數(shù)學(xué) 第四冊(cè)（五年制高職） 課件全套 第1-5章 邏輯代數(shù)初步- 算法與程序框圖

16.1.1二進(jìn)制數(shù)的概念五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第四冊(cè)）》

引入超級(jí)計(jì)算機(jī)多用于國(guó)家高科技領(lǐng)域和尖端技術(shù)研究，是國(guó)家科技發(fā)展水平和綜合國(guó)力的重要標(biāo)志.中國(guó)在超級(jí)計(jì)算機(jī)方面發(fā)展迅速，目前，中國(guó)超級(jí)計(jì)算機(jī)水平與數(shù)量已位居世界前列.計(jì)算機(jī)的主要電子元器件是集成電路，電路中的電子元件與電路都具有兩種對(duì)立的狀態(tài)，采用數(shù)碼0和1表示相互對(duì)立的兩種狀態(tài)十分方便，因此，計(jì)算機(jī)內(nèi)部采用二進(jìn)制來(lái)存儲(chǔ)和處理數(shù)據(jù).二進(jìn)制和我們熟悉的十進(jìn)制有怎樣的關(guān)系呢？問(wèn)題探究

日常生活中，十進(jìn)制是我們最熟悉的一種計(jì)數(shù)方式，如一年365天，

一瓶洗發(fā)水賣33.8元.（1）在十進(jìn)制的計(jì)數(shù)方式下，每個(gè)位置可以使用哪些數(shù)碼呢？（2）在十進(jìn)制數(shù)33.8中，數(shù)碼“3”出現(xiàn)了兩次，這兩次中“3“各表示什么？（3）十進(jìn)制數(shù)的進(jìn)位規(guī)則是什么呢？數(shù)碼所在的位置稱為數(shù)位，在十進(jìn)制中也就是個(gè)位、十位、百位、千位、萬(wàn)位以及十分位、百分位、千分位等.抽象概括每個(gè)數(shù)位上可以使用的數(shù)碼的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)計(jì)數(shù)制的基數(shù).十進(jìn)制

的每一個(gè)數(shù)位都可以使用~9共10個(gè)數(shù)碼，因此十進(jìn)制的基數(shù)是10.每個(gè)數(shù)位所代表的數(shù)稱為位權(quán)數(shù).十進(jìn)制的位權(quán)數(shù)如表16-1所示.十

進(jìn)制數(shù)的進(jìn)位規(guī)則是“逢十進(jìn)一”.抽象概括表16-1十進(jìn)制位權(quán)數(shù)表位置整數(shù)部分小數(shù)部分…第3位第2位第1位第1位第2位…位權(quán)數(shù)……十進(jìn)制數(shù)的意義是各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼與其位權(quán)數(shù)乘積之和.例如,這種寫法稱為按權(quán)展開(kāi)式.抽象概括類比十進(jìn)制，二進(jìn)制的基數(shù)是2，每個(gè)數(shù)位上只能使用0和1兩個(gè)數(shù)碼，各個(gè)數(shù)位的位權(quán)數(shù)如表16-2所示.二進(jìn)制數(shù)的進(jìn)位規(guī)則是“逢二進(jìn)一”抽象概括表16-2二進(jìn)制位權(quán)數(shù)表位置整數(shù)部分小數(shù)部分…第3位第2位第1位第1位第2位…位權(quán)數(shù)……抽象概括例如，二進(jìn)制數(shù)101011的意義是為了區(qū)別不同進(jìn)位制的數(shù)，通常用下標(biāo)指明基數(shù).例如，表示十進(jìn)制的數(shù)，表示二進(jìn)制的數(shù).計(jì)算可知，例題講析例1

將下列二進(jìn)制數(shù)換算成十進(jìn)制數(shù).

（1）（2）思維拓展除十進(jìn)制、二進(jìn)制外，還有其他進(jìn)制，例如八進(jìn)制、十六進(jìn)制、六十進(jìn)制等.請(qǐng)說(shuō)出八進(jìn)制的基數(shù)、每個(gè)數(shù)位上可以使用的不同數(shù)碼、進(jìn)位規(guī)則，并將八進(jìn)制各個(gè)數(shù)位的位權(quán)數(shù)填寫在表16-3中.表16-3位置整數(shù)部分…第3位第2位第1位位權(quán)數(shù)…

課堂練習(xí)1.分別寫出下列各數(shù)的按權(quán)展開(kāi)式.（1）（2）（3）

（4）2.分別寫出下列各數(shù)的按權(quán)展開(kāi)式，并計(jì)算其十進(jìn)制的值.（1）（2）課堂小結(jié)1.數(shù)位、基數(shù)、位權(quán)數(shù)、按權(quán)展開(kāi)式的概念.2.將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù).16.1.2二進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第四冊(cè)）》

引入要將一個(gè)二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，只要將這個(gè)二進(jìn)制數(shù)寫成各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼與其位權(quán)數(shù)乘積之和的形式，然后計(jì)算出結(jié)果即可.反過(guò)來(lái)，如何將一個(gè)十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)呢？問(wèn)題探究

將十進(jìn)制數(shù)6和21轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)分別是什么？將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，其實(shí)質(zhì)就是把十進(jìn)制數(shù)化成2的各次冪之和的形式，并且各次冪的系數(shù)只能取0和1.將十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，通常使用“除2取余法”，具體步驟是：將十進(jìn)制整數(shù)除以基數(shù)2，余數(shù)便是二進(jìn)制數(shù)的最低位；商再除以2，余數(shù)便是次低位；不斷除以基數(shù)2，直到商為0，最后一次的余數(shù)是二進(jìn)制數(shù)的最高位，然后按照從高位到低位的順序?qū)懗鰮Q算結(jié)果.抽象概括例題講析例2

將十進(jìn)制數(shù)

轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù).

課堂練習(xí)1.將下列二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù).（1）（2）（3）

（4）2.將下列十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù).（1）（2）（3）

（4）課堂小結(jié)二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換16.2.2邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第四冊(cè)）》問(wèn)題探究下面的兩個(gè)命題在結(jié)構(gòu)上有什么關(guān)系？（1）小明會(huì)計(jì)算機(jī)編程.（2）小明不會(huì)計(jì)算機(jī)編程.將上面兩個(gè)命題分別記為

p：小明會(huì)計(jì)算機(jī)編程；q：小明不會(huì)計(jì)算機(jī)編程.可以看出,q

給出的判斷與p恰好相反,這兩個(gè)命題中肯定有一

個(gè)

是真命題,而另一個(gè)一定是假命題.

一般地，設(shè)P是一個(gè)命題，則P的非（又稱否定）是一個(gè)新的命題，

記作

，讀作“非P”或“P的否定”.抽象概括上述命題q可以寫成:小明不會(huì)計(jì)算機(jī)編程.

顯然，P與

的真假性可總結(jié)為下表.

表16-4P1001例題講析例2寫出下列命題的否定（非命題），并判斷原命題及其非命題的真假.（1）p：

；（2）q：雪是白的.合作交流

寫出下列命題的否定.

