揚州卷-2025年中考第一次模擬考試數學試卷（含答案解析）

2025年中考第一次模擬考試數學試卷揚州卷注意事項：1．考試時間：120分鐘，試卷滿分：150分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1．-2025的相反數是（

）A．-2025 B．-2024 C．2024 D．20252．下列事件屬于不可能事件的是（

）A．明天買彩票中獎B．從只有紅球和白球的袋子中摸球，摸出黑球C．射擊運動員射擊一次，命中10環(huán)D．在地面上向空中拋擲一枚硬幣，硬幣終將落下3．下列運算正確的是（

）A．B．C．D．4．已知一組數據，，，，的平均數是，那么這組數據的中位數是（

）A． B． C． D．5．在平面直角坐標系中，點一定在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．由五個大小相同的小立方塊搭成的幾何體如圖所示，從上面看到的該幾何體的形狀圖是（

）A． B． C． D．7．根據物理學知識，作用于物體上的壓力F（N）所產生的壓強p（）與物體受力面積S（）三者之間滿足．若壓力為時，壓強要大于，則此時關于S的說法正確的是（

）A．S小于 B．S大于 C．S小于 D．S大于8．如圖，已知在中，，，．將繞點逆時針旋轉，得到．點是邊的中點，點是邊上的動點，在繞點逆時針旋轉的過程中，點F的對應點是點，則線段的取值范圍是（

