大數(shù)據(jù)專(zhuān)業(yè)“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程的實(shí)驗(yàn)教學(xué)案例研究

【摘""要】數(shù)據(jù)科學(xué)與大數(shù)據(jù)技術(shù)專(zhuān)業(yè)主要學(xué)習(xí)的用于數(shù)學(xué)計(jì)算和數(shù)據(jù)分析的軟件有R語(yǔ)言、Python、MATLAB、SPSS等?！案怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)”是一門(mén)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程，理論性較強(qiáng)，相對(duì)枯燥，利用Python和MATLAB軟件對(duì)概率計(jì)算、仿真、數(shù)值模擬方面的實(shí)驗(yàn)案例進(jìn)行探究，可以幫助學(xué)生更好地理解和掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識(shí)和方法，提高學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效果，同時(shí)，可將理論知識(shí)轉(zhuǎn)化為實(shí)際應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐操作能力。學(xué)生掌握大數(shù)據(jù)軟件的使用和概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，可以使其快速適應(yīng)未來(lái)職業(yè)發(fā)展的需求，為未來(lái)的工作做好準(zhǔn)備?！娟P(guān)鍵詞】“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程；實(shí)驗(yàn)教學(xué)；Python；數(shù)值模擬一、引言隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和社會(huì)現(xiàn)代化的推進(jìn)，社會(huì)對(duì)大數(shù)據(jù)科學(xué)的研究與應(yīng)用型人才的需求與日俱增。數(shù)據(jù)科學(xué)與大數(shù)據(jù)技術(shù)專(zhuān)業(yè)是近年來(lái)國(guó)家針對(duì)“大數(shù)據(jù)”時(shí)代背景新增的專(zhuān)業(yè)[1]。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是統(tǒng)計(jì)學(xué)和數(shù)據(jù)挖掘的理論基礎(chǔ)，在大數(shù)據(jù)相關(guān)專(zhuān)業(yè)中尤為重要。大數(shù)據(jù)的價(jià)值體現(xiàn)在其蘊(yùn)含的規(guī)律上，而對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理、分析離不開(kāi)統(tǒng)計(jì)學(xué)和數(shù)據(jù)挖掘。利用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的原理對(duì)數(shù)據(jù)中各個(gè)屬性進(jìn)行統(tǒng)計(jì)、分析，找出數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的規(guī)律，讓其創(chuàng)造價(jià)值，是大數(shù)據(jù)專(zhuān)業(yè)學(xué)生必須掌握的基本理論知識(shí)，更是大部分學(xué)生未來(lái)工作和生活的必備技能。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)中，經(jīng)常需要處理大量的數(shù)據(jù)以驗(yàn)證或探索統(tǒng)計(jì)規(guī)律。大數(shù)據(jù)軟件能夠處理和分析大規(guī)模、復(fù)雜的數(shù)據(jù)集，極大地提高數(shù)據(jù)處理的效率和準(zhǔn)確性，使實(shí)驗(yàn)結(jié)果更加可靠和精確[2]。同時(shí)，大數(shù)據(jù)專(zhuān)業(yè)軟件具有豐富的數(shù)據(jù)可視化功能，能夠?qū)?shù)據(jù)以圖表、圖像等形式展示出來(lái)，通過(guò)可視化，學(xué)生和教師可以更直觀地理解數(shù)據(jù)的分布、趨勢(shì)和關(guān)系，從而更深入地掌握相關(guān)概念和方法。大數(shù)據(jù)專(zhuān)業(yè)軟件還通常包含強(qiáng)大的數(shù)據(jù)挖掘和機(jī)器學(xué)習(xí)功能，可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的隱藏模式和關(guān)聯(lián)，探索新的統(tǒng)計(jì)規(guī)律和知識(shí)。而這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和實(shí)踐能力具有重要作用，有助于學(xué)生在未來(lái)的科研和工作中更好地應(yīng)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)。