2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓與四邊形綜合》專項檢測卷附答案

第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓與四邊形綜合》專項檢測卷附答案學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖，在矩形中，，直線交直線于點E，交直線于點F，．(1)若點P是邊上的一個動點（不與點A，D重合），于點H，設(shè)為x，四邊形的面積為y，試求y與x的函數(shù)解析式．(2)若，①求圓心在直線上，且與直線，都相切的的半徑長．②圓心在直線上，且與直線及矩形的某一邊所在直線都相切的圓共有多少個？（直接寫出滿足條件的圓的個數(shù)即可）2．如圖，內(nèi)接于，為的直徑，．連接，，交延長線于點．(1)證明：平分；(2)若平分，①當(dāng)時，求的長；②設(shè)，直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式．3．點，，在上，將沿折疊后，與交于．(1)若，求的度數(shù)．(2)如圖，點恰是翻折所得的中點，若，求的度數(shù)．4．已知：如圖，過正方形的頂點，，且與邊相切于點．點是與的交點，連接，，，點是延長線上一點，連接，且．

(1)求證：是的切線；(2)如果正方形邊長為，求的長．5．如圖，四邊形內(nèi)接于．

(1)求證：；(2)如圖2，在線段上分別取點，連接并延長交于點，連接并延長，交于點，連接，當(dāng)時，求證：；(3)在（2）的條件下，當(dāng)時，若，求的長．6．如圖，是⊙O的直徑，過D作⊙O的切線，點C是的中點，四邊形是平行四邊形．(1)求證：是⊙O的切線；(2)已知⊙O的半徑為1，求圖中弧所圍成的陰影部分的面積．7．已知，為的直徑，弦與交于點E，點A為弧的中點．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點F為弧上一點，連接，，，過點C作交于點G，求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下，連接交于點L，連接，若，，求線段的長．8．已知為的外接圓，的半徑為6．(1)如圖，是的直徑，點是的中點．①尺規(guī)作圖：作的角平分線，交于點，連接（保留作圖痕跡，不寫作法）：②求的長度．(2)如圖，是的非直徑弦，點在上運動，，點在運動的過程中，四邊形的面積是否存在最大值，若存在，請求出這個最大值；若不存在，請說明理由．9．如圖，點是等邊三角形中邊上的動點（），作的外接圓交于點．點是圓上一點，且，連結(jié)交于點．(1)求證：；(2)當(dāng)點運動時，的度數(shù)是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求的度數(shù)．10．如圖①，矩形與以為直徑的半圓O在直線l的上方，線段與點E、F都在直線l上，且，，．點B以1個單位/秒的速度從點E處出發(fā)，沿射線方向運動，矩形隨之運動，運動時間為t秒．(1)如圖②，當(dāng)時，求半圓O在矩形內(nèi)的弧的長度；(2)在點B運動的過程中，當(dāng)、都與半圓O相交時，設(shè)這兩個交點為G、H．連接、，若為直角，求此時t的值．(3)當(dāng)矩形為正方形時，連接，在點B運動的過程中，若直線與半圓只有一個交點，則t的取值范圍是．11．如圖1，直角坐標(biāo)系中，OT為第一象限的角平分線，，，點P為OA上一動點，Q為y軸上一動點，，以PQ為直徑的圓與OT相交于點C．(1)若，求點P坐標(biāo)；(2)求證：；(3)判斷OP、OQ、OC之間的數(shù)量關(guān)系并證明；(4)如圖2，將題設(shè)條件“”更換為“”，以PQ為直徑的圓與AB相交于M、N兩點，則MN的最大值為．12．如圖，已知是⊙O中一條固定的弦，點C是優(yōu)弧上的一個動點（點C不與A、B重合）．(1)如圖1，于D，交⊙O于點N，求證：.(2)如圖2，設(shè)，⊙O半徑為5，若平分，交⊙O于點E，四邊形的面積是否是定值？若是定值，求出這個定值，若不是定值，求出四邊形面積的取值范圍．13．在矩形中，cm，cm，點P從點A出發(fā)，沿邊向點B以每秒1cm的速度移動，同時點Q從點B出發(fā)沿邊向點C以每秒2cm的速度移動P、Q兩點在分別到達B、C兩點后就停止移動，設(shè)兩點移動的時間為t秒，回答下列問題：(1)如圖1，當(dāng)t為幾秒時，△PBQ的面積等于5？(2)如圖2，當(dāng)t＝秒時，試判斷的形狀，并說明理由；(3)如圖3，以Q為圓心，為半徑作．①在運動過程中，是否存在這樣的t值，使正好與四邊形的一邊（或邊所在的直線）相切？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由；②若與四邊形有三個公共點，請直接寫出t的取值范圍．14．