2024-2025學(xué)年廣東省郁南縣連灘中學(xué)高三5月階段性檢測試題數(shù)學(xué)試題試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2024-2025學(xué)年廣東省郁南縣連灘中學(xué)高三5月階段性檢測試題數(shù)學(xué)試題試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知數(shù)列的首項,且,其中,,,下列敘述正確的是()A.若是等差數(shù)列,則一定有 B.若是等比數(shù)列,則一定有C.若不是等差數(shù)列,則一定有 D.若不是等比數(shù)列,則一定有2.已知函數(shù),若函數(shù)的所有零點依次記為,且,則()A. B. C. D.3.已知函數(shù),其中,,其圖象關(guān)于直線對稱,對滿足的,,有,將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B.C. D.4.已知是虛數(shù)單位,若,則()A. B.2 C. D.35.已知復(fù)數(shù),其中,,是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.6.已知四棱錐中,平面,底面是邊長為2的正方形,,為的中點,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.7.設(shè)集合則()A. B. C. D.8.已知集合,則為()A.[0,2) B.(2,3] C.[2,3] D.(0,2]9.關(guān)于圓周率π,數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的浦豐實驗和查理斯實驗.受其啟發(fā),我們也可以通過設(shè)計下面的實驗來估計的值:先請全校名同學(xué)每人隨機寫下一個都小于的正實數(shù)對;再統(tǒng)計兩數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個數(shù);最后再根據(jù)統(tǒng)計數(shù)估計的值,那么可以估計的值約為()A. B. C. D.10.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的最長棱的長為()A. B. C. D.11.將函數(shù)圖象上每一點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,再將圖像向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)圖象的一個對稱中心為()A. B. C. D.12.已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的點關(guān)于直線的對稱點在的圖像上,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.一個房間的地面是由12個正方形所組成,如圖所示.今想用長方形瓷磚鋪滿地面,已知每一塊長方形瓷磚可以覆蓋兩塊相鄰的正方形,即或,則用6塊瓷磚鋪滿房間地面的方法有_______種.14.設(shè),則“”是“”的__________條件.15.在平面直角坐標(biāo)系中,曲線上任意一點到直線的距離的最小值為________.16.如圖,某地一天從時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù),則這段曲線的函數(shù)解析式為______________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),.(Ⅰ)判斷函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù),并證明;(Ⅱ)函數(shù)在區(qū)間上的極值點從小到大分別為,,證明:18.(12分)已知函數(shù),(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時,判斷函數(shù),()有幾個零點,并證明你的結(jié)論;(3)設(shè)函數(shù),若函數(shù)在為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)在四棱錐的底面是菱形,底面,,分別是的中點,.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值;(III)在邊上是否存在點,使與所成角的余弦值為,若存在,確定點的位置;若不存在,說明理由.20.(12分)已知等差數(shù)列的前n項和為,等比數(shù)列的前n項和為,且,,.(1)求數(shù)列與的通項公式;(2)求數(shù)列的前n項和.21.(12分)已知.(1)若是上的增函數(shù),求的取值范圍;(2)若函數(shù)有兩個極值點,判斷函數(shù)零點的個數(shù).22.(10分)橢圓的左、右焦點分別為,橢圓上兩動點使得四邊形為平行四邊形,且平行四邊形的周長和最大面積分別為8和.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線與橢圓的另一交點為,當(dāng)點在以線段為直徑的圓上時,求直線的方程.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】A:當(dāng)時,,顯然符合是等差數(shù)列,但是此時不成立,故本說法不正確;B:當(dāng)時,,顯然符合是等比數(shù)列,但是此時不成立,故本說法不正確;C:當(dāng)時,因此有常數(shù),因此是等差數(shù)列,因此當(dāng)不是等差數(shù)列時,一定有,故本說法正確;D:當(dāng)時,若時,顯然數(shù)列是等比數(shù)列,故本說法不正確.故選:C本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義,考查了推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.2.C【解析】

