2025北京八中高三（下）開學(xué)考數(shù)學(xué)試題及答案

2025北京八中高三（下）開學(xué)考數(shù)學(xué)年級(jí)：高三科目：數(shù)學(xué)考試時(shí)間：120分鐘，滿分：150分命題：樊登麟審核：王文濤一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）P=xx1Q=xx2?x1.設(shè)集合，，則下列結(jié)論正確的是（P=QQPD.PQA.B.C.i2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)A.第一象限的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）1+iB.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在2)上單調(diào)遞減的是（）1y=xy=|+D.y=x2?4B.y=?xA.3C.|x|x?y?1=0(x2)(y3)=8分成兩段，這兩段圓弧的弧長(zhǎng)之比為（?2+?24.直線A.1：2將圓）B.13C.15D.3：5n113x?25.若的二項(xiàng)展開式中，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，則其展開式中含項(xiàng)的系數(shù)x5x（）A.?246.已知點(diǎn),B,C不共線，,為實(shí)數(shù)，AP含邊界）”的（B.252C.7D.80+1是“點(diǎn)P在ABC內(nèi)（不=AB+AC，則“）A.充分不必要條件C.充要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件π6y=1被函數(shù)fx()=x+)的圖象所截得線段的最小值為，則=（0π7.直線）12332A.B.C.D.338.“學(xué)如逆水行舟，不進(jìn)則退；心似平原跑馬，易放難收”（明?.如果每天的“進(jìn)步”率都是1%，那么一年后是11%=；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后(+(?)=0.99.那么大約經(jīng)過（11%進(jìn)步的是退步的2倍請(qǐng)選出最接近的一項(xiàng)“”“”..是（20.301030，lg1012.004321，991.995635）A.25B.C.D.409.如圖是一種帳篷示意圖，帳頂采用“五脊四坡式”，四條斜脊的長(zhǎng)度相等，一條正脊平行于底面，正脊與4斜脊長(zhǎng)度的比為，底面為矩形且長(zhǎng)與寬之比為∶1，若各斜坡面與底面所成二面角都相等，則該二面角3的正切值為（）34312A.B.C.D.3310.已知函數(shù)()=x1x1??(?)（其中，且）為其定義域上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取a1fxaa0a值范圍為（）11e()e()0,1,1eA.B.C.D.ee二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）()在拋物線C：y2=2px上，則點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為．A1,2已知點(diǎn)AC__________34，將線段π12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A,繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，則點(diǎn)B553的橫坐標(biāo)為____________.?y?2k=0x?4yy=1恰有一個(gè)交點(diǎn)，那么k的一個(gè)值為______.213.如果直線l：和曲線Γ：14.如圖，已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1B作截面α分別交側(cè)棱，AD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且四面1體的體積為四面體ABCD體積的，則S=______，EF的最小值為______.3，如果存在實(shí)數(shù)、，使得a=pa+q對(duì)任意nN*成立，我們稱數(shù)列an15.對(duì)于給定的數(shù)列pqn1n==+()1，n1nbnN，則給出下列四個(gè)結(jié)論：nacc1*是“線性數(shù)列”，數(shù)列滿足nn①等差數(shù)列是“線性數(shù)列”；②等比數(shù)列是“線性數(shù)列”；③若是等差數(shù)列，則是線性數(shù)列；bc“”nn④若是等比數(shù)列，則是線性數(shù)列bc“”.nn其中正確的結(jié)論是______.三、解答題（共6題，滿分85分）16.在ABC中，a+b=11，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）sinC和ABC的面積．1c=7,A=?條件①：條件②：；719cosA=,cosB=．816注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．17.同學(xué)們，你們知道排球比賽的規(guī)則和積分制嗎?其規(guī)則是：每局25分，達(dá)到24分時(shí)，比賽雙方必須相差2分，才能分出勝負(fù)；每場(chǎng)比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊(duì)先勝3名采用積分制，積分規(guī)則如下：比賽中，以3∶0或3∶1取勝的球隊(duì)積3分，負(fù)隊(duì)積0分；以3∶2取勝的球隊(duì)積2分，負(fù)隊(duì)積1分.