如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BAD+2∠ACD＝180°，連接AC，BD．(1)求證：AB＝AD；(2)如圖2，BD是直徑．①已知BC＝，AC＝2+1，求⊙O的半徑；②如圖3，連接OC，若OC∥AB，AC與BD相交于E點，求的值．15．已知AB為直徑，弦CD（不是直徑）交AB于H，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，E為AO上一點，連接CE并延長CE交于點G，連接DG，，垂足為N，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點F在CD延長線上，，，若半徑為5．，求線段NG的長．參考答案1．(1)(2)①滿足條件的的半徑長為或6；②6個【分析】（1）根據(jù)題意，過點P作于點H．進而得出，即可求出，利用求出即可；（2）①分別利用若與直線，都相切，且圓心在的左側(cè)，過點作于點，則可設(shè)，根據(jù)即可得出答案，若與直線，都相切，且圓心在的右側(cè)，過點作于點，則可設(shè)，根據(jù)求出即可；②利用圖形分析得出所有的可能即可【詳解】（1）解：如圖，過點P作于點H．在中，，，，，，，，，．（2）解：①，，，，如下圖，若與直線，都相切，且圓心在AB的左側(cè)，過點作于點，則可設(shè)．，，解得；若與直線，都相切，且圓心在的右側(cè)，過點作于點，如下圖：則可設(shè)，，，解得．綜上，滿足條件的的半徑長為或6②如圖2，符合題意的圓共有6個．【點睛】此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及切線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．2．(1)見解析(2)①；②【分析】（1）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知，根據(jù)等弧或同弧所對圓周角相等得到，，則有，由此即可求解；（2）①如圖，作，垂足為，可證，得到，再證，得到，則，根據(jù)為的直徑，平分，得到，在中，由勾股定理得到，代入計算即可求解；②根據(jù)為的直徑，平分，得到，，，如圖所示，過點作于點，過點作于點，則都是等腰直角三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的計算得到，再證明，得到，，由，得到即可求解．【詳解】（1）證明：由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知，又∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴平分；（2）解：①如圖，作，垂足為，∵，平分（已證），∴，在與中，，∴，∴，在與中，，∴，∴，∵為的直徑，∴，∵平分，∴，∴，∴，在中，，∴，∵，即，∴；②∵為的直徑，∴，∵平分，∴，，∵，∴，如圖所示，過點作于點，過點作于點，∴，，∴都是等腰直角三角形，∵，，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，即，解得，．【點睛】本題主要考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，同弧或等弧所對圓周角相等，直徑或半圓所對圓周角為直徑，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，銳角三角函數(shù)的計算等知識的綜合運用，掌握圓與四邊形，三角形的綜合運用，數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．3．(1)(2)【分析】本題是圓的綜合題目，考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，本題綜合性強，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）將還原后點的對應(yīng)點為，連接、，則，，求出，由三角形的外角性質(zhì)即可得出答案；（2）由（1）得，證出，由等腰三角形的性質(zhì)得出，，設(shè)，則，在中，由三角形內(nèi)角和定理得出方程，解方程即可；【詳解】（1）解：將還原后點的對應(yīng)點為，連接、，如圖所示：則，，，；（2）（2）由（1）得，，，，點是翻折所得的中點，，，，，，設(shè)，則，在中，由三角形內(nèi)角和定理得：，解得，即．4．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，過作于，推出四邊形是矩形，得到，求得，，根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，是的直徑，，，又，，，，，是的切線；（2）解：連接，是的切線，，過作于，則四邊形是矩形，，，，，是的中位線，，設(shè)，，，，，，，，，，，，．

