的點(diǎn),且.則下列直線與平面平行的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)積為,,(且),則__________.14.曲線在點(diǎn)處的切線方程為______.15.若向量與向量垂直,則______.16.已知,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)若,解關(guān)于的不等式;(2)若當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知,函數(shù),(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(Ⅰ)討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);(Ⅱ)若,且命題“,”是假命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)一個(gè)工廠在某年里連續(xù)10個(gè)月每月產(chǎn)品的總成本(萬元)與該月產(chǎn)量(萬件)之間有如下一組數(shù)據(jù):1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.872.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26(1)通過畫散點(diǎn)圖,發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系,請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明;(2)①建立月總成本與月產(chǎn)量之間的回歸方程;②通過建立的關(guān)于的回歸方程,估計(jì)某月產(chǎn)量為1.98萬件時(shí),產(chǎn)品的總成本為多少萬元?(均精確到0.001)附注:①參考數(shù)據(jù):,,,,.②參考公式:相關(guān)系數(shù),,.20.(12分)某市計(jì)劃在一片空地上建一個(gè)集購物、餐飲、娛樂為一體的大型綜合園區(qū),如圖,已知兩個(gè)購物廣場(chǎng)的占地都呈正方形,它們的面積分別為13公頃和8公頃;美食城和歡樂大世界的占地也都呈正方形,分別記它們的面積為公頃和公頃;由購物廣場(chǎng)、美食城和歡樂大世界圍成的兩塊公共綠地都呈三角形,分別記它們的面積為公頃和公頃.(1)設(shè),用關(guān)于的函數(shù)表示,并求在區(qū)間上的最大值的近似值(精確到0.001公頃);(2)如果,并且,試分別求出、、、的值.21.(12分)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn),,,動(dòng)點(diǎn)滿足,點(diǎn)為線段的中點(diǎn),拋物線:上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)滿足,試判斷是否為定值,若是,求這個(gè)定值;若不是,請(qǐng)說明理由.22.(10分)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,an2+2an=4Sn+1.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】試題分析:先畫出可行域如圖:由,得,由,得,當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大值,最大值為3;當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最小值,最小值為3a;由條件得,所以,故選D.考點(diǎn):線性規(guī)劃.2.D【解析】
對(duì)函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)在時(shí)取得極值,得到,即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,又函?shù)在時(shí)取得極值,所以,解得.故選D本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的問題,屬于??碱}型.3.A【解析】
先求出的解析式,再求出的解析式,根據(jù)三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性可求實(shí)數(shù)滿足的等式,從而可求其最小值.【詳解】的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為,故.令,,解得,.因?yàn)闉榕己瘮?shù),故直線為其圖象的對(duì)稱軸,令,,故,,因?yàn)?,故,?dāng)時(shí),.故選:A.本題考查三角函數(shù)的圖象變換以及三角函數(shù)的圖象性質(zhì),注意平移變換是對(duì)自變量做加減,比如把的圖象向右平移1個(gè)單位后,得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式為,另外,如果為正弦型函數(shù)圖象的對(duì)稱軸,則有,本題屬于中檔題.4.C【解析】
求得點(diǎn)坐標(biāo),由此求得直線的方程,聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程,求得點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求得【詳解】拋物線焦點(diǎn)為,令,,解得,不妨設(shè),則直線的方程為,由,解得,所以.故選:C本小題主要考查拋物線的弦長(zhǎng)的求法,屬于基礎(chǔ)題.5.C【解析】
根據(jù)基本幾何體的三視圖確定.【詳解】正方體的三個(gè)三視圖都是相等的正方形,球的三個(gè)三視圖都是相等的圓,圓錐的三個(gè)三視圖有一個(gè)是圓,另外兩個(gè)是全等的等腰三角形,長(zhǎng)寬高互不相等的長(zhǎng)方體的三視圖是三個(gè)兩兩不全等的矩形.故選:C.本題考查基本幾何體的三視圖,掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.6.C【解析】
