上海市實驗學校2024−2025學年高三下學期2月月考數學試題含答案

/上海市實驗學校2024?2025學年高三下學期2月月考數學試題一、填空題（本大題共12小題）1．復數的虛部為.2．不等式的解集為.3．已知與為單位向量，且滿足，則與的夾角.4．展開式中的常數項為.（用數字作答）5．已知隨機變量，若，則.6．已知直線與直線的夾角為，則實數.7．已知圓錐底面半徑為，高為1，則過圓錐的母線的截面面積的最大值為．8．已知雙曲線的左右焦點分別為，過的直線與曲線C的左右兩支分別交于點，且，則曲線C的離心率為．9．人們通常以分貝（符號是dB）為單位來表示聲音強度的等級，其中0dB是人能聽到的等級最低的聲音，一般地，如果強度為x的聲音對應的等級為，則有，給出下列四個結論：①等級為0dB的聲音的強度為；②函數在定義域上是增函數；③等級為80dB的聲音與70dB的聲音強度之比是10；④等級為60dB的聲音與90dB的聲音強度之比是1000.其中所有正確結論的序號是.10．如圖，14塊相同的正方體壘放在桌子上，每次施法會隨機讓其中某塊正方體消失，直到所有正方體全部消失不見．如果某次被施法的正方體的正上方仍有其他正方體，那么它正上方的正方體會豎直掉落下來，我們稱發(fā)生了“坍塌”．那么在全部14次施法過程中，不發(fā)生坍塌的概率為．11．已知函數若關于x的方程只有一個實數根，則實數a的取值范圍是.12．已知數列{an}滿足a1＝﹣2，且Sn＝+n（其中Sn為數列{an}前n項和），f（x）是定義在R上的奇函數，且滿足f（2﹣x）＝f（x），則f（a2021）＝.二、單選題（本大題共4小題）13．已知集合，則集合A的真子集的個數為（）A．3 B．4C．8 D．714．已知拋物線的準線為，直線，動點在上運動，記點到直線與的距離分別為，則的最小值為（

）A． B． C． D．15．已知，若，則下列結論一定成立的是（

）A． B． C． D．16．已知是面積為的等邊三角形，四邊形是面積為2的正方形，其各頂點均位于的內部及三邊上，且可在內任意旋轉，則的最大值為（

）A． B． C． D．三、解答題（本大題共5小題）17．如圖1，在平面四邊形中，，，，.將沿折疊至處，使平面平面（如圖2），為的中點，為的中點，是靠近點的四等分點.(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.18．已知遞增的等差數列的前三項之和為27，前三項之積為585，(1)求數列的前項和；(2)，數列的前項和記為，若恒成立，求的最小值．19．向“新”而行，向“新”而進，新質生產力能夠更好地推動高質量發(fā)展.以人工智能的應用為例，人工智能中的文生視頻模型（以下簡稱），能夠根據用戶的文本提示創(chuàng)建最長秒的逼真視頻.為調查的應用是否會對視頻從業(yè)人員的數量產生影響，某學校研究小組隨機抽取了名視頻從業(yè)人員進行調查，結果如下表所示.Sora的應用情況視頻從業(yè)人員合計減少未減少應用沒有應用合計(1)根據所給數據完成題中表格，并判斷是否有的把握認為的應用與視頻從業(yè)人員的減少有關？(2)某公司視頻部現有員工人，公司擬開展培訓，分三輪進行，每位員工第一輪至第三輪培訓達到“優(yōu)秀”的概率分別為，每輪相互獨立，有二輪及以上獲得“優(yōu)秀”的員工才能應用.（i）求員工經過培訓能應用的概率；（ii）已知開展培訓前，員工每人每年平均為公司創(chuàng)造利潤萬元；開展培訓后，能應用的員工每人每年平均為公司創(chuàng)造利潤萬元；培訓平均每人每年成本為萬元.根據公司發(fā)展需要，計劃先將視頻部的部分員工隨機調至其他部門，然后對剩余員工開展培訓，現要求培訓后視頻部的年利潤不低于員工調整前的年利潤，則視頻部最多可以調多少人到其他部門？附：，其中.20．已知圓，圓，若動圓與圓外切，且與圓內切，記動圓圓心的軌跡為.(1)求的方程；(2)已知點，過點且斜率不為0的一條直線，交曲線于、兩點，直線、分別與直線交于、兩點.①求證：直線與直線的斜率之積為常數；②求面積的取值范圍.21．已知函數，曲線在點處的切線方程記為．定義函數．(1)當時求的解析式；(2)當時，判斷函數的單調性并說明理由；(3)若滿足當時，總有成立，則稱實數為函數的一個“點”，求函數的所有點．