甲、乙兩隊(duì)近期將要進(jìn)行比賽，為預(yù)測(cè)它們的積分情況，收集了兩隊(duì)以往6局比賽成績(jī)：123456甲乙252127272325182525252517假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲，乙每局的比賽相互獨(dú)立.（1）估計(jì)甲隊(duì)每局獲勝的概率；（2）如果甲、乙兩隊(duì)比賽1場(chǎng)，求甲隊(duì)的積分X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；1（3）如果甲、乙兩隊(duì)約定比賽2場(chǎng)，請(qǐng)比較兩隊(duì)積分相等的概率與的大?。ńY(jié)論不要求證明）.418.如圖，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB//DC，DC//EF，AB=5，DC=3，EF=1，BAD=CDE=60，二面角F?DC?B的平面角為設(shè)，AE，BC的中點(diǎn).60°.MN⊥CD（1）證明：；（2）求直線與平面ADE所成角的正弦值.6x22y22+=(ab)10過點(diǎn)，過其右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線交橢圓C于F19.已知橢圓C：2ab3233A，B兩點(diǎn)，且=．（1）求橢圓C的方程；12y=?CEEF的中點(diǎn)為Q，在y軸上是否存在定點(diǎn)P，使（2）若直線l：與橢圓交于，F(xiàn)兩點(diǎn)，線段得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．120.已知函數(shù)fxexax()=??x2.2（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線()在(y=fx())處的切線方程；f0（2）若函數(shù)()是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；fx1()?x2+x+b(+)a1b的最大值（3）若21.已知集合的任意一對(duì)元素fx，求.2A=2,3,*（nNSA的子集，若存在不大于n的正整數(shù)m，使集合S中sss?，都有1mSs2，，則稱集合具有性質(zhì)P.12C=xAx=k?kN和*（1）當(dāng)n=10時(shí)，試判斷集合B=xAx9是否具有性質(zhì)P？并說明理由；=201xxS?（2）當(dāng)n=100時(shí)，若集合S具有性質(zhì)P，那么集合T是否具有性質(zhì)P？并說明理由；（3）當(dāng)n=k，kN*時(shí)，若集合()fn.具有性質(zhì)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值SPS參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1.【答案】DP=x|x1，集合Q=xx2?x0=x|x0x或，【詳解】∵集合PQ．∴故選D．2.【答案】D【分析】首先求出復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，再判斷象限即可.(?)i+i1i(+)(?)1i1i1i1211212z===+iz=?i，【詳解】設(shè)，則211,?復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.22故選：D.3.【答案】C【分析】AD選項(xiàng)不符合單調(diào)性，B不符合奇偶性，C選項(xiàng)正確.y=x為偶函數(shù)，且在y=x2?4在2)單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤；y=?x3為奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；【詳解】1(π)上單調(diào)遞減，(0,2)(π)，故符合題意，C正確；y=|+為偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，|x|1為對(duì)勾函數(shù)，在()單調(diào)遞減，在()上單調(diào)遞增，故不合題意，D錯(cuò)誤.y=x+0,11,2x故選：C4.【答案】A【分析】根據(jù)已知條件作出圖形，利用圓的性質(zhì)及點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合弧長(zhǎng)公式即可求解.,B，圓心為C，過點(diǎn)C作⊥【詳解】設(shè)直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)為如圖所示交于D,ACD=0π)，則(設(shè)2?3?1所以圓心到直線的距離為d=CD==2.2CD212在△ACD中，cos===AC22因?yàn)?π，π所以=，32πACB==由圓的性質(zhì)知，，32π:2π?2π3=1:2．所以兩段圓弧的弧長(zhǎng)之比等于兩段弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)之比，等于3故選：A.5.【答案】A【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的最值可得n8，再結(jié)合二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)運(yùn)算求解即可=.