遷安中考數(shù)學試題及答案

遷安中考數(shù)學試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題5分，共20分）

1.下列各數(shù)中，無理數(shù)是（）

A.$\sqrt{2}$

B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

C.$\pi$

D.$\sqrt{9}$

2.若$a=2$，則代數(shù)式$3a^2-4a+1$的值是（）

A.5

B.4

C.3

D.2

3.已知等腰三角形底邊長為8，腰長為10，則該等腰三角形的周長為（）

A.26

B.28

C.30

D.32

4.下列函數(shù)中，是反比例函數(shù)的是（）

A.$y=x^2+1$

B.$y=\frac{1}{x}$

C.$y=x^3+1$

D.$y=\sqrt{x}+1$

5.在$\triangleABC$中，若$AB=AC$，則下列說法正確的是（）

A.$\angleA=\angleB$

B.$\angleA=\angleC$

C.$\angleB=\angleC$

D.$\angleA=\angleB=\angleC$

二、填空題（每題5分，共25分）

1.已知$x+y=5$，$xy=6$，則$x^2+y^2$的值為__________。

2.若$a=2$，$b=3$，則$a^2+b^2-2ab$的值為__________。

3.在直角坐標系中，點$(3,4)$關于$x$軸的對稱點坐標為__________。

4.在等腰三角形$ABC$中，若底邊長為8，腰長為10，則底角$\angleB$的大小為__________。

5.若$a=2$，$b=3$，則$\frac{a}+\frac{a}$的值為__________。

三、解答題（每題15分，共45分）

1.解下列方程組：

\[

\begin{cases}

x+y=7\\

2x-y=3

\end{cases}

\]

2.已知$a=2$，$b=3$，求$a^2+2ab+b^2$的值。

3.在直角坐標系中，點$A(2,3)$關于$y=x$的對稱點為$B$，求點$B$的坐標。

4.已知等腰三角形底邊長為6，腰長為8，求該等腰三角形的周長和面積。

四、解答題（每題15分，共45分）

5.已知函數(shù)$f(x)=2x^2-3x+1$，求：

（1）函數(shù)$f(x)$的最大值和最小值；

（2）若$f(x)=0$，求$x$的值。

6.在$\triangleABC$中，已知$AB=AC$，$BC=8$，$AD$是$BC$邊上的高，且$AD=6$。求$\triangleABC$的面積。

五、證明題（每題15分，共30分）

7.證明：若$a>b>0$，則$\frac{1}{a}<\frac{1}$。

8.證明：在$\triangleABC$中，若$AB=AC$，則$\angleA=\angleC$。

六、綜合題（每題20分，共40分）

9.已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），且$f(1)=3$，$f(2)=7$，$f(3)=11$。求函數(shù)$f(x)$的解析式。

10.在$\triangleABC$中，$AB=AC$，$AD$是$BC$邊上的高，且$AD=6$，$BD=4$。求$\triangleABC$的周長和面積。

試卷答案如下：

一、選擇題

1.C

解析思路：$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\pi$均為無理數(shù)，而$\sqrt{9}=3$為有理數(shù)，故選C。

2.A

解析思路：將$a=2$代入$3a^2-4a+1$得$3\times2^2-4\times2+1=12-8+1=5$，故選A。

3.B

解析思路：等腰三角形兩腰相等，故周長為$8+10+10=28$，故選B。

4.B

解析思路：反比例函數(shù)的一般形式為$y=\frac{k}{x}$（$k\neq0$），故選B。

5.C

解析思路：等腰三角形兩腰相等，底角相等，故選C。

二、填空題

1.37

解析思路：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，代入$x+y=5$和$xy=6$得$25=37-2\times6$，故$x^2+y^2=37$。

2.4

解析思路：$a^2+b^2-2ab=(a-b)^2$，代入$a=2$和$b=3$得$4$。

3.(3,-4)

解析思路：點$(3,4)$關于$x$軸的對稱點坐標為$(3,-4)$。

4.36°

解析思路：等腰三角形底角相等，底邊長為8，腰長為10，底角為$\frac{1}{2}\times180°-\arcsin(\frac{4}{10})=36°$。

5.5

解析思路：$\frac{a}+\frac{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}$，代入$a=2$和$b=3$得$5$。

三、解答題

1.解：

\[

\begin{cases}

x+y=7\\

2x-y=3

\end{cases}

\]

將第一個方程乘以2，得$2x+2y=14$，再將第二個方程加到上式，得$3x=17$，解得$x=\frac{17}{3}$，代入第一個方程得$y=\frac{14}{3}$，故方程組的解為$\left(\frac{17}{3},\frac{14}{3}\right)$。

2.解：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，代入$a=2$和$b=3$得$25$。

3.解：點$(2,3)$關于$y=x$的對稱點坐標為$(3,2)$。

4.解：等腰三角形底邊長為6，腰長為8，周長為$6+8+8=22$；面積為$\frac{1}{2}\times6\times8=24$。

四、解答題

5.解：

（1）函數(shù)$f(x)=2x^2-3x+1$的對稱軸為$x=-\frac{2a}=-\frac{-3}{2\times2}=\frac{3}{4}$，故函數(shù)的最大值和最小值分別在$x=\frac{3}{4}$處取得。將$x=\frac{3}{4}$代入函數(shù)得$f\left(\frac{3}{4}\right)=2\times\left(\frac{3}{4}\right)^2-3\times\frac{3}{4}+1=\frac{1}{8}$，故函數(shù)的最大值為$\frac{1}{8}$，最小值為$\frac{1}{8}$。

（2）令$f(x)=0$，得$2x^2-3x+1=0$，解得$x=\frac{1}{2}$或$x=1$。

6.解：由勾股定理得$BD^2+AD^2=AB^2$，代入$BD=4$，$AD=6$，$AB=AC$得$AC=2\sqrt{13}$，故$\triangleABC$的面積為$\frac{1}{2}\times8\times6=24$。

五、證明題

7.證明：由$a>b>0$，得$a-b>0$，兩邊同時乘以$\frac{1}{ab}$得$\frac{a}-\frac{a}>0$，即$\frac{1}{a}<\frac{1}$。

8.證明：由$AB=AC$，得$\angleABD=\angleACD$，又$\angleABD+\angleACD=180°$，故$\angleABD=\angleACD=90°$，即$\angleA=\angleC$。

六、綜合題

9.解：由$f(1)=3$，$f(2)=7$，$f(3)=11$，得

\[

\begin{cases}

a+b+c=3\\

4a+2b+c=7\\

9a+3b+c=11

\end{cases}

\]

將第一個方程乘以2，得$2a+2b+2c=6$，再將第二個方程減去上式，得$2a+b=1$，再將第三個方程減去上式，得$7a+2b=5$，解得$a=1$，$b=-1$，代入第一個方程得$c=4$，故函數(shù)$f(x)=x^2-x+4$。

10.解：由$AB=AC$，得$\angleABD=\angleACD$，又$\angleABD+\angleACD=180°$，故$\angleABD=\angleACD=90°$，