黃金卷02（北京專用）【贏在中考·黃金預測卷】2025年中考數(shù)學模擬卷（解析版）

【贏在中考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年中考數(shù)學模擬卷（北京專用）黃金卷02（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答填空題時，請將每小題的答案直接填寫在答題卡中對應橫線上。寫在本試卷上無效。4．回答解答題時，每題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上。寫在本試卷上無效。5．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：（本大題共10題，每題4分，共40分.下列各題四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題卡的相應位置上.）1．下列標志的圖形中，是軸對稱圖形的但不是中心對稱圖形的是()A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念逐一進行判斷即可得答案．【詳解】A、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；B、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；C、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，符合題意，故選D．【點睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合．2．如圖，，，平分，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了平行線的性質、角平分線的定義等知識，由平行線的性質求出，，由角平分線定義得到，由平行線的性質即可得到答案.【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴故選：D3．實數(shù)a在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由數(shù)軸可知：，則：、錯誤，不符合題意，∵，則：正確，符合題意，錯誤，不符合題意，故選：C．4．若關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根、則實數(shù)的值為（

）A．3 B．2 C．0 D．【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程方程根的判別式，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．根據(jù)，方程有兩個不相等的實根；，方程有兩個相等的實根；，方程無實根，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，，解得，a=2，故選：B．5．一個不透明的盒子中裝有15個除顏色外無其他差別的小球，其中有2個黃球和3個綠球，其余都是紅球，從中隨機摸出一個小球，恰好是紅球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根據(jù)概率公式求解．【詳解】解：∵盒子中裝有15－2－3＝10個紅球，∴從中隨機摸出一個小球，恰好是紅球的概率是；故選：D．【點睛】本題考查了概率公式：隨機事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結果數(shù)．6．每一個外角都是的正多邊形是（

）A．正四邊形 B．正六邊形 C．正七邊形 D．正九邊形【答案】D【分析】本題主要考查了多邊形的外角和定理．根據(jù)多邊形的外角和是和這個多邊形的每一個外角都等于，即可求得多邊形的邊數(shù)．【詳解】解：∵多邊形的外角和是，這個多邊形的每一個外角都等于，∴這個多邊形的邊數(shù)是，故選：D．7．如圖是30名學生A，B兩門課程成績的統(tǒng)計圖，若記這30名學生A課程成績的方差為，B課程成績的方差為，則，的大小關系為（

）A． B． C． D．不確定【答案】A【分析】根據(jù)方差的意義求解．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越??；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．【詳解】方差體現(xiàn)了某組數(shù)據(jù)的波動情況，波動越大，方差越大，由圖可知，B課程成績的波動大，A課程成績的波動小，∴；故選：A．8．如圖，在正方形中，點是對角線上一點（點不與、重合），連接并延長交于點，過點作交于點，連接、，交于點，給出四個結論：①；②；③；④；上述結論中，所有正確結論的序號是（