）A． B．C． D．第Ⅱ卷二、填空題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）9．“九章”是中國科學技術大學潘建偉院士領銜的陸朝陽教授課題組與中科院上海微系統(tǒng)所、國家并行計算機工程技術研究中心合作自主研發(fā)的光量子計算原型機．根據官方數據，“九章三號”在過二十億年才能完成，其中0.000001用科學記數法表示為．10．分解因式：．11．數學興趣小組做拋擲一枚瓶蓋的實驗后，整理的實驗數據如下表：累計拋擲次數501002003005001000200030005000蓋面朝下次數22469414323647394414132350蓋面朝下頻率0.4400.4600.4700.4770.4720.4730.4720.4710.470根據以上實驗數據可以估計出“蓋面朝下”的概率約為．（精確到0.01）12．函數中，自變量的取值范圍是．13．如圖，一小孩在蕩秋千，秋千的纖繩長為2米，當小孩在最低位置時，秋千底部距離地面0.4米，當小孩達到最大高度時，秋千底部距離地面1.4米，那么小孩從最低位置達到最大高度位置秋千底部所經過的路徑長為米．（結果保留）14．如圖，在中，，根據尺規(guī)作圖的痕跡作射線交邊于點G．若，，則的面積為．15．如圖所示，直線與直線交點的橫坐標是4，則不等式的解集是．16．我國清初數學家梅文鼎所著的《勾股舉隅》一書中，勾股定理的證明是將個邊長分別為，，的全等直角三角形拼成如圖所示的五邊形．若，，則空白部分的面積是．17．如圖，已知直線與坐標軸交于A，B兩點，以為邊作菱形．與交于點M．若雙曲線恰好經過C，M兩點．則k的值為．18．如圖，在中，，，，是邊上的一點，作點關于的對稱點，連接，分別交于點，，若，則的值為．三、解答題（本大題共10個小題，共96分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）19．（8分）（1）計算：；（2）化簡：．20．（8分）求滿足不等式組的負整數解．21．（8分）3月27日，是“全國中小學生安全教育日”．學生安全，關系到千千萬萬家庭的幸福與社會的穩(wěn)定．某校為調查本校學生對安全知識的了解情況，從全校學生中隨機抽取了150名學生進行測試，測試后發(fā)現所有測試的學生成績均不低于50分．將全部測試成績x（單位：分）進行整理后分為五組（，，，，），并繪制了如下的頻數分布表和頻數分布直方圖．組別分數段（成績?yōu)閤分）頻數組內學生成績總分（分）A3165B12780C453420Dm5100E302850請根據所給信息，解答下列問題：（1）頻數分布表中，這150名學生的測試成績的中位數落在組；（2）求這150名學生的平均測試成績；（3）若該校有3000名學生，規(guī)定成績80分以上（含80分）的學生成為“安全明星”，估計該校學生能成為“安全明星”的共有多少人？22．（8分）一個不透明的口袋里裝有分別標著漢字“魅”“力”“平”“涼”的四個小球，除漢字不同之外，小球沒有任何區(qū)別，每次摸前先攪拌均勻．（1）若從中任取一個球，球上的漢字剛好是“魅”的概率為______；（2）先從中任取一個球，不放回，再從中任取一個球，請用畫樹狀圖或列表的方法，求取出的兩個球上的漢字能組成“平涼”的概率．23．（10分）七年級某班開展勞動教育實踐活動，植樹節(jié)當日第一小組分配到的是植樹任務，以下是該小組兩位同學的對話，請根據對話內容就第一小組有多少人或第一小組準備種多少棵樹，選擇一個問題用一元一次方程進行解答．24．（10分）如圖，點A在的邊上，于于于C．（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，求的長．25．（10分）如圖，在中，，以為直徑的分別與交于點，過點D作，垂足為點F．（1）求證：直線是的切線；（2）若的半徑為2，，求圖中陰影部分的面積．26．（10分）如圖，已知，．（1）請在圖中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖；①在上求作點O，使以O為圓心的圓經過A，C兩點（保留作圖痕跡，標注相應的字母）；②若交于D，求作上一點E，使E為劣弧的中點．（寫作法，保留作圖痕跡，標注相應的字母）（2）在（1）的條件下，連接交于點F，若，，則__________．27．（12分）（1）觀察猜想：如圖1，已知、、三點在一條直線上（），正方形和正方形在線段同側，是中點，線段與的數量關系是______，位置關系是______；（2）猜想證明：在（1）的基礎上，將正方形繞點旋轉度（），試判斷（1）中結論是否仍成立？若成立，僅用圖2進行證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展延伸：如圖3，矩形和矩形中，，，將矩形繞點旋轉任意角度，連接、，是中點，若，求點運動的路徑長．28．（12分）在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為點D．（1）當時，直接寫出點A、B、C、D的坐標：A，B，C，D；（2）如圖1，直線交x軸于點E，若，求拋物線的表達式；（3）如圖2，在（2）的條件下，若點N為的中點，動點P在第三象限的拋物線上，過點P作x軸的垂線，垂足為Q，交于點F；過點F作，垂足為H．設點P的橫坐標為t，記．①用含t的代數式表示f；②請直接寫出f的最大值為：．參考答案一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1．-2025的相反數是（

）A．-2025 B． C．2024 D．2025【答案】D【分析】本題考查了相反數，熟練掌握相反數定義是解題關鍵．首先根據相反數的定義，只有符號不同的兩個數互為相反數進行求解即可．【詳解】解：-2025的相反數是2025．故選：D．2．下列事件屬于不可能事件的是（

）A．明天買彩票中獎B．從只有紅球和白球的袋子中摸球，摸出黑球C．射擊運動員射擊一次，命中10環(huán)D．在地面上向空中拋擲一枚硬幣，硬幣終將落下【答案】B【分析】本題主要考查了必然事件，不可能事件和隨機事件的定義．在數學中，我們把在一定條件下一定會發(fā)生的事件叫做必然事件；在一定條件下一定不會發(fā)生的事件叫做不可能事件；在一定條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件叫做不確定事件或隨機事件，由此逐項判斷即可，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．【詳解】解：A．明天買彩票中獎，是隨機事件，故A不符合題意；B．從只有紅球和白球的袋子中摸球，摸出黑球，是不可能事件，故B符合題意；C．射擊運動員射擊一次，命中10環(huán)，是隨機事件，故C不符合題意；D．在地面上向空中拋擲一枚硬幣，硬幣終將落下，是必然事件，故D不符合題意．故選：B．3．下列運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】此題考查了同底數冪的除法、積的乘方、合并同類項等知識．根據運算法則計算后即得到答案．【詳解】A.，故選項錯誤，不符合題意；