【點睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，三角形的中位線定理，正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識并正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補，結(jié)合已知條件得到，則由勾股定理可證明；（2）連接，根據(jù)圓周角定理得到，再證明是的直徑，則由勾股定理可證明；（3）在上取一點使，在上取一點使，連接．則和是等腰直角三角形．設(shè)為，則，進一步得到，證明四邊形為矩形，得到，從而求出，設(shè)，推出，再證明，即可證明，利用勾股定理得到，則，求出，則，再證明，即可求出．【詳解】（1）證明：四邊形為圓的內(nèi)接四邊形，，，，在中，；（2）證明：連接，，，，，是的直徑，．；

（3）解：在上取一點使，在上取一點使，連接．，和是等腰直角三角形．設(shè)為，

，，，，，四邊形為矩形，

，，設(shè)，，，

，，，，，在和中，

，，，在中，，，為圓的直徑，，即，

，，，．【點睛】本題主要考查了圓與四邊形綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，圓周角定理，矩形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由四邊形是平行四邊形證明四邊形是平行四邊形，再由與圓相切證明四邊形是矩形即可；（2）可根據(jù)進行求解．【詳解】（1）證明：連接，是⊙的直徑，點O在上，，四邊形是平行四邊形，，，四邊形是平行四邊形，與⊙O相切于點D，，四邊形是矩形，，是⊙O的半徑，且，是⊙O的切線．（2）解：連接，則，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，，