【詳解】因?yàn)槎?xiàng)展開式中，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，n=4，解得n=8，則28r11x()8?r()r2?的展開式的通項(xiàng)為r1=Cr83x2?=38?r?1Cr8163r,r=,8，?可得3xx令16?r=5，解得r=7，13C8=24.7所以含項(xiàng)的系數(shù)為x5故選：A6.【答案】B【分析】利用向量共線的推論及充分條件和必要條件的定義即可得解.+，可知P,B,C【詳解】若AP=AB+AC，且三點(diǎn)共線，ABC0+1；若AP=AB+AC，點(diǎn)P在11=?=,ABC反之不成立，例如時(shí)，此時(shí)P在外部，320+1”是“點(diǎn)P在ABC所以“內(nèi)（不含邊界）”的必要不充分條件，故選：B.7.【答案】Bπ6πππ5πfx=x+【分析】由()=1，得到x+=+2π,kZ或x+=+2π,kZ，再結(jié)6666合條件，即可求解.π6π162()=fxx+=1，得到sin+=x【詳解】由，πππ5π所以x+=+2π,kZ或x+=+2π,kZ，6666π6y=1被函數(shù)fx()=+)的圖象所截得線段的最小值為x0π又直線，2π顯然最小值在一個(gè)周期內(nèi)取到，不妨取k=0，得到x=0或x=，2π23=π，解得=所以，故選：B.8.【答案】C【分析】根據(jù)題意列出不等式，利用指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可．n【詳解】假設(shè)經(jīng)過天，“進(jìn)步者”是退步者”的2倍，n1.010.99n=2，即=2，列方程得lg20.301030n=log1012==35，解得lg992.0043211.995635??99即經(jīng)過約35天，“進(jìn)步者”是“退步者的2倍．故選：C．9.【答案】A【分析】不妨設(shè)正脊EF4，斜脊EB3，底面矩形的長(zhǎng)為==AB=4aBC=2a，寬，做輔助線，根據(jù)對(duì)稱性結(jié)合二面角可得a=2，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意不妨設(shè)：正脊EF4，斜脊EB3，底面矩形的長(zhǎng)為==AB=4a，寬BC=2a，E,FABCD的投影分別為G,H，BC,M,N，設(shè)在底面若各斜坡面與底面所成二面角都相等，則G,H,M,N四點(diǎn)共線，GM=HN，E??A的平面角為EMN的中點(diǎn)分別為且=，則過G作GI⊥AB，垂足為I，連接，ABCDEM⊥BC,⊥BC，可知二面角，因?yàn)镋G⊥平面ABCD，AB平面，可得⊥，，，,EGAB⊥平面且平面，可得又因?yàn)镚I平面，可得⊥，則二面角E??C的平面角為EIG，可知=，則tan=tan，EGEG=，可得=，即即4a?4=a=，可得a2，212==則=22,=EB2?2=1，可得，12所以所求二面角的正切值為.故選：A.10.【答案】Dhx=a【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行變形，構(gòu)造新函數(shù)()xa?ax?1()，轉(zhuǎn)化為新函數(shù)()的單調(diào).再分類討hxGt=ta論單調(diào)遞增和單調(diào)遞減，借助導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性.對(duì)于單調(diào)遞增，再構(gòu)造函數(shù)()t，得到單調(diào)性，求出范圍即可.【詳解】由題意可知()的定義域?yàn)?)，fxaxa(?)1x1且fxax1x1()=?(?)=?=x?(?aaax1，aaaa記h(x)=axa?ax?1()，fx()在定義域上單調(diào)，可得()必為單調(diào)函數(shù).hx若()在定義域上單調(diào)遞增，hx1ax?1(?)x1x1a()=x()2?hxaa0則恒成立，即，，2(a)1(a0，可得tat令t=x?1)2Gt=ta在t→0時(shí)值趨近于0，不符合題意；又因?yàn)楹瘮?shù)()tax?1若()單調(diào)遞減，則()=()2?0恒成立，hxhxaax1(a(?)x1x1a即，2)1(a1(a()ta，可知20，即tatt令t=x?1，2))1設(shè)Gt)=tatGt()=(+1taa)t=0，則t=?，，a當(dāng)a1時(shí)，t0不成立；111當(dāng)0a1時(shí)，t=?0，當(dāng)t?時(shí)，()Gt0；當(dāng)0t?時(shí)，()Gt0；aaa1a1可知()在區(qū)間??,+Gt上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，a1111(a?11()Gt?=??Gaaa?則，即a，aa)2a1a1a1a1?a?1?a1.可得，即，解得ee故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)是將原函數(shù)()=ax1?x1?(?)變形為fxa1=axln?lnaa(x?)1h(x)=axa?a(x?)f(x)在定義域上單調(diào)，轉(zhuǎn)化為f(x)，記，將alna()為單調(diào)函數(shù).最后借助分類討論和導(dǎo)數(shù)研究得解.hx二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）【答案】2p【分析】將點(diǎn)A代入拋物線方程，求出及準(zhǔn)線方程，進(jìn)而可得出答案.【詳解】因?yàn)?)