B.與不是同類項，不能合并，故選項錯誤，不符合題意；C.，故選項錯誤，不符合題意；

D.，故選項正確，符合題意；故選：D4．已知一組數據，，，，的平均數是，那么這組數據的中位數是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了中位數和平均數，根據平均數先求出的值，再由中位數的概念求解即可，解題的關鍵是正確理解將一組數據按照從小到大或從大到小的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數；如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數．【詳解】解：∵，∴，則這組數據由小到大排列為，，，，，∴中位數為，故選：．5．在平面直角坐標系中，點一定在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】本題主要考查了平面直角坐標系點所在象限，判斷出點的橫，縱坐標的符號，再根據各象限的符號特征即可求解．【詳解】解：∵，∴點在第二象限.故選：．6．由五個大小相同的小立方塊搭成的幾何體如圖所示，從上面看到的該幾何體的形狀圖是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了從不同方向看幾何體，從上面看該圖形有3列，每列小正方形的個數從左往右為2，1，1，由此即可得出答案，考查了空間想象能力．【詳解】解：由題意，從上面看該幾何體的形狀圖是：，故選：D．7．根據物理學知識，作用于物體上的壓力F（N）所產生的壓強p（）與物體受力面積S（）三者之間滿足．若壓力為時，壓強要大于，則此時關于S的說法正確的是（

