數(shù)學(xué)知識(shí)導(dǎo)引簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精6.1抽樣方法在抽樣調(diào)查中,樣本的選擇是至關(guān)重要的.樣本能否代表總體,直接影響著統(tǒng)計(jì)結(jié)果的可靠性.我們知道為了判斷一鍋湯的味道如何,如果鍋里的湯被充分?jǐn)嚢枇?，那么我們只需品嘗一勺就可以了.同樣，高質(zhì)量的樣本數(shù)據(jù)來(lái)自“攪拌均勻”的總體。如果我們能夠設(shè)法將總體“攪拌均勻",那么從總體中任意抽取一部分個(gè)體的樣本,它們含有與總體基本相同的信息.總之，為了使樣本具有好的代表性，設(shè)計(jì)抽樣方法時(shí)，最重要的是要將總體“攪拌均勻"，即使每個(gè)個(gè)體有同樣的機(jī)會(huì)被抽到.下面介紹的抽樣方法都是以此作為出發(fā)點(diǎn)的.6.1．1簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣案例探究假設(shè)你作為一個(gè)產(chǎn)品質(zhì)量檢查員，要考察某公司生產(chǎn)的一批300克袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)，你準(zhǔn)備怎樣做?分析：顯然，你只能從中抽取一定數(shù)量的牛奶作為檢驗(yàn)的樣本(為什么？）.那么應(yīng)當(dāng)怎樣獲取樣本呢?設(shè)計(jì)抽樣方法時(shí)，在考慮樣本代表性的前提下,應(yīng)盡量使抽樣過(guò)程簡(jiǎn)便易行.獲得樣本牛奶的一個(gè)方法就是，將這批袋裝牛奶“攪拌均勻”,然后不放回的摸取（以保證每袋牛奶被抽中的機(jī)會(huì)相等）這樣我們就可以得到一個(gè)簡(jiǎn)單的隨機(jī)樣本，這樣的抽樣方法就是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.一般地，設(shè)一個(gè)總體的個(gè)體總數(shù)為N，如果通過(guò)逐個(gè)抽取的方法從中抽取樣本，且每次抽取時(shí)總體的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就稱(chēng)這樣的抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.事實(shí)上:用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從個(gè)體數(shù)為N的總體中逐次抽取一個(gè)容量為n的樣本，那么每次抽取時(shí)，各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等，在整個(gè)抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都等于。由于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣體現(xiàn)了抽樣的客觀性和公平性,且這種抽樣方法比較簡(jiǎn)單，所以成為一種基本的抽樣方法.如何實(shí)施簡(jiǎn)單抽樣呢？下面介紹兩種常用方法。（1）抽簽法先將總體中的所有個(gè)體編號(hào)(號(hào)碼可以從1到N），并把號(hào)碼寫(xiě)在形狀、大小相同的號(hào)簽上，號(hào)簽可以用小球、卡片、紙條等制作，然后將這些號(hào)簽放在同一個(gè)箱子里，進(jìn)行均勻攪拌,抽簽時(shí),每次從中抽出1個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個(gè)容量為n的樣本，對(duì)個(gè)體編號(hào)時(shí)，也可以利用已有的編號(hào),例如從全班學(xué)生中抽取樣本時(shí)，可以利用學(xué)生的學(xué)號(hào)、座位號(hào)等。(2）隨機(jī)數(shù)表法下面舉例說(shuō)明如何用隨機(jī)數(shù)表來(lái)抽取樣本。