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山東省青島市西海岸新區(qū)膠南第一高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三一輪收官考試(二)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且,則()A. B.0 C.1 D.32.,則與位置關(guān)系是()A.平行 B.異面C.相交 D.平行或異面或相交3.已知定點(diǎn)都在平面內(nèi),定點(diǎn)是內(nèi)異于的動(dòng)點(diǎn),且,那么動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是()A.圓,但要去掉兩個(gè)點(diǎn) B.橢圓,但要去掉兩個(gè)點(diǎn)C.雙曲線,但要去掉兩個(gè)點(diǎn) D.拋物線,但要去掉兩個(gè)點(diǎn)4.己知全集為實(shí)數(shù)集R,集合A={x|x2+2x-8>0},B={x|log2x<1},則等于()A.[4,2] B.[4,2) C.(4,2) D.(0,2)5.已知整數(shù)滿足,記點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)滿足的概率為()A. B. C. D.6.2019年10月17日是我國(guó)第6個(gè)“扶貧日”,某醫(yī)院開展扶貧日“送醫(yī)下鄉(xiāng)”醫(yī)療義診活動(dòng),現(xiàn)有五名醫(yī)生被分配到四所不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院中,醫(yī)生甲被指定分配到醫(yī)院,醫(yī)生乙只能分配到醫(yī)院或醫(yī)院,醫(yī)生丙不能分配到醫(yī)生甲、乙所在的醫(yī)院,其他兩名醫(yī)生分配到哪所醫(yī)院都可以,若每所醫(yī)院至少分配一名醫(yī)生,則不同的分配方案共有()A.18種 B.20種 C.22種 D.24種7.做拋擲一枚骰子的試驗(yàn),當(dāng)出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)時(shí),就說(shuō)這次試驗(yàn)成功,假設(shè)骰子是質(zhì)地均勻的.則在3次這樣的試驗(yàn)中成功次數(shù)X的期望為()A.13 B.18.如圖,已知直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),且A、B兩點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的投影分別是M,N,若,則的值是()A. B. C. D.9.設(shè),,則“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10.一個(gè)幾何體的三視圖及尺寸如下圖所示,其中正視圖是直角三角形,側(cè)視圖是半圓,俯視圖是等腰三角形,該幾何體的表面積是()A.B.C.D.11.已知復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù),則為A. B. C. D.12.已知雙曲線:的焦距為,焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知邊長(zhǎng)為的菱形中,,現(xiàn)沿對(duì)角線折起,使得二面角為,此時(shí)點(diǎn),,,在同一個(gè)球面上,則該球的表面積為________.14.有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽,其中只有一位獲獎(jiǎng),有人走訪了四位歌手,甲說(shuō)“是乙或丙獲獎(jiǎng).”乙說(shuō):“甲、丙都未獲獎(jiǎng).”丙說(shuō):“我獲獎(jiǎng)了”.丁說(shuō):“是乙獲獎(jiǎng).”四位歌手的話只有兩句是對(duì)的,則獲獎(jiǎng)的歌手是__________.15.若函數(shù)()的圖象與直線相切,則______.16.在三棱錐中,已知,且平面平面,則三棱錐外接球的表面積為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列滿足,且,,成等比數(shù)列.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18.(12分)已知非零實(shí)數(shù)滿足.(1)求證:;(2)是否存在實(shí)數(shù),使得恒成立?若存在,求出實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由19.(12分)如圖,在四棱錐中,平面,四邊形為正方形,點(diǎn)為線段上的點(diǎn),過(guò)三點(diǎn)的平面與交于點(diǎn).