（1）p:對(duì)任意實(shí)數(shù)

，均有

；（2）q：存在一個(gè)實(shí)數(shù)

，使得.課堂練習(xí)1.寫出下列命題的否定，并判斷真假.（1）正弦函數(shù)

是周期函數(shù)；（2）3是91的約數(shù).課堂小結(jié)1.邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”.2.原命題及其非命題的真假性判定.16.2.3邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”和“或”五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第四冊(cè)）》問(wèn)題探究

下列四個(gè)命題間有什么關(guān)系？（1）小明會(huì)計(jì)算機(jī)編程.（2）小明會(huì)電路設(shè)計(jì).（3）小明會(huì)計(jì)算機(jī)編程且小明會(huì)電路設(shè)計(jì)．（4）小明會(huì)計(jì)算機(jī)編程或小明會(huì)電路設(shè)計(jì)．命題（3）可以看成將命題（1）和命題（2）用“且”聯(lián)結(jié)而成的新命題，命題（4）可以看成將命題（1）和命題（2）用“或”聯(lián)結(jié)而成的新命題.抽象概括一般地，用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”把命題

和命題

聯(lián)結(jié)起來(lái)，就得到一個(gè)新命題，記作

，讀作“

且

”；用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”把命題

和命題

聯(lián)結(jié)起來(lái)，就得到一個(gè)新命題，記作

，讀作“

或

”.抽象概括

和

的真假性如表16-5所示.表16-51111100101010000由表16-5可知，當(dāng)且僅當(dāng)

，

同時(shí)為真，

才為真，在其他情況下，

都為假;當(dāng)且僅當(dāng)

，

都為假時(shí)，

才為假，其他情況下，

都為真.例題講析例3

根據(jù)下列各組中的命題

和

，寫出

和

所表示的命題，

并判斷它們的真假.

（1）

：雪是黑的；

：太陽(yáng)從東方升起.

（2）

：矩形的對(duì)角線互相平分；

：矩形的對(duì)角線相等.

（3）

：3是偶數(shù)；

：3不是質(zhì)數(shù).

（4）

：

；

：.思維拓展

若,,分別表示王同學(xué)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)考試及格，試寫出下列

語(yǔ)句的邏輯表達(dá)式.（1）

王同學(xué)語(yǔ)文和數(shù)學(xué)考試都及格；（2）

王同學(xué)語(yǔ)文考試及格，但數(shù)學(xué)考試不及格；（3）

王同學(xué)語(yǔ)文考試及格，但數(shù)學(xué)和英語(yǔ)考試都不及格；（4）

王同學(xué)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)考試都不及格；（5）

王同學(xué)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)考試恰有一門及格；（6）

王同學(xué)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)考試至少有一門及格；（7）

王同學(xué)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)考試至少有一門不及格.

課堂練習(xí)1．將下列命題用“且”和“或”聯(lián)結(jié)成新的命題，并判斷真假.

（1）

：6能被2整除；:6能被3整除.

（2）

：

是方程

的解；

：

是方程

的解.

（3）

：

；

：

.

（4）

：是實(shí)數(shù)；

：

是有理數(shù).

課堂小結(jié)1.邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”和“或”.2.由“且”和“或”聯(lián)結(jié)的命題的真假性判定.16.2.1命題的概念五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第四冊(cè)）》問(wèn)題探究下列語(yǔ)句表述形式上有什么特點(diǎn)，能判斷它們的真假嗎？（1）二進(jìn)制數(shù)11與十進(jìn)制數(shù)3相等.（2）所有的正方形都是平行四邊形.（3）3能被2整除.（4）一個(gè)實(shí)數(shù)的平方總大于零.（5）若

，則

.一般地，用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句稱為命題.判斷為真的語(yǔ)句稱為真命題，判斷為假的語(yǔ)句稱為假命題.用1與0表示命題的真值，真命題的真值為1，假命題的真值為0.一個(gè)命題非真即假，不可能既真又假，也不可能不真不假.抽象概括

通常用小寫字母

p，q，r等來(lái)表示命題，例如:p：

；

q：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角相等，那么這個(gè)三角形

是等腰三角形.因?yàn)槊}p是假命題，所以命題

p的

真值為0.而命題q是真命題，所以命題q的真值為1.合作交流列出你所熟悉的命題的例子，并判斷它們是真命題還是假命題.例題講析

例1

下列語(yǔ)句中，哪些是命題？那些不是命題？如果是命題，指出它

是真命題還是假命題.（1）.（2）.（3）如果一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角相等，那么這個(gè)三角形是等邊三角形.（4）你吃過(guò)午飯了嗎？（5）地球是太陽(yáng)系的一顆行星.（6）平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行且相等.（7）今天天氣真好??！課堂練習(xí)1．給出下列語(yǔ)句：①地球上的四大洋；②

；③④我國(guó)的小河流可以組成一個(gè)集合.其中，命題有().A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)；課堂練習(xí)2.判斷下列語(yǔ)句中哪些是命題，是真命題還是假命題.（1）2022年冬季奧運(yùn)會(huì)在北京舉行.（2）空集是任何集合的子集.（3）若

是質(zhì)數(shù)，則

是奇數(shù).（4）指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎？（5）

．課堂小結(jié)命題的概念以及真假命題的判定16.3.4“或”“與”“非”的復(fù)合運(yùn)算五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第四冊(cè)）》問(wèn)題探究如圖16-6所示開(kāi)關(guān)電路中，燈L的狀態(tài)能否用開(kāi)關(guān)

A，B，C的邏輯運(yùn)算來(lái)表示？圖16-6日常生活中的邏輯關(guān)系往往比單一的“或”“與”“非”復(fù)雜，利用上圖描述燈L和開(kāi)關(guān)A，B，C的關(guān)系時(shí)，需要綜合運(yùn)用這些運(yùn)算.事實(shí)上，我們知道只有當(dāng)A閉合，且B或C閉合時(shí)，燈L才會(huì)亮，因此

L與A，B，C的關(guān)系可表示為

L=A·（B+C）.該式等號(hào)右邊實(shí)際上就是“或”和“與”的復(fù)合運(yùn)算.

合作交流你能舉出生活中“或”“與”“非”復(fù)合運(yùn)算的例子嗎？例題講析例5

在如圖16-7所示的電路中，試用邏輯變量

A，B，C，D的邏輯式來(lái)表示

L．

例題講析例6寫出下列各式的運(yùn)算結(jié)果：

（1）（2）思維拓展寫出

的運(yùn)算結(jié)果.課堂練習(xí)1.

填表.AB11100100課堂練習(xí)2.

寫出下列各式的運(yùn)算結(jié)果.

（1）;（2）.課堂小結(jié)“或”“與”“非”的復(fù)合運(yùn)算規(guī)則16.3.3非運(yùn)算五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第四冊(cè)）》問(wèn)題探究觀察如圖16-5所示的電路.圖16-5完成開(kāi)關(guān)

A，B與燈L的狀態(tài)表16-11.表16-11開(kāi)關(guān)A燈L10抽象概括如果一個(gè)事件的發(fā)生依賴于一個(gè)條件，并且當(dāng)這個(gè)條件成立時(shí)這個(gè)事件不發(fā)生，當(dāng)這個(gè)條件不成立時(shí)這個(gè)事件發(fā)生，那么稱這種邏輯關(guān)系為邏輯非.抽象概括表16-12非運(yùn)算的真值表其中，“

=1，=0”是非運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)則，上表稱為非運(yùn)算的真值表.例如，在上面的電路中，燈L亮否取決于開(kāi)關(guān)A的狀態(tài)，當(dāng)A斷開(kāi)時(shí)，燈L亮；當(dāng)A閉合時(shí)，燈L不亮.這里燈L與開(kāi)關(guān)A的關(guān)系就是邏輯非，記作L=.可以用表16-12表示L與A之間的關(guān)系.A1001例題講析例4

寫出下列各式的運(yùn)算結(jié)果.