令,求出在的對稱軸,由三角函數(shù)的對稱性可得,將式子相加并整理即可求得的值.【詳解】令,得,即對稱軸為.函數(shù)周期,令,可得.則函數(shù)在上有8條對稱軸.根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,將以上各式相加得:故選:C.本題考查了三角函數(shù)的對稱性,考查了三角函數(shù)的周期性,考查了等差數(shù)列求和.本題的難點是將所求的式子拆分為的形式.3.B【解析】

根據(jù)已知得到函數(shù)兩個對稱軸的距離也即是半周期,由此求得的值,結(jié)合其對稱軸,求得的值,進(jìn)而求得解析式.根據(jù)圖像變換的知識求得的解析式,再利用三角函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法,求得的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解:已知函數(shù),其中,,其圖像關(guān)于直線對稱,對滿足的,,有,∴.再根據(jù)其圖像關(guān)于直線對稱,可得,.∴,∴.將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖像.令,求得,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,,故選B.本小題主要考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)求函數(shù)解析式,考查三角函數(shù)圖像變換,考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,屬于中檔題.4.A【解析】

直接將兩邊同時乘以求出復(fù)數(shù),再求其模即可.【詳解】解:將兩邊同時乘以,得故選:A考查復(fù)數(shù)的運算及其模的求法,是基礎(chǔ)題.5.D【解析】試題分析:由,得,則,故選D.考點:1、復(fù)數(shù)的運算;2、復(fù)數(shù)的模.6.B【解析】

由題意建立空間直角坐標(biāo)系,表示出各點坐標(biāo)后,利用即可得解.【詳解】平面,底面是邊長為2的正方形,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,由題意:,,,,,為的中點,.,,,異面直線與所成角的余弦值為即為.故選:B.本題考查了空間向量的應(yīng)用,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.7.C【解析】

直接求交集得到答案.【詳解】集合,則.故選:.本題考查了交集運算,屬于簡單題.8.B【解析】

先求出,得到,再結(jié)合集合交集的運算,即可求解.【詳解】由題意,集合,所以,則,所以.故選:B.本題主要考查了集合的混合運算,其中解答中熟記集合的交集、補集的定義及運算是解答的關(guān)鍵,著重考查了計算能力,屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】

由試驗結(jié)果知對0~1之間的均勻隨機數(shù),滿足,面積為1,再計算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對,滿足條件的面積,由幾何概型概率計算公式,得出所取的點在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積,即可估計的值.【詳解】解:根據(jù)題意知,名同學(xué)取對都小于的正實數(shù)對,即,對應(yīng)區(qū)域為邊長為的正方形,其面積為,若兩個正實數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊,則有,其面積;則有,解得故選:.本題考查線性規(guī)劃可行域問題及隨機模擬法求圓周率的幾何概型應(yīng)用問題.線性規(guī)劃可行域是一個封閉的圖形,可以直接解出可行域的面積;求解與面積有關(guān)的幾何概型時,關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積,必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量,把變量看成點的坐標(biāo),找到試驗全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,以便求解.10.D【解析】

先根據(jù)三視圖還原幾何體是一個四棱錐,根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù),計算各棱的長度.【詳解】根據(jù)三視圖可知,幾何體是一個四棱錐,如圖所示:由三視圖知:,所以,所以,所以該幾何體的最長棱的長為故選:D本題主要考查三視圖的應(yīng)用,還考查了空間想象和運算求解的能力,屬于中檔題.11.D【解析】

根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律可得到解析式,然后將四個選項代入逐一判斷即可.【詳解】解:圖象上每一點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得到再將圖像向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,故選:D考查三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律以及其有關(guān)性質(zhì),基礎(chǔ)題.12.A【解析】

可將問題轉(zhuǎn)化,求直線關(guān)于直線的對稱直線,再分別討論兩函數(shù)的增減性,結(jié)合函數(shù)圖像,分析臨界點,進(jìn)一步確定的取值范圍即可【詳解】可求得直線關(guān)于直線的對稱直線為,當(dāng)時,,,當(dāng)時,,則當(dāng)時,,單減,當(dāng)時,,單增;當(dāng)時,,,當(dāng),,當(dāng)時,單減,當(dāng)時,單增;根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖像,如圖:當(dāng)與()相切時,得,解得;當(dāng)與()相切時,滿足,解得,結(jié)合圖像可知,即,故選:A本題考查數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)交點問題,導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性,找準(zhǔn)臨界是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.11【解析】

