10.1　兩角和與差的三角函數(shù) 解析版

10.1兩角和與差的三角函數(shù)【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：兩角和與差的余弦公式一：已知兩角的正、余弦求和差角的余弦二：用和差余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值三：逆用和差余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值考點(diǎn)三：兩角和與差的正切公式一：已知兩角的正、余弦求和差角的正切二：用和差正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值三：逆用和差正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值考點(diǎn)四：兩角和與差的三角函數(shù)綜合應(yīng)用【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一兩角和與差的余弦公式名稱簡(jiǎn)記符號(hào)公式使用條件兩角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα，β∈R兩角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβα，β∈R知識(shí)點(diǎn)二兩角和與差的正弦公式名稱簡(jiǎn)記符號(hào)公式使用條件兩角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβα，β∈R兩角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα，β∈R知識(shí)點(diǎn)三：兩角和與差的正切公式名稱公式簡(jiǎn)記符號(hào)條件兩角和的正切tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)兩角差的正切tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)【題型歸納】題型一：兩角和與差的余弦公式一：已知兩角的正、余弦求和差角的余弦1．（23-24高一上·浙江衢州·期末）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合兩角差的余弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因此，于是有，故選：C2．（23-24高三上·陜西安康·階段練習(xí)）已知為第二象限角，且終邊與單位圓的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意首先求出，然后利用誘導(dǎo)公式、兩角和差的余弦公式運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意，得，所以.故選：D.3．（22-23高一下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知且都是第二象限角，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用三角函數(shù)的平方關(guān)系求得，再利用余弦函數(shù)的和差公式即可得解.【詳解】因?yàn)榍叶际堑诙笙藿?，所以，，所?故選：C.二：用和差余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值4．（24-25高一下·全國·課堂例題）已知α，β為銳角，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求得，進(jìn)而利用兩角各的余弦公式求得，可求的值.【詳解】∵為銳角，，∴，∴．又，∴.故選：B．5．（23-24高一上·廣西柳州·期末）已知都是銳角，，（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由條件求，再由結(jié)合兩角差余弦公式求結(jié)論.【詳解】因?yàn)闉殇J角，所以，又，所以，，又，所以故選：A.6．（23-24高一下·江蘇揚(yáng)州·期中）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由已知求出、和，接著結(jié)合兩角和的余弦公式求即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，又，，所以，，所以，所?故選：B.三、逆用和差余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值7．（23-24高一下·江蘇連云港·期中）的值是（

）A． B．0 C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式即可求解.【詳解】.故選:B.8．（23-24高一下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦兩角和公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】.故選：D9．（23-24高一下·江蘇常州·期中）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式求解.【詳解】原式.故選：B三：逆用和差余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值題型二：兩角和與差的正弦公式一：已知兩角的正、余弦求和差角的正弦10．（22-23高一下·江蘇南京·期中）已知，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合角的范圍，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和差的正弦公式即可求解.【詳解】因?yàn)樗?，又，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：A11．（22-23高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知，則為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由條件結(jié)合同角關(guān)系求，再利用兩角和正弦公式求.【詳解】由已知，所以，又，所以，所以，又，所以，故選：B.12．（22-23高一上·福建福州·期末）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，利用差角公式求解答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以?故選：A.二：用和差正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值13．（24-25高一上·云南德宏·期末）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用同角基本關(guān)系式求出，利用，結(jié)合和差角公式可解.【詳解】由，則，又，，而.故選：D.14．（23-24高一下·江蘇徐州·期中）已知，，則的值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合兩角和差角公式計(jì)算即得.【詳解】因?yàn)?所以，所以.故選：A.15．（23-24高一下·江蘇常州·期末）已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，求得，得到，結(jié)合，利用兩角和正弦公式，即可求解.【詳解】因?yàn)椋傻?，又因?yàn)?，可得，所以，?故選：B.三：逆用和差正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值16．（23-24高一下·江蘇南京·期中）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式把題目中的角轉(zhuǎn)化為銳角，最后逆用兩角和的正弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】故選：A17．（23-24高一下·江蘇蘇州·期末）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式與兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)求值.【詳解】.故選：A.18．（23-24高一下·江蘇南京·期末）（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】將原式轉(zhuǎn)化為，然后利用兩角和的正弦公式計(jì)算即可.【詳解】.故選：C題型三：兩角和與差的正切公式一：已知兩角的正、余弦求和差角的正切19．（23-24高一下·江蘇蘇州·期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用二倍角公式、商數(shù)關(guān)系結(jié)合已知求得，再由兩角和的正切公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以且，即，且，解得或（舍去），所?故選：B.20．（23-24高一下·江蘇連云港·期中）已知，則（

）A．－3 B．2 C．3 D．不存在【答案】B【分析】利用兩角差的正切公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B.21．（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用兩角和差正切公式直接求解即可.【詳解】.故選：A.二：用和差正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值22．（23-24高一下·江蘇南京·期末）已知，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)的范圍確定，然后使用正切差公式.【詳解】由，知，故，從而.所以.故選：D.23．（23-24高一下·江蘇揚(yáng)州·期末）已知，則的值（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先對(duì)利用誘導(dǎo)公式與兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)可得，代入中利用兩角和的正切公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，所以，故選：D24．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）已知，則（

