《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)分析》課件-第6章 方差分析

第6章方差分析6.1方差分析概述6.2單因素方差分析6.3雙因素方差分析6.4SPSS應(yīng)用舉例12引入案例為了探究扶貧政策與貧困戶類型對扶貧效果的影響，對a縣不同貧困類型實(shí)施政策前后貧困戶的收入變化情況進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如表6-1所示。從表6-1中數(shù)據(jù)能否推斷出扶貧政策與貧困戶類型對貧困戶收入有影響？解決此問題需要應(yīng)用到方差分析，本章將介紹相關(guān)知識。第1節(jié)方差分析概述6.1.1概念6.1.2基本思想6.1.3一般提法和基本假定36.1.1概念4在上述案例中，若想知道在實(shí)施扶貧政策后不同貧困類型對貧困戶收入的影響程度，利用已經(jīng)學(xué)過的假設(shè)檢驗(yàn)的知識，我們可以采用兩兩依次配對的方法得出4項(xiàng)因素之間是否具有顯著差異，但當(dāng)研究因素涉及n項(xiàng)時需要利用n(n-1)/2次假設(shè)檢驗(yàn)，工作量隨n的增大而大大增加。除此之外，假設(shè)檢驗(yàn)次數(shù)增多還會使得偶然因素造成的誤差被放大，我們作出錯誤決策的風(fēng)險(xiǎn)也隨之增大。6.1.1概念5比如，上述案例中因有4項(xiàng)因素需要進(jìn)行共計(jì)6次假設(shè)檢驗(yàn)，若每次檢驗(yàn)犯第I類錯誤的概率為α=0.05，則進(jìn)行6次假設(shè)檢驗(yàn)后犯第I類錯誤的概率就會累積到1-(1-α)6≈0.265，此時相應(yīng)的置信水平就會下降到0.956=0.735。由此可見多次假設(shè)檢驗(yàn)帶來的誤差是不可忽略的，此時引入方差分析就顯得十分必要。方差分析只需通過一次性的檢驗(yàn)即可得出結(jié)論，既避免了大量工作的麻煩，也大大降低了錯誤不斷累積造成最終誤判（即拒絕了真實(shí)的假設(shè)）的可能性。定義6.1方差分析（analysisofvariance,ANOVA）：是用于一次性檢驗(yàn)兩個以上樣本均值是否存在顯著差異的統(tǒng)計(jì)方法，又稱為“變異數(shù)分析”或“F檢驗(yàn)”。6.1.1概念6方差分析的基本術(shù)語包括以下幾種：因素或因子：是所要研究的變量。引例中的因素就是我們所要研究的是否實(shí)行扶貧政策與貧困戶類型。水平或處理：是因素在試驗(yàn)中的不同表現(xiàn)狀態(tài)。引例中老年貧困、因病致貧、因?qū)W致貧、受教育程度低這4個類型可以看作是因素貧困戶類型的水平（處理）。觀察值：是在每個因素水平下得到的樣本數(shù)據(jù)。引例中的觀察值就是4個貧困戶類型與是否實(shí)行扶貧政策下對應(yīng)的貧困戶收入數(shù)據(jù)?？傮w與樣本的概念詳見第2.1節(jié)。在方差分析中可將因素的每一個水平都看作一個總體，而樣本數(shù)據(jù)就是對應(yīng)的觀察值。6.1.2基本思想7方差分析由英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家羅納德?艾爾默?費(fèi)歇爾于1923年提出，他在研究不同的混合肥料是否對馬鈴薯產(chǎn)量產(chǎn)生影響這一實(shí)驗(yàn)中受到啟發(fā)，提出了方差分析的思想并首次將其實(shí)現(xiàn)應(yīng)用。方差分析通過數(shù)據(jù)的波動對因素的影響力進(jìn)行衡量。方差分析的基本思想可概括為：通過分析不同來源的數(shù)據(jù)波動對總變異的貢獻(xiàn)大小來確定可控因素對研究結(jié)果影響力的大小，具體可通過對數(shù)據(jù)誤差來源的分析來判斷因素影響作用是否顯著。6.1.2基本思想8引入案例中，我們關(guān)注的問題是：貧困戶類型是否對貧困戶收入產(chǎn)生影響，或貧困戶類型不同對貧困戶收入的影響有多大？在這個問題中，我們探究的是貧困戶類型這一因素對收入情況的影響度。而調(diào)研數(shù)據(jù)本身會有波動，這種波動可用誤差來表示。例如，在某次調(diào)査中，因病致貧的貧困戶收入比因?qū)W致貧貧困戶收入少1000元，不能說明因病致貧的貧困戶收入比因?qū)W致貧收入少，但因病致貧的貧困戶收入比因?qū)W致貧貧困戶收入少1000元，那么可能就是由于貧困戶類型的不同造成貧困戶收入的不同。此時需要探討引起這種誤差的來源究竟是什么：導(dǎo)致因病致貧的貧困戶收入比因?qū)W致貧貧困戶收入不同的原因可能是貧困戶類型的不同，也可能是其他因素（如人們的居住環(huán)境、地方經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平等）造成的。6.1.2基本思想9根據(jù)上述分析，我們將誤差來源分為系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差兩類。系統(tǒng)誤差是指因素的不同水平（不同總體）之間觀察值的差異。如引例中貧困戶類型的不同造成的數(shù)據(jù)間的差異。隨機(jī)誤差是指因素的同一水平（總體）下，樣本各觀察值之間的差異，如引例中其他因素造成的數(shù)據(jù)間的差異。接下來就可以通過誤差來源來度量因素的影響度：如果系統(tǒng)誤差大得多，那么說明我們關(guān)注的因素對結(jié)果的影響程度較大；如果系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的大小差異不大，那么說明因素對結(jié)果的影響程度不大。6.1.2基本思想10在方差分析中，我們通過方差來衡量數(shù)據(jù)波動或數(shù)據(jù)變異（數(shù)據(jù)偏離均值）的程度：通過方差分解，將方差分解為水平間方差與水平內(nèi)方差，這兩種方差分別隱含著系統(tǒng)因素與隨機(jī)因素造成的數(shù)據(jù)波動信息。分析兩類方差對總方差的貢獻(xiàn)度，從而確定研究的因素對問題結(jié)果的影響程度：如果數(shù)據(jù)誤差都是由隨機(jī)誤差造成的，那么水平間的方差與水平內(nèi)的方差比值幾乎相等；如果數(shù)據(jù)誤差不僅包含隨機(jī)誤差，也包含系統(tǒng)誤差，那么兩方差之比就會比較大。按照上述思路就可以判斷所研究的因素對研究問題結(jié)果的影響程度，從而對我們關(guān)注的問題進(jìn)行判斷。6.1.3一般提法和基本假定11方差分析的最終問題歸結(jié)為：通過一次分析解決多個水平的均值是否有顯著差異的問題。要分析自變量對因變量是否有影響，形式上即轉(zhuǎn)化為檢驗(yàn)自變量的各個水平（總體）的均值是否相等，因此方差分析一般提法如下：設(shè)因子有k個水平，每個水平的均值分別用μ1,μ2,…,μk來表示，要檢驗(yàn)k個水平（總體）的均值是否相等，需要提出如下假設(shè)：