）A．S小于 B．S大于 C．S小于 D．S大于【答案】A【分析】本題考查反比例函數的實際應用，熟練掌握反比例函數的圖象與性質是解題的關鍵．由題意得，，令，可得，由反比例的性質可知函數在第一象限內隨的增大而減小，故當時，則有，即可得出結論．【詳解】解：當時，壓強p與物體受力面積S的關系為，令，則，解得：，，函數在第一象限內隨的增大而減小，當時，則有．若壓力為時，壓強要大于，此時S小于．故選：A．8．如圖，已知在中，，，．將繞點逆時針旋轉，得到．點是邊的中點，點是邊上的動點，在繞點逆時針旋轉的過程中，點F的對應點是點，則線段的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關鍵；根據題意作出圖形，連接，，過點作于，根據等腰直角三角形的性質求出，根據，直角三角形的性質求出，進而求出的取值范圍；【詳解】解：連接，，過點作于，在中，，，在中，，，；點是邊的中點，，點是邊上的動點，當點與點重合時，有最大值，，當點與點重合時，有最小值，；故選：A第Ⅱ卷二、填空題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）9．“九章”是中國科學技術大學潘建偉院士領銜的陸朝陽教授課題組與中科院上海微系統(tǒng)所、國家并行計算機工程技術研究中心合作自主研發(fā)的光量子計算原型機．根據官方數據，“九章三號”在過二十億年才能完成，其中0.000001用科學記數法表示為．【答案】【分析】本題主要考查科學記數法，熟練掌握科學記數法是解題的關鍵；科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值大于或等于10時，n是正整數；當原數的絕對值小于1時，n是負整數．【詳解】解：將數據0.000001用科學記數法表示為；故答案為：．10．分解因式：．【答案】【分析】本題考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解題的關鍵．【詳解】首先，觀察式子可以發(fā)現，每一項都有公因式3，先提取公因式3，得到：．然后，括號內的式子可以利用平方差公式，，原式分解因式的結果為．故答案為：．11．數學興趣小組做拋擲一枚瓶蓋的實驗后，整理的實驗數據如下表：累計拋擲次數501002003005001000200030005000蓋面朝下次數22469414323647394414132350蓋面朝下頻率0.4400.4600.4700.4770.4720.4730.4720.4710.470根據以上實驗數據可以估計出“蓋面朝下”的概率約為．（精確到0.01）【答案】【分析】本題考查了利用頻率估計概率的知識，熟練掌握頻率估計概率的知識是解答本題的關鍵，隨著實驗次數的增多，頻率逐漸穩(wěn)定到某個常數附近，可用這個常數表示概率．根據圖表中數據解答本題即可．【詳解】解：由表中數據可得：隨著實驗次數的增大，“蓋面朝下”的概率接近，故答案為：．12．函數中，自變量的取值范圍是．【答案】【分析】本題主要考查分式有意義的條件的二次根式有意義的條件，根據被開方數大于等于0，分母不等于0列式求解即可．．【詳解】解：根據題意得：，解得．故答案為：．13．如圖，一小孩在蕩秋千，秋千的纖繩長為2米，當小孩在最低位置時，秋千底部距離地面0.4米，當小孩達到最大高度時，秋千底部距離地面1.4米，那么小孩從最低位置達到最大高度位置秋千底部所經過的路徑長為米．（結果保留）【答案】【分析】本題考查了求弧長，銳角三角函數值的求法，旋轉的性質，求出圓心角的度數是解答關鍵．過點作于點，得出的長度，根據得到，最后根據弧長公式即可解答．【詳解】解：過點作于點，∵當小孩在最低位置時，秋千底部距離地面0.4米，當小孩達到最大高度時，秋千底部距離地面1.4米，∴．∵，∴，∴，∴秋千底部所經過的路徑長．故答案為：．14．如圖，在中，，根據尺規(guī)作圖的痕跡作射線交邊于點G．若，，則的面積為．【答案】【分析】本題考查了角平分線的尺規(guī)作圖，角平分線的性質定理；過作交于，由作圖痕跡得平分，角平分線的性質定理得，即可求解；理解角平分線的尺規(guī)作圖作法，掌握角平分線的性質定理是解題的關鍵．【詳解】解：過作交于，由作圖痕跡得：平分，，，．故答案為：．15．如圖所示，直線與直線交點的橫坐標是4，則不等式的解集是．【答案】【分析】本題主要考查一次函數與不等式的關系，解題的關鍵是利用函數圖象求不等式的解集．從圖象上找到在上方的部分對應的自變量的取值范圍即可．【詳解】解：∵直線與直線交點的橫坐標是4，∴不等式的解集是．故答案為：．16．我國清初數學家梅文鼎所著的《勾股舉隅》一書中，勾股定理的證明是將個邊長分別為，，的全等直角三角形拼成如圖所示的五邊形．若，，則空白部分的面積是．