為了檢驗(yàn)?zāi)撤N產(chǎn)品的質(zhì)量，決定從40件產(chǎn)品中抽取10件進(jìn)行檢查，在利用隨機(jī)數(shù)表抽取這個(gè)樣本時(shí)，可以按下面的步驟進(jìn)行：第一步，先將40件產(chǎn)品編號(hào)，可以編為00，01,02，…，38,39；第二步，在附錄1隨機(jī)數(shù)表中任意選一個(gè)數(shù)作為開(kāi)始，例如從第8行第5列的數(shù)59開(kāi)始，為便于說(shuō)明,我們將附錄1中的第6行至第10行摘錄如下：1622779439495443548217379323788735209643842634916484421753315724550688770474476721763350258392120676630163785916955567199810507175128673580744395238793321123429786456078252420744381551001342996602795457608632440947279654491746096290528477270802734328第三步，從選定的數(shù)59開(kāi)始向右讀下去,得到一個(gè)兩位數(shù)字號(hào)碼59，由于59＞39，將它去掉；繼續(xù)向右讀，得到16，將它取出；繼續(xù)下去，又得到19，10,12，07，39,38，33,21，隨后的兩位數(shù)字號(hào)碼是12，由于它在前面已經(jīng)取出，將它去掉,再繼續(xù)下去，得到34。至此，10個(gè)樣本號(hào)碼已經(jīng)取滿，于是，所要抽取的樣本號(hào)碼是16191012073938332134.注：將總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào)時(shí)可以從0開(kāi)始，例如N＝100時(shí)編號(hào)可以是00，01,02，…，99,這樣總體中的所有個(gè)體均可用兩位數(shù)字號(hào)碼表示，便于運(yùn)用隨機(jī)數(shù)表。當(dāng)隨機(jī)地選定開(kāi)始讀數(shù)的數(shù)后,讀數(shù)的方向可以向右,也可以向左、向上、向下等等。在上面每?jī)晌坏刈x數(shù)過(guò)程中，得到一串兩位數(shù)字號(hào)碼，在去掉其中不合要求和與前面重復(fù)的號(hào)碼后，其中依次出現(xiàn)的號(hào)碼可以看成是依次從總體中抽取的各個(gè)個(gè)體的號(hào)碼.由于隨機(jī)數(shù)表中每個(gè)位置上出現(xiàn)哪一個(gè)數(shù)字是等可能的，每次讀到哪一個(gè)兩位數(shù)字號(hào)碼,即從總體中抽到哪一個(gè)個(gè)體的號(hào)碼也是等可能的。因而利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本保證了各個(gè)個(gè)體被抽取的可能性相等.自黨導(dǎo)引1．在統(tǒng)計(jì)中,總體、個(gè)體、樣本、樣本容量分別指的是什么？為什么通常是從總體中抽取一個(gè)樣本，通過(guò)樣本來(lái)研究總體？答案：在統(tǒng)計(jì)中，所有考察對(duì)象的全體叫做總體，其中的每一個(gè)考察對(duì)象叫做個(gè)體,從總體中抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本，樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量。由于我們所要考察的總體中的個(gè)體數(shù)往往很多,且有時(shí)雖然總體中的個(gè)體數(shù)目不是很多，但考察時(shí)帶有破壞性,因此通常是從總體中抽取一個(gè)樣本，通過(guò)樣本來(lái)研究總體.2．為了了解某校高一學(xué)生在2005～2006學(xué)年度第二學(xué)期期末考試情況,要從該年級(jí)800名學(xué)生中抽取200名進(jìn)行數(shù)據(jù)分析,則在這次考察中，考察的總體數(shù)為800,樣本容量為200.3．某地有2000人參加自學(xué)考試,為了解他們的成績(jī)，從中抽取一個(gè)樣本，若每個(gè)考生被抽到的機(jī)率都是百分之四，則這個(gè)樣本的容量是80。4.下列抽取樣本的方式是否屬于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣？說(shuō)明理由。(1)從無(wú)限多個(gè)個(gè)體中抽取100個(gè)個(gè)體作為樣本；（2）盒子里共有100個(gè)零件，從中選取8個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè),在抽樣操作時(shí),從中任意抽取一個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)后再把它放回盒子里.答案：（1）不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，由于被抽去樣本的總體的個(gè)數(shù)是無(wú)限的,而不是有限的。（2)不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，由于它是放回抽樣。5。為了檢驗(yàn)?zāi)撤N產(chǎn)品個(gè)體質(zhì)量，決定從60件產(chǎn)品中抽取15件進(jìn)行檢查，請(qǐng)利用隨機(jī)數(shù)表法進(jìn)行抽選，并寫(xiě)出抽樣過(guò)程。