（1）（2）

（3）思維拓展課堂練習(xí)1.

寫出下列各式的運(yùn)算結(jié)果.

（1）;（2）;

（3）.課堂練習(xí)2.

填表.AB01001110課堂小結(jié)1.非運(yùn)算及其運(yùn)算法則.2.與運(yùn)算、或運(yùn)算和非運(yùn)算的復(fù)合運(yùn)算規(guī)則.16.3.1邏輯變量與或運(yùn)算五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第四冊(cè)）》

引入在日常生產(chǎn)生活中，很多事物的變化只表現(xiàn)為兩種狀態(tài)，如“錯(cuò)”與“對(duì)”、“假”與“真”、“關(guān)”與“開(kāi)”、“斷開(kāi)”與“閉合”、“熄”與“亮”

等.我們可以用0表示“錯(cuò)”“假”“關(guān)”“斷開(kāi)”“熄”等狀態(tài)，相對(duì)應(yīng)地，

用1表示“對(duì)”“真”“開(kāi)”“閉合”“亮”等狀態(tài).借助0和1，就可以建立

兩個(gè)開(kāi)關(guān)并聯(lián)和串聯(lián)電路的數(shù)學(xué)模型.問(wèn)題探究觀察如圖16-1所示的并聯(lián)電路.（1）完成開(kāi)關(guān)A，B與燈L的狀態(tài)列表（表16-6）.

表16-6圖16-1開(kāi)關(guān)A開(kāi)關(guān)B燈L閉合閉合亮閉合斷開(kāi)亮斷開(kāi)閉合亮斷開(kāi)斷開(kāi)熄問(wèn)題探究（2）規(guī)定“閉合”用1表示，“斷開(kāi)”用0表示，燈“亮”用1表示，燈“熄”用0表示，請(qǐng)將上表進(jìn)行改寫（表16-7）.表16-7開(kāi)關(guān)A開(kāi)關(guān)B燈L11110可以看到，燈L是否亮，取決于開(kāi)關(guān)A，B的狀態(tài)，它們之間具有因果關(guān)系，這種因果關(guān)系就是邏輯關(guān)系。邏輯代數(shù)研究的正是這種邏輯關(guān)系.這里的0和1只是一種符號(hào)，表示兩種對(duì)立的狀態(tài)，它們之間沒(méi)有數(shù)的大小關(guān)系.0和1稱為邏輯常量.抽象概括開(kāi)關(guān)A，B，燈L的狀態(tài)會(huì)發(fā)生變化，且只有兩種變化的狀態(tài)，這樣的量稱為邏輯變量，常用大寫字母A，B，…，L，…表示.邏輯變量只有兩種狀態(tài)，只能取值0和1.邏輯代數(shù)中，有邏輯常量，有邏輯變量，也有運(yùn)算的概念.對(duì)于命題

，

，命題

就是

，

的或運(yùn)算，命題

就是

，

的且運(yùn)算，命題

就是

的非運(yùn)算.或運(yùn)算、與運(yùn)算和非運(yùn)算這三種運(yùn)算，統(tǒng)稱邏輯運(yùn)算.抽象概括抽象概括如果一個(gè)事件的發(fā)生依賴于兩個(gè)條件，并且當(dāng)這兩個(gè)條件中至少有一個(gè)成立時(shí)，這個(gè)事件發(fā)生，那么稱這種邏輯關(guān)系為邏輯或（也稱為邏輯加）.抽象概括例如，在上面的并聯(lián)電路中，燈L亮否取決于開(kāi)關(guān)A，B的狀態(tài)，當(dāng)A，B中至少有一個(gè)閉合時(shí)，燈L才會(huì)亮.這里燈L與開(kāi)關(guān)A，B的關(guān)系就是邏輯或，記作L=A+B.因此，表16-7可以改寫為表16-8.表16-8或運(yùn)算的真值表ABA+B111101011000其中，“1+1=1，1+0=1，0+1=1，0+0=0”是或運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)則，上表稱為或運(yùn)算的真值表.例題講析例1

寫出下列各式的運(yùn)算結(jié)果.（1）1+1；

（2）1+1+0；

（3）0+0；

（4）0+1+0.思維拓展

如圖16-2所示的開(kāi)關(guān)電路中，燈L的狀態(tài)能否用開(kāi)關(guān)A，B，C的邏輯運(yùn)算來(lái)表示？課堂練習(xí)1.寫出下列各式的運(yùn)算結(jié)果.

（1）1+0；

（2）0+1；

（3）0+1+1；

（4）1+1+1.2.

寫出下列各式的運(yùn)算結(jié)果.（1）0+0+0；

（2）1+0+1；

（3）1+1+0+1+0；

（4）0+1+0+1+0.

課堂小結(jié)1.邏輯常量、邏輯變量及其取值.2.或運(yùn)算的運(yùn)算法則.16.3.2與運(yùn)算五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第四冊(cè)）》問(wèn)題探究觀察如圖16-3所示的串聯(lián)電路.（1）完成開(kāi)關(guān)A，B與燈L的狀態(tài)列表（表16-9）.

表16-9圖16-3開(kāi)關(guān)A開(kāi)關(guān)B燈L11110抽象概括如果一個(gè)事件的發(fā)生依賴于兩個(gè)條件，并且當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)條件同時(shí)成立時(shí)，這個(gè)事件才發(fā)生，那么稱這種邏輯關(guān)系為邏輯與（也稱為邏輯乘）.抽象概括例如，在上面的串聯(lián)電路中，燈L亮否取決于開(kāi)關(guān)A，B的狀態(tài)，當(dāng)A，B同時(shí)閉合時(shí)，燈L才會(huì)亮.這里燈L與開(kāi)關(guān)A，B的關(guān)系就是邏輯與，記作L=A·B.在不致引起誤解的情況下，“·”也可以省略，即寫成L=AB.

可以用表16-10表示L與A，B之間的關(guān)系.表16-10與運(yùn)算的真值表ABA·B111100010000其中，“1·1=1，1·0=0，0·1=0，0·0=0”是與運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)則，上表稱為與運(yùn)算的真值表.例題講析例2

寫出下列各式的運(yùn)算結(jié)果.（1）1·0；（2）0·0；（3）1·1.例題講析例3

寫出下列各式的運(yùn)算結(jié)果.（1）1·1+0;（2）1+0·1+0.思維拓展如圖16-4所示的開(kāi)關(guān)電路中，燈L的狀態(tài)能否用開(kāi)關(guān)A，B，C的邏輯運(yùn)算來(lái)表示？課堂練習(xí)1.

寫出下列各式的運(yùn)算結(jié)果.（1）1+1·0;（2）0·1+0;（3）0·1+1·1;（4）0+1·0+1.2.

寫出下列各式的運(yùn)算結(jié)果.（1）0+1·0;（2）0·1+0·0;（3）1·0+0·1;（4）0+0·1+1·1.

