第七章 第1講 基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積

第七章立體幾何與空間向量單擊添加副標(biāo)題第1講基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積教材幫讀透教材融會(huì)貫通高考幫研透高考明確方向03練習(xí)幫練透好題精準(zhǔn)分層01單擊添加標(biāo)題單擊此處添加正文02單擊添加標(biāo)題單擊此處添加正文目錄Contents課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)1.認(rèn)識(shí)柱、錐、

臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合

體的結(jié)構(gòu)特征，能

運(yùn)用這些特征描述

現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物

體的結(jié)構(gòu).基本立

體圖形2023新高考卷ⅠT12；2023全

國(guó)卷甲T15；2023全國(guó)卷甲

T16；2021新高考卷ⅠT3；

2020新高考卷ⅠT16；2020全

國(guó)卷ⅠT3；2019全國(guó)卷ⅡT16該講每年必考，命題

重點(diǎn)為空間幾何體的

結(jié)構(gòu)，難度可大可

小；空間幾何體的表

面積和體積的計(jì)算，

難度中等；課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)2.知道球、棱柱、

棱錐、棱臺(tái)的表面

積和體積的計(jì)算公

式，能用公式解決

簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.空間幾

何體的

表面積

(側(cè)面積)2023新高考卷ⅡT9；2022新高

考卷ⅡT7；2021新高考卷ⅡT4；

2021全國(guó)卷甲T14；2020全國(guó)卷

ⅠT10；2020全國(guó)卷ⅡT10；2020

天津T5體積的最值問(wèn)

題，常用函數(shù)思

想和基本不等式

求解，難度中等

偏大；課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)3.能用斜二

測(cè)畫(huà)法畫(huà)出

簡(jiǎn)單空間圖

形(長(zhǎng)方體、

球、圓柱、

圓錐、棱柱

及其簡(jiǎn)單組

合)的直觀

圖.空間幾

何體的

體積2023新高考卷ⅠT14；2023新高考卷ⅡT9；

2023新高考卷ⅡT14；2023全國(guó)卷乙T8；

2023天津T8；2022新高考卷ⅠT4；2022新

高考卷ⅠT8；2022新高考卷ⅡT11；2022全

國(guó)卷乙T9；2022全國(guó)卷甲T9；2022天津

T8；2021新高考卷ⅠT12；2021新高考卷

ⅡT5；2021全國(guó)卷甲T11；2020新高考卷

ⅡT13；2020全國(guó)卷ⅢT15；2019全國(guó)卷

ⅠT12；2019全國(guó)卷ⅢT16與球有關(guān)的切、

接問(wèn)題，對(duì)直觀

想象核心素養(yǎng)要

求較高，難度中

等偏大.題型以選

擇題和填空題為

主.預(yù)計(jì)2025年高

考命題穩(wěn)定.1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱(chēng)棱柱棱錐棱臺(tái)圖形

底面互相①

?且全等多邊形互相平行且②

?側(cè)棱平行且相等相交于③

?，

但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但

不一定相等側(cè)面形狀④

?三角形⑤

?平行相

似一點(diǎn)平行四邊形梯形規(guī)律總結(jié)1.幾種特殊棱柱的結(jié)構(gòu)特征及之間的關(guān)系2.正棱錐的結(jié)構(gòu)特征(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱(chēng)圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形

旋轉(zhuǎn)圖形矩形⑥

?

?⑦

?半圓形母線互相平行且相等，

⑧

?相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)軸截面全等的⑨

?全等的⑩

?

?全等的等腰梯形圓側(cè)面展開(kāi)圖?

??

?扇環(huán)直角三角形

直角梯形垂直于底面矩形等腰

三角形矩形扇形2.立體圖形的直觀圖(1)畫(huà)法：常用斜二測(cè)畫(huà)法.(2)規(guī)則a.原圖形中

x

軸、

y

軸、

z

軸兩兩垂直，直觀圖中，∠x(chóng)'O'y'＝?

(O'為

x'軸與y'軸的交點(diǎn))，z'軸與x'軸和y'軸所在平面?

?.b.原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍?

于坐標(biāo)軸.c.平行于

x

軸和

z

軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度?

，平行于

y

軸的線段長(zhǎng)

度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的?

?.(3)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的平面圖形的直觀圖的面積與原圖形面積的關(guān)系：

S

直觀圖＝

?

S

原圖形.45°或135°

垂直平行不變一半

3.簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積(1)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖

側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝?

?S圓錐側(cè)＝?

