2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 排列、組合與二項(xiàng)式定理 3.1 排列與組合 3.1.1 第2課時(shí) 基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用教學(xué)實(shí)錄 新人教B版選擇性必修第二冊(cè)

2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第3章排列、組合與二項(xiàng)式定理3.1排列與組合3.1.1第2課時(shí)基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用教學(xué)實(shí)錄新人教B版選擇性必修第二冊(cè)課題：科目：班級(jí)：課時(shí)：計(jì)劃1課時(shí)教師：?jiǎn)挝唬阂弧⒃O(shè)計(jì)意圖本節(jié)課通過基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，幫助學(xué)生掌握排列與組合的計(jì)數(shù)方法，提高學(xué)生的邏輯思維能力和解決問題的能力。通過實(shí)際問題引入，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)分析培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)。通過排列與組合的學(xué)習(xí)，提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的能力，增強(qiáng)解決實(shí)際問題的能力，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度和合作交流的團(tuán)隊(duì)精神。三、學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)：學(xué)生在進(jìn)入本節(jié)課之前，已具備一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，包括整式運(yùn)算、方程（組）的解法、不等式（組）的解法等。此外，學(xué)生對(duì)集合、函數(shù)等概念也有初步的了解。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)普遍抱有較高的興趣，尤其是對(duì)邏輯性和挑戰(zhàn)性較強(qiáng)的內(nèi)容。學(xué)生的能力水平參差不齊，部分學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力和空間想象力，而部分學(xué)生可能在抽象思維和運(yùn)算能力上存在不足。學(xué)習(xí)風(fēng)格方面，部分學(xué)生偏好通過直觀圖形理解概念，而另一部分學(xué)生則更傾向于通過公式和運(yùn)算來解決問題。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：學(xué)生在學(xué)習(xí)排列與組合時(shí)，可能面臨以下困難和挑戰(zhàn)：一是理解排列與組合的概念和區(qū)別；二是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為排列與組合問題；三是計(jì)算過程中可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤，如重復(fù)計(jì)數(shù)或遺漏情況。針對(duì)這些困難，教師需引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)例分析、小組討論等方式，逐步克服。四、教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有新教材選擇性必修第二冊(cè)高中數(shù)學(xué)，特別是第3章“排列、組合與二項(xiàng)式定理”的內(nèi)容。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與排列、組合相關(guān)的生活實(shí)例圖片、圖表，以及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用視頻，以幫助學(xué)生理解抽象概念。

3.教學(xué)工具：使用多媒體投影儀展示教學(xué)課件，方便學(xué)生跟隨講解。

4.教室布置：設(shè)置分組討論區(qū)，確保每組有足夠的空間進(jìn)行互動(dòng)和討論，同時(shí)準(zhǔn)備黑板或白板，用于展示解題步驟和關(guān)鍵公式。五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)一、導(dǎo)入環(huán)節(jié)（5分鐘）

1.創(chuàng)設(shè)情境：展示生活中常見的排列組合現(xiàn)象，如生日蛋糕上的蠟燭排列、禮花綻放的圖案等。

2.提出問題：引導(dǎo)學(xué)生思考如何計(jì)算這些現(xiàn)象的排列組合方式。

3.引導(dǎo)學(xué)生回顧已學(xué)知識(shí)：集合、函數(shù)等概念，為排列組合的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

