2024-2025學年黑龍江省綏化市哈爾濱師大青岡實驗中學高二（上）期末數學試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年黑龍江省哈爾濱師大青岡實驗中學高二（上）期末數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.如果直線l的一個方向向量是(33,A.30° B.60° C.120° D.150°2.在等差數列{an}中，a4+A.5 B.10 C.12 D.153.數列{an}滿足a1=2,A.?3 B.13 C.?124.已知雙曲線x2a2?y2b2=1的左、右焦點分別為F1、F2，過點A.y=±3x B.y=±335.為評估某種治療肺炎藥物的療效，有關部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進行測量.設該藥物在人體血管中藥物濃度c與時間t的關系為c=f(t).甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時間t變化的關系如圖所示.給出下列四個結論：

①在t1時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同；

②在t2時刻，甲、乙血管中藥物濃度的瞬時變化率相同；

③在[t2,t3]這個時間段內，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同；

④在[A.①② B.①③④ C.②③ D.①③6.若圓O：x2+y2=1上存在點P，直線l：y=k(x+2)上存在點Q，使得OP=A.[?3,3] B.[?7.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=π2，AB=AC=AA1=1，已知G與E分別為A1B1和CC1的中點，D與F分別為線段A.[2,3] B.[8.設F1、F2是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點，O為坐標原點，點P在橢圓C上，延長PF2交橢圓CA.32 B.233 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知直線l：kx?y+k=0，圓C：x2+y2?6x+5=0，P(xA.x02+y02的最大值為5 B.y0x0的最大值為255

C.直線l10.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P，E，F分別為棱AA1，CA.直線AB//平面PEF B.直線A1C//平面O1EF

C.三棱錐O1?PEF的體積為111.已知等比數列{an}的前n項和為Sn，且S2=4a1，a2是a1+1與12a3A.數列{an}的通項公式an=2×3n?1

B.Sn=3n三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知頂點在原點的拋物線C的焦點與橢圓x216+y213.已知圓C1：x2+y2=1與圓14.意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現有這樣一列數：1，1，2，3，5，8，13，21，….該數列的特點如下：前兩個數都是1，從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和.人們把由這樣一列數組成的數列{an}稱為“斐波那契數列”，記Sn是數列{an}的前四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知函數f(x)=x3?ax2+b(a,b∈R)的圖象過點(2,4)，且f′(1)=1．

(1)求a，b的值；

(2)求曲線16.(本小題12分)

等差數列{an}的前n項和為Sn，a2+a15=17，S10=55.數列{bn}滿足an=log2bn17.(本小題12分)

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，給定兩點A(1,0)，B(0,?2)，點C滿足OC=(mOA+nOB)，其中m，n∈R且m?2n=1．

(1)求點C的軌跡方程；

(2)設點C的軌跡與雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0且a≠b)交于M、18.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，AB=12CD=AD=1，M為棱PC的中點．

(1)證明：BM//平面PAD；

(2)若PC=5，PD=1，

(i)求二面角P?DM?B的余弦值；

(ii)在線段PA上是否存在點Q，使得點Q到平面BDM的距離是19.(本小題12分)

設{an}是首項為1的等比數列，且滿足a1，3a2，9a3成等差數列：數列{bn}各項均為正數，Sn為其前n項和，且滿足2Sn=bn(bn+1)，則：

(1)求數列{an}和{答案解析1.A

【解析】解：直線l的一個方向向量是(33,?13)，

則直線l的斜率為1333=33，

直線傾斜角α的范圍為0°≤α<180°2.B

【解析】解：由等差數列的性質可得：a4+a6=a2+a8=2a5

所以a3.C

【解析】解：數列{an}滿足a1=2,an+1=1+an1?an，所以a2=1+a11?a1=1+21?2=?3，a3=1+a4.C

【解析】解：把x=c代入雙曲線x2a2?y2b2=1，可得|y|=|PF1|=b2a，

Rt△PF2F1中，tan∠PF2F1=|PF5.D

【解析】解：①在t1時刻，為兩圖象的交點，即此時甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，故①正確；