課堂小結(jié)1.與運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)則.2.與運(yùn)算和或運(yùn)算的復(fù)合運(yùn)算規(guī)則.16.4.3等值邏輯式五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第四冊(cè)）》問(wèn)題探究根據(jù)邏輯變量A，B的一切可能取值，計(jì)算

的值，你有何發(fā)現(xiàn)？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，可以列出如下真值表.表16-171110000101001001101000001111可以看出，對(duì)于邏輯變量

A，B的任意一組值，

的值都相同，所以.抽象概括如果對(duì)于邏輯變量的任意一組值，兩個(gè)邏輯式的值都相等，那么稱這樣的兩個(gè)邏輯式為等值邏輯式.等值邏輯式可用“=”連接，并稱為等式.需要注意，這種相等是狀態(tài)的相同.合作交流利用真值表判斷

是否成立.例題講析例1

利用真值表判斷下列等式是否成立.（1）

；（2）.課堂練習(xí)1.用真值表驗(yàn)證下列等式是否成立.（1）（2）2.用真值表驗(yàn)證課堂小結(jié)1.等值邏輯式的概念.2.能根據(jù)真值表判斷兩個(gè)邏輯式是否等值.16.4.1邏輯式的概念與運(yùn)算五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第四冊(cè)）》問(wèn)題探究如圖16-8所示開(kāi)關(guān)電路中，燈的狀態(tài)能否用開(kāi)關(guān)A，B，C的邏輯運(yùn)算來(lái)表示？邏輯變量之間除了有單一的“或”“與”“非”運(yùn)算外，還有它們之間的復(fù)合運(yùn)算，如上圖中

就是一個(gè)復(fù)合運(yùn)算，其中

A，B，C都是邏輯變量.抽象概括由常量1，0以及邏輯變量經(jīng)復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成的式子稱為邏輯

代數(shù)式、簡(jiǎn)稱邏輯式.邏輯式之間的復(fù)合運(yùn)算稱為邏輯運(yùn)算.例如，

等都是邏輯式.把表示常量的1和0以及單個(gè)變量都看作邏輯式.正如前面的討論，邏輯運(yùn)算的次序依次為“非運(yùn)算”“與運(yùn)算”“或運(yùn)算”，如果有添加括號(hào)的邏輯式，首先要進(jìn)行括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算.合作交流在如圖16-9所示的電路中，試用邏輯變量

A，B，C的邏輯式來(lái)表示

L．含有變量的邏輯式的運(yùn)算將在下一節(jié)內(nèi)容中介紹.下面我們先看只含有常量的邏輯式的運(yùn)算.例題講析例1寫出下列各式的運(yùn)算結(jié)果：

（1）;（2）;（3）;思維拓展寫出

的運(yùn)算結(jié)果.課堂練習(xí)1.

的運(yùn)算結(jié)果為（）.A．0

B．1

C．2

D．3課堂練習(xí)2.

寫出下列各式的運(yùn)算結(jié)果.

（1）;（2）;（3）.課堂小結(jié)1.邏輯式的概念.2.邏輯式的復(fù)合運(yùn)算.16.4.2真值表五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第四冊(cè)）》問(wèn)題探究邏輯式

的運(yùn)算結(jié)果是什么？抽象概括將各邏輯變量取定的一組值代入邏輯式，經(jīng)過(guò)運(yùn)算，可以得到邏輯式的一個(gè)值（0或1）.因?yàn)檫壿嬜兞恐荒苋?或1，所以對(duì)于一個(gè)給定的邏輯式來(lái)說(shuō)，人們關(guān)心的是邏輯變量為0或1時(shí)邏輯式的值，這通常可以用表格的形式將其表示出來(lái).列出邏輯變量的一切可能取值與相應(yīng)的邏輯式的值的表，稱為邏輯式的真值表.例如，表16-13就是的真值表.表16-13的真值表

AB111100010001例題講析例1

完成下面的邏輯真值表：

表16-14AB11100100思維拓展已知某邏輯式對(duì)應(yīng)的真值表如表16-16所示，試寫出相應(yīng)的邏輯式.ABY111100010001表16-16課堂練習(xí)1.完成下面的真值表：AB2.課堂小結(jié)1.真值表的概念.

2.正確給出一個(gè)邏輯式的真值表.16.5.1常用邏輯運(yùn)算律五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第四冊(cè)）》問(wèn)題探究根據(jù)邏輯常量的基本運(yùn)算，不論邏輯變量A取1或0，你能得出下列各式的結(jié)果嗎？（1）

；（2）

；（3）

；（4）.抽象概括與普通代數(shù)相類似，邏輯代數(shù)中也有許多運(yùn)算律.運(yùn)用邏輯運(yùn)算的運(yùn)算律能夠?qū)⑦壿嬍阶冃位蚧?jiǎn).常用邏輯運(yùn)算律見(jiàn)表16-20.表16-20

常用邏輯運(yùn)算律運(yùn)算律名稱運(yùn)算律公式表示0-1律自等律重疊律互補(bǔ)律交換律結(jié)合律分配律吸收律反演律還原律抽象概括

上表中的運(yùn)算律都可以通過(guò)真值表一一驗(yàn)證.利用這些運(yùn)算律

化簡(jiǎn)邏輯式時(shí)，一般需要以下幾個(gè)步驟：

（1）

去掉括號(hào)；

（2）

使得項(xiàng)數(shù)最少；

（3）

基本邏輯變量出現(xiàn)的次數(shù)最少.例題講析例1

化簡(jiǎn)：（1）

；（2）;

（3）.合作交流邏輯式的化簡(jiǎn)結(jié)果是唯一的嗎？試舉例說(shuō)明.課堂練習(xí)1.化簡(jiǎn)（1）（2）2.化簡(jiǎn)（1）（2）課堂小結(jié)1.常用邏輯運(yùn)算律.2.會(huì)利用運(yùn)算律化簡(jiǎn)邏輯式.16.5.2邏輯運(yùn)算律的應(yīng)用五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第四冊(cè)）》例題講析例1

某躍層住戶在一樓樓梯裝有開(kāi)關(guān)

A，在二樓樓梯裝有開(kāi)關(guān)

B，在

一樓和二樓之間的樓梯口裝有一盞電燈D.設(shè)計(jì)電路用開(kāi)關(guān)

A，B

控制電燈，即改變?nèi)我庖粋€(gè)開(kāi)關(guān)的狀態(tài)，都能改變電燈的狀態(tài).