）A． B．0 C． D．【答案】C【分析】利用兩角差的正切公式計(jì)算可得，結(jié)合弦化切即可求解.【詳解】由，得，解得，所以.故選：C三：逆用和差正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值25．（23-24高一下·江蘇南通）（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)兩角和的正切公式以及誘導(dǎo)公式求得正確答案.【詳解】，，所以，所以故選：A26．（23-24高一下·江蘇徐州·階段練習(xí)）的值為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】利用正切的和角公式，逆用即可求出結(jié)果.【詳解】.故選：B.27．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正切和角公式得到，整理后得到答案.【詳解】，，．故選：C題型四：兩角和與差的三角函數(shù)綜合應(yīng)用28．（24-25高一上·江蘇無錫）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn).(1)求的值；(2)若鈍角滿足，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)三角函數(shù)定義得到和的值，再根據(jù)兩角和的正弦公式求得結(jié)果；（2）由角和的范圍，以及得出的范圍，求得的值，再根據(jù)，結(jié)合兩角差的余弦公式求得結(jié)果.【詳解】（1）由角的終邊過點(diǎn)得，所以.（2）由角的終邊過點(diǎn)得，由是鈍角，是第三象限角，則，，所以，由得，則.；所以.29．（23-24高一下·江蘇連云港·期末）（1）已知，且．求的值；（2）已知，且．求的值．【答案】（1）.（2）.【分析】（1）把題目給的兩角和看成一個(gè)整體，則，結(jié)合已知條件再運(yùn)用和差公式化簡(jiǎn)求值即可.（2）把看成一個(gè)整體，把條件變形為，再運(yùn)用和差公式化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】（1），，，，，，.故答案為：.（2），，即，，又，，，即.故答案為：.30．（23-24高一下·江蘇）已知，，且.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）化成關(guān)于的齊次式即可求解；（2）根據(jù)平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系以及角的范圍可得，由兩角和的正切公式以及角的范圍即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所?（2）因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，，所以，又，所以由，解得，所以，又，，故，所?【高分演練】一、單選題31．（23-24高一下·江蘇徐州·期中）已知，是方程的兩個(gè)根，則的值為（

）．A． B． C． D．2【答案】B【分析】由已知結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系可得，，，然后結(jié)合兩角和的正切公式即可求解．【詳解】由題意得，，，所以．故選：B．32．（23-24高一下·江蘇蘇州·期中）已知，都是銳角，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到，，湊角法得到答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，，所?故選：C33．（23-24高一下·江蘇南京·期中）已知、，且，，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系中平方和關(guān)系求出相應(yīng)角的正弦值，然后運(yùn)用余弦兩角和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】、，且，，，，，，，、，，，故選：B34．（23-24高一下·江蘇宿遷·期中）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用兩角和的余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將切化弦，即可求出、，再由兩角差的余弦公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，解得，所?故選：D35．（23-24高一下·江蘇鹽城·期中）化簡(jiǎn)值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用兩角差的余弦公式計(jì)算可得.【詳解】.故選：B36．（23-24高一下·江蘇連云港·期中）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對(duì)給定式子平方，再進(jìn)行相加得到，最后利用兩角和的正弦公式求解即可.【詳解】若，則若，則，將兩式子相加可得，化簡(jiǎn)得，由兩角和的正弦公式得，故C正確.故選：C37．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）若，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用切化弦可得，再由兩角和差公式先求，最后由同角基本關(guān)系式求解.【詳解】因?yàn)?，則，則，所以，而，則，所以.故選：C二、多選題38．（23-24高一下·江蘇鹽城·期中）下列各式化簡(jiǎn)正確的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】根據(jù)正弦、余弦的兩角和差公式即可逐一求解.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，故D正確，故選：ACD.39．（23-24高一下·江蘇泰州·期中）已知是方程的兩根，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，及三角恒等變換一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】由題意可知，對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由C可知，故D正確.故選：ABD40．（23-24高一下·江蘇泰州·期中）已知，且是方程的兩根，下列選項(xiàng)中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由方程解出，利用兩角和與差的正弦余弦正切公式和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，求解各選項(xiàng)中的算式，驗(yàn)證選項(xiàng).【詳解】是方程的兩根，又，解得，，A選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，，則，有，，，D選項(xiàng)正確.故選：AD.41．（23-24高一下·江蘇南京·階段練習(xí)）下列等式成立的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用正弦函數(shù)兩角和公式展開后再利用正切公式可對(duì)A判斷；逆用正弦函數(shù)兩角差公式可對(duì)B判斷；利用正余弦兩角差公式可對(duì)C判斷；逆用正切兩角和公式即可對(duì)D判斷.【詳解】對(duì)A：，故A正確；對(duì)B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：，故D正確.故選：AD.三、填空題42．（23-24高一下·江蘇徐州·期中）已知，則．【答案】【分析】先利用誘導(dǎo)公式對(duì)已知等式化簡(jiǎn)求出，再利用兩角差的正切公式求解.【詳解】由，得，所以，所以.故答案為：43．（23-24高一下·江蘇鹽城·期中）若，，則.【答案】【分析】由題設(shè)求出，利用拆角變換，將化成，利用和角公式計(jì)算即得.【詳解】由，可得，則，于是，

.故答案為：.44．（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知是銳角，，則的值為.【答案】【分析】先由已知結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值確定，再由正弦展開式結(jié)合拆角計(jì)算得到最后結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所以，即，又，所以，所以，所以，故答案為?45．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若，且，，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)條件，得出，利用平方關(guān)系得到，進(jìn)而有，再利用正切的和角公式得到，利用角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，又，所以，又，所以，又，故，所以，得到，又，所以，又，所以，故答?/p>