2025年新疆烏魯木齊高三一模高考數(shù)學(xué)試卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁烏魯木齊地區(qū)2025年高三年級第一次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)（問卷）（卷面分值：150分；考試時間：120分鐘）注意事項：1.本試卷分為問卷（4頁）和答卷（4頁），答案務(wù)必書寫在答卷（或答題卡）的指定位置上.2.答題前，先將答卷密封線內(nèi)的項目（或答題卡中的相關(guān)信息）填寫清楚.第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．3．在公差不為0的等差數(shù)列中，若，則（

）A．7 B．8 C．9 D．104．新高考改革方案采用“3+1+2”模式，“3”即全國統(tǒng)考的語文、數(shù)學(xué)、外語，“1”即在物理、歷史2門首選科目中選考1門，“2”即在思想政治、地理、化學(xué)、生物學(xué)4門再選科目中選考2門.選考方案有（

）A．6種 B．8種 C．12種 D．15種5．已知等邊三角形的邊長是，、分別是、的中點，則（

）A． B． C． D．6．若，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．如圖，一個圓柱形容器中盛有水，圓柱母線，若母線放置在水平地面上時，水面恰好過的中點，那么當(dāng)?shù)酌鎴A水平放置時，水面高為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，，當(dāng)時，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9．關(guān)于雙曲線，下列說法正確的有（

）A．實軸長為16 B．焦點坐標(biāo)為，C．離心率為 D．漸近線方程為10．關(guān)于的函數(shù)，下列結(jié)論正確的有（

）A．函數(shù)的最小正周期B．若，則是奇函數(shù)C．若，則是圖象的一條對稱軸D．若，，則11．給定棱長為1的正方體，是正方形內(nèi)（包括邊界）一點，下列結(jié)論正確的有（