②甲、乙兩人在t2時刻的切線的斜率不相等，即兩人的f′(t2)不相同，所以甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率不相同，故②不正確；

③根據平均變換率公式可知，甲、乙兩人的平均變化率都是f(t3)?f(t2)t3?t2，故③正確；

④在[t6.B

【解析】解：圓O：x2+y2=1上存在點P，直線l：y=k(x+2)上存在點Q，使得OP=QO，

可得：|2k|7.C

【解析】解：在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，

以點A為坐標原點，AB，AC、AA1所在直線分別為x、y，z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則A(0,0,0)、E(0,1,12)、G(12,0,1)，設點F(x,0,0)、D(0,y,0)，

GD=(?12,y,?1),EF=(x,?1,?12)，

由于GD⊥EF，則GD?EF8.B

【解析】解：在△PF1F2中，設∠F1PF2=θ，

由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2?2|PF1||PF2|cosθ，

即4c2=(|PF1|+|PF2|)2?2|PF1||PF2|?2|PF1||PF2|cosθ

=4a2+(?2?2cosθ)|PF19.BCD

【解析】解：直線l：kx?y+k=0恒過(?1,0)，圓C：x2+y2?6x+5=0的圓心(3,0)，半徑為2；

所以P(x0,y0)為圓C上任意一點，x02+y02的最大值為25；所以A不正確．

y0x0的最大值為232?22=255，所以B正確；

直線l10.BCD

【解析】解：由題意，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，棱長為2，P，E，F分別為棱AA1，CC1，BC的中點，

O1為側面AA1B1B的中心，建立空間直角坐標系如下圖所示，

則A(2,0,2)，B(2,2,2)，C(0,2,2)，D(0,0,2).A1(2,0,0)，

B1(2,2,0)，C1(0,2,0)，D1(0,0,0)，O(2,1,1)，P(2,0,1)，

E(0,2,1)，F(1,2,2)，

A項，

AB=(0,2,0)，EP=(2,?2,0)，EF=(1,0,1)，

設平面PEF的一個法向量為n=(x,y,z)，

則n?EP=2x?2y=0n?EF=x+z=0，令x=1，則y=1，z=?1，

∴平面PEF的一個法向量為n=(1,1,?1)，

AB?n=0+2+0=2≠0，∴直線AB與面PEF不平行，A錯誤；

B項，

A1C=(?2,2,2)，EO1=(2,?1,0)，EF=(1,0,1)，

設平面PEF的一個法向量為m=(a,b,c)，

則m?EO1=2a?b=0m?EF=a+c=0，令a=1，則b=2，c=?1，

∴平面PEF的一個法向量為m=(1,2,?1)，11.ABD

【解析】解：設等比數列{an}的公比為q，∵S2=4a1，a2是a1+1與12a3的等差中項，

∴a1+a1q=4a1，2a2=a1+1+12a3，即2a1q=a1+1+12a1q2，

解得q=3，a1=2，

∴an=2×3n?1，Sn=2(3n?1)3?1=3n?1．

∴bn=anSn12.y2【解析】解：橢圓x216+y27=1的右焦點(3,0)，所以頂點在原點的拋物線C的焦點(3,0)，

所以拋物線方程為：y2=12x13.2【解析】解：根據題意，圓C1：x2+y2=1，其圓心為C1(0,0)，半徑為r1=1，

圓C2：(x?a)2+(y?1)2=16，其圓心為C2(a,1)，半徑為r2=4，

若兩個圓有3條公切線，所以圓C1與圓C2外切，

所以a14.198

【解析】解：由題意可知，當n≥2時，an?1+an=an+1，即an=an+1?an?1，

則當n≥2時，Sn=a1+a2+a315.解：(1)由f(x)=x3?ax2+b，得f′(x)=3x2?2ax，

則8?4a+b=43?2a=1，解得a=1，b=0；

(2)由(1)得，f(x)=x3?x2，則f′(x)=3x2?2x，

設切點坐標為(x0,x03?x0【解析】(1)求出原函數的導函數，由題意列關于a，b的方程組，求解得答案；

(2)把(1)中求得a，b的值代入，設切點坐標，利用導數求出在切點處的切線方程，代入已知點的坐標，求得切點橫坐標，進一步得答案．

本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查運算求解能力，設切點是關鍵，是中檔題．16.解：(1)設等差數列{an}的公差為d，