將①,②,③中的兩個(gè)補(bǔ)充到已知條件中,解答下列問(wèn)題:(1)求平面將四棱錐分成兩部分的體積比;(2)求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)在四棱錐中,是等邊三角形,點(diǎn)在棱上,平面平面.(1)求證:平面平面;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值的最大值;(3)設(shè)直線與平面相交于點(diǎn),若,求的值.21.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)若在上恒成立,求的取值范圍.22.(10分)已知A是拋物線E:y2=2px(p>0)上的一點(diǎn),以點(diǎn)A和點(diǎn)B(2,0)為直徑兩端點(diǎn)的圓C交直線x=1于M,N兩點(diǎn).(1)若|MN|=2,求拋物線E的方程;(2)若0<p<1,拋物線E與圓(x﹣5)2+y2=9在x軸上方的交點(diǎn)為P,Q,點(diǎn)G為PQ的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),求直線OG斜率的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】
先根據(jù)奇偶性,求出的解析式,令,即可求出。【詳解】因?yàn)?、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),,用替換,得,化簡(jiǎn)得,即令,所以,故選C。本題主要考查函數(shù)性質(zhì)奇偶性的應(yīng)用。2.D【解析】結(jié)合圖(1),(2),(3)所示的情況,可得a與b的關(guān)系分別是平行、異面或相交.選D.3.A【解析】
根據(jù)題意可得,即知C在以AB為直徑的圓上.【詳解】,,,又,,平面,又平面,故在以為直徑的圓上,又是內(nèi)異于的動(dòng)點(diǎn),所以的軌跡是圓,但要去掉兩個(gè)點(diǎn)A,B故選:A本題主要考查了線面垂直、線線垂直的判定,圓的性質(zhì),軌跡問(wèn)題,屬于中檔題.4.D【解析】
求解一元二次不等式化簡(jiǎn)A,求解對(duì)數(shù)不等式化簡(jiǎn)B,然后利用補(bǔ)集與交集的運(yùn)算得答案.【詳解】解:由x2+2x-8>0,得x<-4或x>2,
∴A={x|x2+2x-8>0}={x|x<-4或x>2},
由log2x<1,x>0,得0<x<2,
∴B={x|log2x<1}={x|0<x<2},
則,
∴.
故選:D.本題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算,考查了對(duì)數(shù)不等式,二次不等式的求法,是基礎(chǔ)題.5.D【解析】
列出所有圓內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)共有37個(gè),滿足條件的有7個(gè),相除得到概率.【詳解】因?yàn)槭钦麛?shù),所以所有滿足條件的點(diǎn)是位于圓(含邊界)內(nèi)的整數(shù)點(diǎn),滿足條件的整數(shù)點(diǎn)有共37個(gè),滿足的整數(shù)點(diǎn)有7個(gè),則所求概率為.故選:.本題考查了古典概率的計(jì)算,意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.6.B【解析】
分兩類:一類是醫(yī)院A只分配1人,另一類是醫(yī)院A分配2人,分別計(jì)算出兩類的分配種數(shù),再由加法原理即可得到答案.【詳解】根據(jù)醫(yī)院A的情況分兩類:第一類:若醫(yī)院A只分配1人,則乙必在醫(yī)院B,當(dāng)醫(yī)院B只有1人,則共有種不同分配方案,當(dāng)醫(yī)院B有2人,則共有種不同分配方案,所以當(dāng)醫(yī)院A只分配1人時(shí),共有種不同分配方案;第二類:若醫(yī)院A分配2人,當(dāng)乙在醫(yī)院A時(shí),共有種不同分配方案,當(dāng)乙不在A醫(yī)院,在B醫(yī)院時(shí),共有種不同分配方案,所以當(dāng)醫(yī)院A分配2人時(shí),共有種不同分配方案;共有20種不同分配方案.故選:B本題考查排列與組合的綜合應(yīng)用,在做此類題時(shí),要做到分類不重不漏,考查學(xué)生分類討論的思想,是一道中檔題.7.C【解析】
每一次成功的概率為p=26=【詳解】每一次成功的概率為p=26=13故選:C.本題考查了二項(xiàng)分布求數(shù)學(xué)期望,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.8.C【解析】