在拋物線C：A1,22y=2px上，4=2pp=2，所以，解得故拋物線C的準(zhǔn)線為x=?1，所以點(diǎn)A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為1?()=2.故答案為：2.3+4312.【答案】1034【分析】利用三角函數(shù)定義可知，射線對(duì)應(yīng)的角滿足=,sin=，再利用任意角的關(guān)系和cos553+43兩角差的余弦公式即可得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為.103455上的角為，如下圖所示：A,在單位圓上，記終邊在射線【詳解】易知345cos=,sin=根據(jù)三角函數(shù)定義可知，；5ππ繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，則終邊在射線上的角為?，33π3ππ3+43所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為cos?=+sinsin=.33103+43故答案為：10131?,?,+13.【答案】1（答案不唯一，滿足即可）262Γ:x?4yy=1的圖象，數(shù)形結(jié)合分析恰有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)k的取值范圍即可.2【分析】作出曲線y0?4y=1為雙曲線的上半部分；時(shí)，Γ:x22【詳解】由題意，當(dāng)y0+4y=1為橢圓的下半部分.時(shí)，Γ:x22當(dāng)又l:?y?2k=0ykx2=(?)即，故作出,l的圖象：=(?)ykx2y=kx?2)與橢圓下半部分相切時(shí)，有(考慮臨界條件，當(dāng)，x2+4y=12整理得1+4k)Δ=16k2)?41+4k16k?)=022x2?16k2x+16k2?1=022，則，3由圖象k0解得k=.6y=kx?2)與雙曲線x(2?4y=1的漸近線平行時(shí)也為臨界條件.2當(dāng)131?,?,+=故實(shí)數(shù)k的取值范圍為，例如k1.262131262?,?,+故答案為：（答案不唯一，滿足即可）.113314.【答案】①.##3②.##31233【分析】根據(jù)體積關(guān)系可得△AEF的面積，由三角形面積公式和余弦定理，使用基本不等式可得.11311=33【詳解】因?yàn)锽?=V，則S，=S11=B?332212EF=a,AE=b,AF=c記，113因?yàn)閎csin60=，即bc=。212313a2=b2+c2?bc60bc?bc=bc=又因?yàn)?，b=c31，即b=c=時(shí)，取等號(hào).當(dāng)且僅當(dāng)bc=333所以a的最小值為.333故答案為：；.315.【答案】①②④【分析】對(duì)①②根據(jù)“線性數(shù)列”的定義進(jìn)行判斷；對(duì)于③：找特例b=b=b=b=4，代入即可1234p,qc判斷；對(duì)于④：結(jié)合定義，設(shè)出等比數(shù)列，代入求的，再結(jié)合線性數(shù)列的定義，看是否存在實(shí)數(shù)即n可.【詳解】對(duì)于①，數(shù)列為等差數(shù)列，則?an=d，即，a=n+d，n1aann1滿足“線性數(shù)列”的定義，①正確；an1對(duì)于②，數(shù)列為等比數(shù)列，則=q，即aannan滿足“線性數(shù)列”的定義，②正確；對(duì)于③，是等差數(shù)列，設(shè)b=b=b=b=4，bn1234c=,c=,c=4,c=7是線性數(shù)列，c“”n則，若1234c=pc+q2=p+qp=2q=021則，c=pc+q4=2p+q32c=c+q=87則應(yīng)有，43故不是“線性數(shù)列”，③錯(cuò)誤；cn對(duì)于④，是等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公比為，bnb1t()，滿足“線性數(shù)列”的定義；若t=1時(shí)，b=b，則c=c=c+bnN*n11n1n1()若t1時(shí)，由c=c=c+bnN*，得c?n=b，n1n1n1nnc?c=b,c?c=b,1+n?，211322btn1??)累加的n1?=b1+b+21，1?tbtn1??)b1?btn1+1?t?則n=1+1=1，1?t1?tbt11??)b?btn1+1?t11經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，1=1+=1滿足c，則c=n，1n1?t1?t若是“線性數(shù)列”，則存在實(shí)數(shù)p,q，使得c=n1pcn+q成立，cnb1?btn+1?tb1?btn1+1?t?1=p1+q，則1?t1?t??btn+?=1tpbbtn11t)qt)??+?+?b，1111n+?=1tpbpbtn1pptqqt?1?+?+?b1bt1，?bt=?pbp=tq=1+1?t11則，則，b+1?t=pb+p?pt+q?qt11則是“線性數(shù)列”，④正確.cn故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及數(shù)列新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行合理的計(jì)算、分析、推理等方法綜合解決.三、解答題（共6題，滿分85分）316.