【答案】【分析】本題考查了勾股定理的應用，由空白部分的面積等于正方形的面積減去個直角三角形面積即可求解，掌握勾股定理的應用是解題的關鍵．【詳解】解：∵四個直角三角形全等，∴，，∵，∴為正方形，∴空白部分的面積為：，故答案為：．17．如圖，已知直線與坐標軸交于A，B兩點，以為邊作菱形．與交于點M．若雙曲線恰好經過C，M兩點．則k的值為．【答案】/【分析】先求出，，然后根據菱形的性質得出，，設點，則，根據點M在雙曲線上，得出，求出，得出，根據，得出，求出k的值即可．【詳解】解：把代入得：，把代入得：，解得：，∴，，∵四邊形為菱形，∴，，∴M為的中點，設點，則，∵點M在雙曲線上，∴，解得：，經檢驗是原方程的解，∴，∵，∴，∴，解得：或（不符合題意舍去），故答案為：．【點睛】本題主要考查了反比例函數與幾何綜合，菱形的性質，中點坐標公式，兩點間距離公式，熟練掌握中點坐標公式和兩點間距離公式，是解題的關鍵．18．如圖，在中，，，，是邊上的一點，作點關于的對稱點，連接，分別交于點，，若，則的值為【答案】3【分析】由軸對稱的性質可得，進而得到，即；再根據勾股定理以及正切的定義可得，，進而得到；再結合已知條件可得，設，則，先證明，根據相似三角形的性質列比例式可求得，進而求得；如圖：過作于，則四邊形是矩形，可得，最后根據正切的定義即可解答．【詳解】解：∵點關于的對稱點，，，，，，，，∴，∴，，，，設，則，∵，∴，∴，即，解得：，∵，∴，解得：，如圖：過作于，則四邊形是矩形，，，故答案為：3．【點睛】本題主要考查了正切的定義，矩形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，軸對稱的性質等知識點，掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．三、解答題（本大題共10個小題，共96分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）19．（8分）（1）計算：；（2）化簡：．【答案】（1）；（2）【分析】本題考查了實數的混合運算及分式的混合運算，（1）先計算負整數指數冪、化簡二次根式及特殊角的三角函數，然后計算加減即可；（2）先計算分式的除法，然后計算加減法即可．【詳解】解：（1）；（2）．20．（8分）求滿足不等式組的負整數解．【答案】【分析】本題考查解一元一次不等式組、一元一次不等式組的整數解，解答本題的關鍵是明確解一元一次不等式的方法．先解出每個不等式，即可得到不等式組的解集，然后寫出該不等式組的負整數解即可．【詳解】解：，解不等式，得：解不等式，得：，∴該不等式組的解集為，∴該不等式組的負整數解是．21．（8分）3月27日，是“全國中小學生安全教育日”．學生安全，關系到千千萬萬家庭的幸福與社會的穩(wěn)定．某校為調查本校學生對安全知識的了解情況，從全校學生中隨機抽取了150名學生進行測試，測試后發(fā)現所有測試的學生成績均不低于50分．將全部測試成績x（單位：分）進行整理后分為五組（，，，，），并繪制了如下的頻數分布表和頻數分布直方圖．組別分數段（成績?yōu)閤分）頻數組內學生成績總分（分）A3165B12780C453420Dm5100E302850請根據所給信息，解答下列問題：（1）頻數分布表中，這150名學生的測試成績的中位數落在組；（2）求這150名學生的平均測試成績；（3）若該校有3000名學生，規(guī)定成績80分以上（含80分）的學生成為“安全明星”，估計該校學生能成為“安全明星”的共有多少人？【答案】（1）60；D（2）82.1分（3）1800人【分析】本題考查數據統(tǒng)計和分析，解題關鍵是求出未知頻數，熟練掌握中位數、平均數的計算方法，用樣本頻率估計總體數量．（1）用總數減去組別中已知的頻數求出的值，即可補全直方圖，確定中位數所在位置；（2）求和各組總成績再除以學生數即可；（3）用樣本數頻率估計總體數量．【詳解】（1）解：由題意得：，補全頻數分布圖如圖所示：學生測試成績的中位數落在D組（或）．故答案為：60，D；（2）（分）．答：這150名學生的平均測試成績?yōu)?2.1分．（3）（人）．答：估計該校學生能成為“安全明星”的共有1800人．22．（8分）一個不透明的口袋里裝有分別標著漢字“魅”“力”“平”“涼”的四個小球，除漢字不同之外，小球沒有任何區(qū)別，每次摸前先攪拌均勻．（1）若從中任取一個球，球上的漢字剛好是“魅”的概率為______；（2）先從中任取一個球，不放回，再從中任取一個球，請用畫樹狀圖或列表的方法，求取出的兩個球上的漢字能組成“平涼”的概率．【答案】（1）（2）摸出的兩個球上的漢字能組成“平涼”的概率為．【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果，再從中選出符合事件或的結果數目，然后利用概率公式計算事件或事件的概率．