整式方程,二項方程教案

整式方程,二項方程教案?一、教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能目標(biāo)學(xué)生能理解整式方程的概念，準(zhǔn)確識別整式方程。掌握二項方程的一般形式，能熟練將給定方程化為二項方程形式。學(xué)會運(yùn)用開平方法解二項方程，并能正確理解和處理方程的根的情況。2.過程與方法目標(biāo)通過對整式方程概念的探究，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納的能力，體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。在探索二項方程解法的過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷自主探究、合作交流，提高學(xué)生的運(yùn)算能力和邏輯思維能力，感受化歸的數(shù)學(xué)思想。3.情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)通過積極參與數(shù)學(xué)活動，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在解決問題的過程中，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)與實際生活的緊密聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。

二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)整式方程和二項方程的概念。用開平方法解二項方程。2.教學(xué)難點(diǎn)對整式方程概念中"整式"的理解，尤其是分母中不含未知數(shù)但分子中含有根式的情況。理解二項方程根的情況，特別是當(dāng)\(n\)為偶數(shù)時，方程根的個數(shù)及取值范圍。

三、教學(xué)方法講授法、討論法、練習(xí)法相結(jié)合

四、教學(xué)過程

（一）導(dǎo)入新課（5分鐘）1.展示一些實際問題：問題1：學(xué)校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預(yù)計到明年年底增加到7.2萬冊，求這兩年的年平均增長率。設(shè)年平均增長率為\(x\)，根據(jù)題意可得方程\(5(1+x)^2=7.2\)。問題2：一個正方形的面積是\(25\)，求它的邊長。設(shè)正方形邊長為\(x\)，則方程為\(x^2=25\)。2.引導(dǎo)學(xué)生觀察這些方程，思考它們的共同特點(diǎn)，從而引出本節(jié)課的主題整式方程。

（二）整式方程的概念（10分鐘）1.讓學(xué)生回顧整式的概念，提問："什么是整式？"學(xué)生回答后，教師總結(jié)：整式是單項式和多項式的統(tǒng)稱，單項式是數(shù)或字母的乘積，單獨(dú)的一個數(shù)或一個字母也叫做單項式；多項式是幾個單項式的和。2.觀察導(dǎo)入新課中的方程：方程\(5(1+x)^2=7.2\)，展開后為\(5(1+2x+x^2)=7.2\)，即\(5+10x+5x^2=7.2\)，進(jìn)一步整理為\(5x^2+10x2.2=0\)，方程兩邊都是整式。方程\(x^2=25\)，方程兩邊也都是整式。3.總結(jié)整式方程的概念：方程的兩邊都是整式，這樣的方程叫做整式方程。4.做一做：判斷下列方程哪些是整式方程？\(x+2y=5\)\(\frac{1}{x}1=2x\)\(x^22x+1=0\)\(\sqrt{x}+x=3\)\(x^3+2x^23x=0\)\(2x\sqrt{x+1}=5\)\(x^22\sqrt{x}+1=0\)\(3x^2+2xy+y^2=0\)學(xué)生思考后回答，教師引導(dǎo)學(xué)生分析每個方程，強(qiáng)調(diào)判斷整式方程的關(guān)鍵是看方程兩邊是否都是整式，分母中不含未知數(shù)。對于\(\frac{1}{x}1=2x\)，分母中有未知數(shù)\(x\)，不是整式方程；對于\(\sqrt{x}+x=3\)，\(x^22\sqrt{x}+1=0\)，\(2x\sqrt{x+1}=5\)，因為含有根式，不是整式方程；而\(x+2y=5\)，\(x^22x+1=0\)，\(x^3+2x^23x=0\)，\(3x^2+2xy+y^2=0\)都是整式方程。