，，，，陰影部分的面積為．【點睛】本題考查圓的切線的判定綜合問題和求不規(guī)則圖形的面積，解題的關(guān)鍵是證明直線與半徑垂直，用割補法求不規(guī)則圖形的面積，利用了平行四邊形、矩形以及正方形的判定和性．7．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）連接，，利用等弧所對的圓心角相等得到，再根據(jù)等腰三角形的三線合一即可證的結(jié)論；（2）先根據(jù)（1）和圓周角定理證得，進而證得，證明四邊形是平行四邊形即可證得結(jié)論；（3）連接，，，，過G作于M，過O作于K，則，設(shè)，，，證明平行四邊形是菱形和四邊形為矩形，得到，再證明，得到，，進而證得四邊形是平行四邊形，，，，，設(shè)，則，利用勾股定理可求得，，，再利用，求得即可求解．【詳解】（1）證明：如圖1，連接，，∵點A為弧的中點，∴，∴，∵，∴；（2）證明：如圖2，連接，，，則，∵，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，又，∴；（3）解：如圖3，連接，，，，過G作于M，過O作于K，則，設(shè)，則，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴平行四邊形是菱形，∴,∴，則；∵，∴∴四邊形為矩形，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，即，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，∴設(shè)，則，∴，即，∴，則，∴，則，∴，，則，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴．【點睛】本題考查圓的綜合問題，涉及等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理、圓周角定理，解直角三角形，特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，綜合程度較高，難度較大，需要學(xué)生靈活運用所學(xué)知識，第（3）作出合適的輔助線是解答的關(guān)鍵．8．(1)①見解析；②(2)存在，最大值為【分析】（1）①根據(jù)角平分線的作圖方法畫出，在連接即可；②由點是的中點，得出．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出．結(jié)合是的直徑，即得出經(jīng)過圓心O，即，最后根據(jù)勾股定理求解即可．（2）連接，過點D作于點E，交于點，過點C作．由題意易證為等邊三角形．根據(jù)，即得出為直徑，是的中點．根據(jù)為等邊三角形，可得出和邊上的高都為定值，再根據(jù)根據(jù)，即得出當(dāng)最大時，最大，此時點C與點重合，即當(dāng)點C為中點時，最大，此時為直徑，得出此時．易求出，結(jié)合勾股定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，，進而可求出，又易證，得出，從而可求出，即點C在運動過程中，四邊形的面積存在最大值，最大值為．【詳解】（1）解：①如圖1，即為所作圖形；②∵點是的中點，∴．∵是的平分線，∴．∵是的直徑，∴經(jīng)過圓心O，∴．∵的半徑為6，∴，∴；（2）點C在運動過程中，四邊形的面積存在最大值．理由：如圖，連接，過點D作于點E，交于點，過點C作．∵，∴，，∴．∵四邊形為內(nèi)接四邊形，∴，∴為等邊三角形．∵，∴為直徑，是的中點．∵，∴．∵為等邊三角形，∴和邊上的高都為定值，∴當(dāng)最大時，最大，此時點C與點重合，∴當(dāng)點C為中點時，最大，此時為直徑，∴，如圖3．∵的半徑為6，∴．∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴點C在運動過程中，四邊形的面積存在最大值，最大值為．【點睛】本題考查作圖—角平分線，勾股定理，圓周角定理的推論，垂徑定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，綜合性強．正確作出輔助線，并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．9．(1)見解析(2)當(dāng)點運動時，的度數(shù)不會變化，的度數(shù)為【分析】（1）連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，再利用同弧所對的圓周角相等可得，從而可得，然后利用等弧所對的圓周角相等可得，從而利用證明，進而可得，最后利用等量代換可得，從而可得，再利用圓內(nèi)接四邊形對角互補以及平角定義可得，即可解答；（2）根據(jù)等弧所對的圓周角相等可得，然后利用三角形的外角性質(zhì)可得，即可解答．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，，，；（2）解：當(dāng)點運動時，的度數(shù)不會變化，理由如下：，，，，的度數(shù)為．當(dāng)點運動時，的度數(shù)不會變化．【點睛】本題考查了三角形的外接圓性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．10．(1)半圓O在矩形內(nèi)的弧的長度為(2)t的值為8或9(3)或【分析】（1）通過判定為等邊三角形，然后根據(jù)弧長公式求解；（2）通過判定，然后利用全等三角形的性質(zhì)分析求解；（3）當(dāng)半圓O與直線相切時，可求得，此時半圓O與直線只有一個交點；當(dāng)點E與點A重合時，可求得，此時半圓O與直線有兩個交點；當(dāng)點F與點A重合時，可求得，此時半圓O與直線只有一個交點，即可得到t的取值范圍．【詳解】（1）設(shè)與交于點M當(dāng)時，∵∴∴∴在矩形中，∴又∵∴∴是等邊三角形

∴∴即半圓O在矩形內(nèi)的弧的長度為.（2）連接，∵

∴，∵∴，在和中，∴∴∵

∴∴在中，∴

解得：即t的值為8或9．（3）或理由：當(dāng)半圓O與直線相切時，過圓心O作于點P則∵四邊形為正方形∴又∵∴為等腰直角三角形則∴則，此時半圓O與直線相切；當(dāng)點E與點A重合時，，此時半圓O與直線有兩個交點；當(dāng)點F與點A重合時，，此時半圓O與直線只有一個交點，則t的取值范圍為或．故答案為：或【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式的計算，勾股定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定（一線三垂直模型），結(jié)合勾股定理列方程是解題關(guān)鍵．11．(1)(2)見解析(3)，證明見解析(4)【分析】（1）證得P為OA的中點即可得出結(jié)論；（2）證得為等腰直角三角形，從而得出；（3）連接AC，可證得，進而得出，進一步得出結(jié)論；（4）設(shè)PQ的中點為，連接，可推出點在以O(shè)為圓心，3為半徑的圓上運動，作CD與相切，切點為I，且，當(dāng)在I時，MN最大，進一步得出結(jié)果．【詳解】（1），，，，，，即P為OA的中點，；（2）PQ為直徑，，，為等腰直角三角形，；（3），