（1）直接利用概率公式求解；（2）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果數，再找出取出的兩個球上的漢字能組成“平涼”的結果數，然后根據概率公式求解．【詳解】（1）解：從中任取一個球，球上的漢字剛好是“魅”的概率為；（2）解：列表如下：魅力平涼魅（力，魅）（平，魅）（涼，魅）力（魅，力）（平，力）（涼，力）平（魅，平）（力，平）（涼，平）涼（魅，涼）（力，涼）（平，涼）由列表可以看出所有可能出現的結果共有12種其中取出的兩個球上的漢字能組成“平涼”的結果有2種，即（涼，平）；（平，涼），摸出的兩個球上的漢字能組成“平涼”的概率為．23．（10分）七年級某班開展勞動教育實踐活動，植樹節(jié)當日第一小組分配到的是植樹任務，以下是該小組兩位同學的對話，請根據對話內容就第一小組有多少人或第一小組準備種多少棵樹，選擇一個問題用一元一次方程進行解答．【答案】問題1：第一小組有8人；問題2：第一小組準備種104棵樹【分析】本題考查了一元一次方程的應用，理解題意，找出數量關系是解題關鍵．根據題意和問題，正確設未知數并列式求解即可．【詳解】解：問題1：第一小組有多少人？設：第一小組有人，由題意得：，解得：，答：第一小組有8人；問題2：第一小組準備種多少棵樹？設：第一小組準備種棵樹，由題意得：，解得：，答：第一小組準備種104棵樹．24．（10分）如圖，點A在的邊上，于于于C．（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，求的長．【答案】（1）見詳解（2）5【分析】此題考查了矩形的判定與性質以及勾股定理．注意利用勾股定理求線段的長是關鍵．（1）根據全等三角形的判定和性質以及矩形的判定解答即可；（2）根據全等三角形的性質和勾股定理解答即可．【詳解】（1）證明：于，于，．在與中，∴，．．又，，．四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形；（2）解：由（1）知，，設，則，．在中，由得：，解得．．25．（10分）如圖，在中，，以為直徑的分別與交于點，過點D作，垂足為點F．（1）求證：直線是的切線；（2）若的半徑為2，，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）詳見解析（2）【分析】（1）連接，由，證明即可；（2）連接，根據已知求出，從而可得和，即可得到答案．【詳解】（1）解：連接，如圖：，，，，，，，，∴直線是的切線；（2）連接，如圖：，，，，，∵的半徑為2，，【點睛】本題考查圓的綜合題，考查切線判定和性質，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，扇形面積等知識，解題的關鍵是熟練掌握圓的相關性質．26．（10分）如圖，已知，．（1）請在圖中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖；①在上求作點O，使以O為圓心的圓經過A，C兩點（保留作圖痕跡，標注相應的字母）；②若交于D，求作上一點E，使E為劣弧的中點．（寫作法，保留作圖痕跡，標注相應的字母）（2）在（1）的條件下，連接交于點F，若，，則__________．【答案】（1）①見解析②圖見解析（2）【分析】本題考查作圖-復雜作圖，解題的關鍵是掌握線段的垂直平分線的尺規(guī)作圖方法．（1）①作的垂直平分線交于O，以O為圓心，為半徑作，點O，即為所求；②過O作的垂線交劣弧于E，點E即為所求；（2）連接，證明，可得，，由勾股定理可得答案．【詳解】（1）解：①作的垂直平分線交于O，以O為圓心，為半徑作，如圖：點即為所求；②過O作的垂線交劣弧于E，如圖，則點E即為所求；（2）（2）連接，如圖，∵為直徑，∴，∴，∵，∴，由作圖可知，E為的中點，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．27．（12分）（1）觀察猜想：如圖1，已知、、三點在一條直線上（），正方形和正方形在線段同側，是中點，線段與的數量關系是______，位置關系是______；（2）猜想證明：在（1）的基礎上，將正方形繞點旋轉度（），試判斷（1）中結論是否仍成立？若成立，僅用圖2進行證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展延伸：如圖3，矩形和矩形中，，，將矩形繞點旋轉任意角度，連接、，是中點，若，求點運動的路徑長．【答案】（1），；（2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）根據正