H0：μ1=μ2=…=μk

，即自變量對因變量沒有顯著影響；

H1：

μ1,μ2,…,μk不全相等，即自變量對因變量有顯著影響。將方差分析的形式轉(zhuǎn)化為檢驗(yàn)自變量各個水平的均值是否相等的問題時需要滿足方差分析的基本假定，即可加性、隨機(jī)性、正態(tài)性、方差齊性和獨(dú)立性。6.1.3一般提法和基本假定121.可加性——各效應(yīng)可加可加性是方差分析最基本的假定，即觀測值是由各主效應(yīng)、交互作用以及誤差相加到的。方差分析屬于一般線性模型的分支，樣本觀測值y是一系列效應(yīng)之和。例如，在一個單因素完全隨機(jī)方差分析中，其中，共有a

個水平，每個水平下有

n個觀測值，即i=1,2,…,a,k=1,2,…,n。yik是在自變量第i個水平下第k個被試的觀測值，是自變量第i個水平的效應(yīng)，在固定的水平下是一個定值。這個值表示了單獨(dú)由自變量的第i個水平帶來的效果；eik是在自變量第i個水平下對第k個被試值進(jìn)行觀測時產(chǎn)生的誤差，是一個變量。6.1.3一般提法和基本假定131.可加性——各效應(yīng)可加令且。簡單來說，就是計(jì)算出自變量的平均效應(yīng)值，然后用各水平的效應(yīng)減去均值，得到相對的效應(yīng)值，那么。上面的模型可以寫為：。同理，如果是一個兩因素方差分析，可以將觀測值yijk認(rèn)為是由總平均μ、A因素主效應(yīng)αi、B因素主效應(yīng)βi、A與B的交互作用rij以及誤差eijk相加得到，即其中，除了隨機(jī)誤差是隨機(jī)變量之外，其他的效應(yīng)在固定的處理中都是定值。6.1.3一般提法和基本假定142.隨機(jī)性——各樣本是隨機(jī)樣本由上述可知，觀測值中只有誤差e是變量，其余的效應(yīng)都是固定的，即在某個觀測值中是不變的。方差分析中樣本觀測值的隨機(jī)性體現(xiàn)在誤差上，即隨機(jī)性是針對變量e而言的，誤差e是一個隨機(jī)誤差，期望為0。因此，隨機(jī)性假設(shè)的意義為：在同樣條件下反復(fù)施測多次時，隨機(jī)誤差被抵消了，因此所有觀測結(jié)果的均值即為效應(yīng)值。6.1.3一般提法和基本假定153.方差齊性——各樣本來自的總體方差相同在進(jìn)行方差分析之前都會先進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)，通常用來比較各處理間的方差是否齊性，即比較某個水平下數(shù)據(jù)的方差與其他水平下數(shù)據(jù)的方差是否齊性。但基于yik是一個變量，因此方差齊性的實(shí)質(zhì)即各隨機(jī)誤差方差齊性，并不僅僅是指各處理間的方差齊性。

方差分析的方差齊性假設(shè)可細(xì)分為兩個方面：①各處理內(nèi)，每一個個體的方差齊性；②不同處理間，各樣本的方差齊性。通常來說，第一條比較容易滿足，而且，在一次取樣中每個個體只有一個觀測值，也沒有辦法比較每一個個體的方差，因此，方差齊性檢驗(yàn)都是在處理間進(jìn)行比較的，相當(dāng)于已經(jīng)默認(rèn)了各處理內(nèi)的方差齊性。6.1.3一般提法和基本假定16

6.1.3一般提法和基本假定17

第2節(jié)單因素方差分析6.2.1數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)6.2.2單因素方差分析的一般步驟6.2.3關(guān)系強(qiáng)度的測量與判定系數(shù)6.2.4多重比較本節(jié)介紹方差分析中較為簡單常用的、只涉及一種影響因素的單因素方差分析。186.2.1數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)19單因素方差分析方法用于解決如何通過一次檢驗(yàn)就檢驗(yàn)出多個均值間是否存在差異的問題，研究定性自變量對于定量因變量的影響。單因素方差分析主要適用的數(shù)據(jù)類型為符合正態(tài)分布且對樣本容量無特別要求的定量數(shù)據(jù)。6.2.1數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)20假設(shè)：單因素A具有k個水平，分別記為A1,A2,…,Ak；在每個水平Ai（i=1,2,…,k）下，要考察的指標(biāo)可以看成一個總體，共有k個總體，每個總體均服從正態(tài)分布且方差相同；從每個總體中抽取的樣本Xi1,Xi2,…,Xini（

i=1,2,…,k）相互獨(dú)立，那么，單因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如表6-2所示。注：從不同總體抽取的樣本數(shù)量可以相同也可以不同，即ni（i=1,2,…,k）可以取不同值，若取不同值，則是一個非平衡數(shù)據(jù)的單因素方差分析問題。6.2.2單因素方差分析的一般步驟21提出假設(shè)提出原假設(shè)H0：μ1=μ2=…=μk