【答案】選擇條件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sinC=,S=63；271574選擇條件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sinC=,S=.4【分析】選擇條件①（ⅠⅡ）先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得sinA,定理求sinC,最后根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果；再根據(jù)正弦選擇條件②（Ⅰ）先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得sin,sinBⅡ）根據(jù)兩角和正弦公式求sinC，再根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果.1osA=?a+b=【詳解】選擇條件①（Ⅰ）71a2=b2+c2?bcAa2=?a)2+72??a)7(?)7a=81437（Ⅱ）?，A)sinA=1?cos2A=7ac8732==sinC=由正弦定理得：sinAsinC43sinC7113S=basinC=?8=63222189,B=,B(0,)選擇條件②（Ⅰ）163785716sinA=1?2A=,sinB=1?B=2aba11?a5716==a=6由正弦定理得：sinAsinB378379571+=7（Ⅱ）sinCsin(AB)sinABsinBA=+=+=81616841171574S=basinC=?6)6=224【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理，三角形面積公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.217.1）318481E(X)=（2）分布列見詳解；1（3）兩隊(duì)積分相等的概率小于4）根據(jù)題意利用頻率估計(jì)概率即可；（2）隨機(jī)變量X的所有可能取值為01，23，再由獨(dú)立事件的概率公式求得每個(gè)X的取值所對(duì)應(yīng)的概率即可得分布列，然后由數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式，得解；（3）設(shè)第場(chǎng)甲、乙兩隊(duì)積分分別為iX，Y，則iXi=3?i，i=1，，由兩隊(duì)積分相等，可推出iX+X=3，再分四種情況，并結(jié)合獨(dú)立事件的概率公式，即可得解．12【小問14623=由表可知：6場(chǎng)比賽甲贏了4場(chǎng)，則甲每局獲勝的頻率為，2用頻率估計(jì)概率，所以甲隊(duì)每局獲勝的概率為.3【小問2隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，3，13322122211319138可得：P(X0)==+C13=，P(X==C24=，333381221222122316，231681P(X=2)=C24=，P(X==C32+=33333327所以X的分布列為X0123198P181616184E(X)=0+1+2+3=所以數(shù)學(xué)期望．981812781【小問3記“甲、乙比賽兩場(chǎng)后，兩隊(duì)積分相等”為事件A，設(shè)第i場(chǎng)甲、乙兩隊(duì)積分分別為X，YXi=3?i，i=1，則i，2，iX+X=Y+YX+X=?X)+?X)X+X=3，則，12因兩隊(duì)積分相等，所以，即1212121213322111(=0)=+13=而PXC，333922123318(=)=PX124=C，3812212216=，(=2)=24PXC3338122122163333273(=3)=C23+=PX所以()PA=P(X=0)P(X=+P(X=P(X=2)+P(X=2)P(X=+P(X=P(X=0)1212121211681616=81611120+++=，9278181818127965611120114.因?yàn)?，所以兩?duì)積分相等的概率小于6561418.1）證明見詳解57（2）14）通過證明DC⊥平面BCF，可得⊥CD.AB（2）由（）可知⊥平面ABCD，過點(diǎn)N做平行線NK，所以可以以點(diǎn)為原點(diǎn)，NK，NNB、NF所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系N，求出平面ADE的一個(gè)法向?量，以及BM，即可利用線面角的向量公式解出．【小問1因?yàn)樗倪呅蜛BCD和EFCD都是直角梯形，DCF=DCB=，DC⊥CF,DC⊥CB，且CFCB=C，CF,CB因?yàn)槠矫鍮CF，則⊥平面BCF，F(xiàn)N平面BCF，可得CD.⊥【小問2過點(diǎn)E、D分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)G、H．因?yàn)樗倪呅蜛BCD和EFCD都是直角梯形，=AH=EFC=DCF=DCB=ABC=由題意可知，則四邊形EFCG和四邊形DCBH是矩形，在Rt和Rt，23，BCF60是正三角形，由DC平面ABCD，得平面ABCD⊥平面BCF，==BCF是二面角F?DC?B的平面角，則=，可知又因?yàn)镹是BC的中點(diǎn)，則⊥，又⊥平面BCF，F(xiàn)N平面BCF，可得⊥CD，且BCCD=C，BC,CD平面ABCD，可知⊥平面ABCD，而AD平面ABCD，所以，過點(diǎn)FN⊥AD.⊥平面ABCDN做平行線NK，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，N因?yàn)镹K，NB、NF所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系N，?33設(shè)3,0),B3,0),D3,0),E，則?M,，2233,,AD=(23,0),=(3,BM=?