請(qǐng)寫出這個(gè)電路的邏輯表達(dá)式.下面結(jié)合實(shí)例介紹邏輯運(yùn)算律的簡(jiǎn)單應(yīng)用.例題講析例2

利用運(yùn)算律證明思維拓展利用運(yùn)算律證明課堂練習(xí)1.利用運(yùn)算律證明2.利用運(yùn)算律證明課堂小結(jié)邏輯運(yùn)算律的應(yīng)用第16章邏輯代數(shù)初步復(fù)習(xí)五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第四冊(cè)）》知識(shí)框圖內(nèi)容要點(diǎn)1.二進(jìn)制及其轉(zhuǎn)換（1）數(shù)碼所在的位置稱為數(shù)位.每個(gè)數(shù)位上可以使用的數(shù)碼的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)計(jì)數(shù)制的基數(shù).每個(gè)數(shù)位所代表的數(shù)稱為位權(quán)數(shù).十進(jìn)制的基數(shù)，數(shù)碼，進(jìn)位規(guī)則，位權(quán)數(shù)二進(jìn)制的基數(shù)，數(shù)碼，進(jìn)位規(guī)則，位權(quán)數(shù)（2）二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)可采用乘權(quán)相加法，十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)可采用“除2取余法”.內(nèi)容要點(diǎn)命題邏輯與條件判斷(1)命題，真命題，假命題.真命題的真值為1，假命題的真值為0.(2)復(fù)合命題：由簡(jiǎn)單命題用邏輯聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)而成的命題稱為復(fù)合命題.①非命題及其真值表②且命題及其真值表p1001pqPq111100010000③或命題及其真值表pq111101011000內(nèi)容要點(diǎn)3.邏輯變量與基本運(yùn)算（1）邏輯常量：0和1（2）邏輯變量（3）邏輯運(yùn)算：即邏輯式之間的復(fù)合運(yùn)算，包括或運(yùn)算、與運(yùn)算和非運(yùn)算.ABA+B111101011000邏輯且的真值表（邏輯乘的真值表）邏輯或的真值表ABA·B111100010000邏輯非的真值表A1001內(nèi)容要點(diǎn)4.邏輯式與真值表（1）邏輯式：邏輯式的值0或1.邏輯運(yùn)算的次序依次為“非運(yùn)算”“與運(yùn)算”“或運(yùn)算”，如果有添加括號(hào)的邏輯式，首先要進(jìn)行括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算.（2）真值表：列出邏輯變量的一切可能取值與相應(yīng)的邏輯式的值的表，稱為邏輯式的真值表.（3）等值邏輯式內(nèi)容要點(diǎn)5.邏輯運(yùn)算律(1)常用邏輯運(yùn)算律運(yùn)算律名稱運(yùn)算律公式表示0-1律0·A=01+A=1自等律1·A=A0+A=A重疊律A·A=AA+A=A互補(bǔ)律A·=0A+=1交換律A·B=B·AA+B=B+A結(jié)合律A·（B·C）=（A·B）·CA+（B+C）=（A+B）+C分配律A·（B+C）=A·B+A·CA+（B·C）=（A+B）·（A+C）吸收律A+A·B=AA·（A+B）=A反演律還原律(2)運(yùn)用運(yùn)算律化簡(jiǎn)邏輯式的步驟：①去掉括號(hào)；②使得項(xiàng)數(shù)最少；③基本邏輯變量出現(xiàn)的次數(shù)最少.課內(nèi)練習(xí)一、選擇題1.十進(jìn)制數(shù)13轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)是（

）.A.1011B.1100C.1101D.11102.二進(jìn)制數(shù)1010等于十進(jìn)制數(shù)（

）.A.10B.15C.18D.20

3．給出下列命題：（1）24是6的倍數(shù)且是8的倍數(shù)；

（2）5是偶數(shù)或86是偶數(shù)；（3）平行四邊形的對(duì)角線互相平分且相等；

（4）1是有理數(shù)或1是無(wú)理數(shù).其中，真命題的個(gè)數(shù)是（

）.A.1B.2C.3D.4

課內(nèi)練習(xí)4.下列表達(dá)式中符合邏輯運(yùn)算律的是（

）.A．1+1=2B．1·0=0C．D．5．已知p，q是兩個(gè)簡(jiǎn)單命題，若為假命題，則必有（）.A．P假，q假B．P假，q真C．P真，q假D．P真，q真6.化簡(jiǎn)得（）.A．AB．BC．CD．AC課內(nèi)練習(xí)二、填空題7．寫出下列各數(shù)的按權(quán)展開(kāi)式:（1）(31.13)10

=

；（2）(1110)2

=

.8.在邏輯運(yùn)算律公式中，（A+B）·（A+C）=

.9.將二進(jìn)制數(shù)101011轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，即(101011)2

=

.10.計(jì)算：（1）=

；（2）=

.11.化簡(jiǎn)：=

.12.某電路圖如圖所示，若用邏輯變量A,B,C

表示L，

則

L=

.（第12題）課內(nèi)練習(xí)三、解答題13．將下列二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù).（1）(1110)2；（2）(11101)2；（3）(100000)2；（4）(1001110)2

.14．將下列十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù).（1）(28)10

;（2）(37)10

;（3）(47)10

;（4）(105)10

.15．把下列命題用“且”和“或”聯(lián)結(jié)成新的命題，并判斷真假.（1）p：3是12的約數(shù)，q：5是12的約數(shù)；（2）p：-72∈Q，q：1.414Q.課內(nèi)練習(xí)16．寫出下列命題的否定，并判斷真假.（1）余弦函數(shù)y=cosx在定義域內(nèi)是周期函數(shù)；（2）945是9的倍數(shù).17.將下面的真值表補(bǔ)充完整.AB

11

10

01

00

課內(nèi)練習(xí)18.寫出下列各式的運(yùn)算結(jié)果.（1）;（2）;（3）.19.化簡(jiǎn)下列邏輯式：（1）；（2）;（3）;（4）.17.1.1平面及其表示五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第四冊(cè)）》復(fù)習(xí)回顧初中曾學(xué)習(xí)過(guò)平面幾何，研究了由點(diǎn)和線構(gòu)成的平面圖形及其基本性質(zhì).所謂平面圖形，是指組成這個(gè)圖形的元素都在同一個(gè)平面內(nèi).直線可以向兩端無(wú)限延伸，兩條平行直線無(wú)論如何延伸都不可能相交，承載這兩條平行直線的平面也在不斷延展.直線的延伸只有兩個(gè)方向，而平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條在不同方向上的直線，因此，平面可以向四周無(wú)限延展.幾何里所說(shuō)的“平面”是從生活中的“平面”抽象出來(lái)的.平面是沒(méi)有厚薄且可以向四周無(wú)限延展的.現(xiàn)實(shí)生活中的“平面”都是平面的局部形象.問(wèn)題探究如何表示一個(gè)平面？問(wèn)題探究

一般地，用平行四邊形表示平面，當(dāng)平面水平放置時(shí)，平行四邊形的一邊畫成水平的；當(dāng)平面豎直放置時(shí)，平行四邊形的一邊畫成豎直的.畫圖時(shí)通常把平行四邊形的銳角畫成45°，一邊畫成鄰邊的2倍長(zhǎng).如何表示一個(gè)平面？

抽象概括（二）空間點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系

直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，平面內(nèi)也有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，直線和平面都可以看作是由滿足一定條件的無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的集合，因此，可以借助集合符號(hào)來(lái)表示點(diǎn)與直線、點(diǎn)與平面、直線與直線以及直線與平面的位置關(guān)系。抽象概括抽象概括圖形表示符號(hào)表示文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示文字語(yǔ)言抽象概括例題講析

合作交流

課堂練習(xí)

課堂小結(jié)1平面的概念；2點(diǎn)、線、面的基本位置關(guān)系，文字、符號(hào)、圖形語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化.17.1.2平面的基本性質(zhì)（一）五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第四冊(cè)）》問(wèn)題探究借助三角板和平整的桌面動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，觀察并思考：（1）把三角板的一個(gè)頂點(diǎn)放在桌面上時(shí)，三角板和桌面有公共點(diǎn)，三角板所在的平面與桌面所在平面有多少個(gè)公共點(diǎn)？這些公共點(diǎn)有怎樣的位置關(guān)系？（2）把三角板的兩個(gè)頂點(diǎn)放在桌面上時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)這條邊就緊貼在桌面上，這說(shuō)明什么？（3）把三角板的三個(gè)頂點(diǎn)都放在桌面上時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)整個(gè)三角板都緊貼在桌面上，這又說(shuō)明什么？公理1如果一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．抽象概括