確定函數(shù)為奇函數(shù),且單調(diào)遞減,不等式轉(zhuǎn)化為,利用雙勾函數(shù)單調(diào)性求最值得到答案.【詳解】是奇函數(shù),,易知均為減函數(shù),故且在上單調(diào)遞減,不等式,即,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得,即,設(shè),,故單調(diào)遞減,故,當(dāng),即時(shí)取最大值,所以.故選:.本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解不等式,參數(shù)分離求最值是解題的關(guān)鍵.7.A【解析】
由題意等腰梯形中的三個(gè)三角形都是等邊三角形,折疊成的三棱錐是正四面體,易求得其外接球半徑,得球體積.【詳解】由題意等腰梯形中,又,∴,是靠邊三角形,從而可得,∴折疊后三棱錐是棱長(zhǎng)為1的正四面體,設(shè)是的中心,則平面,,,外接球球心必在高上,設(shè)外接球半徑為,即,∴,解得,球體積為.故選:A.本題考查求球的體積,解題關(guān)鍵是由已知條件確定折疊成的三棱錐是正四面體.8.B【解析】
結(jié)合函數(shù)的對(duì)應(yīng)性,利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】解:若,則,即成立,若,則由,得,則“”是“”的必要不充分條件,故選:B.本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合函數(shù)的對(duì)應(yīng)性是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.9.B【解析】
取中點(diǎn),可確定;根據(jù)平面向量線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算法則可求得,利用可求得結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn),連接,,,即.,,,則.故選:.本題考查平面向量數(shù)量積的求解問題,涉及到平面向量的線性運(yùn)算,關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笙蛄窟M(jìn)行拆解,進(jìn)而利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解.10.C【解析】
設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差,即可根據(jù)題意列出兩個(gè)方程,求出通項(xiàng)公式,從而求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,則,解得,∴,即有.故選:C.本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和應(yīng)用,涉及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用,屬于容易題.11.B【解析】
根據(jù)分段函數(shù),分當(dāng),,將問題轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)問題,用數(shù)形結(jié)合的方法研究.【詳解】當(dāng)時(shí),,令,在是增函數(shù),時(shí),有一個(gè)零點(diǎn),當(dāng)時(shí),,令當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí),取得最大值,因?yàn)樵谏嫌?個(gè)零點(diǎn),所以當(dāng)時(shí),有2個(gè)零點(diǎn),如圖所示:所以實(shí)數(shù)的取值范圍為綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為,故選:B本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化問題的能力,屬于中檔題.12.B【解析】
連接,使交于點(diǎn),連接、,可證四邊形為平行四邊形,可得,利用線面平行的判定定理即可得解.【詳解】如圖,連接,使交于點(diǎn),連接、,則為的中點(diǎn),在正方體中,且,則四邊形為平行四邊形,且,、分別為、的中點(diǎn),且,所以,四邊形為平行四邊形,則,平面,平面,因此,平面.故選:B.本題主要考查了線面平行的判定,考查了推理論證能力和空間想象能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得,進(jìn)而求得,再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算求得的值.【詳解】由于,,所以,則,∴,,.故答案為:本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對(duì)數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
對(duì)函數(shù)求導(dǎo),得出在處的一階導(dǎo)數(shù)值,即得出所求切線的斜率,再運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式求出切線的方程.【詳解】令,,所以,又,所求切線方程為,即.故答案為:.本題考查運(yùn)用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在切點(diǎn)處的切線方程,關(guān)鍵在于求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值就是切線的斜率,屬于基礎(chǔ)題.15.0【解析】
直接根據(jù)向量垂直計(jì)算得到答案.【詳解】向量與向量垂直,則,故.故答案為:.本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16.【解析】