則有2a1+15d=17,10a1+45d=55,(2分)

解得a1=1,d=1,則an=n.(3分)

又an=log2bn，即bn=2an，(4分)

所以bn=2n.(5分)

(2)依題意得：Tn=(a1【解析】(1)利用等差數列通項公式以及對數運算性質轉化求解求數列{bn}的通項公式；

(2)求解數列的和，通過數列{an+bn}的前n項和T17.解：(1)設C(x,y)，∵OC=(mOA+nOB)

∴(x,y)=m(1,0)+n(0,?2)．

∴x=my=?2n∵m?2n=1，

∴x+y=1

即點C的軌跡方程為x+y=1(15分)

(2)由x+y=1x2a2?y2b2=1得(b2?a2)x2+2a2x2?a2?a2b2=0

由題意得b2?a2≠0(2a2)2+4(b2?a2)(a2+【解析】(1)由向量等式，得點C的坐標，消去參數即得點C的軌跡方程；

(2)將直線與雙曲線方程組成方程組，利用方程思想，求出x1x2+y1y2，再結合向量的垂直關系得到關于a，b的關系，化簡即得結論．

(3)由(2)得1a2?18.(1)證明：取PD的中點N，連接AN，MN，如圖所示：

∵M為棱PC的中點，

∴MN//CD，MN=12CD，

∵AB//CD，AB=12CD，

∴AB//MN，AB=MN，

∴四邊形ABMN是平行四邊形，∴BM//AN，

又BM?平面PAD，AN?平面PAD，

∴BM//平面PAD；

(2)解：∵PC=5，PD=1，CD=2，

∴PC2=PD2+CD2，∴PD⊥DC，

∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=DC，

PD?平面PDC，

∴PD⊥平面ABCD，

又AD?平面ABCD，∴PD⊥AD，又AD⊥DC，

∴以點D為坐標原點，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖：

則P(0,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，

∵M為棱PC的中點，

∴M(0,1,12)，B(1,1,0)，

(i)DM=(0,1,12)，DB=(1,1,0)

設平面BDM的一個法向量為n=(x,y,z)，

則n?DM=y+12z=0n?DB=x+y=0，令z=2，則y=?1，x=1，

∴n=(1,?1,2)，

平面PDM的一個法向量為DA=(1,0,0)，

∴cos<n，DA>=n?DA|n||DA|=11×6=6【解析】本題考查點面距離的向量求法，平面與平面所成角的向量求法，線面平行的判定，面面垂直的性質，屬較難題．

(1)根據線面平行的判定定理，取PD的中點N，連接AN，MN，證明四邊形ABMN是平行四邊形，可得BM//AN，即可證明結論；

(2)根據PC=5，PD=1，CD=2，證明PD⊥AD，PD⊥DC，由AD⊥DC，建立空間直角坐標系．

(i)寫出點的坐標及向量的坐標，求出平面的法向量，即可求出結果；

(ii)設PQ=λPA，0<λ<1，點Q到平面BDM的距離是BQ在平面BDM19.解：(1)因為{an}是首項為1的等比數列，且滿足a1，3a2，9a3成等差數列，

設公比為q，a1=1，則6a2=a1+9a3，即6q=1+9q2，

故q=13，所以an=(13)n?1；

數列{bn}各項均為正數，Sn為其前n項和，且滿足2Sn=bn(bn+1)，

當n=1時，2S1=2b1=b1(b1+1)，則b1=1，

當n≥2時，2Sn