直線恒過(guò)定點(diǎn),由此推導(dǎo)出,由此能求出點(diǎn)的坐標(biāo),從而能求出的值.【詳解】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為,直線恒過(guò)定點(diǎn),如圖過(guò)A、B分別作于M,于N,由,則,點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)、連接OB,則,∴,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為,把代入直線,解得,故選:C.本題考查直線與圓錐曲線中參數(shù)的求法,考查拋物線的性質(zhì),是中檔題,解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用,屬于中檔題.9.A【解析】
根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算分別從充分性和必要性去證明即可.【詳解】若,,則,可得;若,可得,無(wú)法得到,所以“”是“”的充分而不必要條件.所以本題答案為A.本題考查充要條件的定義,判斷充要條件的方法是:①若為真命題且為假命題,則命題p是命題q的充分不必要條件;②若為假命題且為真命題,則命題p是命題q的必要不充分條件;③若為真命題且為真命題,則命題p是命題q的充要條件;④若為假命題且為假命題,則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍,再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要,誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則,判斷命題p與命題q的關(guān)系.10.D【解析】
由三視圖可知該幾何體的直觀圖是軸截面在水平面上的半個(gè)圓錐,表面積為,故選D.11.C【解析】
利用復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運(yùn)算法則即可得出.【詳解】z1z2=(cos23°+isin23°)?(cos37°+isin37°)=cos60°+isin60°=.故答案為C.熟練掌握復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵,復(fù)數(shù)問(wèn)題高考必考,常見考點(diǎn)有:點(diǎn)坐標(biāo)和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,點(diǎn)的象限和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算,復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)的計(jì)算.12.A【解析】
利用雙曲線:的焦點(diǎn)到漸近線的距離為,求出,的關(guān)系式,然后求解雙曲線的漸近線方程.【詳解】雙曲線:的焦點(diǎn)到漸近線的距離為,可得:,可得,,則的漸近線方程為.故選A.本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,構(gòu)建出的關(guān)系是解題的關(guān)鍵,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
分別取,的中點(diǎn),,連接,由圖形的對(duì)稱性可知球心必在的延長(zhǎng)線上,設(shè)球心為,半徑為,,由勾股定理可得、,再根據(jù)球的面積公式計(jì)算可得;【詳解】如圖,分別取,的中點(diǎn),,連接,則易得,,,,由圖形的對(duì)稱性可知球心必在的延長(zhǎng)線上,設(shè)球心為,半徑為,,可得,解得,.故該球的表面積為.故答案為:本題考查多面體的外接球的計(jì)算,屬于中檔題.14.丙【解析】若甲獲獎(jiǎng),則甲、乙、丙、丁說(shuō)的都是錯(cuò)的,同理可推知乙、丙、丁獲獎(jiǎng)的情況,可知獲獎(jiǎng)的歌手是丙.考點(diǎn):反證法在推理中的應(yīng)用.15.2【解析】
設(shè)切點(diǎn)由已知可得,即可解得所求.【詳解】設(shè),因?yàn)?,所以,即,又?所以,即,.故答案為:.本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,難度較易.16.【解析】
取的中點(diǎn),設(shè)等邊三角形的中心為,連接.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求得,,由等腰直角三角形的性質(zhì),得,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得平面,,由勾股定理求得,可得為三棱錐外接球的球心,根據(jù)球體的表面積公式可求得此外接球的表面積.【詳解】在等邊三角形中,取的中點(diǎn),設(shè)等邊三角形的中心為,連接.由,得,,由已知可得是以為斜邊的等腰直角三角形,,又由已知可得平面平面,平面,,,所以,為三棱錐外接球的球心,外接球半徑,三棱錐外接球的表面積為.故答案為:本題考查三棱錐的外接球的表面積,關(guān)鍵在于根據(jù)三棱錐的面的關(guān)系、棱的關(guān)系和長(zhǎng)度求得外接球的球心的位置,球的半徑,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)見解析;(2)【解析】