?S圓臺(tái)側(cè)＝?

?

?2πrl

πrl

π(r＋r')l

(2)簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝?

?錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝?

?臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下球S＝?

?V＝?

?S底h

4πR2

1.[易錯(cuò)題]如圖，長(zhǎng)方體

ABCD

－A'B'C'D'被平面

EFGH

截去幾何體B'C'HEFG，其中

EH

∥A'D'，則剩下的幾何體是(C)A.棱臺(tái)B.四棱柱C.五棱柱D.六棱柱C123452.[多選/教材改編]給出下列命題，其中錯(cuò)誤的是(ABD)A.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱B.三棱錐的四個(gè)面最多有三個(gè)直角三角形C.在四棱柱中，若兩個(gè)過(guò)相對(duì)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱D.以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐ABD123453.[易錯(cuò)題]圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為6π和4π的矩形，則圓柱的表面積為

?

?.24π2＋18π

或24π2＋8π

123454.用一個(gè)半徑為10cm的半圓紙片卷成一個(gè)最大的無(wú)底圓錐，放在水平桌面上，被

一陣風(fēng)吹倒，如圖所示，則被吹倒后該無(wú)底圓錐的最高點(diǎn)到桌面的距離為

?.

cm

12345[解析]畫(huà)出示意圖，如圖所示，設(shè)圓錐的底面半徑為

r

，母線長(zhǎng)為

l

.根據(jù)題意知

l

＝10cm，且2π

r

＝π

l

，故

r

＝5cm.所以圓錐的軸截面為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為10cm.

123455.如圖，已知正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1的棱長(zhǎng)為1，則四棱錐

A

1－

BB

1

D

1

D

的體

積為

?.

12345

12345命題點(diǎn)1

基本立體圖形角度1

結(jié)構(gòu)特征例1[多選/2023新高考卷Ⅰ]下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1(單位：m)的正方體

容器(容器壁厚度忽略不計(jì))內(nèi)的有(ABD)A.直徑為0.99m的球體B.所有棱長(zhǎng)均為1.4m的四面體C.底面直徑為0.01m，高為1.8m的圓柱體D.底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體ABD例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5例6

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5例6角度2

直觀圖例2

如圖，矩形O'A'B'C'是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O'A'＝6cm，

O'C'＝2cm，C'D'＝2cm，則原圖形的形狀是

，其面積為

?.菱形

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5例6

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5例6角度3

展開(kāi)圖例3

長(zhǎng)方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

＝1，

AD

＝

AA

1＝2，

E

為棱

AA

1上的動(dòng)

點(diǎn)，平面

BED

1交棱

CC

1于點(diǎn)

F

，則四邊形

BED

1

F

的周長(zhǎng)的最小值為(B)[解析]作出長(zhǎng)方體如圖1，將其側(cè)面展開(kāi)，如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)

E

為

BD

1與

AA

1的交

點(diǎn)，點(diǎn)

F

為BD'1與

CC

1的交點(diǎn)時(shí)，截面四邊形

BED

1

F

的周長(zhǎng)最小，

B例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5例6方法技巧求解空間幾何體表面上兩點(diǎn)間的最短距離問(wèn)題或折線段長(zhǎng)度和的最小值問(wèn)題，常利

用幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖，轉(zhuǎn)化為求平面兩點(diǎn)間的最短距離問(wèn)題.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5例6訓(xùn)練1

(1)[2023全國(guó)卷甲]在正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

E

，

F

分別為

AB

，

C

1

D

1的中點(diǎn).以

EF

為直徑的球的球面與該正方體的棱共有

個(gè)公共點(diǎn).

12

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5例6

[解析]取

AB

的垂直平分線

EO

為

y

軸，則等腰梯形

ABCD

和其直觀圖分別如圖1和

圖2所示.過(guò)點(diǎn)

E

'作

E

'

F

⊥

A

'

B

'于點(diǎn)

F

.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5例6

[解析]設(shè)圓臺(tái)對(duì)應(yīng)圓錐的頂點(diǎn)為

O

，將圓錐沿

AB

所在直線展開(kāi)如圖所示，設(shè)點(diǎn)

A

在展開(kāi)圖中的點(diǎn)為

A

'，依題意得，螞蟻經(jīng)過(guò)的最短路徑為

A

'

B

.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5例6

A.100πB.128πC.144πD.192πA例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5例6

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5例6(2)[2021全國(guó)卷甲]已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為30π，則該圓錐的側(cè)面積

為

?.

