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文檔簡介
2024-2025學年北京市第二十七中學高三下學期4月模擬數(shù)學試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知x,y滿足不等式,且目標函數(shù)z=9x+6y最大值的變化范圍[20,22],則t的取值范圍()A.[2,4] B.[4,6] C.[5,8] D.[6,7]2.總體由編號為01,02,...,39,40的40個個體組成.利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體,選取方法是從隨機數(shù)表(如表)第1行的第4列和第5列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字,則選出來的第5個個體的編號為()A.23 B.21 C.35 D.323.復數(shù)(i是虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應的點在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.函數(shù)f(x)=sin(wx+)(w>0,<)的最小正周期是π,若將該函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)圖象關(guān)于直線x=對稱,則函數(shù)f(x)的解析式為()A.f(x)=sin(2x+) B.f(x)=sin(2x-)C.f(x)=sin(2x+) D.f(x)=sin(2x-)5.已知,滿足約束條件,則的最大值為A. B. C. D.6.已知直線和平面,若,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.不充分不必要7.雙曲線的左右焦點為,一條漸近線方程為,過點且與垂直的直線分別交雙曲線的左支及右支于,滿足,則該雙曲線的離心率為()A. B.3 C. D.28.已知傾斜角為的直線與直線垂直,則()A. B. C. D.9.將函數(shù)f(x)=sin3x-cos3x+1的圖象向左平移個單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖象,給出下列關(guān)于g(x)的結(jié)論:①它的圖象關(guān)于直線x=對稱;②它的最小正周期為;③它的圖象關(guān)于點(,1)對稱;④它在[]上單調(diào)遞增.其中所有正確結(jié)論的編號是()A.①② B.②③ C.①②④ D.②③④10.下圖是我國第24~30屆奧運獎牌數(shù)的回眸和中國代表團獎牌總數(shù)統(tǒng)計圖,根據(jù)表和統(tǒng)計圖,以下描述正確的是().金牌(塊)銀牌(塊)銅牌(塊)獎牌總數(shù)2451112282516221254261622125027281615592832171463295121281003038272388A.中國代表團的奧運獎牌總數(shù)一直保持上升趨勢B.折線統(tǒng)計圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化,不具有實際意義C.第30屆與第29屆北京奧運會相比,奧運金牌數(shù)、銀牌數(shù)、銅牌數(shù)都有所下降D.統(tǒng)計圖中前六屆奧運會中國代表團的奧運獎牌總數(shù)的中位數(shù)是54.511.已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={2,4},B={3,4},則=()A.{3,5,6} B.{1,5,6} C.{2,3,4} D.{1,2,3,5,6}12.秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學家,普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人,他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進的算法.如圖的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例,若輸入的值為2,則輸出的值為A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某種圓柱形的如罐的容積為個立方單位,當它的底面半徑和高的比值為______.時,可使得所用材料最省.14.(x+y)(2x-y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為________.15.某公園劃船收費標準如表:某班16名同學一起去該公園劃船,若每人劃船的時間均為1小時,每只租船必須坐滿,租船最低總費用為______元,租船的總費用共有_____種可能.16.若,則=____,=___.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列和滿足:.(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的前項和.18.(12分)已知矩陣,.求矩陣;求矩陣的特征值.19.(12分)已知函數(shù),.(1)當時,①求函數(shù)在點處的切線方程;②比較與的大小;(2)當時,若對時,,且有唯一零點,證明:.20.(12分)某中學準備組建“文科”興趣特長社團,由課外活動小組對高一學生文科、理科進行了問卷調(diào)查,問卷共100道題,每題1分,總分100分,該課外活動小組隨機抽取了200名學生的問卷成績(單位:分)進行統(tǒng)計,將數(shù)據(jù)按照,,,,分成5組,繪制的頻率分布直方圖如圖所示,若將不低于60分的稱為“文科方向”學生,低于60分的稱為“理科方向”學生.理科方向文科方向總計男110女50總計(1)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關(guān)?(2)將頻率視為概率,現(xiàn)在從該校高一學生中用隨機抽樣的方法每次抽取1人,共抽取3次,記被抽取的3人中“文科方向”的人數(shù)為,若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的,求的分布列、期望和方差.參考公式:,其中.參考臨界值:0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82821.(12分)已知函數(shù),曲線在點處的切線方程為.(1)求,的值;(2)證明函數(shù)存在唯一的極大值點,且.22.(10分)在中,、、分別是角、、的對邊,且.(1)求角的值;(2)若,且為銳角三角形,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