）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④【答案】C【詳解】解：如圖1，取的中點，連接，∵，四邊形是正方形，，，，四點共圓，，在中，，在中，，∴；故①正確；將繞點順時針旋轉得到，如圖2，，，共線，，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，∴；故②正確；連接，過點作于，過點作于，則四邊形是矩形，如圖3，在和中，，，，，，，，，，故③正確；④當點P不與點D重合時，延長至，使，連接，取的中點，連接，，如圖4，四邊形是正方形，，，又，，，，，，是的中點，，，，，四點共圓，，由②得，，，，，，是等腰直角三角形，，，在中，，，如圖，當點P與點D重合時，此時點重合，點重合，點重合，，∴，故④錯誤；綜上分析可知：正確結論的序號是①②③．故選：C．填空題：（本大題共8題，每題4分，共32分.）9．若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是.【答案】【分析】本題主要考查了分式有意義的條件，根據(jù)分式要有意義，分母不等于零，列出式子，求解即可．【詳解】解：∵代數(shù)式有意義，∴，解得：，故答案為：．10．分解因式：=.【答案】【分析】先提取公因式后繼續(xù)應用平方差公式分解即可．【詳解】．故答案為：11．方程的解為．【答案】【分析】本題考查解分式方程，解題的關鍵是要檢驗根的情況．將分式方程轉化為整式方程，進行計算求解并檢驗即可得到答案．【詳解】解：去分母得，，解得：，∵當時，∴方程的解為，故答案為：．12．如圖，在矩形中，點O是坐標原點的圖象上，點B在反比例函數(shù)，，則．【答案】【分析】過A、B作軸于E，軸于F，利用三角函數(shù)、勾股定理解可得，結合矩形的性質可得，再證，推出，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可得，即可求解．【詳解】解：∵四邊形為矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，過A、B作軸于E，軸于F，如圖：∵，且，∴，∴，∴，∴，∵反比例函數(shù)在第二象限，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查矩形的性質，銳角三角函數(shù)，勾股定理，相似三角形的判定和性質，反比例函數(shù)k的幾何意義等，綜合性強，有一定難度，熟練掌握反比例函數(shù)k的幾何意義是解題的關鍵．13．某地區(qū)青少年、成年人和老年人的人數(shù)比約為3∶5∶2，現(xiàn)從中抽取一個樣本容量為1000的樣本，調查了解他們對新聞、體育、動畫三類節(jié)目的喜愛情況．老年人應抽取人．【答案】200【分析】老年人抽取的人數(shù)應按照該地區(qū)的青少年、成年人和老年人的人數(shù)比來分配，故可列出式子求解.【詳解】依題意應抽取老年人人數(shù)為1000=200人.【點睛】此題主要考查樣本比例的計算，正確把握計算方法是解題的關鍵.14．如圖，是的半徑，是的弦，于點，是的切線，交的延長線于點．若，則線段的長為．【答案】3【分析】本題考查切線的性質，平行四邊形的判定和性質，圓周角定理．連接，由切線的性質推出半徑，而，判定，求出，由圓周角定理得到，因此，推出，即可證明四邊形是平行四邊形，推出．【詳解】解：連接，是的切線，半徑，，∴，，，，，，，∴，四邊形是平行四邊形，．故答案為：3．15．如圖，在平行四邊形中，，，，求線段．【答案】6【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質，平行線分線段成比例定理，先推出四邊形是平行四邊形，從而得到，求出，從而求出結果．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，．即線段，故答案為：6．16．高速公路某收費站出城方向有編號為A，B，C，D，E的五個小客車收費出口，假定各收費出口每20分鐘通過小客車的數(shù)量分別都是不變的．同時開放其中的某兩個收費出口，這兩個出口20分鐘一共通過的小客車數(shù)量記錄如下：收費出口編號A，BB，CC，DD，EE，A通過小客車數(shù)量（輛）260330300360240在A，B，C，D，E五個收費出口中，每20分鐘通過小客車數(shù)量最多的收費出口的編號是．【答案】B【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)兩兩相比較即可得到結論．【詳解】解：∵，∴A收費出口通過的數(shù)量小于C收費出口通過的數(shù)量；D收費出口通過的數(shù)量小于B收費出口通過的數(shù)量；E收費出口通過的數(shù)量大于C收費出口通過的數(shù)量；D收費出口通過的數(shù)量大于A收費出口通過的數(shù)量；B收費出口通過的數(shù)量大于E收費出口通過的數(shù)量；∴，∴每20分鐘通過小客車數(shù)量最多的一個收費出口的編號是B．故答案為：B．三、解答題：（本大題共8題，第19-20每題8分，第21-26每題10分，共78分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17．計算：；【答案】【分析】本題考查實數(shù)的運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．利用特殊銳角三角函數(shù)值，絕對值，負整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的性質計算即可．【詳解】解：原式．18．解不等式組：【答案】【分析】先求出每一個不等式的解集，再根據(jù)不等式組解集的確定方法“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解”確定不等式組的解集．本題考查了一元一次不等式組的解法，熟練進行不等式求解是解題的關鍵．【詳解】解不等式①，得，解不等式②，得，∴不等式組的解集為．19．已知，求代數(shù)式的值．【答案】，【分析】本題考查分式化簡求值，利用完全平方公式分解因式，再約分化簡，最后代入求值即可．【詳解】原式∵∴∴原式20．如圖，將菱形的邊和分別延長至點E和點F，且使，，連接，，，，．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)菱形的性質得到，根據(jù)矩形的判定可證得結論；（2）過B作交延長線于G，證明和是等邊三角形得到，，分別在、、中，分別利用直角三角形得性質和勾股定理求得，，，即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴四邊形是矩形；（2）解：過B作交延長線于G，則，

