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文檔簡介
2024-2025學(xué)年甘肅省白銀市會寧四中第二學(xué)期高三年級數(shù)學(xué)試題期中考試試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1單位長度,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為()A.1 B. C.3 D.42.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.3.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時,,則使得成立的的取值范圍是()A. B.C. D.4.設(shè)實數(shù)x,y滿足條件x+y-2?02x-y+3?0x-y?0則A.1 B.2 C.3 D.45.已知點、.若點在函數(shù)的圖象上,則使得的面積為的點的個數(shù)為()A. B. C. D.6.已知,則下列說法中正確的是()A.是假命題 B.是真命題C.是真命題 D.是假命題7.過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點,若線段中點的橫坐標(biāo)為3,且,則拋物線的方程是()A. B. C. D.8.已知是邊長為的正三角形,若,則A. B.C. D.9.在很多地鐵的車廂里,頂部的扶手是一根漂亮的彎管,如下圖所示.將彎管形狀近似地看成是圓弧,已知彎管向外的最大突出(圖中)有,跨接了6個坐位的寬度(),每個座位寬度為,估計彎管的長度,下面的結(jié)果中最接近真實值的是()A. B. C. D.10.已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過圓的圓心,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.211.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,其中左視圖中三角形為等腰直角三角形,則該幾何體外接球的體積是()A. B.C. D.12.已知,則,不可能滿足的關(guān)系是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線(a>0)的一條漸近線方程為,則a=_______.14.在的展開式中,所有的奇數(shù)次冪項的系數(shù)和為-64,則實數(shù)的值為__________.15.設(shè)滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_.16.我國古代名著《張丘建算經(jīng)》中記載:“今有方錐下廣二丈,高三丈,欲斬末為方亭;令上方六尺:問亭方幾何?”大致意思是:有一個四棱錐下底邊長為二丈,高三丈;現(xiàn)從上面截取一段,使之成為正四棱臺狀方亭,且四棱臺的上底邊長為六尺,則該正四棱臺的高為________尺,體積是_______立方尺(注:1丈=10尺).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)移動支付(支付寶及微信支付)已經(jīng)漸漸成為人們購物消費的一種支付方式,為調(diào)查市民使用移動支付的年齡結(jié)構(gòu),隨機(jī)對100位市民做問卷調(diào)查得到列聯(lián)表如下:(1)將上列聯(lián)表補充完整,并請說明在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡是否有關(guān)?(2)在使用移動支付的人群中采用分層抽樣的方式抽取10人做進(jìn)一步的問卷調(diào)查,從這10人隨機(jī)中選出3人頒發(fā)參與獎勵,設(shè)年齡都低于35歲(含35歲)的人數(shù)為,求的分布列及期望.(參考公式:(其中)18.(12分)已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=,(1)求f(x)的最小值;(2)對任意,都有恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;(3)證明:對一切,都有成立.19.(12分)等差數(shù)列的公差為2,分別等于等比數(shù)列的第2項,第3項,第4項.(1)求數(shù)列和的通項公式;(2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前2020項的和.20.(12分)在①,②,③這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,并解答.已知等差數(shù)列的公差為,等差數(shù)列的公差為.設(shè)分別是數(shù)列的前項和,且,,(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.21.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)求在上的最大值和最小值.22.(10分)已知等差數(shù)列滿足,.(l)求等差數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
采用數(shù)形結(jié)合,根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐,然后根據(jù)錐體體積公式,可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)三視圖可知:該幾何體為三棱錐如圖該幾何體為三棱錐,長度如上圖所以所以所以故選:A本題考查根據(jù)三視圖求直觀圖的體積,熟悉常見圖形的三視圖:比如圓柱,圓錐,球,三棱錐等;對本題可以利用長方體,根據(jù)三視圖刪掉沒有的點與線,屬中檔題.2.D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)運算,即可容易求得結(jié)果.【詳解】.故選:D.