作出可行域,對t進行分類討論分析目標函數(shù)的最大值,即可求解.【詳解】畫出不等式組所表示的可行域如圖△AOB當t≤2時,可行域即為如圖中的△OAM,此時目標函數(shù)z=9x+6y在A(2,0)取得最大值Z=18不符合題意t>2時可知目標函數(shù)Z=9x+6y在的交點()處取得最大值,此時Z=t+16由題意可得,20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故選:B.此題考查線性規(guī)劃,根據(jù)可行域結(jié)合目標函數(shù)的最大值的取值范圍求參數(shù)的取值范圍,涉及分類討論思想,關(guān)鍵在于熟練掌握截距型目標函數(shù)的最大值最優(yōu)解的處理辦法.2.B【解析】
根據(jù)隨機數(shù)表法的抽樣方法,確定選出來的第5個個體的編號.【詳解】隨機數(shù)表第1行的第4列和第5列數(shù)字為4和6,所以從這兩個數(shù)字開始,由左向右依次選取兩個數(shù)字如下46,64,42,16,60,65,80,56,26,16,55,43,50,24,23,54,89,63,21,…其中落在編號01,02,…,39,40內(nèi)的有:16,26,16,24,23,21,…依次不重復的第5個編號為21.故選:B本小題主要考查隨機數(shù)表法進行抽樣,屬于基礎(chǔ)題.3.B【解析】
利用復數(shù)的四則運算以及幾何意義即可求解.【詳解】解:,則復數(shù)(i是虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為:,位于第二象限.故選:B.本題考查了復數(shù)的四則運算以及復數(shù)的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.4.D【解析】
由函數(shù)的周期求得,再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱,得到,由此求得滿足條件的的值,即可求得答案.【詳解】分析:由函數(shù)的周期求得,再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱,得到,由此求得滿足條件的的值,即可求得答案.詳解:因為函數(shù)的最小正周期是,所以,解得,所以,將該函數(shù)的圖像向右平移個單位后,得到圖像所對應的函數(shù)解析式為,由此函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱,得:,即,取,得,滿足,所以函數(shù)的解析式為,故選D.本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換,以及函數(shù)的解析式的求解,其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力.5.D【解析】
作出不等式組對應的平面區(qū)域,利用目標函數(shù)的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示,等價于,作直線,向上平移,易知當直線經(jīng)過點時最大,所以,故選D.本題主要考查線性規(guī)劃的應用,利用目標函數(shù)的幾何意義,結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法.6.B【解析】
由線面關(guān)系可知,不能確定與平面的關(guān)系,若一定可得,即可求出答案.【詳解】,不能確定還是,,當時,存在,,由又可得,所以“”是“”的必要不充分條件,故選:B本題主要考查了必要不充分條件,線面垂直,線線垂直的判定,屬于中檔題.7.A【解析】
設(shè),直線的方程為,聯(lián)立方程得到,,根據(jù)向量關(guān)系化簡到,得到離心率.【詳解】設(shè),直線的方程為.聯(lián)立整理得,則.因為,所以為線段的中點,所以,,整理得,故該雙曲線的離心率.故選:.本題考查了雙曲線的離心率,意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.8.D【解析】
傾斜角為的直線與直線垂直,利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出結(jié)果.【詳解】解:因為直線與直線垂直,所以,.又為直線傾斜角,解得.故選:D.本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.9.B【解析】
根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換公式求出函數(shù)的解析式,再利用正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)區(qū)間等相關(guān)性質(zhì)求解即可.【詳解】因為f(x)=sin3x-cos3x+1=2sin(3x-)+1,由圖象的平移變換公式知,函數(shù)g(x)=2sin[3(x+)-]+1=2sin(3x+)+1,其最小正周期為,故②正確;令3x+=kπ+,得x=+(k∈Z),所以x=不是對稱軸,故①錯誤;令3x+=kπ,得x=-(k∈Z),取k=2,得x=,故函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(,1)對稱,故③正確;令2kπ-≤3x+≤2kπ+,k∈Z,得-≤x≤+,取k=2,得≤x≤,取k=3,得≤x≤,故④錯誤;故選:B本題考查圖象的平移變換和正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)性和最小正周期等性質(zhì);考查運算求解能力和整體代換思想;熟練掌握正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)性和最小正周期等相關(guān)性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型10.B【解析】
根據(jù)表格和折線統(tǒng)計圖逐一判斷即可.【詳解】A.中國代表團的奧運獎牌總數(shù)不是一直保持上升趨勢,29屆最多,錯誤;B.折線統(tǒng)計圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化,不表示某種意思,正確;C.30屆與第29屆北京奧運會相比,奧運金牌數(shù)、銅牌數(shù)有所下降,銀牌數(shù)有所上升,錯誤;D.統(tǒng)計圖中前六屆奧運會中國代表團的奧運獎牌總數(shù)按照順序排列的中位數(shù)為,不正確;故選:B此題考查統(tǒng)計圖,關(guān)鍵點讀懂折線圖,屬于簡單題目.11.B【解析】