表示自變量對因變量沒有顯著影響，而備擇假設(shè)H1：

μ1,μ2,…,μk不全相等則表示自變量對因變量有顯著影響。值得注意的是，若最終作岀決策為拒絕原假設(shè)，則表明至少有兩個總體的均值不相等，但不能說明所有均值都不相等。6.2.2單因素方差分析的一般步驟22構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量一些統(tǒng)計(jì)量的概念與計(jì)算方法如下：1）水平均值若從第i個總體中抽取出一個容量為ni的簡單隨機(jī)樣本，水平均值則是第i個總體的樣本均值，即用該樣本的全部觀察值之和除以觀察值的數(shù)量。公式表示為：式中，xij為第i個總體的第j個觀察值；ni為第i個總體的樣本觀察值個數(shù)。6.2.2單因素方差分析的一般步驟23構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量一些統(tǒng)計(jì)量的概念與計(jì)算方法如下：2）總體均值全部觀察值的總均值計(jì)算方法為利用全部觀察值的總和除以觀察值的總個數(shù)，公式表示為：式中，n=n1+n2+…+nk。6.2.2單因素方差分析的一般步驟24構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量一些統(tǒng)計(jì)量的概念與計(jì)算方法如下：3）誤差平方和SS與方差相同，數(shù)據(jù)的誤差即偏離程度，一般用平方和（sumofsquares,SS）來表示，分為組內(nèi)平方和與組間平方和。組內(nèi)平方和是指因素在同一水平下數(shù)據(jù)誤差的平方和，刻畫同一水平下與均值的偏離程度。而組間平方和是指因素在不同水平之間的數(shù)據(jù)誤差的平方和，刻畫不同水平間數(shù)據(jù)的偏離程度。6.2.2單因素方差分析的一般步驟253）誤差平方和SS值得注意的是，組內(nèi)平方和只受隨機(jī)因素影響，而組間平方和既包含隨機(jī)誤差也包含系統(tǒng)誤差。如在案例中，在只考慮貧困戶類型這一因素的條件下，如果僅分析老年貧困對應(yīng)的貧困戶收入，那么貧困戶收入只受被調(diào)査者居住環(huán)境、地方經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r等隨機(jī)因素影響；如果分析的是4種不同貧困戶類型對應(yīng)的貧困戶收入，那么貧困戶收入既受上述隨機(jī)誤差的影響，還可能受到因貧困戶類型差異帶來的系統(tǒng)誤差的影響，兩種誤差平方和的差異正是方差分析方法的切入點(diǎn)。6.2.2單因素方差分析的一般步驟26構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量一些統(tǒng)計(jì)量的概念與計(jì)算方法如下：4）總誤差平方和SST總誤差平方和（sumofsquaresfortotal,SST）是全部觀察值與總平均值之間的離差平方和，反映的是所有觀察值的離散狀況。計(jì)算公式為：6.2.2單因素方差分析的一般步驟27構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量一些統(tǒng)計(jì)量的概念與計(jì)算方法如下：5）組間平方和SSA組間平方和（sumofsquaresforfactorA,SSA）是各組平均值與總平均值之間的離差平方和，反映各個總體的樣本均值間的離散程度，它既包括隨機(jī)誤差也包括系統(tǒng)誤差。計(jì)算公式為：

6.2.2單因素方差分析的一般步驟28構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量一些統(tǒng)計(jì)量的概念與計(jì)算方法如下：6）組內(nèi)平方和SSE組內(nèi)平方和（sumofsquaresforerror,SSE）是每個水平或每個組的樣本數(shù)據(jù)與此組的平均值的離差平方和，它反映的是各個樣本觀察值的差異程度，它只由隨機(jī)誤差決定。計(jì)算公式表示為：6.2.2單因素方差分析的一般步驟29構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量一些統(tǒng)計(jì)量的概念與計(jì)算方法如下：7）誤差平方和分解式通過對案例進(jìn)行計(jì)算不難發(fā)現(xiàn)SST=SSE+SSA，這種規(guī)律性不是巧合的，而是必然的結(jié)論，因?yàn)樵谏鲜龇讲罘治鏊枷胫行枰獙⒖偡讲罘纸鉃榻M間方差與組內(nèi)方差，所以此處代表數(shù)據(jù)波動的平方和也能相應(yīng)地得到誤差平方和分解式。誤差平方和分解式SST=SSE+SSA的推導(dǎo)如下：6.2.2單因素方差分析的一般步驟307）誤差平方和分解式其中，因?yàn)樾璺戏讲钕嗟惹腋饔^察值均符合正態(tài)分布，所以等式右邊：因此：即SST=SSE+SSA。6.2.2單因素方差分析的一般步驟31構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量一些統(tǒng)計(jì)量的概念與計(jì)算方法如下：8）均方由于誤差平方和的數(shù)值與觀察值的個數(shù)有關(guān)，為消除觀察值多少對誤差平方和的影響，需要將平方和平均，因此這里引入自由度（degreeoffreedom,df）的概念。自由度指的是計(jì)算某一統(tǒng)計(jì)量時取值不受限制的變量個數(shù)，一般等于樣本數(shù)量減去被限制的條件或變量。舉例來說，現(xiàn)有4個變量a、b、c、d，如果已知a+b+c+d=l，那么，當(dāng)a、b、c

有確定數(shù)值（如a=1、b=0、c=2）后，變量d的取值只能為-2，故4個變量中有3個變量可以自由變化，而當(dāng)這3個變量的取值確定后最后一個變量的取值也被確定。因此，這4個變量的自由度為3。6.2.2單因素方差分析的一般步驟328）均方在上述離差平方和中，SST的樣本數(shù)量為觀察值總個數(shù)n，其約束條件為

，其自由度為n-1。SSA的樣本數(shù)量為因素水平的個數(shù)k個，而其約束條件為，其自由度為k-1。同理，SSE的樣本數(shù)量為n，但其約束條件為，共有k個，故其自由度為n-k。也可以看出，3個平方和自由度之間也滿足n-1=k-1+n-k的關(guān)系。6.2.2單因素方差分析的一般步驟33