∵四邊形是菱形，，∴，，∴和是等邊三角形，∴，，∵四邊形是矩形，∴，在中，，∴，在中，，∴，則，∴，在中，．【點睛】本題考查矩形的判定與性質、菱形的性質、平行四邊形的判定、等邊三角形的判定與性質、含30度角的直角三角形的性質、勾股定理等知識，熟練掌握相關知識的聯(lián)系與運用是解答的關鍵．21．我國的傳統(tǒng)佳節(jié)端午節(jié)，歷來有吃“粽子”的習俗，某食品加工廠擁有A、B兩條不同的粽子生產(chǎn)線，原計劃A生產(chǎn)線每小時加工粽子400個，B生產(chǎn)線每小時加工粽子500個．（1）若生產(chǎn)線A，B一共加工12小時，且生產(chǎn)粽子總數(shù)量不少于5500個，則B生產(chǎn)線至少加工多少小時？（2）原計劃A，B生產(chǎn)線每天均工作8小時，由于受其它原因影響，在實際生產(chǎn)過程中，A生產(chǎn)線每小時比原計劃少生產(chǎn)100a個（a>0），B生產(chǎn)線每小時比原計劃少生產(chǎn)100個，為了盡快將粽子投放到市場，A生產(chǎn)線每天比原計劃多工作2a小時，B生產(chǎn)線每天比原計劃多工作a小時，這樣一天恰好生產(chǎn)粽子6400個，求a的值．【答案】（1）B生產(chǎn)線至少加工7小時；（2）a的值為2【分析】（1）設B生產(chǎn)線加工生產(chǎn)x小時，則A生產(chǎn)線加工生產(chǎn)（12-x）小時，根據(jù)生產(chǎn)粽子總數(shù)量不少于5500個，列出不等式解決問題；（2）利用A、B生產(chǎn)線一天生產(chǎn)的總數(shù)量的和是6400個列出方程解決問題．【詳解】（1）解：設B生產(chǎn)線加工x小時，則A生產(chǎn)線加工（）小時．，