二、講授新課（20分鐘）

1.排列的定義及計(jì)算方法：介紹排列的概念，通過實(shí)例講解排列的計(jì)算方法，如A_n^m。

2.組合的定義及計(jì)算方法：介紹組合的概念，通過實(shí)例講解組合的計(jì)算方法，如C_n^m。

3.排列與組合的區(qū)別：講解排列與組合的區(qū)別，強(qiáng)調(diào)排列考慮順序，組合不考慮順序。

4.二項(xiàng)式定理：介紹二項(xiàng)式定理的概念，通過實(shí)例講解二項(xiàng)式定理的應(yīng)用。

三、鞏固練習(xí)（15分鐘）

1.練習(xí)1：計(jì)算排列與組合的實(shí)例，如計(jì)算班級(jí)中選5名代表的不同組合方式。

2.練習(xí)2：應(yīng)用二項(xiàng)式定理解決實(shí)際問題，如計(jì)算拋硬幣的概率問題。

3.小組討論：分組討論排列與組合在實(shí)際生活中的應(yīng)用，如設(shè)計(jì)密碼、抽獎(jiǎng)等。

四、課堂提問（5分鐘）

1.提問1：排列與組合在生活中的應(yīng)用有哪些？

2.提問2：如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為排列與組合問題？

3.提問3：如何運(yùn)用二項(xiàng)式定理解決實(shí)際問題？

五、師生互動(dòng)環(huán)節(jié)（10分鐘）

1.教師提問：引導(dǎo)學(xué)生思考排列與組合的規(guī)律，如排列與組合的公式推導(dǎo)過程。

2.學(xué)生回答：鼓勵(lì)學(xué)生積極參與課堂討論，分享自己的解題思路。

3.教師點(diǎn)評(píng)：針對(duì)學(xué)生的回答，給予肯定和指導(dǎo)，幫助學(xué)生糾正錯(cuò)誤。

六、核心素養(yǎng)能力的拓展要求（5分鐘）

1.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力：引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題中抽象出排列與組合的概念。

2.培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力：通過排列與組合的計(jì)算方法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

3.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力：引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用排列與組合解決問題。

七、總結(jié)與作業(yè)布置（5分鐘）

1.總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)排列與組合的概念、計(jì)算方法及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用。

2.布置作業(yè)：完成教材中的相關(guān)練習(xí)題，鞏固所學(xué)知識(shí)。

教學(xué)過程流程環(huán)節(jié)如下：

1.導(dǎo)入環(huán)節(jié)（5分鐘）

2.講授新課（20分鐘）

3.鞏固練習(xí)（15分鐘）

4.課堂提問（5分鐘）

5.師生互動(dòng)環(huán)節(jié)（10分鐘）

6.核心素養(yǎng)能力的拓展要求（5分鐘）

7.總結(jié)與作業(yè)布置（5分鐘）

總用時(shí)：45分鐘六、學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生學(xué)習(xí)效果主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1.知識(shí)掌握：

-學(xué)生能夠熟練掌握排列、組合的基本概念，理解排列與組合的區(qū)別和聯(lián)系。

-學(xué)生能夠運(yùn)用排列與組合的公式進(jìn)行計(jì)算，解決實(shí)際問題。

-學(xué)生能夠運(yùn)用二項(xiàng)式定理解決生活中的概率問題。

2.能力提升：

-學(xué)生的邏輯思維能力得到鍛煉，能夠從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型。

-學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力得到提高，能夠熟練進(jìn)行排列與組合的計(jì)算。

-學(xué)生的空間想象力得到培養(yǎng)，能夠理解排列與組合在空間問題中的應(yīng)用。

3.應(yīng)用能力：

-學(xué)生能夠?qū)⑴帕信c組合的知識(shí)應(yīng)用于日常生活，如設(shè)計(jì)密碼、抽獎(jiǎng)等。

-學(xué)生能夠?qū)⑴帕信c組合的知識(shí)應(yīng)用于科學(xué)研究中，如遺傳學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等。

-學(xué)生能夠?qū)⑴帕信c組合的知識(shí)應(yīng)用于工程技術(shù)領(lǐng)域，如電路設(shè)計(jì)、網(wǎng)絡(luò)布局等。

4.思維品質(zhì)：

-學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)、勇于探索的科學(xué)態(tài)度得到培養(yǎng)。

-學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神得到提升。

-學(xué)生的批判性思維和問題解決能力得到鍛煉。

5.學(xué)習(xí)興趣：

-學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚興趣，愿意主動(dòng)探索數(shù)學(xué)知識(shí)。

-學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的趣味性和實(shí)用性，增強(qiáng)學(xué)習(xí)動(dòng)力。

-學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中，體會(huì)到數(shù)學(xué)的價(jià)值，提高學(xué)習(xí)信心。