6.2.2單因素方差分析的一般步驟34

6.2.2單因素方差分析的一般步驟353.進(jìn)行F檢驗(yàn)前面構(gòu)造出F統(tǒng)計(jì)量=組間方差/組內(nèi)方差，構(gòu)建的原假設(shè)為各控制變量下的響應(yīng)均值相等（μ1=μ2=…=μk

），即控制變量對響應(yīng)變量無顯著性差異。原假設(shè)的均值都相等,所以對應(yīng)到F統(tǒng)計(jì)量即組間方差較小。在本質(zhì)上采用方差分析的方法進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的是統(tǒng)計(jì)量大于還是小于1的問題，因此方差分析是單側(cè)檢驗(yàn)。利用概率P值判斷拒絕還是不拒絕原假設(shè)時，直接和顯著性水平α值（一般為0.05）對比即可。根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的原理，當(dāng)顯著性水平α給定后，查表可得出相應(yīng)第一自由度為k-1，第二自由度為n–k的F分布的P值，并將其與顯著性水平α進(jìn)行比較。6.2.2單因素方差分析的一般步驟363.進(jìn)行F檢驗(yàn)當(dāng)P值小于α?xí)r，我們拒絕原假設(shè)；當(dāng)P值大于α?xí)r，我們不拒絕原假設(shè)。同樣的，我們也可以利用拒絕域來進(jìn)行判斷，將統(tǒng)計(jì)量的值與臨界值Fα進(jìn)行對比，從而作出相應(yīng)的決策。如圖6-1所示，若F>Fα，則拒絕原假設(shè)H0，表明誤差部分來源于系統(tǒng)誤差，即均值之間的差異是顯著的，所以所檢驗(yàn)的因素對觀察值有顯著影響；若F≤

Fα，則不拒絕H0，無法證明所檢驗(yàn)的因素對觀察值有顯著影響。6.2.2單因素方差分析的一般步驟373.進(jìn)行F檢驗(yàn)方差分析表（見表6-3）更加清晰地展示各個統(tǒng)計(jì)量的關(guān)系，在進(jìn)行方差分析時可以對表中各個統(tǒng)計(jì)量依次進(jìn)行計(jì)算，最終將顯著性水平與P值進(jìn)行比較，或?qū)統(tǒng)計(jì)量與臨界值比較，從而作出決策。6.2.2單因素方差分析的一般步驟38【例6.1】在本章引例中，若想探究是否施用政策這個因素對老年貧困的貧困戶收入的影響，則需要用到單因素方差分析的思想。老年貧困的貧困戶在實(shí)行政策前后收入如下：（單位：元）實(shí)行扶貧政策前∶4756.984788.614372.16實(shí)行扶貧政策后∶8139.086694.805399.91解：步驟一：提出假設(shè)。H0：μ1=μ2（即實(shí)行政策對貧困戶收入無顯著影響）H1：μ1

≠

μ2（即實(shí)行政策對貧困戶收入有顯著影響）6.2.2單因素方差分析的一般步驟39步驟二：構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量。由數(shù)據(jù)得出單因素方差分析表如表6-4所示。步驟三：作出決策。由表6-4可以看出，P值小于顯著性水平0.05，所以我們拒絕原假設(shè)，認(rèn)為在顯著性水平0.05下實(shí)行政策對貧困戶收入有顯著影響。6.2.3關(guān)系強(qiáng)度的測量與判定系數(shù)40在上述分析中，若最后決策為拒絕原假設(shè)H0，則表明誤差來源既有隨機(jī)因素又有系統(tǒng)因素，觀察值與自變量之間有顯著的關(guān)系。容易理解，只要組間平方和SSA不為0，兩變量之間就有關(guān)系；組內(nèi)平方和SSE則是表現(xiàn)隨機(jī)誤差導(dǎo)致的數(shù)據(jù)誤差。當(dāng)SSA比SSE大且到達(dá)一定程度時，誤差來源主要由組間誤差貢獻(xiàn)，故兩變量間的關(guān)系較顯著，且SSA比SSE大得越多此關(guān)系越強(qiáng)；反之，若SSA比SSE小得越多則它們間關(guān)系越不顯著。因此，我們可以利用上述特點(diǎn)引入關(guān)系強(qiáng)度來表現(xiàn)變量間的關(guān)系，關(guān)系強(qiáng)度的測定與判定系數(shù)R2密切相關(guān)，在此對判定系數(shù)進(jìn)行介紹。6.2.3關(guān)系強(qiáng)度的測量與判定系數(shù)41定義6.2判定系數(shù)（coefficientofdetermination，記作R2）：回歸平方和占總平方和的比例，稱為判定系數(shù)，也稱為可決系數(shù)或決定系數(shù)。由定義可得：判定系數(shù)R2反映了因變量y取值的變差中能被估計(jì)的多元回歸方程所解釋的比例。由于R2=SSA/SST，SSA在區(qū)間[0,SST]范圍內(nèi)，因此R2在區(qū)間［0.1］的范圍內(nèi)。A6.2.3關(guān)系強(qiáng)度的測量與判定系數(shù)42當(dāng)R2=1時，表示殘差平方和SSE=0，此時y值的變差完全用x的變化來解釋，各觀測點(diǎn)落在回歸直線上，回歸直線的擬合效果最好。當(dāng)R2=0時，x完全無助于y的變差，回歸直線的擬合效果最差。R2在（0,1）范圍內(nèi)時，越接近1，擬合效果越好。6.2.3關(guān)系強(qiáng)度的測量與判定系數(shù)43經(jīng)過變換，R2的表達(dá)式可以表達(dá)成：其中，括號內(nèi)的部分是線性相關(guān)系數(shù)r，即R2=(r)2，相關(guān)系數(shù)r實(shí)際上是判定系數(shù)R2的平方根。因此，相關(guān)系數(shù)r也可以表示回歸直線的擬合優(yōu)度。|r|越接近1，則說明回歸直線擬合程度越好。但是，用r來表示擬合優(yōu)度的時候要慎重，因?yàn)閞總是大于R2，例如，當(dāng)r=0.5時，R2=0.25,只能解釋總變差的25%。6.2.3關(guān)系強(qiáng)度的測量與判定系數(shù)44

