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文檔簡介
遷安中考數(shù)學試題及答案姓名:____________________
一、選擇題(每題5分,共20分)
1.下列各數(shù)中,無理數(shù)是()
A.$\sqrt{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\pi$
D.$\sqrt{9}$
2.若$a=2$,則代數(shù)式$3a^2-4a+1$的值是()
A.5
B.4
C.3
D.2
3.已知等腰三角形底邊長為8,腰長為10,則該等腰三角形的周長為()
A.26
B.28
C.30
D.32
4.下列函數(shù)中,是反比例函數(shù)的是()
A.$y=x^2+1$
B.$y=\frac{1}{x}$
C.$y=x^3+1$
D.$y=\sqrt{x}+1$
5.在$\triangleABC$中,若$AB=AC$,則下列說法正確的是()
A.$\angleA=\angleB$
B.$\angleA=\angleC$
C.$\angleB=\angleC$
D.$\angleA=\angleB=\angleC$
二、填空題(每題5分,共25分)
1.已知$x+y=5$,$xy=6$,則$x^2+y^2$的值為__________。
2.若$a=2$,$b=3$,則$a^2+b^2-2ab$的值為__________。
3.在直角坐標系中,點$(3,4)$關(guān)于$x$軸的對稱點坐標為__________。
4.在等腰三角形$ABC$中,若底邊長為8,腰長為10,則底角$\angleB$的大小為__________。
5.若$a=2$,$b=3$,則$\frac{a}+\frac{a}$的值為__________。
三、解答題(每題15分,共45分)
1.解下列方程組:
\[
\begin{cases}
x+y=7\\
2x-y=3
\end{cases}
\]
2.已知$a=2$,$b=3$,求$a^2+2ab+b^2$的值。
3.在直角坐標系中,點$A(2,3)$關(guān)于$y=x$的對稱點為$B$,求點$B$的坐標。
4.已知等腰三角形底邊長為6,腰長為8,求該等腰三角形的周長和面積。
四、解答題(每題15分,共45分)
5.已知函數(shù)$f(x)=2x^2-3x+1$,求:
(1)函數(shù)$f(x)$的最大值和最小值;
(2)若$f(x)=0$,求$x$的值。
6.在$\triangleABC$中,已知$AB=AC$,$BC=8$,$AD$是$BC$邊上的高,且$AD=6$。求$\triangleABC$的面積。
五、證明題(每題15分,共30分)
7.證明:若$a>b>0$,則$\frac{1}{a}<\frac{1}$。
8.證明:在$\triangleABC$中,若$AB=AC$,則$\angleA=\angleC$。
六、綜合題(每題20分,共40分)
9.已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$($a\neq0$),且$f(1)=3$,$f(2)=7$,$f(3)=11$。求函數(shù)$f(x)$的解析式。
10.在$\triangleABC$中,$AB=AC$,$AD$是$BC$邊上的高,且$AD=6$,$BD=4$。求$\triangleABC$的周長和面積。
試卷答案如下:
一、選擇題
1.C
解析思路:$\sqrt{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\pi$均為無理數(shù),而$\sqrt{9}=3$為有理數(shù),故選C。
2.A
解析思路:將$a=2$代入$3a^2-4a+1$得$3\times2^2-4\times2+1=12-8+1=5$,故選A。
3.B
解析思路:等腰三角形兩腰相等,故周長為$8+10+10=28$,故選B。
4.B
解析思路:反比例函數(shù)的一般形式為$y=\frac{k}{x}$($k\neq0$),故選B。
5.C
解析思路:等腰三角形兩腰相等,底角相等,故選C。
二、填空題
1.37
解析思路:$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$,代入$x+y=5$和$xy=6$得$25=37-2\times6$,故$x^2+y^2=37$。
2.4
解析思路:$a^2+b^2-2ab=(a-b)^2$,代入$a=2$和$b=3$得$4$。
3.(3,-4)
解析思路:點$(3,4)$關(guān)于$x$軸的對稱點坐標為$(3,-4)$。
4.36°
解析思路:等腰三角形底角相等,底邊長為8,腰長為10,底角為$\frac{1}{2}\times180°-\arcsin(\frac{4}{10})=36°$。
5.5
解析思路:$\frac{a}+\frac{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}$,代入$a=2$和$b=3$得$5$。
三、解答題
1.解:
\[
\begin{cases}
x+y=7\\
2x-y=3
\end{cases}
\]
將第一個方程乘以2,得$2x+2y=14$,再將第二個方程加到上式,得$3x=17$,解得$x=\frac{17}{3}$,代入第一個方程得$y=\frac{14}{3}$,故方程組的解為$\left(\frac{17}{3},\frac{14}{3}\right)$。
2.解:$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$,代入$a=2$和$b=3$得$25$。
3.解:點$(2,3)$關(guān)于$y=x$的對稱點坐標為$(3,2)$。
4.解:等腰三角形底邊長為6,腰長為8,周長為$6+8+8=22$;面積為$\frac{1}{2}\times6\times8=24$。
四、解答題
5.解:
(1)函數(shù)$f(x)=2x^2-3x+1$的對稱軸為$x=-\frac{2a}=-\frac{-3}{2\times2}=\frac{3}{4}$,故函數(shù)的最大值和最小值分別在$x=\frac{3}{4}$處取得。將$x=\frac{3}{4}$代入函數(shù)得$f\left(\frac{3}{4}\right)=2\times\left(\frac{3}{4}\right)^2-3\times\frac{3}{4}+1=\frac{1}{8}$,故函數(shù)的最大值為$\frac{1}{8}$,最小值為$\frac{1}{8}$。
(2)令$f(x)=0$,得$2x^2-3x+1=0$,解得$x=\frac{1}{2}$或$x=1$。
6.解:由勾股定理得$BD^2+AD^2=AB^2$,代入$BD=4$,$AD=6$,$AB=AC$得$AC=2\sqrt{13}$,故$\triangleABC$的面積為$\frac{1}{2}\times8\times6=24$。
五、證明題
7.證明:由$a>b>0$,得$a-b>0$,兩邊同時乘以$\frac{1}{ab}$得$\frac{a}-\frac{a}>0$,即$\frac{1}{a}<\frac{1}$。
8.證明:由$AB=AC$,得$\angleABD=\angleACD$,又$\angleABD+\angleACD=180°$,故$\angleABD=\angleACD=90°$,即$\angleA=\angleC$。
六、綜合題
9.解:由$f(1)=3$,$f(2)=7$,$f(3)=11$,得
\[
\begin{cases}
a+b+c=3\\
4a+2b+c=7\\
9a+3b+c=11
\end{cases}
\]
將第一個方程乘以2,得$2a+2b+2c=6$,再將第二個方程減去上式,得$2a+b=1$,再將第三個方程減去上式,得$7a+2b=5$,解得$a=1$,$b=-1$,代入第一個方程得$c=4$,故函數(shù)$f(x)=x^2-x+4$。
10.解:由$AB=AC$,得$\angleABD=\angleACD$,又$\angleABD+\angleACD=180°$,故$\angleABD=\angleACD=90°$,
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