6.評(píng)價(jià)與反思：

-學(xué)生能夠?qū)ψ约旱膶W(xué)習(xí)過程進(jìn)行評(píng)價(jià)，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，不斷改進(jìn)學(xué)習(xí)方法。

-學(xué)生能夠反思自己的學(xué)習(xí)成果，明確自己的不足，制定改進(jìn)計(jì)劃。

-學(xué)生能夠與他人交流學(xué)習(xí)心得，分享學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，共同提高。七、典型例題講解例題1：從5名男生和4名女生中選出3人參加比賽，要求至少有1名女生，求不同的選法共有多少種？

解答：首先，從4名女生中選出1名，有C(4,1)種選法。然后，從剩下的5名男生中選出2名，有C(5,2)種選法。根據(jù)乘法原理，總共有C(4,1)*C(5,2)=4*10=40種選法。

例題2：有5個(gè)不同的球放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放1個(gè)球，求不同的放法共有多少種？

解答：首先，將5個(gè)球分成3組，有C(5,3)種分組方法。然后，將分好的3組球放入3個(gè)盒子中，有A(3,3)種放法。根據(jù)乘法原理，總共有C(5,3)*A(3,3)=10*6=60種放法。

例題3：從0、1、2、3、4、5這六個(gè)數(shù)字中，任取三個(gè)不同的數(shù)字，組成一個(gè)三位數(shù)，求這個(gè)三位數(shù)的個(gè)數(shù)。

解答：首先，百位上不能是0，所以有5種選擇（1、2、3、4、5）。然后，十位和個(gè)位可以是任意一個(gè)剩余的數(shù)字，所以各有5種選擇。根據(jù)乘法原理，總共有5*5*5=125個(gè)三位數(shù)。

例題4：一個(gè)密碼鎖由4位數(shù)字組成，每位數(shù)字可以是0到9中的任意一個(gè)，求這個(gè)密碼鎖的總數(shù)。

解答：每位數(shù)字有10種可能（0到9），因此密碼鎖的總數(shù)為10*10*10*10=10,000種。

例題5：在班級(jí)中，有6名男生和4名女生，要從中選出2名男生和3名女生參加比賽，求不同的選法共有多少種？

解答：首先，從6名男生中選出2名，有C(6,2)種選法。然后，從4名女生中選出3名，有C(4,3)種選法。根據(jù)乘法原理，總共有C(6,2)*C(4,3)=15*4=60種選法。八、教學(xué)反思與總結(jié)今天這節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了排列、組合與二項(xiàng)式定理的相關(guān)內(nèi)容，我覺得整體來說，教學(xué)效果還是不錯(cuò)的。下面，我就從教學(xué)反思和教學(xué)總結(jié)兩個(gè)方面來談?wù)勎业捏w會(huì)。

首先，在教學(xué)方法上，我嘗試了多種方式來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。比如，通過生活中的實(shí)例引入排列組合的概念，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。我發(fā)現(xiàn)，這樣的方式能夠有效提高學(xué)生的參與度，讓他們更加主動(dòng)地參與到課堂中來。

在教學(xué)過程中，我注重了師生互動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生提問和發(fā)表自己的觀點(diǎn)。比如，在講解排列組合的公式時(shí)，我讓學(xué)生自己推導(dǎo)出公式，而不是直接給出。這樣的做法不僅讓學(xué)生更好地理解了公式的來源，也提高了他們的邏輯思維能力。

然而，在教學(xué)管理上，我也發(fā)現(xiàn)了一些問題。比如，部分學(xué)生在課堂上注意力不夠集中，容易分心。針對(duì)這個(gè)問題，我將在今后的教學(xué)中更加注重課堂紀(jì)律的管理，通過設(shè)置一些有趣的互動(dòng)環(huán)節(jié)，吸引學(xué)生的注意力。

在教學(xué)總結(jié)方面，我認(rèn)為學(xué)生在知識(shí)、技能、情感態(tài)度等方面都有所收獲和進(jìn)步。首先，在知識(shí)方面，學(xué)生對(duì)排列、組合與二項(xiàng)式定理的概念有了更深入的理解，能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。其次，在技能方面，學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力得到了提升。最后，在情感態(tài)度方面，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣更加濃厚，自信心也有所增強(qiáng)。