解得．

答：B生產(chǎn)線至少加工7小時．（2）

整理得，，解得（不符合題意，舍去）

∴a的值為2【點睛】此題考查一元一次不等式，一元二次方程的實際運用，找出題目蘊含的數(shù)量關系，列出方程或不等式解決問題是關鍵．22．一次函數(shù)的圖像與x軸交于點，且經(jīng)過點．(1)當時，求一次函數(shù)的解析式及點的坐標；(2)當時，對于x的每一個值，函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)y=x+，點A的坐標為(-4，0)(2)【分析】（1）當m=2時，把點C的坐標代入y=kx+4k(k≠0)，即可求得k的值，得到一次函數(shù)表達式，再求出點A的坐標即可；（2）根據(jù)圖像得到不等式，解不等式即可．【詳解】（1）解：∵m=2，∴將點C(2，2)代入y=kx+4k，解得k=；∴一次函數(shù)表達式為y=x+，當y=0時，x+=0，解得x=-4∵一次函數(shù)y=x+的圖像與x軸交于點A，∴點A的坐標為(-4，0)．（2）解：如圖，y=kx+4k(k≠0)過定點，∵當時，，對于x的每一個值，函數(shù)的值大于一次函數(shù)y=kx+4k(k≠0)的值，∴，，解得k≤?．∴k≤?．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，利用函數(shù)圖像解不等式，數(shù)形結合是解答本題的關鍵．23．年月日北京市生態(tài)環(huán)境局召開了“年北京市空氣質量”新聞發(fā)布會，通報了年北京市空氣質量狀況：北京年年均濃度為微克/立方米，最長連續(xù)優(yōu)良天數(shù)為天，“北京藍”已成為常態(tài)．下面對年北京市九個區(qū)月均濃度的數(shù)據(jù)進行整理，給出了部分信息：a．年月和月北京市九個區(qū)月均濃度的折線圖：b．年月和月北京市九個區(qū)月均濃度的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)：月均濃度平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)月月(1)寫出表中，的值；(2)年月北京市九個區(qū)月均濃度的方差為，年月北京市九個區(qū)月均濃度的方差為，則（填“”，“”或“”）；(3)年至年，北京市空氣優(yōu)良級別達標天數(shù)顯著增加，年空氣優(yōu)良達標天數(shù)為天，年比年增幅達到約，年達標天數(shù)約為天．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的概念即可解答；（2）根據(jù)方差的概念和意義即可解答；（3）根據(jù)增幅（末期量基期量）基期量和已知條件，求解即可．【詳解】（1）解：將九月份的數(shù)據(jù)從小到大排列為：26、26、26、29、30、31、31、33、34根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的概念，可以知道這組數(shù)據(jù)的第五個數(shù)為30，即中位數(shù)為，這組數(shù)據(jù)26出現(xiàn)的次數(shù)最多，即眾數(shù)為；（2）解：根據(jù)折線圖可以看出，九月份的數(shù)據(jù)大約分布于26至34，十月份的數(shù)據(jù)大約分布于32至42，可以發(fā)現(xiàn)九月份的數(shù)據(jù)比十月份的數(shù)據(jù)波動較小，更加穩(wěn)定，所以九月份數(shù)據(jù)的方差小于十月份數(shù)據(jù)的方差，故答案為：．（3）解：根據(jù)已知條件可以列式為：（天故答案為：．24．如圖，在中，，為邊上的點，以為直徑作交于點，連接并延長交于點，連接，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)證明見解析；(2)．【詳解】（1）證明：連接，則，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：∵，∴，∵，，，∴，，∴，解得，∴，∴，∴∴連接，∵是直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∴．25．“城市軌道交通是現(xiàn)代大城市交通的發(fā)展方向，發(fā)展軌道交通是解決大城市病的有效途徑．”如圖，北京地鐵（）是中華人民共和國北京市的城市軌道交通系統(tǒng)，規(guī)劃于1953年，始建于1965年，運營于1969年，是中國第一個地鐵系統(tǒng)．小華了解到列車從慈壽寺站開往花園橋站時，在距離停車線256米處開始減速．他想知道列車從減速開始，經(jīng)過多少秒停下來，以及最后一秒滑行的距離．為了解決這個問題，小華通過建立函數(shù)模型來描述列車離停車線的距離（米）與滑行時間（秒）的函數(shù)關系，再應用該函數(shù)解決相應的問題．(1)建立模型①收集數(shù)據(jù)（秒）（米）②建立平面直角坐標系為了觀察（米）與（秒）的關系，建立如圖所示的平面直角坐標系．③描點連線請在平面直角坐標系中將表中未描出的點補充完整，并用平滑的曲線依次連接．④選擇函數(shù)模型觀察這條曲線的形狀，它可能是________函數(shù)的圖象．⑤求函數(shù)解析式解：設，因為時，，所以，則．請根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，求，的值．驗證：把，的值代入中，并將其余幾對值代入求出的解析式，發(fā)現(xiàn)它們都滿足該函數(shù)解析式．(2)應用模型列車從減速開始經(jīng)過________秒，列車停止；最后一秒鐘，列車滑行的距離為________米．【答案】(1)③見解析；④二次；⑤，(2)32，【分析】（1）③根據(jù)題意連線即可求解；④根據(jù)曲線判斷函數(shù)圖象為二次函數(shù)圖象；⑤待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)二次函數(shù)的解析式，當時，解得，進而求得時的函數(shù)值，即可求解．【詳解】（1）解：③如圖．④可能是二次函數(shù)圖象，故答案為：二次；⑤設，因為時，，所以，則．把和代入可得，，解得：，，，（2）應用模型：當時，，解得，當時，；當時，，．故答案為：32，．【點睛】本題考查了列表、描點、連線，畫二次函數(shù)圖形，待定系數(shù)法求解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質求解，掌握二次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵．26．在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點，．(1)若，①求此拋物線的對稱軸；②當時，直接寫出m的取值范圍；(2)若，點在該拋物線上，且，請比較p，q的大小，并說明理由．【答案】(1)①；②或(2)，理由見解析【分析】（1）①把點A-2,0代入，求出a的值，可求出拋物線解析式，再把解析式化為頂點式，即可求解；②求出拋物線與x軸的另一個交點為1,0，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象，即可求解；（2）把點代入可得，再由，可得，，從而得到拋物線開口向下，拋物線的對稱軸為直線，然后根據(jù)，可得，再根據(jù)，可得到對稱軸的距離大于對稱軸的距離，即可求解．【詳解】（1）解：①當時，點A-2,0，把點A-2,0代入得：，解得：，∴該函數(shù)解析式為，∵，∴拋物線的對稱軸為直線；②令，則，解得：，∴拋物線與x軸的另一個交點為1,0，∵，∴拋物線開口向下，∴當時，m的取值范圍為或；（2）解：，理由如下：把點代入得：，∵，∴，∴，∴，∴拋物線開口向下，拋物線的對稱軸為直線，∴，∴，∴，∵，∴到對稱軸的距離大于對稱軸的距離，∴．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質是解題的關鍵．27．如圖，在四邊形中，，，，作，使得點和點在直線異側，連接，將射線繞點逆時針旋轉90°交射線于點．(1)①依題意，補全圖形；②證明：．(2)連接，若為線段的中點，連接，請用等式表示線段與之間的數(shù)量關系，并證明．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)，證明見解析【分析】（1）①根據(jù)題意補全圖形即可；②根據(jù)旋轉性質和全等三角形的判定證明即可證得結論；（2）延長至H，使，連接，，先證明，得到，，進而證得，再證明，得到，在中，利用勾股定理即可得出結論．【詳解】（1）解：①根據(jù)題意，補全圖形如圖所示；②證明：由旋轉性質得，，∵，∴，在和中，∴，∴；（2）解：．證明：延長至H，使，連接，，∵為線段的中點，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，在中，，，∴，∴，即．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質、旋轉的性質、勾股定理，添加適當輔助線構造全等三角形求解是解答的關鍵．28．如圖，在平面直角坐標系中，點，，將一個圖形先繞點S順時針旋轉α，再繞點T逆時針旋轉α．

(1)點R在線段ST上，則在點，，，中，有可能是由點R經(jīng)過一次“對稱旋轉”后得到的點是_________；(2)x軸上的一點P經(jīng)過一次“α對稱旋