公理2如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過(guò)該點(diǎn)的公共直線．抽象概括

公理3經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且僅有一個(gè)平面．抽象概括

例題講析例2判斷下列說(shuō)法是否正確.（1）因?yàn)橹本€可以向兩端無(wú)限延長(zhǎng)，所以它有可能超出其所在的平面；（2）兩個(gè)平面相交，可以有兩條不同的交線；（3）不重合的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面.例題講析

合作交流常見(jiàn)的自行車的撐腳有哪幾種設(shè)計(jì)？為什么要這樣設(shè)計(jì)？課堂練習(xí)

（第1題）課堂練習(xí)2.如圖，三條直線兩兩相交于A，B，C三點(diǎn)，這三條直線在同一個(gè)平面內(nèi)嗎？為什么？（第2題）課堂小結(jié)1識(shí)記平面的基本性質(zhì)的3個(gè)公理.17.1.3平面的基本性質(zhì)（二）五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第四冊(cè)）》問(wèn)題探究不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，那么：（1）直線和直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面嗎？（2）兩條相交直線可以確定一個(gè)平面嗎？（3）兩條平行直線可以確定一個(gè)平面嗎？推論1直線和直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面．抽象概括推論3兩條平行直線可以確定一個(gè)平面.推論2兩條相交直線可以確定一個(gè)平面．例題講析

思維拓展如圖，用兩條細(xì)繩檢驗(yàn)小方凳四條腿的底端是否在同一平面內(nèi)，可以怎么做？課堂練習(xí)1.判斷下列說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由．（1）一點(diǎn)和一條直線可以確定一個(gè)平面；（2）如果三條直線兩兩相交，那么它們?cè)谕粋€(gè)平面內(nèi);（3）如果兩條直線分別與兩條平行直線都相交，那么這兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi).2.一扇門可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)，如果鎖住了，門就固定了，這里涉及什么原理？課堂練習(xí)

（第3題）課堂小結(jié)1識(shí)記平面的基本性質(zhì)的3個(gè)推論并應(yīng)用17.2.1平面直線五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第四冊(cè)）》問(wèn)題探究

公理4平行于同一條直線的兩條直線互相平行．抽象概括

例題講析

等角定理如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等．抽象概括

例題講析

合作交流一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，這兩個(gè)角一定相等嗎？請(qǐng)結(jié)合下圖回答下列問(wèn)題：

課堂練習(xí)1.如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片對(duì)折兩次后打開(kāi)，這些折痕所在的直線是否平行？為什么？（第1題）

課堂練習(xí)

（第4題）

課堂小結(jié)1識(shí)記公理4和等角定理17.2.2異面直線五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第四冊(cè)）》問(wèn)題探究

畫異面直線時(shí)，為了顯示它們不共面的特點(diǎn)，通常用一個(gè)或者兩個(gè)平面來(lái)襯托。抽象概括（一）異面直線的概念異面直線：一般地，不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線.

2.共面直線：兩條相交或平行的直線又稱為共面直線.抽象概括（二）空間兩條直線的位置關(guān)系1.相交直線----有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，兩直線在同一個(gè)平面內(nèi)；

平行直線----沒(méi)有公共點(diǎn)，兩直線在同一個(gè)平面內(nèi)；

異面直線----沒(méi)有公共點(diǎn)，兩直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi).例題講析

抽象概括（三）異面直線的判定定理平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的連線與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.例題講析

合作交流如果兩個(gè)相交平面內(nèi)各有一條直線與交線相交，那么這兩條直線有怎樣的位置關(guān)系？課堂練習(xí)1．判斷下列說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由.（1）過(guò)直線外一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線與已知直線異面；（2）過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)和平面外一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)所有的直線異面；（3）兩條異面直線不可能平行于同一條直線.2．在兩個(gè)相交平面內(nèi)各畫一條直線，使它們成為：（1）平行直線；（2）相交直線；（3）異面直線.3．若一條直線和兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條直線的位置關(guān)系是（

）.A．平行B．相交

C．異面D．相交或異面課堂練習(xí)

（第4題）課堂小結(jié)1異面直線的概念17.2.3異面直線所成的角五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第四冊(cè)）》問(wèn)題探究

抽象概括

(1)(2)(3)

抽象概括（二）異面直線垂直例題講析

合作交流

課堂練習(xí)

（第2題）課堂小結(jié)1異面直線所成角的定義2會(huì)求正方體中的異面直線所成的角17.3.1直線與平面平行的判定五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第三冊(cè)）》問(wèn)題探究

當(dāng)門關(guān)閉時(shí)，門的四條邊所在的直線都在門框所在的平面內(nèi).當(dāng)門打開(kāi)時(shí)，門的四條邊所在的直線與門框所在的平面有什么樣的位置關(guān)系？

問(wèn)題探究

通過(guò)觀察可知，當(dāng)門打開(kāi)時(shí)，門的四條邊所在的直線有的在門框所在的平面內(nèi)，有的與這個(gè)平面相交，還有的既不在這個(gè)平面內(nèi)也不與這個(gè)平面相交.

由公理1可知，若直線a在平面a內(nèi)，則直線a上的所有點(diǎn)都在平面a內(nèi).此時(shí)直線a與平面a有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，如圖(1).抽象概括

一般地，若直線a和平面

有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則稱直線a與平面相交.如圖(2)，直線a與平面α相交于點(diǎn)A，可記作a∩

=A.

若直線a和平面

沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱直線a與平面

平行，記作a//

，如圖(3).抽象概括因此，一條直線和一個(gè)平面的位置關(guān)系有且只有以下三種：（1）直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；（2）直線與平面相交——有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）直線與平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn).直線與平面相交或平行統(tǒng)稱為直線在平面外.抽象概括

如圖，將長(zhǎng)方形卡紙ABCD沿對(duì)稱軸EF對(duì)折，固定平面ABFE，通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)卡紙的一邊CD繞EF旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線CD與直線AB平行或重合；當(dāng)直線CD不在平面ABFE內(nèi)時(shí)，直線CD與平面ABFE平行.直線與平面平行的判定定理如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線就和這個(gè)平面平行.抽象概括抽象概括如圖，例題講析例1如圖，空間四邊形ABCD中，E,F分別是AB,AD的中點(diǎn)，求證：EF//平面BCD.例題講析

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1

六個(gè)面所在的平面中，直線AB與哪些平面平行？直線AA1與哪些平面平行？直線AC與哪些平面平行？

思維拓展

有幾種方法可以判斷一條直線與一個(gè)平面平行？分別需要滿足哪些條件？課堂練習(xí)

1.判斷下列說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由.（1）如果一條直線不在某個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線與這個(gè)平面平行.（2）過(guò)平面外一點(diǎn)，可以作無(wú)數(shù)條直線與這個(gè)平面平行.（3）如果兩條平行直線中有一條直線平行于一個(gè)平面，那么另一條直線也與這個(gè)平面平行.（4）如果兩條直線都平行于同一個(gè)平面，那么這兩條直線互相平行.課堂練習(xí)2.如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1六個(gè)面所在的平面中，與直線CD平行的平面有

