人教A版2019高一數(shù)學(xué)必修二第二學(xué)期624向量的數(shù)量積

人教A版高一數(shù)學(xué)必修二第二學(xué)期6.2.4向量的數(shù)量積第六章平面向量及其應(yīng)用6.2.4向量的數(shù)量積核心素養(yǎng)目標(biāo)1.數(shù)學(xué)抽象：引導(dǎo)學(xué)生從物理、幾何等實(shí)際背景中，抽象出平面向量的概念，以及向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算的定義，理解向量運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算的區(qū)別與聯(lián)系，形成用向量語(yǔ)言和方法表述和解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力。2.直觀想象：借助圖形直觀，幫助學(xué)生理解平面向量運(yùn)算的幾何意義，通過(guò)向量的幾何表示和運(yùn)算的可視化，使學(xué)生能夠直觀地感知向量運(yùn)算的過(guò)程和結(jié)果，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和幾何直觀能力，進(jìn)而利用向量運(yùn)算解決幾何問(wèn)題。3.邏輯推理：

通過(guò)對(duì)平面向量運(yùn)算規(guī)則和性質(zhì)的探究與推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，使學(xué)生能夠依據(jù)已有的定義、定理和運(yùn)算法則，進(jìn)行合理的推理和論證，得出新的結(jié)論，并能有條理地表達(dá)自己的推理過(guò)程。4.數(shù)學(xué)運(yùn)算：讓學(xué)生熟練掌握平面向量的各種運(yùn)算方法和技巧，能夠準(zhǔn)確、快速地進(jìn)行向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積等運(yùn)算，并能運(yùn)用向量運(yùn)算解決與向量模長(zhǎng)、夾角、垂直、平行等相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn)：：1.掌握向量加、減、數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算的概念、法則及

運(yùn)算律。

2.熟練進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算。

3.運(yùn)用向量運(yùn)算解決幾何、物理等實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)難點(diǎn)：1.理解并應(yīng)用向量運(yùn)算的幾何意義。

2.掌握向量數(shù)量積的概念與運(yùn)算性質(zhì)。

3.實(shí)現(xiàn)向量運(yùn)算與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用。情境導(dǎo)入平面向量數(shù)量積的物理背景

在物理課中，我們學(xué)過(guò)功的概念，即如果一個(gè)物體在力

的作用下產(chǎn)生位移

，那么力

所做的功其中

是物體在位移方向上分量的數(shù)量，也就是力F在物體位移方向上正投影的數(shù)量.【1】功W是一個(gè)數(shù)量，既涉及長(zhǎng)度又涉及角度，且只與這兩個(gè)量有關(guān)；【2】當(dāng)0≤θ＜90°時(shí)，W＞0，力F做負(fù)功；當(dāng)θ=90°時(shí)，力的方向和位移的方向互相垂直，W=0，力F不做功；當(dāng)90°＜θ≤180°時(shí)，W＜0，力F做負(fù)功.知識(shí)講解平面向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量

和

，在平面上取一點(diǎn)O，作

,則叫做向量

與

的夾角。知識(shí)講解平面向量數(shù)量積的定義:已知兩個(gè)非零向量

和

，它們的夾角為

,我們把數(shù)量叫做

與

的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作.規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0．知識(shí)講解平面向量數(shù)量積的定義【規(guī)定】零向量與任一向量的數(shù)量積為0（1）在書寫數(shù)量積時(shí)，

之間用實(shí)心圓點(diǎn)“·”連接，不能寫成“×”,更不能不寫.（2）向量的線性運(yùn)算的結(jié)果是向量，但兩個(gè)向量的數(shù)量積卻是一個(gè)數(shù)量，而不是向量，其大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度以及夾角都有關(guān)，符號(hào)由夾角的余弦值決定.（3）設(shè)兩個(gè)非零向量之間的夾角為θ，則當(dāng)θ=0°時(shí)，；當(dāng)θ為銳角時(shí)，；當(dāng)θ為直角時(shí)，；當(dāng)θ為鈍角時(shí)，;當(dāng)θ=180°時(shí)，知識(shí)講解①兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的一種乘法運(yùn)算，它是向量與向量的運(yùn)算，其結(jié)果是數(shù)量(而不是向量)，可以為正，可以為負(fù)，也可以為零.②前面學(xué)習(xí)的向量的加法、減法和數(shù)乘，其結(jié)果全都是向量，要注意這兩種不同運(yùn)算的區(qū)別.③我們規(guī)定了

與任意向量的數(shù)量積為0，但由

，不能推出一定是零向量，這是因?yàn)閮蓚€(gè)向量垂直時(shí)，其夾角為90°,此時(shí)，故也有

④要注意=0，但

.注意：知識(shí)講解(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成..√注意：知識(shí)講解

如圖①，設(shè)

和是兩個(gè)非零向量

我們考慮如下的變換：過(guò)AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作

所在直線的垂線，垂足分別為A1、B1，得到

，我們稱上述變換為向量

向向量

投影，

叫做向量在向量

上的投影向量.圖①如圖②，我們可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作

.過(guò)點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為M1，則OM1就是向量

在向量

上的投影向量.圖②設(shè)與

同方向的單位向量為

與

的夾角為θ，則OM1=11知識(shí)講解★當(dāng)θ為銳角時(shí)，投影的數(shù)量為正值；★當(dāng)θ為鈍角時(shí)，投影的數(shù)量為負(fù)值；★當(dāng)θ為直角時(shí)，投影的數(shù)量為0；知識(shí)講解直觀理解正正0負(fù)負(fù)知識(shí)講解平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)與都是非零向量，θ為向量與的夾角，是與方向相同的單位向量，則有如下性質(zhì)：既可以證明向量垂直，也可以由垂直進(jìn)行相關(guān)計(jì)算可以用來(lái)求向量的模，實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算往向量運(yùn)算的轉(zhuǎn)化可以通過(guò)向量來(lái)證明不等式問(wèn)題或者求最值問(wèn)題14知識(shí)講解向量數(shù)量積的運(yùn)算律向量數(shù)量積的三大運(yùn)算律和實(shí)數(shù)的交換律相同和實(shí)數(shù)的結(jié)合律相同和實(shí)數(shù)的分配律相同15知識(shí)講解已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角為120°，試求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(a－b)；(3)(2a－b)·(a＋3b)．總結(jié)：求向量的數(shù)量積時(shí)，需明確兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：模和夾角．若相關(guān)向量是兩個(gè)或兩個(gè)以上向量的線性運(yùn)算，則需先利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及多項(xiàng)式乘法的相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)．知識(shí)講解知識(shí)講解求向量的模已知平面向量a與b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝。知識(shí)講解已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝_____.知識(shí)講解求兩向量的夾角(1)已知|a|＝6，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，則a與b的夾角為_(kāi)____;(2)已知非零向量a，b滿足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為_(kāi)_____．20知識(shí)講解利用向量垂直求參數(shù)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，則當(dāng)k為何值時(shí)，向量3a＋2b與ka－b互相垂直？總結(jié)：常用向量數(shù)量積的性質(zhì)a⊥b

a.b=0解決向量垂直問(wèn)題，應(yīng)熟練掌握．知識(shí)講解

知識(shí)講解向量的數(shù)量積知識(shí)講解對(duì)任意

，恒有，對(duì)任意向量

，是否也有下面類似的結(jié)論？

知識(shí)講解知識(shí)講解知識(shí)講解1．給出下列判斷：①若

，則a=b=0;②已知a,b,c是三個(gè)非零向量，若a+