6.2.3關(guān)系強(qiáng)度的測量與判定系數(shù)45

6.2.3關(guān)系強(qiáng)度的測量與判定系數(shù)46值得注意的是，對于方差分析的結(jié)果解讀有兩個指標(biāo)，即p值與R2，因此有4種情況：①p<α，R2很大；②p>α，R2很大；③p<α，R2很?。虎躳>α，R2很小。對指標(biāo)可由以下方面來解讀：p值大小表示檢驗(yàn)結(jié)果的可靠性，p值越小檢驗(yàn)結(jié)果越顯著；而R2的大小表示自變量與因變量間關(guān)系的強(qiáng)弱。6.2.3關(guān)系強(qiáng)度的測量與判定系數(shù)47①p<α，R2很大；②p>α，R2很大；③p<α，R2很??；④p>α，R2很小。情況①是我們所希望的理想情況。情況②則一般不太可能出現(xiàn)。情況③在問卷分析中經(jīng)常遇到，這說明模型存在欠擬合的情況，預(yù)測的點(diǎn)和實(shí)際點(diǎn)差異較大，當(dāng)不斷提高自變量個數(shù)時R2將會越來越大，自變量對因變量的影響還是很顯著。情況④則說明對于因變量的變化沒有考慮較為重要的因素，將隨機(jī)因素放入了誤差項(xiàng)，此時若采用單因素分析不能直接下結(jié)論說明檢驗(yàn)不顯著，而應(yīng)該考慮其他因素的影響，如采用雙因素方差分析重新分析問題。6.2.4多重比較48在進(jìn)行單因素方差分析的過程中，我們發(fā)現(xiàn)無法通過“兩個總體均值不相等”推斷出“所有總體均值都不相等”的結(jié)論。那么，各個總體均值之間，究竟是哪一個或者幾個的均值與其他均值顯著不同？哪幾個因素的均值又無明顯差異？——為解決到底哪些均值存在差異的問題，引出多重比較的方法。多重比較是通過總體均值間的配對比較從而進(jìn)一步檢驗(yàn)存在差異的均值的方法?？梢岳觅M(fèi)歇爾提出的最小顯著差異（簡稱為LSD）法來解決問題。LSD方法是對檢驗(yàn)兩個總體均值是否相等的t檢驗(yàn)方法的總體方差估計(jì)加以修正（用MSE來代替）而得到的。6.2.4多重比較49值得注意的是，多重比較與兩兩配對檢驗(yàn)的區(qū)別在于，多重比較是在方差分析得出均值間有顯著差異的基礎(chǔ)之上進(jìn)行的，即多重比較是探究究竟是哪些均值間有差異，而兩兩配對檢驗(yàn)是分別兩兩配對進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。換句話說，若F檢驗(yàn)不顯著，則不能做多重比較檢驗(yàn)。多重比較方法的具體步驟如下：步驟一：提岀假設(shè)。

H0：μi=μj（第i個總體均值等于第j個總體均值）；

H1：μi≠

μj（第i個總體均值不等于第j個總體均值）。6.2.4多重比較50步驟二：計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量。需要計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量為步驟三：計(jì)算LSD。其中，tα為t分布臨界值，可査表獲得；自由度為n-k（n是樣本數(shù)，k為水平個數(shù)）；MSE為組內(nèi)方差；ni和nj為第i個和第j個樣本的樣本數(shù)。步驟四：進(jìn)行決策。若，則拒絕假設(shè)H0；若，則不拒絕假設(shè)H0。6.2.4多重比較51【例6.2】在本章引例中，若只考慮貧困戶類型這個單因素對貧困戶收入情況的影響，數(shù)據(jù)如表6-5所示，可以通過單因素方差分析的一般步驟得到結(jié)論：貧困戶類型對貧困戶收入情況有顯著影響，但無法確定不同貧困戶類型的貧困戶收入數(shù)據(jù)得到的幾個均值間是否有顯著差異。我們可以利用多重比較法來進(jìn)一步分析得出新的結(jié)論。6.2.4多重比較52解：由表6-5易得各組均值為：μ1=5858.59，μ2=6490.94，μ3=7189.01，μ4=11322.04，共有4組均值；將這4組均值兩兩配對后，通過提出假設(shè)、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、計(jì)算LSD、作出決策等步驟對兩兩配對的組進(jìn)行分析。例如，對μ1=5858.59、μ2=6490.94進(jìn)行分析：步驟一：提出假設(shè)。H0：μ1=μ2；H1：μ1

≠

μ2步驟二：計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。步驟三：計(jì)算LSD。步驟四：做出決策。

，即老年貧困與因病致貧貧困戶類型對貧困戶收入間無顯著差異。6.2.4多重比較53同理，對另外5個兩兩配對的組進(jìn)行分析后，得到結(jié)論：計(jì)算結(jié)論老年貧困與因?qū)W致貧貧困戶類型對貧困戶收入間有顯著差異。老年貧困與受教育程度低貧困戶類型對貧困戶收入間有顯著差異。因病致貧與因?qū)W致貧貧困戶類型對貧困戶收入間無顯著差異。因病致貧與受教育程度低貧困戶類型對貧困戶收入間有顯著差異。因?qū)W致貧與受教育程度低貧困戶類型對貧困戶收入間有顯著差異。6.2.4多重比較54比LSD小得越多，說明第i個總體與第j

個總體的差異越?。环粗?，若比LSD大得越多，說明第i

個總體與第j個總體的差異越大。比如，上述計(jì)算結(jié)果中，老年貧困與受教育程度低貧困戶類型對貧困戶收入的影響差異就比老年貧困與因?qū)W致貧貧困戶類型對貧困戶收入間的影響差異更大。第3節(jié)雙因素方差分析6.3.1無重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析6.3.2有重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析6.3.3平衡數(shù)據(jù)的雙因素方差分析6.3.4雙因素方差分析的一般步驟55第3節(jié)雙因素方差分析實(shí)際問題中，試驗(yàn)結(jié)果往往不止受到一個因素的影響，因此引出雙因素方差分析法。與單因素方差分析相同的是，雙因素方差分析方法也是用于解決如何通過一次檢驗(yàn)出多個均值間是否存在差異的問題，且適用的數(shù)據(jù)類型同樣是分布為正態(tài)分布、對樣本容量無特別要求的定量數(shù)據(jù)，而不同之處在于雙因素方差涉及兩個因素的分析（行因素與列因素）。下面對各種情況下的雙因素方差分析進(jìn)行詳細(xì)介紹。566.3.1無重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析57無重復(fù)試驗(yàn)的雙因素方差分析基本假定與單因素方差分析相同，即滿足每個總體均服從正態(tài)分布、各個總體方差必須相同以及觀察值之間是相互獨(dú)立的，且其數(shù)據(jù)不需要重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)得出。如果兩個因素對試驗(yàn)結(jié)果的影響是相互獨(dú)立的，分別判斷行因素和列因素對試驗(yàn)數(shù)據(jù)的影響，這時的雙因素方差分析稱為無重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析或無交互作用的雙因素方差分析。無重復(fù)試驗(yàn)的雙因素方差分析數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)一般如表6-6所示。6.3.1無重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析58

