數(shù)學知識導引古典概型

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精3．2古典概型案例探究某班數(shù)學興趣小組有男生和女生各2名,現(xiàn)從中任選2名學生去參加校數(shù)學競賽，請思考下列問題:(1）恰好有一名參賽學生是男生的概率；(2)至少有一名參賽學生是男生的概率；(3)至多有一名參賽學生是男生的概率。分析：由題設知，此題屬于古典概型。先算基本事件總數(shù)，然后再計算各類事件發(fā)生的概率。解:基本事件有：（男1，男2),（男1,女1），（男1，女2),（男2,女1），(男2，女2），(女1,女2)，共6個。（1）恰好有一參賽男生的基本事件有:（男1，女1）,（男1，女2)，（男2，女1),(男2，女2）。共4個,所以這一事件的概率為P==.（2)至少有一名參賽男生的基本事件有：（男1，男2）,（男1,女1)，(男1，女2)，(男2,女2）,（男2,女1).共有5種不同的結(jié)果，所以，所求事件的概率為P=．（3）至多有一名參賽男生的基本事件有:（男1，女1），（男1，女2），（男2,女1），（男2,女2），（女1,女2)。共有5種不同的結(jié)果，所以,所求事件的概率為P=．自學導引1．在1次試驗中可能出現(xiàn)的每一個基本結(jié)果,稱為基本事件。若在1次試驗中,每個基本事件發(fā)生的可能性都相同，則稱這些基本事件為等可能基本事件。2．(1）試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個（有限性）；（2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等（等可能性）。我們將具有這兩個特點的概率模型稱為古典概型。3．如果一次試驗的等可能基本事件共有n個，那么每一個等可能基本事件發(fā)生的概率都是；如果某個事件A包含的基本事件有m個，那么事件A的概率P（A）=.4．先后拋擲兩枚硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況，在此試驗中有哪些基本事件？答：它有4個基本事件，分別是（正,正），（正，反），（反,正）,（反，反）。其中（正，正）代表第1和第2枚硬幣都出現(xiàn)正面,（正，反）代表1枚硬幣出現(xiàn)正面而第2枚硬幣出現(xiàn)反面,(反,正)代表第1枚硬幣出現(xiàn)反面而第2枚硬幣出現(xiàn)正面，（反，反）代表第1和第2枚硬幣都出現(xiàn)反面.5．是不是所有的試驗都是古典概型？舉例說明.（1）一個試驗是否為古典概型,在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征——有限性和等可能性。（2)并不是所有的試驗都是古典概型.例如，在適宜的條件下“種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”，這個試驗的基本事件空間為{發(fā)芽,不發(fā)芽}，而“發(fā)芽"與“不發(fā)芽”這兩種結(jié)果出現(xiàn)的機會一般是不均等的。又如，從規(guī)格直徑為300mm±0。6mm的一批合格產(chǎn)品中任意抽一根，測量其直徑d，測量值可能是從299．4mm到300。6mm之間的任何一個值，所有可能的結(jié)果有無限多個。這兩個試驗都不屬于古典概型。疑難剖析【例1】擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察擲出的點數(shù),寫出所有的基本事件,說明其是否是古典概型.思路分析：因為骰子為立方體形狀，其六個面分別對應1點、2點、…、6點，所以基本事件應有6個。解：有6個基本事件，分別是“出現(xiàn)1點”，“出現(xiàn)2點”，…“出現(xiàn)6點"。因為骰子的質(zhì)地均勻,所以每個基本事件的發(fā)生是等可能的，因此它是古典概型.