分析：依據(jù)隨機(jī)數(shù)表抽去樣本的三個(gè)步驟.解：第一步,現(xiàn)將60件產(chǎn)品編號(hào),可以編為00，01，02，03,…，58,59.第二步，在隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)，例如選出第7行第9列的數(shù)3．第三步，從選定的數(shù)3開(kāi)始向右讀（讀數(shù)的方向也可以是向左、向上、向下）,兩位、兩位地讀，得到一個(gè)兩位數(shù)字31．由于31〈59，說(shuō)明號(hào)碼31在總體內(nèi)，將它取出;繼續(xù)向右讀數(shù)，又取出57、24、55、06當(dāng)讀到88時(shí)，由于88>59，將它去掉，再依次取下去，77〉59,也將它去掉,依次再取出04、47、21、33、50、25、12當(dāng)讀到06時(shí)，它與前面的重復(fù)，將它取掉,再繼續(xù)取下去，直到樣本的15個(gè)號(hào)碼全部取出.這樣我們就得到一個(gè)樣本容量為15的樣本。疑難剖析1．隨機(jī)抽樣：在抽樣調(diào)查中，樣本的選擇是至關(guān)重要的,樣本能否代表總體，直接影響著統(tǒng)計(jì)結(jié)果的可靠性。因此抽樣時(shí)要保證每一個(gè)個(gè)體都可能被抽到，而且每一個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)是均等的。滿足這樣條件的抽樣是隨機(jī)抽樣.2．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)：（1）它要求被抽取樣本的總體的個(gè)數(shù)有限，這樣便于通過(guò)隨機(jī)抽取的樣本對(duì)總體進(jìn)行分析.（2）它是從總體中逐個(gè)地進(jìn)行抽取.這樣便于在抽樣實(shí)踐中進(jìn)行操作.（3)它是一種不放回抽樣.由于抽樣實(shí)踐中多采用不放回抽樣，使其具有廣泛的實(shí)用性，而且由于所抽取的樣本中沒(méi)有被重復(fù)抽取的個(gè)體,便于進(jìn)行有關(guān)的分析和計(jì)算。（4）它每次抽取時(shí)總體中的各個(gè)個(gè)體有相同的可能性被抽到，從而保證了這種抽樣方法的公平性?！纠?】下面抽取樣本的方式是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣嗎？為什么?（1）從100個(gè)個(gè)體中一次性抽取10個(gè)個(gè)體作為樣本。(2)從無(wú)限多個(gè)個(gè)體中抽取30個(gè)作為樣本。（3）盒子里共有80枝鋼筆，今從中選取8個(gè)進(jìn)行檢測(cè)，在抽樣操作時(shí)，從中任意的拿出一個(gè)鋼筆進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)后再把它放回箱子里.思路分析：考查對(duì)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義及特點(diǎn)的理解和掌握.第（1）題中的“一次性”抽取不符合簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義。第（2）題中的樣本總體個(gè)數(shù)不是有限個(gè).第（3)題中“放回抽樣”不符合簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的“不放回抽樣”的特點(diǎn).解：(1）不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，它是一次性抽取,不是逐個(gè)抽取,不符合簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義.(2）不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，因?yàn)槌槿〉臉颖镜目傮w的個(gè)數(shù)是無(wú)限的而不是有限的.（3）不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，因?yàn)樗欠呕爻闃?，這不符合簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣“不放回抽樣”的特點(diǎn)。思維啟示：“一次性”抽取和“逐個(gè)”抽取不影響個(gè)體抽到的可能性，但“一次性“抽取不符合簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義.