參考答案1．【答案】/【詳解】，所以復數的虛部為.故答案為：.2．【答案】【詳解】不等式，所以不等式的解集為.故答案為：.3．【答案】/【詳解】因為與為單位向量，則，，又，，，則，又，所以與的夾角為.故答案為：.4．【答案】【詳解】二項式展開式的通項為（且），令，解得，所以展開式中的常數項為.故答案為：5．【答案】0.1/【詳解】因為，所以，所以根據正態(tài)分布的對稱性得：所以故答案為：0.1.6．【答案】或【詳解】設直線與直線的夾角為，則，可得，，設直線的傾斜角為，則，設直線的傾斜角為，若，則直線即為，可知，可得，，符合題意；若，則，因為，可得，即，解得或（舍去）；綜上所述：或.故答案為：或.7．【答案】【詳解】依題意，設圓錐的母線長為，圓錐的底面半徑為，高為1，，設圓錐的軸截面的兩母線夾角為，則，，，則過該圓錐的母線作截面，截面上的兩母線夾角設為，故截面的面積為，當且僅當時，等號成立，故截面的面積的最大值為2．故答案為：2.8．【答案】/【詳解】如圖，設，則，由雙曲線定義得，，，∴，故.在中，，在中，，∵，∴，故，即，∴曲線C的離心率．故答案為：.9．【答案】①②③【詳解】對于①，由即，可得，因此等級為0dB的聲音強度為，故①正確；對于②，令，則，易知和在上單調遞增，由復合函數的單調性可知在定義域上是增函數，故②正確；對于③，設，則，解得．設，同理可得．因此所求兩種等級聲音的強度之比為，故③正確；對于④，設，則，解得．設，同理可得．因此所求兩種等級聲音的強度之比為，故④錯誤.故答案為：①②③.10．【答案】【詳解】把題設中的14個小正方體編號如下：其中1代表最上方的一個小正方體，第二層、第三層相應的標號如下圖所示.與1號小正方體在同一個豎直方向小正方體從上至下記為2,6，標號為3的正方體下面的小正方體標號為7，標號為4的正方體下面的小正方體標號為8，標號為5的正方體下面的小正方體標號為9，若不發(fā)生坍塌，則則全部14次施法過程中，不發(fā)生坍塌的事件總數為設事件為：“全部14次施法過程中，不發(fā)生坍塌”，則故答案為：.11．【答案】【詳解】分析題意，利用函數單調性定義顯然得到函數在上單調遞增，在區(qū)間上的函數對參數a分情況討論：當時，分段函數圖像如上圖所示，易知在區(qū)間上函數一定與相交，故此時與分段函數其他部分不相交；故對于部分，必有，對于部分，聯立,整理得，即，無解；故符合題意；當時，分段函數，則有實數根，和不成立；當時，易知，與分段函數在必有一個交點，且當時，，此時分段函數，故當時，無交點，故符合題意.綜上：實數a的取值范圍是故答案為：12．【答案】0【詳解】∵Sn＝+n，∴Sn﹣1＝an﹣1+n﹣1（n≥2），兩式相減得，an＝Sn﹣Sn﹣1＝an﹣an﹣1+1，化簡整理得，an﹣1＝3（an﹣1﹣1），∴＝3，即數列{an﹣1}是以﹣3為首項，3為公比的等比數列，∴an﹣1＝﹣33n﹣1＝﹣3n，∴an＝﹣3n+1.∵f（x）是定義在R上的奇函數，且滿足f（2﹣x）＝f（x），∴令x＝2，則f（2）＝f（0）＝0，令x＝x﹣2，則f（4﹣x）＝f（x﹣2）＝﹣f（2﹣x），∴f（4﹣x）＝﹣f（x）＝f（﹣x），即f（x）是以4為周期的周期函數.∵a2021＝﹣32021+1＝﹣（4﹣1）2021+1＝﹣[42021（﹣1）0+42020（﹣1）1+…+41（﹣1）2020+40?（﹣1）2021]+1＝﹣[42021（﹣1）0+42020（﹣1）1+…+41（﹣1）2020]+2，其中42021（﹣1）0+42020（﹣1）1+…+41（﹣1）2020能被4整除，∴f（a2021）＝f（﹣32021+1）＝f（2）＝0.故答案為：0.13．【答案】D【詳解】集合所以集合A的真子集的個數為.故選：D14．【答案】B【詳解】設拋物線的焦點為，由拋物線的定義可知.