（三）二項方程的概念（10分鐘）1.觀察方程\(x^2=25\)，它只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是\(2\)，方程的一邊是含未知數(shù)的項，另一邊是常數(shù)項。2.再看方程\(5(1+x)^2=7.2\)，經(jīng)過整理后也是只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是\(2\)，一邊是含未知數(shù)的項，另一邊是常數(shù)項。3.總結(jié)二項方程的概念：如果一元\(n\)次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項和非零的常數(shù)項，另一邊是零，那么這樣的方程就叫做二項方程，其一般形式為\(ax^n+b=0\)（\(a\neq0\)，\(b\neq0\)，\(n\)是正整數(shù)）。4.練一練：判斷下列方程是否為二項方程？\(2x^35=0\)\(3x^2+2x=0\)\(x^41=0\)\(2x+3=5x1\)\(x^5=32\)\(x^3+2x^23x=0\)\(x^22\sqrt{x}+1=0\)\(3x^2+2xy+y^2=0\)學(xué)生判斷后，教師講解：\(2x^35=0\)，\(x^41=0\)，\(x^5=32\)是二項方程；\(3x^2+2x=0\)含有兩項含未知數(shù)的項，不是二項方程；\(2x+3=5x1\)經(jīng)過整理后不含\(x\)的最高次項，不是二項方程；\(x^3+2x^23x=0\)含有三項含未知數(shù)的項，不是二項方程；\(x^22\sqrt{x}+1=0\)含有根式，不是整式方程，更不是二項方程；\(3x^2+2xy+y^2=0\)含有兩個未知數(shù)，不是二項方程。

（四）二項方程的解法開平方法（20分鐘）1.以方程\(x^2=25\)為例，引導(dǎo)學(xué)生求解：提問："什么數(shù)的平方等于\(25\)？"學(xué)生回答：\(5\)和\(5\)。教師總結(jié)：對于方程\(x^2=25\)，根據(jù)平方根的定義，\(x=\pm\sqrt{25}=\pm5\)，所以方程\(x^2=25\)的解為\(x_1=5\)，\(x_2=5\)。2.講解開平方法：對于二項方程\(ax^n+b=0\)（\(a\neq0\)，\(b\neq0\)，\(n\)是正整數(shù)），當(dāng)\(n\)為奇數(shù)時，方程可化為\(x^n=\frac{a}\)，則\(x=\sqrt[n]{\frac{a}}\)，方程有且只有一個實數(shù)根。當(dāng)\(n\)為偶數(shù)時，方程可化為\(x^n=\frac{a}\)，因為\(x^n\geq0\)，所以當(dāng)\(\frac{a}\geq0\)時，方程有兩個實數(shù)根\(x=\pm\sqrt[n]{\frac{a}}\)；當(dāng)\(\frac{a}<0\)時，方程沒有實數(shù)根。3.例題講解：例1：解方程\(2x^354=0\)解：移項可得\(2x^3=54\)，兩邊同時除以\(2\)得\(x^3=27\)，因為\(3\)是奇數(shù)，所以\(x=\sqrt[3]{27}=3\)。例2：解方程\(x^416=0\)解：移項得\(x^4=16\)，因為\(4\)是偶數(shù)，且\(16>0\)，所以\(x=\pm\sqrt[4]{16}=\pm2\)。例3：解方程\(3x^2+12=0\)解：移項得\(3x^2=12\)，兩邊同時除以\(3\)得\(x^2=4\)，因為\(2\)是偶數(shù)，且\(4<0\)，所以此方程沒有實數(shù)根。4.課堂練習(xí)：解方程\(x^38=0\)解方程\(x^481=0\)解方程\(2x^2+5=0\)學(xué)生練習(xí)，教師巡視指導(dǎo)，及時糾正學(xué)生的錯誤。然后請幾位學(xué)生上臺展示解題過程，教師進(jìn)行點(diǎn)評。

（五）課堂小結(jié)（5分鐘）1.引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容：什么是整式方程？什么是二項方程？二項方程的一般形式是什么？如何用開平方法解二項方程？在解二項方程時需要注意什么？2.請學(xué)生分享本節(jié)課的收獲和體會，教師進(jìn)行補(bǔ)充和完善。

（六）布置作業(yè)（5分鐘）1.教材課后習(xí)題：必做題：第[X]頁練習(xí)第[X]題，習(xí)題第[X]題。選做題：第[X]頁習(xí)題第[X]題。2.思考：若方程\((xa)^n=b\)（\(n\)為正整數(shù)）是二項方程，\(a\)、\(b\)應(yīng)滿足什么條件？

五、教學(xué)反思通過本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生對整式方程和二項方程的概念有了較清晰的理解，掌握了用開平方法解二項方程的方法。在教學(xué)過程中，通過實際問題導(dǎo)入新課，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。在講解整式方程概念