首先利用,將其兩邊同時(shí)平方,利用同角三角函數(shù)關(guān)系式以及倍角公式得到,從而求得,利用誘導(dǎo)公式求得,得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,即,所以,故答案?該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有同角三角函數(shù)關(guān)系式,倍角公式,誘導(dǎo)公式,屬于簡(jiǎn)單題目.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】
(1)利用零點(diǎn)分段法將表示為分段函數(shù)的形式,由此求得不等式的解集.(2)對(duì)分成三種情況,求得的最小值,由此求得的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,由此可知,的解集為(2)當(dāng)時(shí),的最小值為和中的最小值,其中,.所以恒成立.當(dāng)時(shí),,且,不恒成立,不符合題意.當(dāng)時(shí),,若,則,故不恒成立,不符合題意;若,則,故不恒成立,不符合題意.綜上,.本小題主要考查絕對(duì)值不等式的解法,考查根據(jù)絕對(duì)值不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.18.(1)當(dāng)時(shí),沒有極值點(diǎn),當(dāng)時(shí),有一個(gè)極小值點(diǎn).(2)【解析】試題分析:(1),分,討論,當(dāng)時(shí),對(duì),,當(dāng)時(shí),解得,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)。所以,當(dāng)時(shí),沒有極值點(diǎn),當(dāng)時(shí),有一個(gè)極小值點(diǎn).(2)原命題為假命題,則逆否命題為真命題。即不等式在區(qū)間內(nèi)有解。設(shè),所以,設(shè),則,且是增函數(shù),所以。所以分和k>1討論。試題解析:(Ⅰ)因?yàn)?,所以,?dāng)時(shí),對(duì),,所以在是減函數(shù),此時(shí)函數(shù)不存在極值,所以函數(shù)沒有極值點(diǎn);當(dāng)時(shí),,令,解得,若,則,所以在上是減函數(shù),若,則,所以在上是增函數(shù),當(dāng)時(shí),取得極小值為,函數(shù)有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn),所以當(dāng)時(shí),沒有極值點(diǎn),當(dāng)時(shí),有一個(gè)極小值點(diǎn).(Ⅱ)命題“,”是假命題,則“,”是真命題,即不等式在區(qū)間內(nèi)有解.若,則設(shè),所以,設(shè),則,且是增函數(shù),所以當(dāng)時(shí),,所以在上是增函數(shù),,即,所以在上是增函數(shù),所以,即在上恒成立.當(dāng)時(shí),因?yàn)樵谑窃龊瘮?shù),因?yàn)?,,所以在上存在唯一零點(diǎn),當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,從而,即,所以在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí),,即.所以不等式在區(qū)間內(nèi)有解綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.(1)見解析;(2)①②3.386(萬元)【解析】
(1)利用代入數(shù)值,求出后即可得解;(2)①計(jì)算出、后,利用求出后即可得解;②把代入線性回歸方程,計(jì)算即可得解.【詳解】(1)由已知條件得,,∴,說明與正相關(guān),且相關(guān)性很強(qiáng).(2)①由已知求得,,所以,所求回歸直線方程為.②當(dāng)時(shí),(萬元),此時(shí)產(chǎn)品的總成本約為3.386萬元.本題考查了相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用以及線性回歸方程的求解和應(yīng)用,考查了計(jì)算能力,屬于中檔題.20.(1),最大值公頃;(2)17、25、5、5.【解析】
(1)由余弦定理求出三角形ABC的邊長(zhǎng)BC,進(jìn)而可以求出,,由面積公式求出,,即可求出,并求出最值;(2)由(1)知,,,即可求出、,再算出,代入(1)中表達(dá)式求出,?!驹斀狻浚?)由余弦定理得,,所以,,同理可得又,所以,故在區(qū)間上的最大值為,近似值為。(2)由(1)知,,,所以,進(jìn)而,由知,,,故、、、的值分別是17、25、5、5。本題主要考查利用余弦定理解三角形以及同角三角函數(shù)平方關(guān)系的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。21.(1)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)見解析【解析】
(1)由題知|PF1|+|PF2|2|F1F2|,判斷動(dòng)點(diǎn)P的軌跡W是橢圓,寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算和點(diǎn)A在拋物線上求出拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),再表示出點(diǎn)N和Q的坐標(biāo),根據(jù)題意求出的值,即可判斷結(jié)果是否成立.【詳解】(1)由題知,,所以,因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以,為焦點(diǎn)的橢圓,又知,,所以曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.又由題
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