當(dāng)然，在教學(xué)過程中，我也發(fā)現(xiàn)了一些不足之處。比如，對(duì)于一些較難的問題，部分學(xué)生可能還是難以理解。為了解決這個(gè)問題，我計(jì)劃在今后的教學(xué)中，更多地采用小組討論、合作學(xué)習(xí)等方式，讓學(xué)生在互動(dòng)中共同解決問題。

此外，我還發(fā)現(xiàn)，在講解二項(xiàng)式定理的應(yīng)用時(shí)，部分學(xué)生可能對(duì)公式的推導(dǎo)過程不太熟悉。因此，我打算在下一節(jié)課中，專門安排時(shí)間來講解二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)過程，幫助學(xué)生更好地理解這個(gè)定理。板書設(shè)計(jì)①排列與組合的基本概念

-排列：從n個(gè)不同元素中，任取m（m≤n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列的方法數(shù)。

-組合：從n個(gè)不同元素中，任取m（m≤n）個(gè)元素，不考慮順序的方法數(shù)。

②排列與組合的計(jì)算公式

-排列數(shù)公式：A_n^m=n!/(n-m)!

-組合數(shù)公式：C_n^m=n!/[m!(n-m)!]

③二項(xiàng)式定理

-二項(xiàng)式定理公式：(a+b)^n=C_n^0*a^n*b^0+C_n^1*a^(n-1)*b^1+...+C_n^m*a^(n-m)*b^m+...+C_n^n*a^0*b^n

-其中，C_n^k=n!/[k!(n-k)!]

④排列與組合的實(shí)際應(yīng)用

-生活中的排列組合實(shí)例：生日蛋糕蠟燭的排列、禮花綻放的圖案等。

-科學(xué)研究中的應(yīng)用：遺傳學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、工程技術(shù)等領(lǐng)域的排列組合問題。課堂課堂評(píng)價(jià)是教學(xué)過程中不可或缺的一環(huán)，它有助于我們了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題并進(jìn)行解決。以下是我對(duì)課堂評(píng)價(jià)的幾點(diǎn)思考和實(shí)踐：

1.提問策略：在課堂上，我會(huì)通過提問來檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度。我會(huì)設(shè)計(jì)不同難度的問題，從基礎(chǔ)到深入，以考察學(xué)生對(duì)概念的理解和應(yīng)用能力。例如，在講解排列組合時(shí)，我會(huì)先問學(xué)生如何計(jì)算從5個(gè)不同的元素中選取3個(gè)元素的排列數(shù)，然后逐步深入到如何處理實(shí)際問題。

2.觀察學(xué)生反應(yīng)：通過觀察學(xué)生的表情、肢體語言和參與度，我可以判斷他們對(duì)知識(shí)的接受程度。如果學(xué)生在課堂上表現(xiàn)出困惑或迷茫，我會(huì)及時(shí)調(diào)整教學(xué)節(jié)奏，或者通過小組討論來幫助學(xué)生理解。

3.小組合作評(píng)價(jià)：在小組討論環(huán)節(jié)，我會(huì)觀察學(xué)生之間的互動(dòng)和合作情況。這不僅考察了學(xué)生的溝通能力，也反映了他們對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用能力。我會(huì)鼓勵(lì)學(xué)生提出問題、分享觀點(diǎn)，并從中發(fā)現(xiàn)他們的思考過程。

4.課堂測(cè)試：為了更直觀地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，我會(huì)定期進(jìn)行課堂測(cè)試。這些測(cè)試可以是選擇題、填空題或者簡(jiǎn)答題，旨在考察學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度。測(cè)試后，我會(huì)及時(shí)批改并反饋結(jié)果，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺。

5.學(xué)生自評(píng)與互評(píng)：在課堂上，我會(huì)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自評(píng)和互評(píng)。學(xué)生可以反思自己在學(xué)習(xí)過程中的表現(xiàn)，而互評(píng)則可以讓他們從他人的解題思路中學(xué)習(xí)到不同的方法。這種評(píng)價(jià)方式有助于提高學(xué)生的自我認(rèn)知