數(shù)據(jù)科學(xué)與大數(shù)據(jù)技術(shù)專(zhuān)業(yè)主要學(xué)習(xí)的用于數(shù)學(xué)計(jì)算和數(shù)據(jù)分析的軟件有R語(yǔ)言、Python、MATLAB、SPSS等，而“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程可以應(yīng)用的軟件主要有Python、MATLAB和R語(yǔ)言，應(yīng)用在概率及隨機(jī)變量數(shù)字特征計(jì)算、繪制與驗(yàn)證分布函數(shù)及密度函數(shù)圖像、數(shù)值模擬、參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)等內(nèi)容[3]。文章對(duì)相關(guān)軟件在概率計(jì)算、驗(yàn)證分布函數(shù)、數(shù)值模擬等方面的案例進(jìn)行探究，幫助學(xué)生快速計(jì)算的同時(shí)，增加動(dòng)手實(shí)踐的機(jī)會(huì)，更好地理解理論內(nèi)容。二、Python軟件在概率計(jì)算中的實(shí)驗(yàn)案例Python軟件在概率計(jì)算中的應(yīng)用廣泛且靈活。在實(shí)驗(yàn)中，可以使用NumPy庫(kù)來(lái)生成隨機(jī)變量樣本，并計(jì)算其概率分布。例如，通過(guò)NumPy庫(kù)的random模塊，可以模擬拋硬幣的過(guò)程，計(jì)算正面和反面出現(xiàn)的概率。同時(shí)，SciPy庫(kù)也提供了豐富的統(tǒng)計(jì)函數(shù)，可用于計(jì)算各種概率分布的參數(shù)、概率密度函數(shù)值及累積分布函數(shù)值等。這些功能使得Python成為概率計(jì)算的有力工具[4]。三門(mén)問(wèn)題是概率論中的經(jīng)典問(wèn)題，以貝葉斯公式求解三門(mén)問(wèn)題為例，介紹筆算和軟件算法，讓學(xué)生體會(huì)換門(mén)與不換門(mén)概率變化的過(guò)程，同時(shí)，啟發(fā)學(xué)生對(duì)程序進(jìn)行修改，實(shí)現(xiàn)此問(wèn)題的多種算法表達(dá)。【三門(mén)問(wèn)題】假設(shè)你參加一個(gè)游戲，要求在三扇門(mén)中選擇一扇：一扇門(mén)后是汽車(chē)，另兩扇門(mén)后是山羊。當(dāng)你選擇了一扇門(mén)但未開(kāi)啟前，知道門(mén)后秘密的主持人開(kāi)啟了剩下兩扇門(mén)中的一扇，露出山羊，這時(shí)你會(huì)改變?cè)瓉?lái)的選擇嗎？問(wèn)題分析：假設(shè)參賽者一開(kāi)始選擇了門(mén)A，那么汽車(chē)在A后面的概率是1/3，也就是說(shuō)中獎(jiǎng)的概率是1/3，未中獎(jiǎng)的概率是2/3。假設(shè)此時(shí)主持人打開(kāi)了有山羊的B門(mén)后，排除了一個(gè)沒(méi)有中獎(jiǎng)的情況，利用貝葉斯公式可以算得，此時(shí)參賽者選擇換門(mén)中獎(jiǎng)的概率即為2/3。在利用貝葉斯公式進(jìn)行實(shí)際筆算過(guò)程中，將問(wèn)題拆解成在A、B、C任一門(mén)后有汽車(chē)的情況下B門(mén)被打開(kāi)的概率，此時(shí)學(xué)生不容易理解，這時(shí)可以用Python軟件將換門(mén)后中獎(jiǎng)的所有情況羅列出來(lái)，通過(guò)古典概型進(jìn)行計(jì)算，使學(xué)生更容易理解。通過(guò)Python中的random.choice函數(shù)實(shí)現(xiàn)隨機(jī)放獎(jiǎng)品與隨機(jī)選門(mén)，通過(guò)def自定義函數(shù)對(duì)換門(mén)與不換門(mén)進(jìn)行模擬，最終計(jì)算結(jié)果如圖1所示。利用軟件能幫助學(xué)生理解換門(mén)與不換門(mén)的思維過(guò)程，圖像展示結(jié)果，驗(yàn)證了三門(mén)問(wèn)題的數(shù)學(xué)結(jié)論，即換門(mén)是一個(gè)更好的策略。該實(shí)踐加深了學(xué)生對(duì)概率論中條件概率和獨(dú)立事件的理解，提供了一種直觀的方式來(lái)解釋和解決看似復(fù)雜的概率問(wèn)題。三、Python軟件在仿真中的實(shí)驗(yàn)案例在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程中，使用Python軟件進(jìn)行仿真是一種非常有效的教學(xué)方法，可以幫助學(xué)生直觀地理解抽象的概念和原理。如模擬投擲硬幣的過(guò)程并計(jì)算正面出現(xiàn)的概率；模擬利用蒙特卡洛法估計(jì)圓周率π；模擬二項(xiàng)分布，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大且成功概率適中時(shí)，二項(xiàng)分布近似于正態(tài)分布。使用Python軟件進(jìn)行仿真時(shí)，常用的庫(kù)包括用于離散事件仿真的SimPy庫(kù)、數(shù)據(jù)處理與分析的Pandas庫(kù)、數(shù)值計(jì)算的NumPy庫(kù)和數(shù)據(jù)可視化的Matplotlib等[5]。以下利用Python軟件模擬高爾頓釘板實(shí)驗(yàn)，模擬小球下落過(guò)程，繪制小球下落位置圖像，使學(xué)生深入理解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的概念和原理?！靖郀栴D釘板】高爾頓釘板（圖2），常常在賭博游戲中見(jiàn)到，即莊家通常在兩邊放置值錢(qián)的東西來(lái)吸引顧客。現(xiàn)在可用中心極限定理來(lái)揭穿這一賭博中的奧秘[6]。問(wèn)題分析：假設(shè)有n排釘子，記隨機(jī)變量Xi表示第i次碰釘后小球從左邊或右邊落下，左邊落下記作1，右邊落下記作-1，Xi服從兩點(diǎn)分布，n次碰釘后小球的位置服從正態(tài)分布，所以，落在中間的概率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于落在兩邊的概率。