思維啟示：基本事件是試驗中不能再分的最簡單的隨機事件,其他事件可以用它們來描繪.【例2】擲一顆骰子，觀察擲出的點數(shù),求擲得奇數(shù)點的概率。思路分析:擲骰子有6個基本事件，具有有限性和等可能性,因此是古典概型.解：這個試驗的基本事件共有6個，即(出現(xiàn)1點)、（出現(xiàn)2點)、…、（出現(xiàn)6點），所以基本事件數(shù)n=6,事件A=｛擲得奇數(shù)點｝=｛出現(xiàn)1點，出現(xiàn)3點，出現(xiàn)5點}，其包含的基本事件數(shù)m=3。所以，P（A)====0。5．思維陷阱：如一個口袋內(nèi)裝有大小相等的3個黑球和2個白球,從中摸出一個球，求摸出一個黑球的概率。錯解：從中摸出一球的可能結(jié)果有兩種“黑球”“白球”，則摸出一黑球的概率為.錯因分析：因為黑球數(shù)高于白球數(shù)，因此摸到黑球的機會就大于摸到白球的機會，它們不是等可能的，因此上述解法不正確。正解：我們把3個黑球分別標上“A、B、C”三個字母加以區(qū)分，把兩個白球標上“D、E”以示區(qū)分。那么摸出一個球的所有結(jié)果為“黑A”“黑B”“黑C”“白D”“白E”，共五種，因此摸出一個黑球的概率為．思維啟示：利用古典概型公式P（A）=求概率的步驟:（1）首先檢驗是否是古典概型，即基本事件是否有限個.每個基本事件是否具有等可能性；（2）利用列舉法把等可能的基本事件一一列出.從而求出基本事件總數(shù)n及所求事件包含基本事件的個數(shù)m；（3）利用公式P(A)=求出事件的概率?！纠?】將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次，求：（1)一共有多少種不同的結(jié)果？（2)其中向上的數(shù)之和是5的結(jié)果有多少種?（3)向上的數(shù)之和是5的概率是多少？(4）向上的數(shù)之和是5的倍數(shù)的概率是多少？思路分析：由于骰子的質(zhì)地是均勻的，故先后拋擲的結(jié)果是等可能的，可把基本事件一一列出，然后根據(jù)事件求出概率.（1）先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，共有以下不同的結(jié)果.123456123456(1,1)（1,2）(1，3)（1,4）（1，5)（1,6）(2，1）(2，2）(2,3)(2，4）（2，5)(2，6)(3，1)(3，2）（3,3）(3,4)(3,5）(3，6）(4,1）(4,2）（4，3）（4，4）（4,5）(4，6）（5,1)(5，2）(5，3）（5,4）(5，5）(5，6)（6,1）（6,2）(6,3)(6,4）（6，5)(6，6)即共有36種不同的結(jié)果.（2)在上面的結(jié)果中，向上的數(shù)之和為5的結(jié)果有：（1，4），(2，3)，（3,2)，（4,1），共4種.(3)由于骰子的質(zhì)地是均勻的，所以將它拋擲兩次的所有36種結(jié)果是等可能出現(xiàn)的,其中向上的數(shù)之和為5的結(jié)果（記為事件A)有4種，因此，所求的概率為P（A）==．（4)出現(xiàn)向上的數(shù)之和為5的倍數(shù)的事件(記為事件B）有：（1，4），（2,3）,（3，2），（4，1），(4,6），(6，4），(5，5).共7種不同結(jié)果，且都是等可能的，所以其概率為P（B）=．思維啟示：求概率時,常常把全體基本事件一一列出，以便我們準確地找出基本事件總數(shù)，以及某事件所含的基本事件個數(shù)。這是我們初學概率最常用、最基本的方法.【例4】一個盒子里裝有標號1、2、…、10的標簽，今隨機地選取兩張標簽,根據(jù)下列條件求兩張標簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率:（1）標簽的選取是無放回的;（2）標簽的選取是有放回的。思路分析：首先要弄清基本事件個數(shù)，然后用古典概型概率公式P（A）=求解.