數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的引入教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的引入教學(xué)設(shè)計(jì)?一、教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能目標(biāo)了解數(shù)系的擴(kuò)充過程，理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件。掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)表示形式及其幾何意義，能進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算。2.過程與方法目標(biāo)通過回顧數(shù)系擴(kuò)充的歷史，體會(huì)數(shù)學(xué)文化的魅力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和探究精神。在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)概念和運(yùn)算的過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù)的推廣過程，感受類比、歸納等數(shù)學(xué)思想方法。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神。體會(huì)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，認(rèn)識到數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)相等的充要條件以及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算。復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)及向量的對應(yīng)關(guān)系。2.教學(xué)難點(diǎn)對虛數(shù)單位\(i\)的理解，以及復(fù)數(shù)概念的形成過程。復(fù)數(shù)運(yùn)算的算理及復(fù)數(shù)加減法的幾何意義。

三、教學(xué)方法1.講授法：通過簡潔明了的語言講解數(shù)系擴(kuò)充的歷史、復(fù)數(shù)的基本概念和運(yùn)算規(guī)則，讓學(xué)生系統(tǒng)地獲取知識。2.討論法：組織學(xué)生對數(shù)系擴(kuò)充的必要性、復(fù)數(shù)相等的條件等問題進(jìn)行討論，激發(fā)學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流能力。3.類比法：引導(dǎo)學(xué)生類比實(shí)數(shù)的相關(guān)知識來學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)，如類比實(shí)數(shù)的表示形式學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的運(yùn)算等，降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，加深對知識的理解。4.多媒體輔助教學(xué)法：利用多媒體展示數(shù)系擴(kuò)充的歷程、復(fù)數(shù)的幾何意義等內(nèi)容，直觀形象地幫助學(xué)生理解抽象的概念，提高教學(xué)效率。

四、教學(xué)過程

（一）導(dǎo)入新課（5分鐘）1.展示問題：方程\(x+1=0\)在自然數(shù)集中有解嗎？方程\(2x1=0\)在整數(shù)集中有解嗎？方程\(x^22=0\)在有理數(shù)集中有解嗎？2.引導(dǎo)學(xué)生回顧數(shù)系的擴(kuò)充歷程：從自然數(shù)集到整數(shù)集，增加了負(fù)整數(shù)，解決了減法運(yùn)算在自然數(shù)集中不封閉的問題。從整數(shù)集到有理數(shù)集，增加了分?jǐn)?shù)，解決了除法運(yùn)算在整數(shù)集中不封閉的問題。從有理數(shù)集到實(shí)數(shù)集，增加了無理數(shù)，解決了開方運(yùn)算在有理數(shù)集中不封閉的問題。3.提出問題：實(shí)數(shù)集能否繼續(xù)擴(kuò)充？擴(kuò)充的方向是什么？從而引出本節(jié)課的課題數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的引入。

（二）講解新課（30分鐘）1.數(shù)系擴(kuò)充的必要性引導(dǎo)學(xué)生思考方程\(x^2+1=0\)在實(shí)數(shù)集中是否有解。通過計(jì)算可知，對于任意實(shí)數(shù)\(x\)，\(x^2\geq0\)，所以\(x^2+1\geq1\)，即方程\(x^2+1=0\)在實(shí)數(shù)集中無解。為了解決類似方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解的問題，我們需要對數(shù)系進(jìn)行擴(kuò)充。2.復(fù)數(shù)的概念虛數(shù)單位\(i\)規(guī)定\(i^2=1\)，即\(i\)是方程\(x^2=1\)的一個(gè)解。強(qiáng)調(diào)\(i\)的性質(zhì)：\(i^1=i\)，\(i^2=1\)，\(i^3=i^2\cdoti=i\)，\(i^4=(i^2)^2=1\)，\(i^5=i^4\cdoti=i\)，\(\cdots\)，\(i\)的冪具有周期性，周期為\(4\)。復(fù)數(shù)的定義形如\(a+bi\)（\(a,b\inR\)）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中\(zhòng)(a\)叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，\(b\)叫做復(fù)數(shù)的虛部。全體復(fù)數(shù)所組成的集合叫做復(fù)數(shù)集，記作\(C\)。復(fù)數(shù)的分類當(dāng)\(b=0\)時(shí)，\(a+bi=a\)，此時(shí)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)。當(dāng)\(b\neq0\)時(shí)，\(a+bi\)叫做虛數(shù)。當(dāng)\(a=0\)且\(b\neq0\)時(shí)，\(a+bi=bi\)，此時(shí)復(fù)數(shù)叫做純虛數(shù)。舉例說明：給出一些復(fù)數(shù)，如\(3+2i\)，\(14i\)，\(5\)（可寫成\(5+0i\)），\(0\)（可寫成\(0+0i\)），\(2i\)（可寫成\(0+2i\)）等，讓學(xué)生指出它們的實(shí)部和虛部，并判斷它們屬于哪一類復(fù)數(shù)。3.復(fù)數(shù)相等的充要條件設(shè)\(a,b,c,d\inR\)，那么\(a+bi=c+di\Leftrightarrowa=c\)且\(b=d\)。強(qiáng)調(diào)：兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等。舉例：已知\((2x1)+i=y(3y)i\)，求\(x,y\)的值。解：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件可得\(\begin{cases}2x1=y\\1=(3y)\end{cases}\)解方程組得\(\begin{cases}x=\frac{5}{2}\\y=4\end{cases}\)4.復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)平面建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，\(x\)軸叫做實(shí)軸，\(y\)軸叫做虛軸。實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)。復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)）與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)\(Z(a,b)\)一一對應(yīng)。例如，復(fù)數(shù)\(3+2i\)對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)\((3,2)\)。復(fù)數(shù)與向量的對應(yīng)關(guān)系復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)）可以用復(fù)平面內(nèi)的向量\(\overrightarrow{OZ}\)來表示，其中\(zhòng)(O\)為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量\(\overrightarrow{OZ}\)的坐標(biāo)為\((a,b)\)。例如，復(fù)數(shù)\(3+2i\)對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的向量\(\overrightarrow{OZ}=(3,2)\)。向量的模與復(fù)數(shù)的模向量\(\overrightarrow{OZ}\)的模\(\vert\overrightarrow{OZ}\vert\)叫做復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)的模，記作\(\vertz\vert\)，且\(\vertz\vert=\sqrt{a^2+b^2}\)。例如，對于復(fù)數(shù)\(z=3+2i\)，\(\vertz\vert=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\)。