可得22n=(x,y,z)設(shè)平面ADE的法向量為?n2x?23y=0由，得，取n,3)，n=0?2x+3y+3z=0設(shè)直線與平面ADE所成角為，5357可得sin=n,BM==，72314nBM57所以直線與平面ADE所成角的正弦值為.14x2+y2=119.1）3（2）存在定點(diǎn)()，P0,136c,解方程即可；）直接由橢圓C過點(diǎn)和33（2）先聯(lián)立直線和橢圓，通過∠EQP＝2∠EFP得到點(diǎn)P在以EF為直徑的圓上，即PE⊥PF，表示出PE，PF由PEPF=0解出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.【小問136c,，由題知，橢圓C過點(diǎn)和3312b1++=1ac22222=32a所以=1，解得aa22bb=1=b2+c2x2+y2=1．所以橢圓C的方程為【小問23假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立，設(shè)()，(Ex,y)，()Fx,y2Py011212y=?12k4+12k?94+12k，得4+12k)x?12?9=022x+x=xx=，12由，∴21222x+y2=13()0=144k2+364+12k2∵∠EQP＝2∠EFP，∴∠EFP＝∠FPQ，∴QE＝QF＝QP∴點(diǎn)P在以EF為直徑的圓上，即PE⊥PFPE=(1,yy?)PF=(x,y?y)，02201PEPFxxyyy2y+(?)(?)2100=∴1=+?(+)+xx1y2yyyy2012012k1=xx+k2xx?(x+x)?yk(x+x)?++y2012121201224121()()2=1+k2xx?k+y0x+x+y20+y0+1214()12y02?1k2+4y02+4y0?8==04+12k2()12y20?1k2+4y0+4y0?8=02∴恒成立20?1=0yy，解得0=1∴402+40?8=0∴()P0,1∴存在定點(diǎn)()，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立．P0,1【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于利用∠EQP＝2∠EFP得到點(diǎn)P在以EF為直徑的圓上，進(jìn)而得到PEPF=0，表示出PE，PF，聯(lián)立直線和橢圓后，由韋達(dá)定理及PEPF=0建立方程解出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.y=120.1）（2）(,1?e（3）2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值分離參數(shù)計(jì)算即可；（3）含參分類討論h(x)=ex?a+1x?b(a+)?(a+)(a+)，構(gòu)造函數(shù)，利()b的單調(diào)性，得出用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性及最值計(jì)算即可.【小問11()=??x2f(x)=ex?1?x，，當(dāng)a=1時(shí)，則fxexx2f0=1f0可得()()=0，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為()，切線斜率為0，0,1y=fx()在(())f0y1處的切線方程為=.所以曲線【小問2由題意得()=x?a?x，且()fx在定義域R內(nèi)恒成立，fxe0則f(x)0e?xa，x令()=xgx?()=xe?1，gxex顯然x0時(shí)，()，即()gx此時(shí)單調(diào)遞減，此時(shí)單調(diào)遞增，a1，gx0x0時(shí)，g(x)0，即g(x)gxg(0)=1，則所以()實(shí)數(shù)a的取值范圍為(,1?.【小問31()?fxx2+x+bex?(a+)x?b0，若，則2令h(x)=ex?a+1x?b()hxexa1()=?(+)，則，若a?1，則()()hx，此時(shí)在R上單調(diào)遞增，hx0hx時(shí)，()→?，不符合題意；x→當(dāng)當(dāng)a1，則xa+1()時(shí)，()hx0()，此時(shí)單調(diào)遞增，hx(+)xa1(x)0h(x)，此時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)，hxha+1=a+1?a+1a+1?b0，即()(())()()()即(a+)?(a+)(a+)b，(+)a12?(+)2(+)(+)a1a1ba1，所以令()=2?2()=?=(?)，mxxxxmxx2xxx12lnxxe)(mx()0()mx，此時(shí)單調(diào)遞增，易知當(dāng)時(shí)，x(e,+)mx()0()mx，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)即時(shí)，e()()=mxme，2e(+)a12?(+)2(+)(+)a1a1ba1，所以2ee=(+)?(+)(+)=a1a1(+)ba1時(shí)，=當(dāng)且僅當(dāng)a+1=e,ba1，22e所以(a+1b)的最大值為.2【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于雙變量的恒成立問題，可以通過消元轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)最值來進(jìn)行計(jì)算.21.1）集合B不具有性質(zhì)P，集合C具有性質(zhì)P，理由見解析=201xxS?（2）T具有性質(zhì)P，理由見解析f(n)=4k（3））先寫出,B,C10的m，對(duì)于集合B，對(duì)