蜀山二模數(shù)學試題及答案

蜀山二模數(shù)學試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題[X]分，共[X]分）

1.若等差數(shù)列{an}中，a1=3，d=2，則a10=（）

A.17B.19C.21D.23

2.函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的圖像開口向上，且頂點坐標為（-1，-4），則a的值為（）

A.1B.2C.-1D.-2

3.已知復數(shù)z=2+i，那么|z+3i|^2的值為（）

A.13B.17C.19D.25

二、填空題（每題[X]分，共[X]分）

4.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=4，b=6，且cosA=1/2，則c=______。

5.若等比數(shù)列{an}中，a1=3，q=2，則前5項和S5=______。

6.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，若存在實數(shù)x，使得f(x)=0，則x的取值范圍為______。

三、解答題（每題[X]分，共[X]分）

7.（X分）已知函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），且f(1)=2，f(-1)=0，f(3)=8，求a、b、c的值。

8.（X分）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，且cosA=1/2，求△ABC的面積。

四、解答題（每題[X]分，共[X]分）

9.（X分）已知數(shù)列{an}滿足an=2an-1+1，且a1=1，求該數(shù)列的前n項和Sn。

10.（X分）在平面直角坐標系中，點P（2，3）關(guān)于直線y=x的對稱點為P'，求點P'的坐標。

五、證明題（每題[X]分，共[X]分）

11.（X分）已知等差數(shù)列{an}中，a1=2，d=3，證明：對于任意的正整數(shù)n，an>0。

12.（X分）已知函數(shù)f(x)=x^3-3x+1，證明：對于任意的實數(shù)x，有f(x)≥1。

六、綜合題（每題[X]分，共[X]分）

13.（X分）已知函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），且f(0)=2，f(1)=3，f(2)=5，求函數(shù)f(x)的圖像與x軸的交點坐標。

14.（X分）在平面直角坐標系中，點A（2，3），點B（4，1），點C（x，y）在直線y=kx+b上，且△ABC的面積為6，求k和b的值。

試卷答案如下：

一、選擇題

1.A

解析思路：等差數(shù)列的通項公式為an=a1+(n-1)d，代入a1=3，d=2，n=10，計算得a10=3+(10-1)*2=21。

2.B

解析思路：函數(shù)f(x)的頂點坐標為(-b/2a,f(-b/2a))，代入a=1，b=-4，計算得頂點坐標為(2,-4)，因此a=1。

3.C

解析思路：復數(shù)的模長公式為|z|=√(x^2+y^2)，代入z=2+i，計算得|z+3i|=|2+i+3i|=|2+4i|=√(2^2+4^2)=√(4+16)=√20=2√5，所以|z+3i|^2=(2√5)^2=20。

二、填空題

4.5

解析思路：由余弦定理得c^2=a^2+b^2-2ab*cosA，代入a=4，b=6，cosA=1/2，計算得c^2=4^2+6^2-2*4*6*1/2=16+36-24=28，所以c=√28=2√7。

5.31

解析思路：等比數(shù)列的前n項和公式為Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，代入a1=3，q=2，n=5，計算得S5=3*(1-2^5)/(1-2)=3*(1-32)/(-1)=3*31=93。

6.x≤1或x≥3

解析思路：由f(x)=x^2-4x+3=0，得x^2-4x+3=0，因式分解得(x-1)(x-3)=0，所以x=1或x=3。

三、解答題

7.a=1，b=-2，c=2

解析思路：由f(1)=2，得a+b+c=2；由f(-1)=0，得a-b+c=0；由f(3)=8，得9a+3b+c=8。解這個方程組得a=1，b=-2，c=2。

8.面積為6

解析思路：由余弦定理得cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，代入a=3，b=4，cosA=1/2，計算得c=5。由三角形面積公式S=1/2*bc*sinA，代入b=4，c=5，cosA=1/2，計算得sinA=√3/2，所以面積S=1/2*4*5*√3/2=10√3/2=5√3。

四、解答題

9.Sn=n^2+n

解析思路：由an=2an-1+1，得an-1=2an-2+1，兩式相減得an=2(an-1-an-2)，即an=2(an-1-an-2)。因此，數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比為2，首項為1，所以Sn=a1*(1-2^n)/(1-2)=n*(2^n-1)。

10.P'的坐標為(3，2)

解析思路：點P關(guān)于直線y=x的對稱點P'的坐標為(x，y)，滿足x=y，所以P'的坐標為(3，2)。

五、證明題

11.an>0

解析思路：由等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d，代入a1=2，d=3，得an=2+3(n-1)=3n-1。因為n為正整數(shù)，所以3n-1>0。

12.f(x)≥1

解析思路：由f(x)=x^3-3x+1，得f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，得x=±1。當x<1或x>1時，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當-1<x<1時，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減。因此，f(x)在x=-1時取得最小值，f(-1)=(-1)^3-3*(-1)+1=1，所以f(x)≥1。

六、綜合題

13.交點坐標為(1，0)和(3，0)

解析思路：由f(0)=2，得c=2；由f(1)=3，得a+b+2=3，即a+b=1；由f(2)=5，得4a+2b+2=5，即4a+2b=3。解這個方程組得a=1，b=0，所以f(x)=x^2+1。令f(x)=0，得x^2+1=0，解得x=±i，所以交點坐標為(1，0)和(3，0)。

14.k=1，b=-1

解析思路：由