6.3.1無重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析59

6.3.1無重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析60

6.3.2有重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析61在雙（多）因素方差分析中會出現(xiàn)這樣一種現(xiàn)象，兩個以上因素對結(jié)果的影響不是獨(dú)立的，即因素不同水平的搭配會對數(shù)據(jù)造成影響，這種現(xiàn)象稱為交互作用。6.3.2有重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析62由于交互作用的影響，在進(jìn)行雙因素方差分析時需要在同一條件下進(jìn)行多次試驗(yàn)，否則無法將交互作用的平方和從誤差平方和中分離出來，這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)稱為有重復(fù)試驗(yàn)的方差分析數(shù)據(jù)。有重復(fù)試驗(yàn)的雙因素方差分析數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與無重復(fù)試驗(yàn)的雙因素方差分析相同。適用的數(shù)據(jù)類型也是分布為正態(tài)分布、對樣本容量無特別要求的定量數(shù)據(jù)。6.3.2有重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析636.3.2有重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析646.3.3平衡數(shù)據(jù)的雙因素方差分析65在第6.2節(jié)的單因素方差分析數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中述及，從不同總體抽取的樣本數(shù)量可以相同也可以不同，即ni(i=1,2,…,k)可以取不同值。當(dāng)從總體抽取的樣本數(shù)量相同時，即當(dāng)n1=n2=…=nk時，可以定義這組數(shù)據(jù)為平衡數(shù)據(jù)；當(dāng)從總體抽取的樣本數(shù)量不全相同時，定義這組數(shù)據(jù)為非平衡數(shù)據(jù)。在研究的所有組別里，各組的樣本量是相同的數(shù)字（相同例數(shù)），則這樣的一組數(shù)據(jù)稱為平衡數(shù)據(jù)；在研究的所有組別里，各組的樣本量是不同的數(shù)字（不同例數(shù)），則這樣的一組數(shù)據(jù)稱為非平衡數(shù)據(jù)。6.3.3平衡數(shù)據(jù)的雙因素方差分析66在機(jī)器學(xué)習(xí)與數(shù)據(jù)挖掘的研究中，很多算法都有一個基本假設(shè)，即數(shù)據(jù)分布是均勻的。當(dāng)我們把這些算法直接應(yīng)用于實(shí)際數(shù)據(jù)時，大多數(shù)情況下都無法取得理想的結(jié)果。因?yàn)閷?shí)際數(shù)據(jù)往往分布得很不均勻，都會存在“長尾現(xiàn)象”。因此，在機(jī)器學(xué)習(xí)中需要對非平衡數(shù)據(jù)進(jìn)行一系列處理。與機(jī)器學(xué)習(xí)中類似，在方差分析中的非平衡數(shù)據(jù)，即各個水平下的樣本容量不相等、不同水平下試驗(yàn)次數(shù)不完全相等的數(shù)據(jù)，尤其是雙因素的非平衡數(shù)據(jù)，也需要在解決問題時單獨(dú)考慮。6.3.3平衡數(shù)據(jù)的雙因素方差分析67非平衡數(shù)據(jù)的雙因素方差分析適用于符合正態(tài)分布且對樣本容量無特別要求的定量數(shù)據(jù)，它的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表如表6-8所示。6.3.3平衡數(shù)據(jù)的雙因素方差分析686.3.3平衡數(shù)據(jù)的雙因素方差分析69為更好地說明平衡數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與非平衡數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的差異，把引入案例中的平衡數(shù)據(jù)改為非平衡數(shù)據(jù)，即調(diào)査過程中不是各組均調(diào)査3次，而是各組調(diào)査次數(shù)不同，得到的調(diào)査結(jié)果如表6-9所示。該例子的分析將會在例6.4中呈現(xiàn)。6.3.4雙因素方差分析的一般步驟70對于無重復(fù)與有重復(fù)試驗(yàn)的雙因素方差分析，一般步驟如下：步驟一：提出假設(shè)。

對行因素提出的假設(shè)為：

H0：

μ1=μ2=…=μi=…=μk（μi為第i個水平的均值）

H1：μi(i=1,2,…,k)不全相等。

對列因素提出的假設(shè)為：

H0：

μ1=μ2=…=μj=…=μr（μj為第j個水平的均值）

H1：μj(j=1,2,…,r)不全相等。此外，對于有重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析，對兩因素的交互作用提出的假設(shè)為：

H0：交互作用的影響不顯著；H1：交互作用的影響顯著。6.3.4雙因素方差分析的一般步驟71步驟二：構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量——1.計(jì)算平方和SS對于無重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析，其因素誤差包含兩部分，總誤差平方和SST可以分解為行因素誤差平方和SSR與列因素誤差平方和SSC以及隨機(jī)誤差平方和SSE。各平方和計(jì)算公式如下：容易得到與單因素方差分析時相似的誤差平方和之間的關(guān)系：6.3.4雙因素方差分析的一般步驟72步驟二：構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量——1.計(jì)算平方和SS