，與直線AD平行的平面有

，與直線A1D平行的平面有

課堂練習(xí)3.如圖，平面

與?ABC的兩邊AB,AC分別交于D,B兩點(diǎn)，且AD:DB=AB:BC,求證：BC//平面..課堂小結(jié)1.空間中直線與平面的位置關(guān)系2.直線與平面平行的判定17.3.2直線與平面平行的性質(zhì)五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第三冊(cè)）》問(wèn)題探究

若一條直線和一個(gè)平面平行，則它和這個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，平面內(nèi)的任意一條直線和這條直線的位置關(guān)系就是平行或者異面.如何在平面內(nèi)找到與這條直線平行的直線呢？

問(wèn)題探究

木工師傅處理如圖17-30所示的一塊木料，他打算經(jīng)過(guò)點(diǎn)

P和BC,將木料鋸開(kāi)，已知

，他應(yīng)該怎樣畫線確定截面呢？

如圖17-31所示，假定木工師傅是這樣畫線確定截面的，那么直線EF和直線BC之間有怎樣的關(guān)系？因?yàn)?，直線

EF

在平面內(nèi)，所以直線

EF

和直線BC

沒(méi)有公共點(diǎn)，而這兩條直線又同在截面內(nèi)，所以直線EF

與直線BC

平行.圖17-30圖17-31抽象概括

直線與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，且經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行．

如圖17-32，若

，

，

，則

.圖17-32例題講析例3如圖17-33，直線AB//平面，經(jīng)過(guò)的兩個(gè)平面和分別和平面交于直線a,b.求證：a//b．圖17-33合作交流

已知直線

和平面

平行，問(wèn)：平面

內(nèi)有多少條直線和直線

平行？這些直線之間的位置關(guān)系是怎樣的？課堂練習(xí)1．直線，，過(guò)點(diǎn)平行于的直線(

).A．只有一條，且不在平面內(nèi)

B．有無(wú)數(shù)條，但不一定在內(nèi)C．只有一條，且在平面內(nèi)

D．有無(wú)數(shù)條，且都在內(nèi)2.若

，

，則直線

與平面

的位置關(guān)系是3．如圖,已知

，

，

且

，求證：（第3題）課堂小結(jié)1.空間中直線與平面的位置關(guān)系2.直線與平面平行的性質(zhì)17.3.3直線與平面垂直的判定和性質(zhì)五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第三冊(cè)）》問(wèn)題探究

當(dāng)直線與平面相交時(shí)，直線與平面垂直的情形隨處可見(jiàn)，那么如何判斷直線與平面是否垂直呢？

問(wèn)題探究

當(dāng)直線與平面相交時(shí)，直線與平面垂直的情形隨處可見(jiàn)，那么如何判斷直線與平面是否垂直呢？

圖17-34通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，書脊和各頁(yè)與桌面的交線都垂直，和桌面也垂直，且和桌面內(nèi)的任意一條直線都垂直.問(wèn)題探究

一般地,若直線

與平面

內(nèi)的任意一條直線都垂直，則稱直線

與平面

垂直，記作

.直線

稱為平面

的垂線，平面

稱為直線

的垂面，它們的唯一公共點(diǎn)

稱為垂足.

畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直.如圖17-35，

，垂足為

.

圖17-35抽象概括

直線和平面垂直的判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線與這個(gè)平面垂直.如圖17-36，若

則

圖17-36例題講析例4如圖17-37，為正方體.（1）試判斷與的位置關(guān)系.（2）與垂直嗎？為什么？（3）求證：.圖17-37合作交流

如圖17-38，長(zhǎng)方體

中，棱

所在的直線與平面

有怎樣的位置關(guān)系？這四條棱所在的直線之間又有怎樣的位置關(guān)系？抽象概括

直線與平面垂直的性質(zhì)定理如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線互相平行.

如圖17-39，若則.圖17-39例題講析例5如圖17-40，已知直線和平面平行，過(guò)直線上任意兩點(diǎn)A,B，分別引平面的垂線AA1，BB1

，垂足分別為A1,B1

求證：AA1=BB1.圖17-40思維拓展如圖17-41，旗桿AB高8，它的頂端A處掛有一條10長(zhǎng)的繩子，拉緊繩子并把它的下端分別放在地面上的兩點(diǎn)（點(diǎn)B,C,D不在同一直線上）.若這兩點(diǎn)到底端點(diǎn)的距離均為6m，則旗桿和地面有怎樣的位置關(guān)系？圖17-41課堂練習(xí)

1．如圖，若

，

平面

平面

，則在

和

的邊所在的直線中，與

垂直的直線有，與

垂直的直線有.課堂練習(xí)2.如圖，已知平面

垂足是

，垂足是

，試判斷：（1）直線

與

的位置關(guān)系；（2）直線

與平面

的位置關(guān)系.課堂小結(jié)1.空間中直線與平面的位置關(guān)系2.直線與平面垂直的判定與性質(zhì)17.3.4直線與平面所成的角五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第三冊(cè)）》問(wèn)題探究

我國(guó)是一個(gè)有著悠久造橋歷史的國(guó)家，也是一個(gè)擁有世界頂級(jí)造橋技術(shù)的國(guó)家.現(xiàn)在外出旅游到處可見(jiàn)各式各樣美輪美奐的斜拉橋，每座斜拉橋都有很多根斜拉索，這些斜拉索相對(duì)于橋面的傾斜程度明顯不同，那么，如何表示這些不同的傾斜程度呢？

直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情形，如果一條直線與一個(gè)平面相交且不垂直，那么就稱這條直線為這個(gè)平面的斜線.

問(wèn)題探究

如圖17-42，在長(zhǎng)方體

中，直線BA1,BD1，是平面ABCD的兩條斜線，如何表示它們相對(duì)于平面的傾斜程度？通過(guò)變換角度觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，斜線BA1在平面ABCD內(nèi)的正投影為直線BA,用BA和BA1的夾角來(lái)表示斜線BA1相對(duì)于平面ABCD的傾斜程度是合理的（這個(gè)角是斜線BA1與平面ABCD內(nèi)所有過(guò)點(diǎn)B的直線的夾角中最小的角）.同樣的，斜線BD1在平面ABCD內(nèi)的正投影為直線BD,用BD和BD1的夾角來(lái)表示斜線相對(duì)于平面ABCD的傾斜程度是合理的，如圖17-43.圖17-42圖17-43問(wèn)題探究

斜線與平面的交點(diǎn)稱為斜足.過(guò)斜線上一點(diǎn)（除斜足外）向平面引垂線，過(guò)垂足與斜足的直線稱為斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影（正投影）.如圖17-44，直線

為平面

的斜線，點(diǎn)A為斜足，直線PO為平面

的垂線，點(diǎn)O為垂足，直線OA就是斜線PA在平面

內(nèi)的射影.線段PO的長(zhǎng)稱為點(diǎn)到平面的距離.圖17-44抽象概括一般地，平面的一條斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，稱為這條斜線與這個(gè)平面所成的角.特別地，若一條直線與一個(gè)平面垂直，則稱它們所成的角是直角；若一條直線與一個(gè)平面平行或在這個(gè)平面內(nèi)，則稱它們所成的角是0°.因此，直線與平面所成的角的取值范圍是.抽象概括

容易證明，如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線上的任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離為定值，這個(gè)定值稱為這條直線到這個(gè)平面的距離.