解：隨機地選取兩張標簽，記事件A為“兩張標簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)”，可能結(jié)果為(1,2），（2，3）,（3，4），…，（9，10）共9種.（1）如果標簽是無放回的，按抽取順序記錄為（x,y）則x有10種可能,y有9種可能，但（x、y）與（y、x）是一樣的,共有可能的結(jié)果為10×9÷2=45種，因此事件A的概率為P（A）==．(2）如果小球是有放回的，按抽取順序記錄結(jié)果（x、y），則x有10種可能，y有10種可能，但(x、y）與（y、x)是一樣的,共有可能結(jié)果10×10÷2=50種。因此事件A的概率為.思維啟示：準確把握不同條件下的基本事件總數(shù)。對于不放回抽樣，計算基本事件個數(shù)既可看作有順序的,也可看作無順序的，其結(jié)果是一樣的，但不論選擇哪一種方式,觀察的角度必須一致，否則會產(chǎn)生錯誤。對于有放回的抽樣,計算基本事件個數(shù)只能看作是無序的，若看作是有序的,則各個基本事件就不是等可能的情況，不符合古典概型?！纠?】每個人的基因都有兩份，一份來自父親，另一份來自母親。同樣地，他的父親和母親的基因也有兩份。在生殖的過程中，父親和母親各自隨機地提供一份基因給他們的后代。以褐色顏色的眼睛為例.每個人都有一份基因顯示他的眼睛顏色：（1）眼睛為褐色；(2）眼睛不為褐色.如果孩子得到的父母的基因都是“眼睛為褐色”的基因，則孩子的眼睛也為褐色。如果孩子得到的父母的基因都為“眼睛不為褐色”的基因，則孩子眼睛不為褐色（是什么顏色取決于其他的基因）.如果孩子得到的基因中一份為“眼睛為褐色”的,另一份為“眼睛不為褐色”的，則孩子的眼睛不會出現(xiàn)兩種可能,而只會出現(xiàn)眼睛顏色為褐色的情況.生物學家把“眼睛為褐色"的基因叫做顯性基因。方便起見，我們用它母B代表“眼睛為褐色”這個顯性基因，用b代表“眼睛不為褐色"這個基因。每個人都有兩份基因，控制一個人眼睛顏色的基因有BB,Bb（表示父親提供基因B,母親提供基因b），bB，bB．注意在BB，Bb,bB和bb這4種基因中只有bb基因顯示為眼睛顏色不為褐色,其他的基因都顯示眼睛顏色為褐色.假設父親和母親控制眼睛顏色的基因都為Bb，則孩子眼睛不為褐色的概率有多大？解析：由于父親和母親控制眼睛顏色的基因都為Bb，從而孩子有可能產(chǎn)生的基因有4種，即BB，Bb,bB，bb(右圖）.又因為父親或母親提供給孩子基因B或b的概率是一樣的，所以可以認為孩子的基因是這4種中的任何一種的可能性是一樣的。因此,這是一個古典概型問題.只有當孩子的基因為bb時，眼睛才不為褐色，所以，（1)“孩子眼睛為褐色”這個隨機事件發(fā)生的概率為=0。75．（2)“孩子眼睛不為褐色”這個隨機事件發(fā)生的概率為=0.25．拓展遷移【拓展點1】若以連續(xù)兩次擲骰子分別得到的點數(shù)m、n作為點P的坐標（m,n），求點P落在圓x2+y2=18內(nèi)的概率.解析：易知基本事件有36個,事件“點P（m,n）在圓x2+y2=18內(nèi)”包括下列10個基本事件:(1，1），(1，2）（1，3）,（1,4)，(2，1），（2，2），（2，3）,(3，1）,（3，2），(4，1）。故所求概率是=．【拓展點2】在標準化的考試中既有單選題又有多選題，多選題是從A、B、C、D四個選項中選出所有正確答案，同學們可能有一種感覺，如果不知道正確答案，多選題更難猜對，這是為什么？解析:我們可以探討正確答案的所有結(jié)果：如果只有一個答案是正確的,則有4種;如果有兩個答案是正確，則正確答案可以是（A、B）、（A、C）、（A、D)、（B、C）、（B、D）、（C、D）6種.如果有三個答案是正確的，則正確答案可以是(A、B、C）、（A、C、D）、(A、B、D)、(B、C、D）4種.如果四個都正確,則正確答案只有1種.故正確答案的所有可能結(jié)果有4+6+4+1=15種，從這15種答案中任取一種的可能性只有．因此更難猜對?！就卣裹c3】齊王與田忌賽馬