而在有交互作用的重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析中，總誤差平方和SST可以分解為行變量平方和SSR、列變量平方和SSC、交互作用平方和SSRC以及誤差項(xiàng)平方和SSE，故相應(yīng)的均方值也包含4項(xiàng)，進(jìn)行檢驗(yàn)的F值有3項(xiàng)。計(jì)算公式如下：6.3.4雙因素方差分析的一般步驟73步驟二：構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量——2.計(jì)算均方MS均方由誤差平方和除以相應(yīng)的自由度得到。在無重復(fù)試驗(yàn)的雙因素方差分析中，總誤差平方和SST自由度為kr-1，行因素誤差平方和SSR自由度為k-1，列因素誤差平方和SSC自由度為r-1，隨機(jī)誤差平方和SSE自由度為(k-1)(r-l)，故可以得到相應(yīng)的均方MSR、MSC、MSE：有交互作用的雙因素方差分析中：兩因素交互作用自由度為(k-1)(r-l)，誤差平方和自由度為kr(m-1)，可以得到相應(yīng)的MSR、MSC、MSRC、MSE：6.3.4雙因素方差分析的一般步驟74步驟二：構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量——3.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F根據(jù)均方結(jié)果可以構(gòu)造出相應(yīng)的F統(tǒng)計(jì)量。檢驗(yàn)行因素統(tǒng)計(jì)量：檢驗(yàn)列因素統(tǒng)計(jì)量：對于有交互作用的方差分析，分別構(gòu)造檢驗(yàn)行因素、列因素和交互作用的統(tǒng)計(jì)量：6.3.4雙因素方差分析的一般步驟75步驟三：進(jìn)行F檢驗(yàn)作出決策總誤差平方和：與單因素方差分析相同，將統(tǒng)計(jì)量的值F與顯著性水平α下的臨界值Fα（可查表獲得）進(jìn)行比較，從而作出決策。例如，在對行因素進(jìn)行方差分析時，若FR>Fα則拒絕原假設(shè)H0，即表明均值間的差異是顯著的，所檢驗(yàn)的行因素對觀察值有顯著影響；若FR<Fα則不拒絕原假設(shè)H0，表明行因素對觀察值無顯著影響。在對列因素方差分析及交互作用方差分析時同理。6.3.4雙因素方差分析的一般步驟76步驟三：進(jìn)行F檢驗(yàn)作出決策為更淸晰地表示雙因素方差分析基本結(jié)構(gòu)，下面給出無重復(fù)實(shí)驗(yàn)與有重復(fù)實(shí)驗(yàn)的雙因素方差分析表，如表6-10、表6-11所示。6.3.4雙因素方差分析的一般步驟77步驟三：進(jìn)行F檢驗(yàn)作出決策為更淸晰地表示雙因素方差分析基本結(jié)構(gòu)，下面給出無重復(fù)實(shí)驗(yàn)與有重復(fù)實(shí)驗(yàn)的雙因素方差分析表，如表6-10、表6-11所示。6.3.4雙因素方差分析的一般步驟78步驟四：雙因素方差分析下的關(guān)系強(qiáng)度的測量在雙因素方差分析下，SSR與SSC分別表示兩個自變量對因變量的影響效應(yīng)，SSR與SSC之和則反應(yīng)了兩個自變量對因變量的聯(lián)合效應(yīng)，在此定義R2=(SSR+SSC)/SST，其平方根R則表示兩個自變量與因變量的關(guān)系強(qiáng)度。值得注意的是，對于方差分析的結(jié)果解讀有兩個指標(biāo)，即P值與R2，因此有4種情況：①P<α，R2很小；②P<α，R2很大；③P>α，R2很?。虎躊<α，R2很大。6.3.4雙因素方差分析的一般步驟79步驟四：雙因素方差分析下的關(guān)系強(qiáng)度的測量指標(biāo)可解讀為：P值大小表示檢驗(yàn)結(jié)果的可靠性，P值越小檢驗(yàn)結(jié)果越顯著；而R2的大小表示自變量與因變量間關(guān)系的強(qiáng)弱。例如，當(dāng)P<α且R2很小時，表明因變量的變化可能主要由誤差項(xiàng)引起。以上為無重復(fù)試驗(yàn)及有重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析的一般步驟。而對于非平衡數(shù)據(jù)的雙因素方差分析，雖然每個水平下樣本容量不全相等，但上述的方差分析方法依舊適用。下面通過例題來進(jìn)一步闡述雙因素方差分析的應(yīng)用。6.3.4雙因素方差分析的一般步驟80【例6.3】用雙因素方差分析的步驟對引入案例進(jìn)行分析。解：步驟一：提出假設(shè)。

對于行因素：H0：貧困戶類型對貧困戶收入的影響不顯著；H1：貧困戶類型對貧困戶收入的影響顯著。

對于列因素：H0：實(shí)行政策對貧困戶收入影響不顯著；H1：實(shí)行政策對貧困戶收入影響顯著。

對于行因素與列因素的交互作用：H0：行因素與列因素的交互作用的影響不顯著；H1：行因素與列因素的交互作用的影響顯著。6.3.4雙因素方差分析的一般步驟81步驟二：構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量。根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算出的方差分析表如表6-12所示。步驟三：作出決策。表6-12展示了方差分析方法中所用的指標(biāo)，包括行因素（貧困戶類型）、列因素（實(shí)行政策）以及兩者交互作用的離差平方和（SS）、自由度（df）、均方（MS）與P值。6.3.4雙因素方差分析的一般步驟82在進(jìn)行分析時我們主要根據(jù)P值來決策，當(dāng)顯著性水平α=0.05時，對于行因素（貧困戶類型），

P值小于顯著性水平，故選擇拒絕原假設(shè)即認(rèn)為貧困戶類型對貧困戶收入有顯著影響。同理，對于列因素（實(shí)行政策），由于P值也明顯小于顯著性水平，故也拒絕原假設(shè)即認(rèn)為實(shí)行政策對貧困戶收入有顯著影響。對于兩因素交互作用，同樣是由于

P>α，故不拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為兩因素交互作用對貧困戶收入沒有顯著影響。因此，最終的結(jié)論是：貧困戶類型和實(shí)行政策都是貧困戶收入的影響因素，但兩者的交互作用對貧困戶收入的影響卻不大。6.3.4雙因素方差分析的一般步驟83【例6.4】若把引入案例中的平衡數(shù)據(jù)改為非平衡數(shù)據(jù)，即調(diào)査過程中不是各組均調(diào)査3次，而是各組調(diào)査次數(shù)不同，得到的調(diào)査結(jié)果如表6-9所示，請分析此時貧困戶類型、實(shí)行政策對貧困戶收入是否仍然有顯著影響。6.3.4雙因素方差分析的一般步驟84解：步驟一：提出假設(shè)。