證明：連接AC，∵四邊形OPCQ是圓的內(nèi)接四邊形，

在和中，，，，，即；（4）如圖，設(shè)PQ的中點為，連接，，，點在以O(shè)為圓心，3為半徑的圓上運動，設(shè)到MN的距離為d，，，當(dāng)?shù)組N的距離最小時，MN最大，作CD與相切，切點為I，且，當(dāng)在I時，MN最大，連接OI并延長交MN與點E，，，，，，，MN的最大值為；故答案為：．【點睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓中的圓周角、弧、弦、之間的關(guān)系，確定圓的條件，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是結(jié)合所學(xué)知識利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．12．(1)見解析(2)【分析】（1）作直徑，連接，運用圓周角定理解題即可．（2）運用勾股定理求出的值并通過求出面積與的關(guān)系即可．【詳解】（1）證明：如圖1，作直徑，連接，∴，∴，∵，∴，∴，對于：，∴；（2）解：如圖2，∵平分，∴，∴當(dāng)C點在運動時，，連接，∴，設(shè)垂足是F，∴，∴，∴，∵∴當(dāng)時，最大為40．∴．【點睛】本題主要考查圓周角定理的運用，能夠運用圓周角定理證明角度關(guān)系，垂徑定理求線段長度是解題關(guān)鍵．13．(1)1秒或5秒(2)直角三角形，理由見解析(3)①存在，或；②【分析】（1）由題意可知，，從而得到，，然后根據(jù)的面積＝5列方程求解即可；（2）由，可求得，，，，由勾股定理可證明，由勾股定理的逆定理可知為直角三角形；（3）①當(dāng)時，點P與點A重合時，點B與點Q重合，此時圓Q與相切；當(dāng)正好與四邊形的邊相切時，由圓的性質(zhì)可知，然后依據(jù)勾股定理列方程求解即可；②先求得與四邊形有兩個公共點時t的值，然后可確定出t的取值范圍．【詳解】（1）∵當(dāng)運動時間為t秒時，，，∴，，∵的面積等于5，∴，∴＝5，解得：，，答：當(dāng)t為1秒或5秒時，△PBQ的面積等于5；（2）的形狀是直角三角形．理由：∵當(dāng)秒時，，，，，在中，由勾股定理可知：,同理：在和中由勾股定理可得：，,∵，∴，所以的形狀是直角三角形；（3）①（Ⅰ）由題意可知圓Q與、不相切，（Ⅱ）如圖1所示：當(dāng)時，點P與點A重合時，點B與點Q重合，∵，∴，∴，∴為圓Q的切線；（Ⅲ）當(dāng)正好與四邊形的邊相切時，如圖2所示，由題意可知：，，，在中，由勾股定理可知：，即，解得：，（舍去），綜上所述可知當(dāng)或時，與四邊形的一邊相切；②（Ⅰ）當(dāng)時，如圖1所示：與四邊形兩個公共點；（Ⅱ）如圖3所示：當(dāng)圓Q經(jīng)過點D時，與四邊形有兩個公共點，由題意可知：，，，，由勾股定理可知：，，∵，∴，即，整理得：，解得：，（舍去），∴當(dāng)時，與四邊形有三個公共點．【點睛】本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了三角形的面積公式、勾股定理以及勾股定理的逆定理，根據(jù)題意畫出圖形，求得與四邊形有兩個公共點時t的值，從而確定出與四邊形有三個公共點時t的取值范圍是解題的關(guān)鍵．14．(1)見解析(2)①，②【分析】（1）、由圓內(nèi)接四邊形對角互補可知，則由同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，再由同圓或等圓中，弦、弧、圓心角之間的關(guān)系可證．（2）、①過點B作BH⊥AC于點H，易證△BAD是等腰直角三角形，由同弧所對的圓周角相等，可得△BHC是等腰直角三角形，再用勾股定理即可得證；②延長CO交AD于G，作OM⊥AB于M，根據(jù)三角形面積公式及已知條件，可得，設(shè)半徑為r，用r表示OM、CG，代入即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BAD+2∠ACD＝180°，∴∠BCD＝2∠ACD，∵∠ACD+∠ACB＝∠BCD，∴2∠ACD＝∠ACD+∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB，∴