通過(guò)Python軟件可以對(duì)小球下落過(guò)程進(jìn)行模擬，并繪制出多個(gè)小球下落后的概率分布圖像。利用Matplotlib庫(kù)中函數(shù)實(shí)現(xiàn)可視化，主程序中主要使用for循環(huán)、if語(yǔ)句實(shí)現(xiàn)多個(gè)小球下落后的頻率分布曲線。進(jìn)行3組實(shí)驗(yàn)，小球落下位置的概率結(jié)果如圖3所示。通過(guò)動(dòng)態(tài)展示小球下落過(guò)程，可以觀察到正態(tài)分布的形成過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)看似無(wú)序但實(shí)則有規(guī)律的運(yùn)動(dòng)。同時(shí)，啟發(fā)學(xué)生思考隨機(jī)性、確定性和無(wú)序性之間的關(guān)系，從而拓展思維視野。四、MATLAB軟件在數(shù)值模擬中的實(shí)驗(yàn)案例通過(guò)MATLAB軟件展示“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程中的一些基本概念和定理，如模擬泊松分布并繪制其概率分布函數(shù)圖像；模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸分析，生成正態(tài)分布的隨機(jī)樣本并繪制直方圖等。通過(guò)數(shù)值模擬，學(xué)生可以更直觀地理解這些概念和定理，并學(xué)會(huì)使用MATLAB軟件進(jìn)行相關(guān)的數(shù)值計(jì)算和可視化。MATLAB軟件用于數(shù)值模擬的函數(shù)豐富多樣，包括用于曲線擬合的polyfit（）函數(shù)、進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的最大似然法和矩法函數(shù)、實(shí)現(xiàn)插值運(yùn)算的一維插值和樣條插值函數(shù)，以及用于微分方程求解的ode45函數(shù)等。以下為利用MATLAB軟件模擬中心極限定理，演示原分布為不同分布時(shí)，極限分布為正態(tài)分布的案例?！局行臉O限定理】設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…Xn，…相互獨(dú)立，服從同一分布，且這個(gè)定理表明，當(dāng)n充分大時(shí)，n個(gè)具有期望和方差的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變之和近似服從正態(tài)分布。雖然在一般情況下，很難求出X1+X2+…+Xn+…的分布的確切形式，但當(dāng)n很大時(shí)，可以求其近似的分布[7]。單看定理內(nèi)容比較難理解，此時(shí)可利用MATLAB軟件在X1，X2，…Xn，…服從二項(xiàng)分布、泊松分布、指數(shù)分布和伽馬分布4種情況下，模擬其和的概率分布函數(shù)[8]，如圖4所示。以單變量服從二項(xiàng)分布為例，首先，利用res定義單變量表達(dá)式、構(gòu)造和函數(shù)表達(dá)式，利用Gamma函數(shù)生成變量隨機(jī)數(shù)，histogram函數(shù)繪制單變量直方圖；其次，計(jì)算出均值和標(biāo)準(zhǔn)差后，用normpdf函數(shù)計(jì)算正態(tài)分布的概率密度函數(shù)[9]；最后，用plot（）函數(shù)畫(huà)出伯努利試驗(yàn)總次數(shù)分別為10、20、200、600，概率均為0.5的情況的直方圖與概率密度圖像。通過(guò)圖像對(duì)比，學(xué)生體會(huì)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，二項(xiàng)分布和的分布趨近于正態(tài)分布的效果。圖4a為實(shí)驗(yàn)總次數(shù)為200、概率為0.5時(shí)的擬合效果圖。是離散型還是連續(xù)型，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，其和都近似服從正態(tài)分布。通過(guò)圖形對(duì)比，增強(qiáng)了中心極限定理的可信度，同時(shí)，使枯燥的定理學(xué)習(xí)變得更加生動(dòng)有趣，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效果[10]。五、結(jié)束語(yǔ)“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程為數(shù)據(jù)科學(xué)與大數(shù)據(jù)技術(shù)專(zhuān)業(yè)提供了方法支持，在大數(shù)據(jù)處理和分析中，需要運(yùn)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的原理和方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行描述、推斷和預(yù)測(cè)。利用大數(shù)據(jù)軟件解決“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程""""""""中心極限定理為統(tǒng)計(jì)推斷提供了理論基礎(chǔ)，在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常需要根據(jù)樣本數(shù)據(jù)推斷總體的特征，而中心極限定理可以建立置信區(qū)間和假設(shè)檢驗(yàn)等統(tǒng)計(jì)推斷的方法，是非常重要的定理。通過(guò)對(duì)比圖4可知，無(wú)論單變量中的問(wèn)題，可以提