將圖形中左側(cè)的兩列瓷磚的形狀先確定,再由此進(jìn)行分類,在每一類里面又分按兩種形狀的瓷磚的數(shù)量進(jìn)行分類,在其中會有相同元素的排列問題,需用到“縮倍法”.采用分類計數(shù)原理,求得總的方法數(shù).【詳解】(1)先貼如圖這塊瓷磚,然后再貼剩下的部分,按如下分類:5個:,3個,2個:,1個,4個:,(2)左側(cè)兩列如圖貼磚,然后貼剩下的部分:3個:,1個,2個:,綜上,一共有(種).故答案為:11.本題考查了分類計數(shù)原理,排列問題,其中涉及到相同元素的排列,用到了“縮倍法”的思想.屬于中檔題.14.充分必要【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】當(dāng)時,有,故“”是“”的充分條件.當(dāng)時,有,故“”是“”的必要條件.故“”是“”的充分必要條件,故答案為:充分必要.本題考查充分必要條件的判斷,可利用定義來判斷,也可以根據(jù)兩個條件構(gòu)成命題及逆命題的真假來判斷,還可以利用兩個條件對應(yīng)的集合的包含關(guān)系來判斷,本題屬于容易題.15.【解析】

解法一:曲線上任取一點,利用基本不等式可求出該點到直線的距離的最小值;解法二:曲線函數(shù)解析式為,由求出切點坐標(biāo),再計算出切點到直線的距離即可所求答案.【詳解】解法一(基本不等式):在曲線上任取一點,該點到直線的距離為,當(dāng)且僅當(dāng)時,即當(dāng)時,等號成立,因此,曲線上任意一點到直線距離的最小值為;解法二(導(dǎo)數(shù)法):曲線的函數(shù)解析式為,則,設(shè)過曲線上任意一點的切線與直線平行,則,解得,當(dāng)時,到直線的距離;當(dāng)時,到直線的距離.所以曲線上任意一點到直線的距離的最小值為.故答案為:.本題考查曲線上一點到直線距離最小值的計算,可轉(zhuǎn)化為利用切線與直線平行來找出切點,轉(zhuǎn)化為切點到直線的距離,也可以設(shè)曲線上的動點坐標(biāo),利用基本不等式法或函數(shù)的最值進(jìn)行求解,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.16.,【解析】

根據(jù)圖象得出該函數(shù)的最大值和最小值,可得,,結(jié)合圖象求得該函數(shù)的最小正周期,可得出,再將點代入函數(shù)解析式,求出的值,即可求得該函數(shù)的解析式.【詳解】由圖象可知,,,,,從題圖中可以看出,從時是函數(shù)的半個周期,則,.又,,得,取,所以,.故答案為:,.本題考查由圖象求函數(shù)解析式,考查計算能力,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ)函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點.見解析(Ⅱ)見解析【解析】

(Ⅰ)根據(jù)題意,,利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,分類討論在區(qū)間的單調(diào)區(qū)間和極值,進(jìn)而研究零點個數(shù)問題;(Ⅱ)求導(dǎo),,由于在區(qū)間上的極值點從小到大分別為,,求出,利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合單調(diào)性和極值點,即可證明出.【詳解】解:(Ⅰ),,當(dāng)時,,,在區(qū)間上單調(diào)遞減,,在區(qū)間上無零點;當(dāng)時,,在區(qū)間上單調(diào)遞增,,在區(qū)間上唯一零點;當(dāng)時,,,在區(qū)間上單調(diào)遞減,,;在區(qū)間上唯一零點;綜上可知,函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點.(Ⅱ),,由(Ⅰ)知在無極值點;在有極小值點,即為;在有極大值點,即為,由,即,,2…,,,,,,以及的單調(diào)性,,,,,由函數(shù)在單調(diào)遞增,得,,由在單調(diào)遞減,得,即,故.本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,通過導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點個數(shù)問題和證明不等式,考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.18.(1)單調(diào)增區(qū)間,單調(diào)減區(qū)間為,;(2)有2個零點,證明見解析;(3)【解析】