例題講析例5如圖17-45,在棱長(zhǎng)為1的正方體中，求：（1）直線與底面所成角的大?。唬?）直線到平面ADD1A1的距離.圖17-45合作交流從平面外一點(diǎn)向平面引若干斜線段（指以該點(diǎn)和斜足為短線的線段），如果斜線段的長(zhǎng)相等，那么它們?cè)谄矫鎯?nèi)的射影長(zhǎng)相等嗎？思維拓展虎丘塔，又稱云巖寺塔，是馳名中外的宋代古塔，建于公元959—961年，比意大利著名的比薩斜塔早建200多年，被尊稱為“中國(guó)第一斜塔”.該塔為仿樓閣式磚木結(jié)構(gòu)，共七層，高47.5.從明代起，虎丘塔開(kāi)始向西北傾斜，現(xiàn)塔頂中心偏離底層中心2.34，求該塔與地面所成角的大?。ň_到0.1°）.課堂練習(xí)1.如果兩條直線與同一個(gè)平面所成的角相等，那么這兩條直線一定平行嗎？2.已知斜線段的長(zhǎng)是它在平面上射影長(zhǎng)的倍，求斜線段所在直線與該平面所成的角.3.如圖，長(zhǎng)方體中

，

，

，

，求：（1）直線

與平面

所成角的大小；（2）直線

到平面CDD1C1的距離.課堂小結(jié)1.空間中直線與平面的位置關(guān)系2.直線與平面垂直的判定與性質(zhì)17.4.1平面與平面平行的判定五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第三冊(cè)）》問(wèn)題探究

前面研究了直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，那么兩個(gè)平面有哪幾種位置關(guān)系呢？在立體幾何中，我們所說(shuō)的兩個(gè)平面是指不重合的兩個(gè)平面.如圖17-47，觀察長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1.平面AC與平面A1C1有沒(méi)有公共點(diǎn)？平面AC與長(zhǎng)方體的四個(gè)側(cè)面有沒(méi)有公共點(diǎn)？長(zhǎng)方體的六個(gè)面相互之間有怎樣的位置關(guān)系？抽象概括一般地，若兩個(gè)平面，沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱平面互相平行，記作（如圖17-48）.若兩個(gè)平面，有一個(gè)公共點(diǎn)，則稱平面，相交于過(guò)該點(diǎn)的公共直線，記作（如圖17-49）.

圖17-48

圖17-49抽象概括

兩個(gè)平面的位置關(guān)系有且只有兩種：（1）兩平面平行———沒(méi)有公共點(diǎn)；（2）兩平面相交———有一條公共直線（無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)）.

兩個(gè)平面平行的判定定理

如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行.如圖17-50，若，，，且，，則.抽象概括

兩個(gè)平面平行的判定定理

如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行.若且，則例題講析例1如圖，已知兩個(gè)全等的正方形ABCD，ABEF不在同一個(gè)平面內(nèi)，求證：平面ADF//平面BCE.推論:如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個(gè)平面互相平行.

課堂練習(xí)1.如圖，長(zhǎng)方體

六個(gè)面所在的平面中，與平面

平行的平面有，與平面

平行的有，與平面

相交的平面有.課堂練習(xí)2.下列命題中正確的是（）.A.如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行B.如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行C.如果一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行D.如果一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行3.若一個(gè)平面內(nèi)有不同的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等,則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是（).A.平行B.相交C.平行或相交D.無(wú)法判斷課堂練習(xí)4.三棱錐V-ABC中,D,E,F分別是棱VA,VB,VC的中點(diǎn),求證:平面DEF//平面ABC.課堂小結(jié)1.空間中平面與平面的位置關(guān)系2.平面與平面平行的判定17.4.2平面與平面平行的性質(zhì)五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第三冊(cè)）》問(wèn)題探究由兩個(gè)平面平行的定義可知，兩個(gè)平行平面沒(méi)有公共點(diǎn).除此之外，平行平面還有什么性質(zhì)？下圖中，平面ADF//平面BCE且CD//EF，直線DF與CE有怎樣的位置關(guān)系？因?yàn)镃D//EF，所以CD與EF在同一平面CDFE內(nèi).因?yàn)槠矫鍭DF//平面BCE，而DF和CE分別在這兩個(gè)平行平面內(nèi)，所以DF和CE沒(méi)有公共點(diǎn)，也即DF和CE平行.抽象概括

兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行.例題講析例2求證：夾在兩個(gè)平行平面間的兩條平行線段的長(zhǎng)相等.已知：如圖，，點(diǎn)A,D在平面內(nèi)，點(diǎn)B,C在平面內(nèi)，且AB//CD.求證：AB=CD.

如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離為定值.這個(gè)定值稱為這兩個(gè)平行平面間的距離.合作交流

如果一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面垂直，那么它與另一個(gè)平面也垂直嗎？課堂練習(xí)1.已知平面

平面

,直線

?

,求證:

.2.如圖,已知,

求證:(1)

;(2)

.課堂小結(jié)1.空間中平面與平面的位置關(guān)系2.平面與平面平行的性質(zhì)17.4.3二面角五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第三冊(cè)）》問(wèn)題探究使用筆記本電腦時(shí),需將折疊在一起的顯示屏和鍵盤（所在平面）打開(kāi)成一定角度，而且不同的使用者打開(kāi)的角度也不盡相同.如何表示這個(gè)角度呢?如圖，長(zhǎng)方體中ABCD-A1B1C1D1，平面AB1//平面DC1，平面BC1與平面AC垂直，而平面A1BCD1與平面AC斜交成一個(gè)確定的角度，如何來(lái)表示這個(gè)角度呢？問(wèn)題探究

平面內(nèi)的任意一條直線可以把這個(gè)平面分成兩部分，其中的每一部分都可以看作是從這條直線出發(fā)的半平面.通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，圖（1）中的平面A1BCD1和平面AC可以看作是由直線BC出發(fā)的兩個(gè)半平面，這兩個(gè)半平面在與直線BC垂直的平面DC1內(nèi)的正投影構(gòu)成一個(gè)角，如圖（2）.（1）

（2）問(wèn)題探究圖(1）長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥BC，A1B⊥BC，∠ABA1的大小與圖17-54（2）中正投影所構(gòu)成的角大小相等.事實(shí)上，以直線BC上的任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別畫垂直于BC的射線，它們所成的角與∠ABA1都相等，因此，可以用∠ABA1的大小來(lái)表示兩個(gè)半平面所成角的大小.（1）

（2）抽象概括

一般地，由一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，這兩個(gè)半平面都稱為二面角的面.

右圖是棱為AB、兩個(gè)半平面分別為

,的二面角,記作二面角

,也可記作二面角

.抽象概括如圖，以二面角

的棱

上的任意一點(diǎn)O為端點(diǎn)，在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線OA和OB，則這兩條射線所成的角∠AOB稱為二面角

的平面角.二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量，二面角的平面角是多少度,就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度.規(guī)定：二面角

的取值范圍是

.平面角是直角的二面角稱為直二面角，直二面角的兩