設于點，則.當三點共線，且在中間時，取得最小值.由拋物線，得，所以的最小值為.故選：B.15．【答案】A【詳解】令，得，若，則所以在上單調遞增，當時，則，所以，又在上單調遞增，所以，，當時，，又在上單調遞增，所以，不合題意；當時，，所以，又在上單調遞增，所以，所以，，綜上可得，故選：A16．【答案】D【詳解】解：因為是面積為的等邊三角形，記邊長為，所以，解得，記三角形內切圓的半徑為，根據，可得：，解得，因為正方形面積為2，所以正方形邊長為，記正方形外接圓半徑為，所以其外接圓直徑等于正方形的對角線2，即，根據正方形的對稱性和等邊三角形的對稱性可知，正方形外接圓即為等邊三角形的內切圓，因為正方形可在內任意旋轉，可知正方形各個頂點均在該三角形的內切圓上，以三角形底邊為軸，以的垂直平分線為軸建立直角坐標系如圖所示：故可知，圓的方程為，故設，，因為，即，化簡可得，即，解得或，①當時，點坐標可化為，此時，所以當，即，即，即時，取得最大值；②當時，點坐標可化為，此時，因為，所以當，即，即，即時，取得最大值，綜上可知：取得最大值.故選：D17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為，點為的中點，所以，因為平面平面ABD，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.因為，，所以是等邊三角形，所以，所以，所以，即，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）取的中點，連接，則，又因為平面，則平面，因為，以點為坐標原點，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則、，、、、，所以，，.設平面的一個法向量為，則，令，得，，所以，設直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）根據題意，設等差數列的前三項分別為，則，解得或，又數列為遞增數列，所以，，.（2）由（1）得，，則，.因為是單調遞增，，又，所以有最小值.19．【答案】(1)表格見解析，有的把握認為的應用與視頻從業(yè)人員的減少有關(2)（i）；（ii）人【詳解】（1）依題意，列聯表如下：Sora的應用情況視頻從業(yè)人員合計減少未減少應用沒有應用合計零假設為：的應用與視頻從業(yè)人員的減少獨立，的應用前后視頻從業(yè)人員無差異，由列聯表中數據得，.根據小概率值的的獨立性檢驗，推斷不成立，所以有的把握認為的應用與視頻從業(yè)人員的減少有關；（2）（i）設“員工第輪獲得優(yōu)秀”，且相互獨立.設“員工經過培訓能應用”，則故員工經過培訓能應用的概率是.（ii）設視頻部調人至其他部門，為培訓后視頻部能應用的人數，則，因此，調整后視頻部的年利潤為（萬元），令，解得，又，所以.因此，視頻部最多可以調人到其他部門.20．【答案】(1)(2)①證明見解析；②【詳解】（1）設動圓的半徑為，由題意，又，故的軌跡為橢圓.，，故的軌跡方程為（2）①由（1）知，，設直線，，，聯立消去，整理得，則，根據題意可設，，則由，可得，由，可得，所以直線與直線的斜率之積所以直線與直線的斜率之積為定值.②由①知，，所以.，，所以當且僅當或時等號成立，所以面積的取值范圍是.21．【答案】(1)；(2)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；(3).【詳解】（1）函數，求導得，則，而，則函數的圖象在處的切線方程為：，即，所以的解析式為.（2）由（1）知，，而，曲線在點處的切線方程為，則，求導得，令，求導得，令，求導得，當時，，當時，，函數在上單調遞減，在上單調遞增，故當時，，則，即恒成立，函數在上單調遞增，而，則當