對函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;函數(shù)有2個零點.根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理即可證明;記函數(shù),求導(dǎo)后利用單調(diào)性求得,由零點存在性定理及單調(diào)性知存在唯一的,使,求得為分段函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論:①當(dāng)時,利用函數(shù)的單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為的問題;②當(dāng)時,當(dāng)時,在上恒成立,從而求得的取值范圍.【詳解】(1)由題意知,,列表如下:020極小值極大值所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為,.(2)函數(shù)有2個零點.證明如下:因為時,所以,因為,所以在恒成立,在上單調(diào)遞增,由,,且在上單調(diào)遞增且連續(xù)知,函數(shù)在上僅有一個零點,由(1)可得時,,即,故時,,所以,由得,平方得,所以,因為,所以在上恒成立,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,因為,所以,由,,且在上單調(diào)遞減且連續(xù)得在上僅有一個零點,綜上可知:函數(shù)有2個零點.(3)記函數(shù),下面考察的符號.求導(dǎo)得.當(dāng)時恒成立.當(dāng)時,因為,所以.∴在上恒成立,故在上單調(diào)遞減.∵,∴,又因為在上連續(xù),所以由函數(shù)的零點存在性定理得存在唯一的,使,∴,因為,所以∴因為函數(shù)在上單調(diào)遞增,,所以在,上恒成立.①當(dāng)時,在上恒成立,即在上恒成立.記,則,當(dāng)變化時,,變化情況如下表:極小值∴,故,即.②當(dāng)時,,當(dāng)時,在上恒成立.綜合(1)(2)知,實數(shù)的取值范圍是.本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值和利用零點存在性定理判斷函數(shù)零點個數(shù)、利用分離參數(shù)法求參數(shù)的取值范圍;考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、邏輯推理能力、運算求解能力;通過構(gòu)造函數(shù),利用零點存在性定理判斷其零點,從而求出函數(shù)的表達(dá)式是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型強、難度大型試題.19.(Ⅰ)見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)見解析.【解析】

(Ⅰ)由題意結(jié)合幾何關(guān)系可證得平面,據(jù)此證明題中的結(jié)論即可;(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系,求得直線的方向向量與平面的一個法向量,然后求解線面角的正弦值即可;(Ⅲ)假設(shè)滿足題意的點存在,設(shè),由直線與的方向向量得到關(guān)于的方程,解方程即可確定點F的位置.【詳解】(Ⅰ)由菱形的性質(zhì)可得:,結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)可知:,故,底面,底面,故,且,故平面,平面,(Ⅱ)由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)易知,,,以點O為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則:,設(shè)平面的一個法向量為,則:,據(jù)此可得平面的一個法向量為,而,設(shè)直線與平面所成角為,則.(Ⅲ)由題意可得:,假設(shè)滿足題意的點存在,設(shè),,據(jù)此可得:,即:,從而點F的坐標(biāo)為,據(jù)此可得:,,結(jié)合題意有:,解得:.故點F為中點時滿足題意.本題主要考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理,線面角的向量求法,立體幾何中的探索性問題等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.20.(1);(2)【解析】

(1)設(shè)數(shù)列的公差為d,由可得,,由即可解得,故,由,即可解得,進(jìn)而求得.(2)由(1)得,,利用分組求和及錯位相減法即可求得結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公差為d,數(shù)列的公比為q,由可得,,整理得,即,故,由可得,則,即,故.(2)由(1)得,,,故,所以,數(shù)列的前n項和為,設(shè)①,則②,②①得,綜上,數(shù)列的前n項和為.本題考查求等差等比的通項公式,考試分組求和及錯位相減法求數(shù)列的和,考查學(xué)生的計算能力,難度一般.21.(1)(2)三個零點【解析】

(1)由題意知恒成立,構(gòu)造函

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