本題考查復(fù)數(shù)的四則運算,屬基礎(chǔ)題.3.D【解析】構(gòu)造函數(shù),令,則,由可得,則是區(qū)間上的單調(diào)遞減函數(shù),且,當(dāng)x∈(0,1)時,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x∈(-1,0)時,f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴當(dāng)x∈(-∞,-1)時,f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.綜上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范圍是.本題選擇D選項.點睛:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一,它的應(yīng)用貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān),但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系,抓住其本質(zhì),那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題,能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識,并掌握好使用的技巧和方法,這是非常必要的.根據(jù)題目的特點,構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題,是一種常用技巧.許多問題,如果運用這種思想去解決,往往能獲得簡潔明快的思路,有著非凡的功效.4.C【解析】
畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義平移得到答案.【詳解】如圖所示:畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),z=x+y+1,即y=-x+z-1,z表示直線在y軸的截距加上1,根據(jù)圖像知,當(dāng)x+y=2時,且x∈-13,1時,故選:C.本題考查了線性規(guī)劃問題,畫出圖像是解題的關(guān)鍵.5.C【解析】
設(shè)出點的坐標(biāo),以為底結(jié)合的面積計算出點到直線的距離,利用點到直線的距離公式可得出關(guān)于的方程,求出方程的解,即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為,直線的方程為,即,設(shè)點到直線的距離為,則,解得,另一方面,由點到直線的距離公式得,整理得或,,解得或或.綜上,滿足條件的點共有三個.故選:C.本題考查三角形面積的計算,涉及點到直線的距離公式的應(yīng)用,考查運算求解能力,屬于中等題.6.D【解析】
舉例判斷命題p與q的真假,再由復(fù)合命題的真假判斷得答案.【詳解】當(dāng)時,故命題為假命題;記f(x)=ex﹣x的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=ex,易知f(x)=ex﹣x(﹣∞,0)上遞減,在(0,+∞)上遞增,∴f(x)>f(0)=1>0,即,故命題為真命題;∴是假命題故選D本題考查復(fù)合命題的真假判斷,考查全稱命題與特稱命題的真假,考查指對函數(shù)的圖象與性質(zhì),是基礎(chǔ)題.7.B【解析】
利用拋物線的定義可得,,把線段AB中點的橫坐標(biāo)為3,代入可得p值,然后可得出拋物線的方程.【詳解】設(shè)拋物線的焦點為F,設(shè)點,由拋物線的定義可知,線段AB中點的橫坐標(biāo)為3,又,,可得,所以拋物線方程為.故選:B.本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用,利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.8.A【解析】
由可得,因為是邊長為的正三角形,所以,故選A.9.B【解析】
為彎管,為6個座位的寬度,利用勾股定理求出弧所在圓的半徑為,從而可得弧所對的圓心角,再利用弧長公式即可求解.【詳解】如圖所示,為彎管,為6個座位的寬度,則設(shè)弧所在圓的半徑為,則解得可以近似地認(rèn)為,即于是,長所以是最接近的,其中選項A的長度比還小,不可能,因此只能選B,260或者由,所以弧長.故選:B本題考查了弧長公式,需熟記公式,考查了學(xué)生的分析問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.10.B【解析】
求出圓心,代入漸近線方程,找到的關(guān)系,即可求解.【詳解】解:,一條漸近線,故選:B利用的關(guān)系求雙曲線的離心率,是基礎(chǔ)題.11.C【解析】
作出三視圖所表示幾何體的直觀圖,可得直觀圖為直三棱柱,并且底面為等腰直角三角形,即可求得外接球的半徑,即可得外接球的體積.【詳解】如圖為幾何體的直觀圖,上下底面為腰長為的等腰直角三角形,三棱柱的高為4,其外接球半徑為,所以體積為.故選:C本題考查三視圖還原幾何體的直觀圖、球的體積公式,考查空間想象能力、運算求解能力,求解時注意球心的確定.12.C【解析】
根據(jù)即可得出,,根據(jù),,即可判斷出結(jié)果.【詳解】∵;∴,;∴,,故正確;,故C錯誤;∵,故D正確故C.本題主要考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化,對數(shù)的運算,以及基本不等式:和不等式的應(yīng)用,屬于中檔題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.3【解析】
雙曲線的焦點在軸上,漸近線為,結(jié)合漸近線方程為可求.【詳解】因為雙曲線(a>0)的漸近線為,且一條漸近線方程為,所以.故答案為:.本題主要考查雙曲線的漸近線,明確雙曲線的焦點位置,寫出雙曲線的漸近線方程的對應(yīng)形式是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).14.3或-1【解析】
設(shè),分別令、,兩式相減即可得,即可得解.【詳解】設(shè),令,則①,令,則②,則①-②得,則,解得或.故答案為:3或-1.本題考查了二項式定理的應(yīng)用,考查了運算能力,屬于中檔題.15.【解析】