（三）課堂練習(xí)（10分鐘）1.若復(fù)數(shù)\(z=(m+1)+(m^29)i<0\)，則實(shí)數(shù)\(m\)的值為（）A.\(1\)B.\(3\)C.\(3\)D.\(\pm3\)【答案】C【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)不能直接比較大小，只有當(dāng)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)時(shí)才能比較大小，所以\(m^29=0\)且\(m+1<0\)，解得\(m=3\)。2.已知復(fù)數(shù)\(z=34i\)，則復(fù)數(shù)\(z\)的實(shí)部和虛部分別為（）A.\(3\)，\(4\)B.\(3\)，\(4\)C.\(3\)，\(4\)D.\(3\)，\(4\)【答案】A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義，\(z=34i\)的實(shí)部為\(3\)，虛部為\(4\)。3.若復(fù)數(shù)\(z=a^21+(a+1)i\)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)\(a\)的值為（）A.\(1\)B.\(1\)C.\(\pm1\)D.\(0\)【答案】A【解析】因?yàn)閈(z\)是純虛數(shù)，所以\(\begin{cases}a^21=0\\a+1\neq0\end{cases}\)，解得\(a=1\)。4.復(fù)數(shù)\(z=23i\)對應(yīng)的點(diǎn)在第____象限?！敬鸢浮克摹窘馕觥繌?fù)數(shù)\(z=23i\)對應(yīng)的點(diǎn)為\((2,3)\)，在第四象限。5.已知復(fù)數(shù)\(z_1=3+2i\)，\(z_2=14i\)，則\(z_1+z_2=\)____?！敬鸢浮縗(42i\)【解析】\(z_1+z_2=(3+2i)+(14i)=42i\)。

（四）課堂小結(jié)（5分鐘）1.引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容：數(shù)系擴(kuò)充的必要性。復(fù)數(shù)的概念，包括虛數(shù)單位\(i\)、復(fù)數(shù)的定義、分類等。復(fù)數(shù)相等的充要條件。復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)平面、復(fù)數(shù)與點(diǎn)及向量的對應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)的模。2.強(qiáng)調(diào)本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)：重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算及幾何意義。難點(diǎn)：對虛數(shù)單位\(i\)的理解和復(fù)數(shù)運(yùn)算的算理。3.鼓勵(lì)學(xué)生提出疑問，解答學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中遇到的問題。

（五）布置作業(yè)（5分鐘）1.書面作業(yè)：教材第106頁練習(xí)第1、2、3、4題。已知復(fù)數(shù)\(z=\frac{(1+i)^2+3(1i)}{2+i}\)，若\(z^2+az+b=1+i\)，求實(shí)數(shù)\(a,b\)的值。2.拓展作業(yè)：查閱資料，了解復(fù)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，并撰寫一篇短文。思考：復(fù)數(shù)的運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算有哪些聯(lián)系和區(qū)別？

五、教學(xué)反思通過本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生對數(shù)系的擴(kuò)充有了更深入的理解，掌握了復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)相等的充要條件以及復(fù)數(shù)的幾何意義等知識。