對于行因素：H0：貧困戶類型對貧困戶收入的影響不顯著；H1：貧困戶類型對貧困戶收入的影響顯著。

對于列因素：H0：實(shí)行政策對貧困戶收入影響不顯著；H1：實(shí)行政策對貧困戶收入影響顯著。

對于行因素與列因素的交互作用：H0：行因素與列因素的交互作用的影響不顯著；H1：行因素與列因素的交互作用的影響顯著。6.3.4雙因素方差分析的一般步驟85步驟二：構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量?？梢愿鶕?jù)數(shù)據(jù)計(jì)算出各統(tǒng)計(jì)量，其方差分析表如表6-13所示：6.3.4雙因素方差分析的一般步驟86步驟三：作出決策。與例6.3一樣，表6-13也展示了方差分析的主要指標(biāo)，可以看到取顯著性水平α=0.05時，對于行因素（貧困戶類型）、列因素（實(shí)行政策）均有P值明顯小于顯著性水平，即P<α，所以選擇拒絕原假設(shè)，認(rèn)為貧困戶類型、實(shí)行政策對貧困戶收入都有顯著影響，但二者交互作用有P>α，不拒絕原假設(shè)，認(rèn)為二者交互作用對貧困戶收入無顯著影響。第6節(jié)SPSS應(yīng)用舉例6.4.1單因素方差分析與多重比較SPSS操作6.4.2有重復(fù)試驗(yàn)的雙因素方差分析SPSS操作步驟6.4.3非平衡數(shù)據(jù)的方差分析SPSS操作6.4.4選項(xiàng)說明本節(jié)將介紹方差分析在軟件SPSS中的應(yīng)用。由于方差分析在單因素方差分析、無重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析、有重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析幾種方法下略有不同，故本節(jié)將通過3個例子展示相應(yīng)操作步驟。8788利用SPSS對例6.1即實(shí)行政策對老年貧困的貧困戶收入情況是否有顯著影響的問題進(jìn)行單因素方差分析，具體操作步驟如下：第一步：在【數(shù)據(jù)視圖】中輸入貧困戶收入與實(shí)行政策的數(shù)據(jù)，實(shí)行政策前用數(shù)字0表示，實(shí)行政策后用數(shù)字1表示，如圖6-3所示；在【變量視圖】中，對實(shí)行政策的值進(jìn)行編輯，規(guī)定數(shù)字0、1的實(shí)際意義。6.4.1單因素方差分析與多重比較SPSS操作89第二步：依次點(diǎn)擊【分析】→【比較均值】→【單因素ANOVA檢驗(yàn)】，進(jìn)入“單因素ANOVA檢驗(yàn)”對話框，并將貧困戶收入作為因變量，實(shí)行政策作為因子，如圖6-5所示。6.4.1單因素方差分析與多重比較SPSS操作90第三步：點(diǎn)擊【確定】后，得到輸出結(jié)果，如表6-14、表6-15所示。SPSS得到的結(jié)果與在例6.1求解計(jì)算的結(jié)果相同，驗(yàn)證了結(jié)果的正確性。6.4.1單因素方差分析與多重比較SPSS操作91下面通過例6.3展示有交互作用的雙因素方差分析SPSS具體操作步驟。第一步：導(dǎo)入數(shù)據(jù)，如圖6-6所示。6.4.2有重復(fù)試驗(yàn)的雙因素方差分析

SPSS操作步驟92第二步：與無重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析相似，依次點(diǎn)擊【分析】→【一般線性模型】→【單變量】進(jìn)入“單變量”對話框，將貧困戶收入放入因變量列表，在固定因子列表放入貧困戶類型與實(shí)行政策兩個變量，如圖6-7所示。6.4.2有重復(fù)試驗(yàn)的雙因素方差分析

SPSS操作步驟93第三步：點(diǎn)擊【模型】進(jìn)入“單變量：模型”對話框，選擇【構(gòu)建項(xiàng)】，首先在類型處選擇【主效應(yīng)】，將實(shí)行政策與貧困戶類型選入模型列表，再在類型處選擇【交互】，并利用“Ctrl”按鍵同時選擇【實(shí)行政策】、【貧困戶類型】，勾選【在模型中包括截距】，如圖6-8所示，點(diǎn)擊【繼續(xù)】回到主對話框，點(diǎn)擊【確定】即可得到輸出結(jié)果。6.4.2有重復(fù)試驗(yàn)的雙因素方差分析

SPSS操作步驟94輸出結(jié)果如表6-16所示，SPSS計(jì)算出相應(yīng)結(jié)果與例6.3結(jié)果一致。6.4.2有重復(fù)試驗(yàn)的雙因素方差分析

SPSS操作步驟95由表6-16可以看出，SPSS軟件能直接輸岀6.1節(jié)中述及的大部分指標(biāo)，若僅僅做的是方差分析，則離差平方和與均方使用較少，直接使用F值或P值進(jìn)行檢驗(yàn)。在進(jìn)行F檢驗(yàn)時，其中，含行因素自由度為k-1，列因素自由度為r-1，交互作用自由度為(k-l)(r-l)，自由度也可以由表6-16得出，因此直接查閱F值臨界表即可進(jìn)行檢驗(yàn)，F(xiàn)值越大表示回歸模型方差與殘差比值越小，通過檢驗(yàn)可能性越大。另外，也可以查閱對于顯著水平的P值臨界值做檢驗(yàn)，P值越小表示原假設(shè)發(fā)生的概率越小，更有理由拒絕原假設(shè)。6.4.2有重復(fù)試驗(yàn)的雙因素方差分析

SPSS操作步驟96SPSS中對于平衡數(shù)據(jù)與非平衡數(shù)據(jù)都可以進(jìn)行方差分析，因此，對例6.4（即對引例改編的非平衡數(shù)據(jù)例），我