按補集、交集定義,即可求解.【詳解】={1,3,5,6},={1,2,5,6},所以={1,5,6}.故選:B.本題考查集合間的運算,屬于基礎(chǔ)題.12.C【解析】
由題意,模擬程序的運行,依次寫出每次循環(huán)得到的,的值,當時,不滿足條件,跳出循環(huán),輸出的值.【詳解】解:初始值,,程序運行過程如下表所示:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,跳出循環(huán),輸出的值為其中①②①—②得.故選:.本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應用,正確依次寫出每次循環(huán)得到,的值是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
設(shè)圓柱的高為,底面半徑為,根據(jù)容積為個立方單位可得,再列出該圓柱的表面積,利用導數(shù)求出最值,從而進一步得到圓柱的底面半徑和高的比值.【詳解】設(shè)圓柱的高為,底面半徑為.∵該圓柱形的如罐的容積為個立方單位∴,即.∴該圓柱形的表面積為.令,則.令,得;令,得.∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.∴當時,取得最小值,即材料最省,此時.故答案為:.本題考查函數(shù)的應用,解答本題的關(guān)鍵是寫出表面積的表示式,再利用導數(shù)求函數(shù)的最值,屬中檔題.14.40【解析】
先求出的展開式的通項,再求出即得解.【詳解】設(shè)的展開式的通項為,令r=3,則,令r=2,則,所以展開式中含x3y3的項為.所以x3y3的系數(shù)為40.故答案為:40本題主要考查二項式定理求指定項的系數(shù),意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.15.36010【解析】
列出所有租船的情況,分別計算出租金,由此能求出結(jié)果.【詳解】當租兩人船時,租金為:元,當租四人船時,租金為:元,當租1條四人船6條兩人船時,租金為:元,當租2條四人船4條兩人船時,租金為:元,當租3條四人船2條兩人船時,租金為:元,當租1條六人船5條2人船時,租金為:元,當租2條六人船2條2人船時,租金為:元,當租1條六人船1條四人船3條2人船時,租金為:元,當租1條六人船2條四人船1條2人船時,租金為:元,當租2條六人船1條四人船時,租金為:元,綜上,租船最低總費用為360元,租船的總費用共有10種可能.故答案為:360,10.本小題主要考查分類討論的數(shù)學思想方法,考查實際應用問題,屬于基礎(chǔ)題.16.12821【解析】
令,求得的值.利用展開式的通項公式,求得的值.【詳解】令,得.展開式的通項公式為,當時,為,即.本小題主要考查二項式展開式的通項公式,考查賦值法求解二項式系數(shù)有關(guān)問題,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)見解析(2)【解析】
(1)根據(jù)題目所給遞推關(guān)系式得到,由此證得數(shù)列為等比數(shù)列.(2)由(1)求得數(shù)列的通項公式,判斷出,由此利用裂項求和法求得數(shù)列的前項和.【詳解】(1)所以數(shù)列是以3為首項,以3為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)知,∴為常數(shù)列,且,∴,∴∴本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列,考查裂項求和法,屬于中檔題.18.;,.【解析】
由題意,可得,利用矩陣的知識求解即可.矩陣的特征多項式為,令,求出矩陣的特征值.【詳解】設(shè)矩陣,則,所以,解得,,,,所以矩陣;矩陣的特征多項式為,令,解得,,即矩陣的兩個特征值為,.本題考查矩陣的知識點,屬于??碱}.19.(1)①見解析,②見解析;(2)見解析【解析】
(1)①把代入函數(shù)解析式,求出函數(shù)的導函數(shù)得到,再求出,利用直線方程的點斜式求函數(shù)在點處的切線方程;②令,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,可得當時,;當時,;當時,.(2)由題意,,在上有唯一零點.利用導數(shù)可得當時,在上單調(diào)遞減,當,時,在,上單調(diào)遞增,得到.由在恒成立,且有唯一解,可得,得,即.令,則,再由在上恒成立,得在上單調(diào)遞減,進一步得到在上單調(diào)遞增,由此可得.【詳解】解:(1)①當時,,,,又,切線方程為,即;②令,則,在上單調(diào)遞減.又,當時,,即;當時,,即;當時,,即.證明:(2)由題意,,而,令,解得.,,在上有唯一零點.當時,,在上單調(diào)遞減,當,時,,在,上單調(diào)遞增..在恒成立,且有唯一解,,即,消去,得,即.令,則,在上恒成立,在上單調(diào)遞減,又,,.在上單調(diào)遞增,.本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程,考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查邏輯思維能力與推理論證能力,屬難題.20.(1)列聯(lián)表見解析,有;(2)分布列見解析,,.【解析】
(1)由頻率分布直方圖可得分數(shù)在、之間的學生人數(shù),可得列聯(lián)表.根據(jù)列聯(lián)表計算的值,結(jié)合參考臨界值表可得到結(jié)論;(2)從該校高一學生中隨機抽取1人,求出該人為“文科方向”的概率.由題意,求出分布列,根據(jù)公式求出期望和方差.【詳解】(1)由頻率分布直方圖可得分數(shù)在之間的學生人數(shù)為,在之間的學生人數(shù)為,所以低于60分的學生人數(shù)為120.因此列聯(lián)表為理科方向文科方向總計男8030110女405090總計12080200又,所以有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關(guān).(2)易知從該校高一學生中隨機抽取1人,則該人為
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