根據(jù)滿足約束條件,畫出可行域,將目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為,平移直線,找到直線在軸上截距最小時的點,此時,目標(biāo)函數(shù)取得最小值.【詳解】由滿足約束條件,畫出可行域如圖所示陰影部分:將目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為,平移直線,找到直線在軸上截距最小時的點此時,目標(biāo)函數(shù)取得最小值,最小值為故答案為:-1本題主要考查線性規(guī)劃求最值,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法,屬于基礎(chǔ)題.16.213892【解析】
根據(jù)題意畫出圖形,利用棱錐與棱臺的結(jié)構(gòu)特征求出正四棱臺的高,再計算它的體積.【詳解】如圖所示:正四棱錐P-ABCD的下底邊長為二丈,即AB=20尺,高三丈,即PO=30尺,截去一段后,得正四棱臺ABCD-A'B'C'D',且上底邊長為A'B'=6尺,所以,解得,所以該正四棱臺的體積是,故答案為:21;3892.本題考查了棱錐與棱臺的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用問題,也考查了棱臺的體積計算問題,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)列聯(lián)表見解析,在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡有關(guān);(2)分布列見解析,期望為.【解析】
(1)根據(jù)題中所給的條件補全列聯(lián)表,根據(jù)列聯(lián)表求出觀測值,把觀測值同臨界值進(jìn)行比較,得到能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡有關(guān).(2)首先確定的取值,求出相應(yīng)的概率,可得分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)根據(jù)題意及列聯(lián)表可得完整的列聯(lián)表如下:35歲以下(含35歲)35歲以上合計使用移動支付401050不使用移動支付104050合計5050100根據(jù)公式可得,所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡有關(guān).(2)根據(jù)分層抽樣,可知35歲以下(含35歲)的人數(shù)為8人,35歲以上的有2人,所以獲得獎勵的35歲以下(含35歲)的人數(shù)為,則的可能為1,2,3,且,,,其分布列為123.獨立性檢驗依據(jù)的值結(jié)合附表數(shù)據(jù)進(jìn)行判斷,另外,離散型隨機(jī)變量的分布列,在求解的過程中,注意變量的取值以及對應(yīng)的概率要計算正確,注意離散型隨機(jī)變量的期望公式的使用,屬于中檔題目.18.(1)(2)((3)見證明【解析】
(1)先求函數(shù)導(dǎo)數(shù),再求導(dǎo)函數(shù)零點,列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律確定函數(shù)單調(diào)性,最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定最小值取法;(2)先分離不等式,轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題,利用導(dǎo)數(shù)求對應(yīng)函數(shù)最值即得結(jié)果;(3)構(gòu)造兩個函數(shù),再利用兩函數(shù)最值關(guān)系進(jìn)行證明.【詳解】(1)當(dāng)時,單調(diào)遞減,當(dāng)時,單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)的最小值為f()=;(2)因為所以問題等價于在上恒成立,記則,因為,令函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減;函數(shù)f(x)在(1,+)上單調(diào)遞增;即,即實數(shù)a的取值范圍為(.(3)問題等價于證明由(1)知道,令函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增;函數(shù)在(1,+)上單調(diào)遞減;所以{,因此,因為兩個等號不能同時取得,所以即對一切,都有成立.對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題,在可能的情況下把參數(shù)分離出來,使不等式一端是含有參數(shù)的不等式,另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù),這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù),另一端是參數(shù)的不等式,便于問題的解決.但要注意分離參數(shù)法不是萬能的,如果分離參數(shù)后,得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜,性質(zhì)很難研究,就不要使用分離參數(shù)法.19.(1),;(2).【解析】
(1)根據(jù)題意同時利用等差、等比數(shù)列的通項公式即可求得數(shù)列和的通項公式;(2)求出數(shù)列的通項公式,再利用錯位相減法即可求得數(shù)列的前2020項的和.【詳解】(1)依題意得:,所以,所以解得設(shè)等比數(shù)列的公比為,所以又(2)由(1)知,因為①當(dāng)時,②由①②得,,即,又當(dāng)時,不滿足上式,.數(shù)列的前2020項的和設(shè)③,則④,由③④得:,所以,所以.本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、性質(zhì),錯位相減法求和,考查學(xué)生的邏輯推理能力,化歸與轉(zhuǎn)化能力
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