這就要求我們必須搞清楚簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義。3．抽簽法的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn):簡(jiǎn)單易行，當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)不多時(shí)，使總體處于攪拌均勻的狀態(tài)比較容易，這時(shí)每個(gè)個(gè)體有均等的機(jī)會(huì)被抽到，即抽簽法能保證每一個(gè)個(gè)體入選樣本的機(jī)會(huì)都相等,從而能保證樣本的代表性。（得到樣本是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣）。缺點(diǎn)：(1）當(dāng)總體的個(gè)數(shù)較多時(shí)，對(duì)個(gè)體編號(hào)的工作量太大，制作號(hào)簽的成本將會(huì)增加，使得抽簽法成本高(費(fèi)時(shí)、費(fèi)力）.（2）號(hào)簽很多時(shí)把它“攪拌均勻”就很困難，結(jié)果很難保證每個(gè)個(gè)體入選樣本的可能性相等，從而使產(chǎn)生壞樣本（即代表性差的樣本）的可能性增加?！纠?】某車(chē)間有80名工人，為了了解該車(chē)間工人工作能力、態(tài)度等各個(gè)方面的情況,要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本,用抽簽法確定抽取的工人。思路分析:考查抽簽法抽取樣本步驟及特點(diǎn):這是一個(gè)用抽簽法從容量為80的總體中抽取一個(gè)容量為20的樣本的案例,用抽簽法的步驟設(shè)計(jì).解：（1)將80名工人編號(hào)，分別為1、2、3、…80.（2)將這80個(gè)號(hào)碼分別寫(xiě)在相同的80張紙片上.(3）將這80張紙片放在一個(gè)盒子里攪拌均勻,抽出一張紙片記下上面的號(hào)碼,然后再攪拌均勻，繼續(xù)抽出第二張紙片，記下號(hào)碼.重復(fù)這個(gè)過(guò)程直到取滿20個(gè)號(hào)碼時(shí)終止。于是和這20個(gè)號(hào)碼對(duì)應(yīng)的20個(gè)工人就構(gòu)成了一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.思維啟示：抽簽法簡(jiǎn)便易行，當(dāng)總體的個(gè)體數(shù)不多時(shí),適宜采用這種方法.4.隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn):與抽簽法相比，隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本的主要優(yōu)點(diǎn)是節(jié)省人力、物力、財(cái)力和時(shí)間。缺點(diǎn)：產(chǎn)生的樣本不是真正的簡(jiǎn)單樣本。拓展遷移【拓展點(diǎn)1】從某電動(dòng)車(chē)廠生產(chǎn)的30輛電動(dòng)車(chē)中,隨機(jī)的抽取3輛進(jìn)行測(cè)試，請(qǐng)合理選擇抽樣方法進(jìn)行抽樣,并寫(xiě)出抽樣過(guò)程.思路分析：因?yàn)榭傮w容量較小，樣本容量也較小,可用抽簽法進(jìn)行抽樣.解析：(1）將30輛電動(dòng)車(chē)用隨機(jī)方式編號(hào)，分別為01、02、03、…30.（2）將這30個(gè)號(hào)碼分別寫(xiě)在相同的30張紙片上.（3)將這30張紙片放在一個(gè)盒子里攪拌均勻，抽出一張紙片記下上面的號(hào)碼,然后再攪拌均勻，繼續(xù)抽出第二張紙片，記下號(hào)碼.重復(fù)這個(gè)過(guò)程直到取滿3個(gè)號(hào)碼時(shí)終止.(4）從總體中將與抽到的號(hào)簽的編號(hào)相一致的個(gè)體取出.這樣就得到了所要抽取的樣本。思維啟示：一個(gè)抽樣試驗(yàn)?zāi)芊裼贸楹灧?，關(guān)鍵看兩點(diǎn)：一是制簽是否方便，二是號(hào)簽是否容易攪拌均勻.一般地，當(dāng)總體容量較小，樣本容量也較小時(shí)，可用抽簽法?！就卣裹c(diǎn)2】從某電動(dòng)車(chē)廠生產(chǎn)的3000輛電動(dòng)車(chē)中,隨機(jī)的抽取10輛進(jìn)行測(cè)試,請(qǐng)合理選擇抽樣方法進(jìn)行抽樣，并寫(xiě)出抽樣過(guò)程。思路分析：因?yàn)榭傮w容量較大，若用抽簽法，制簽復(fù)雜，將號(hào)簽攪勻也不容易，所以可用隨機(jī)數(shù)法進(jìn)行抽樣.解析:第一步：將3000輛電動(dòng)車(chē)用隨機(jī)方式編號(hào)，分別為000