(1)因?yàn)?,所以,所以,所以?shù)列是等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列的公差為,由可得,因?yàn)槌傻缺葦?shù)列,所以,所以,所以,因?yàn)?,所以,解得(舍去)或,所以,所以.?)由(1)知,,所以,所以.18.(1)見解析(2)存在,【解析】
(1)利用作差法即可證出.(2)將不等式通分化簡(jiǎn)可得,討論或,分離參數(shù),利用基本不等式即可求解.【詳解】又即即①當(dāng)時(shí),即恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),故②當(dāng)時(shí)恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),故綜上,本題考查了作差法證明不等式、基本不等式求最值、考查了分類討論的思想,屬于基礎(chǔ)題.19.(1);(2).【解析】
若補(bǔ)充②③根據(jù)已知可得平面,從而有,結(jié)合,可得平面,故有,而,得到,②③成立與①②相同,①③成立,可得,所以任意補(bǔ)充兩個(gè)條件,結(jié)果都一樣,以①②作為條件分析;(1)設(shè),可得,進(jìn)而求出梯形的面積,可求出,即可求出結(jié)論;(2),以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間坐標(biāo)系,求出坐標(biāo),由(1)得為平面的法向量,根據(jù)空間向量的線面角公式即可求解.【詳解】第一種情況:若將①,②作為已知條件,解答如下:(1)設(shè)平面為平面.∵,∴平面,而平面平面,∴,又為中點(diǎn).設(shè),則.在三角形中,,由知平面,∴,∴梯形的面積,,,平面,,,∴,故,.(2)如圖,分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,由(1)得為平面的一個(gè)法向量,因?yàn)?,所以直線與平面所成角的正弦值為.第二種情況:若將①,③作為已知條件,則由知平面,,又,所以平面,,又,故為中點(diǎn),即,解答如上不變.第三種情況:若將②,③作為已知條件,由及第二種情況知,又,易知,解答仍如上不變.本題考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系,以及體積、直線與平面所成的角,考查計(jì)算求解能力,屬于中檔題.20.(1)證明見解析(2)(3)【解析】
(1)取中點(diǎn)為,連接,由等邊三角形性質(zhì)可得,再由面面垂直的性質(zhì)可得,根據(jù)平行直線的性質(zhì)可得,進(jìn)而求證;(2)以為原點(diǎn),過(guò)作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),由點(diǎn)在棱上,可設(shè),即可得到,再求得平面的法向量,進(jìn)而利用數(shù)量積求解;(3)設(shè),,則,求得,,即可求得點(diǎn)的坐標(biāo),再由與平面的法向量垂直,進(jìn)而求解.【詳解】(1)證明:取中點(diǎn)為,連接,因?yàn)槭堑冗吶切?所以,因?yàn)榍蚁嘟挥?所以平面,所以,因?yàn)?所以,因?yàn)?在平面內(nèi),所以,所以.(2)以為原點(diǎn),過(guò)作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,因?yàn)樵诶馍?可設(shè),所以,設(shè)平面的法向量為,因?yàn)?所以,即,令,可得,即,設(shè)直線與平面所成角為,所以,可知當(dāng)時(shí),取最大值.(3)設(shè),則有,得,設(shè),那么,所以,所以.因?yàn)?,所以.又因?yàn)?所以,,設(shè)平面的法向量為,則,即,,可得,即因?yàn)樵谄矫鎯?nèi),所以,所以,所以,即,所以或者(舍),即.本題考查面面垂直的證明,考查空間向量法求線面成角,考查運(yùn)算能力與空間想象能力.21.(1);(2)【解析】
(1),對(duì)函數(shù)求導(dǎo),分別求出和,即可求出在點(diǎn)處的切線方程;(2)對(duì)求導(dǎo),分、和三種情況討論的單調(diào)性,再結(jié)合在上恒成立,可求得的取值范圍.【詳解】(1)因?yàn)?所以,所以,則,故曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(2)因?yàn)?所以,①當(dāng)時(shí)
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