）A．三棱錐的體積為定值B．若點在線段上，則異面直線與所成角為定值C．若點在線段上，則的最小值為D．若，則點軌跡的長度為第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分.12．已知則；13．李明上學(xué)有時坐公交車，有時騎自行車，他記錄了多次所花時間，假設(shè)坐公交車用時和騎自行車用時都服從如圖的正態(tài)分布.星期一李明出門有可用，他應(yīng)該選擇交通工具；星期二李明出門有可用，他應(yīng)該選擇交通工具；14．已知橢圓：的左焦點為，過點且傾斜角為的直線交軸于點，交橢圓于，兩點（點在點左側(cè)），，則橢圓的離心率為.四、解答題：本大題共5小題，共計77分.解答應(yīng)在答卷的相應(yīng)各題中寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15．在中，角，，的對邊分別為，，，已知，，.(1)求的面積；(2)求中的角平分線的長.16．如圖，一個質(zhì)點從原點0出發(fā)，每隔向左或向右移動一個單位，每次移動時向右移動的概率為0.6，記后質(zhì)點所在的位置是.(1)求；(2)至少幾秒后才能使得.17．如圖，和都垂直于平面，且，是線段上一點.(1)若平面，證明是的中點；(2)若，，平面與平面夾角的余弦值為，求.18．已知拋物線：的焦點為，點在上，且.(1)求的方程；(2)過點的直線交于，兩點（異于點）.（?。┤?，求；（ⅱ）過點與直線垂直的直線交于，兩點，設(shè)線段，的中點分別為，，是坐標(biāo)原點，求面積的取值范圍.19．已知.(1)求證：當(dāng)時，；(2)設(shè).（?。┣笞C：數(shù)列為遞減數(shù)列；（ⅱ）求證：.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．A【分析】由并集的運算即可求解；【詳解】由，，則，故選：A2．D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法計算后可得正確的選項.【詳解】，故選：D.3．D【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和公式和等差數(shù)列的通項公式計算即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由得，所以，即.故選：D.4．C【分析】利用組合知識和分步乘法計數(shù)原理得到答案.【詳解】從物理、歷史2門首選科目中選考1門，有種選擇，在思想政治、地理、化學(xué)、生物學(xué)4門再選科目中選考2門，有種選擇，故選考方案有種.故選：C5．B【分析】將向量、用基底表示，然后利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得的值.【詳解】如下圖所示：因為等邊三角形的邊長是，、分別是、的中點，則，由得，可得，由平面向量數(shù)量積的定義可得，因此，.故選：B.6．D【分析】利用特殊值判斷A、B、C，利用不等式的性質(zhì)判斷D.【詳解】對于A：當(dāng)，時滿足，但是，故A錯誤；對于B：當(dāng)，時滿足，但是，故B錯誤；對于C：當(dāng)，時滿足，但是，故C錯誤；對于D：若，則，所以，則，故D正確；故選：D7．B【分析】根據(jù)兩種放置方式水的體積不變即可求得.【詳解】如圖，設(shè)圓柱底面半徑為，則當(dāng)母線水平放置時，圓柱中含水部分可以看作是以弓形為底，為高的柱體，因為水面過的中點，則，則弓形的面積為，當(dāng)?shù)酌鎴A水平放置時，底面圓的面積為，設(shè)水面高為，則由水的體積不變可得：，即，解的：.故選：.8．D【分析】取特值解得，整理可得，換元令，構(gòu)建，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求臨界狀態(tài)，結(jié)合圖象即可得結(jié)果.【詳解】因為當(dāng)時，，則，即，整理可得，解得，若，則，整理可得，令，則，可得，構(gòu)建，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，若與相切，設(shè)切點坐標(biāo)為，切線斜率，則切線方程為，整理可得，注意到直線過定點，則，整理可得，注意到，可得，即，可得，結(jié)合圖象可知：，所以的取值范圍是.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：取特指確定的必要條件，這樣可以簡化討論和計算.9．ABC【分析】將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求解長軸判斷A，求解焦點坐標(biāo)判斷B，求解離心率判斷C，求解漸近線方程判斷D即可.【詳解】因為，所以，則，化簡得，則，對于A，則實軸長為，故A正確，對于B，焦點坐標(biāo)為，，故B正確，對于C，離心率為，故C正確，對于D，漸近線方程為，故D錯誤.故選：ABC10．BCD【分析】對于A：舉反例說明即可；對于B：整理可得，即判斷奇偶性；對于C：整理可得，根據(jù)對稱性的定義分析判斷；對于D：代入可得，，兩式平方相加整理即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，對于選項A：例如，則，此時函數(shù)無最小正周期，故A錯誤；對于選項B：若，即，可得，可知函數(shù)為奇函數(shù)，故B正確；對于選項C：若，即，可得，則，所以是圖象的一條對稱軸，故C正確；對于選項D：若，，可得，，因為，即，整理可得，故D正確；故選：BCD.11．ABC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出底面積，再利用點到平面的距離公式求出點面距離，求出體積是定值判斷A，利用線線角的向量求法求出線線角，得到定值判斷B，作出展開圖，利用先判斷最小值是線段，再利用余弦定理求解其長度判斷C，求出軌跡方程，再利用圓的弧長公式求解弧長判斷D即可.【詳解】如圖，以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，連接，設(shè)，，則，對于A，易得面的法向量為，設(shè)到面的距離為，由點到平面的距離公式得，而，則，即三棱錐的體積為定值，故A正確，對于B，因為點在線段上，所以，而，，則，，得到，，解得，即，如圖，連接，由題意得，，則，，設(shè)異面直線與所成角為，則，而，故，即異面直線與所成角為定值，故B正確，對于C，如圖，將面沿著翻折，使面與面共面，由題意得四邊形是正方形，四邊形是矩形，得到，，故而，則的長度即為所求最小值，由余弦定理得，解得，故C正確，對于D，如圖，連接，此時，，則由兩點間距離公式得，因為，所以，兩邊同時平方得，化簡得，則的軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧，由正方體性質(zhì)得，則弧長為，即點軌跡的長度不為，故D錯誤.故選：ABC【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，然后求解出軌跡方程，再利用弧長公式得到所要求的軌跡長度即可．12．##0.5【分析】利用指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)求解即可.【詳解】因為，所以，則.故答案為：13．自行車公交車【分析】應(yīng)選擇在給定時間內(nèi)不遲到的概率大的交通工具，結(jié)合圖形，比較概率的大小可得答案.【詳解】由題意，應(yīng)選擇在給定時間內(nèi)不遲到的概率大的交通工具.根據(jù)和的分布密度曲線圖可知：，，可得，若有可用，那么騎自行車不遲到的概率大，應(yīng)選擇騎自行車；若有可用，那么坐公交車不遲到的概率大，應(yīng)選擇坐公交車；故答案為：騎自行車；坐公交車.14．【分析】設(shè)直線為，求得縱坐標(biāo)，由求得的坐標(biāo)，代入橢圓方程即可求解.【詳解】由題設(shè)，令直線為，易得因為可得，又，可得：，再結(jié)合，可得代入橢圓方程，又，所以化簡可得：，因為，易知所以，即所以故答案為：.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)面積公式運算求解即可；（2）設(shè)角平分線為，根據(jù)面積關(guān)系運算求解即可.【詳解】（1）因為，，，所以的面積為.（2）設(shè)角平分線為，因為則，即，解得，所以的角平分線的長為.16．(1)(2)至少后【分析】（1）根據(jù)題意分析可知，，可得，結(jié)合二項分步運算求解；（2）由（1）結(jié)合期望的性質(zhì)可得，令，運算求解即可.【詳解】（1）記后質(zhì)點向右移動的次數(shù)為.則，且，可得，令，即，解得，則.（2）由（1）可知：，令，解得，所以至少后才能使得.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)四邊形是平行四邊形，即可求解，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面法向量，即可根據(jù)向量的夾角公式求解.【詳解】（1）過點作交于點，連接，則，即、、、四點共面，∵平面，平面,平面平面，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴是的中點（2）∵，平面，以為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，過平行于的直線為軸，建立坐標(biāo)系.記，則，，，，.設(shè),則，即點的坐標(biāo)為,，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，則，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，則，因為平面與平面的夾角余弦值為，所以.整理得,解得或（舍），所以.18．(1)(2)（?。唬áⅲ痉治觥浚?）根據(jù)焦半徑公式以及點的坐標(biāo)即可聯(lián)立方程求解，（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運算即可求解，進(jìn)而根據(jù)焦點弦公式求解（ⅰ），根據(jù)中點坐標(biāo)求解直線的方程，即可直線與軸的交點，根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】（1）由題意可得，解得或（舍）.所以的方程為（2）（?。┯桑?）可得.設(shè)直線的方程為，，.由方程組，消去，得，則，所以，.由可得解得或（舍）.所以直線的方程為.；（ⅱ）由（ⅰ）可得，故故，將換成可得，當(dāng)時，或，故直線的方程為，當(dāng)時，，故直線的方程為，令，得，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以面積的取值范圍為.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，如本題需先將的面積用表示出來，然后再利用基本不等式長最值．19．(1)證明見解析(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，并構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可證明出不等式；（2）（?。?，令，，構(gòu)造函數(shù)并求導(dǎo)，即可求解函數(shù)的單調(diào)性，從而得到數(shù)列的單調(diào)性，即可得證.（ⅱ）由題意