39π

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5例6方法技巧求空間幾何體的表面積的常見(jiàn)類(lèi)型及解題思路求多面體

的表面積即求各個(gè)面的面積之和，通常會(huì)利用特殊的四邊形及三角形的面積公

式.求旋轉(zhuǎn)體

的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過(guò)程及其幾何特征入手，將其展開(kāi)后求表面積，但

要搞清旋轉(zhuǎn)體的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開(kāi)圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系.注意

組合體的表面積要注意對(duì)銜接部分的處理.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5例6

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5例6

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5例6

A.πC.3πB例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5例6

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5例6

B例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5例6

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5例6方法技巧求空間幾何體體積的常用方法直接法對(duì)于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計(jì)算.割補(bǔ)法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)

則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算.等體積

法通過(guò)轉(zhuǎn)換底面和高來(lái)求幾何體的體積，即通過(guò)將原來(lái)不容易求面積的底

面轉(zhuǎn)換為容易求面積的底面，或?qū)⒃瓉?lái)不容易看出的高轉(zhuǎn)換為容易看出

并容易求解的高進(jìn)行求解.常用于求三棱錐的體積.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5例6訓(xùn)練3

(1)十字歇山頂是中國(guó)古代建筑屋頂?shù)慕?jīng)典樣式之一，圖1中的故宮角樓的頂部

即為十字歇山頂.其上部可視為由兩個(gè)相同的直三棱柱交疊而成的幾何體(圖2).這兩

個(gè)直三棱柱有一個(gè)公共側(cè)面

ABCD

.

在底面

BCE

中，若

BE

＝

CE

＝3，∠

BEC

＝

120°，則該幾何體的體積為(C)圖1圖2C.27C例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5例6

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5例6

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5例6

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5例6角度2

體積的最值問(wèn)題例6[2022全國(guó)卷乙]已知球

O

的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為

O

，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在

球

O

的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為(C)

C例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5例6方法技巧求解體積的最值問(wèn)題的方法(1)幾何法：根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，先確定體積表達(dá)式中的常量與變量，然后利用

幾何知識(shí)判斷變量什么情況下取得最值，從而確定體積的最值.(2)代數(shù)法：先設(shè)變量，求出幾何體的體積表達(dá)式，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題或利用

不等式求解即可.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5例6

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5例6

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2訓(xùn)練3訓(xùn)練4例4例3例5例6

1.[命題點(diǎn)1角度3]在正三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，

AB

＝

AA

1＝2，

F

是線段

A

1

B

1上

的動(dòng)點(diǎn)，則

AF

＋

FC

1的最小值為

?.

1234圖1

圖2[解析]將正三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1(如圖1)中的△

A

1

B

1

C

1沿

A

1

B

1翻折至平面

ABB

1

A

1上，如圖2所示.在圖2中，連接

AC

1，則

AF

＋

FC

1≥

AC

1.因?yàn)?/p>

AA

1＝

A

1

C

1＝2，且∠

AA

1

C

1＝90°＋60°＝150°，

1234

A.60D1234

設(shè)

A

1

C

1∩

B

1

D

1＝

O

1，

AC

∩

BD

＝

O

2，連接

O

1

O

2，如圖所示.因?yàn)樯稀⑾碌酌嬷?/p>

心的連線與底面垂直，所以

O

1

O

2＝

h

，且四棱臺(tái)的四條側(cè)棱長(zhǎng)相等.1234

1234

A.30πB.40πD1234

12344.[命題點(diǎn)3角度1]如圖1，在直角梯形

ABCD

中，

AD

∥

BC

，

AD

＝

AB

＝4，

BC

＝

2，將四邊形

BCFE

沿中位線

EF

折起，使得∠

AEB

為直角，連接

AB

，

CD

，如圖

2，則所得的幾何體的體積為

?.圖1

圖26

1234

1234

1234

12341.[2024福州市一檢]一個(gè)正四棱臺(tái)形油槽可以裝煤油190000cm3，其上、下底面邊

長(zhǎng)分別為60cm和40cm，則該油槽的深度為(D)B.25cmC.50cmD.75cm

D12345678910111213141516172.[2024武漢部分學(xué)校調(diào)考]某玻璃制品廠需要生產(chǎn)一種如圖1所示的玻璃杯，該玻璃

杯可以近似看成是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓臺(tái)得到的，其近似模型的直觀圖如圖2所

示(圖中數(shù)據(jù)單位為cm)，則該玻璃杯近似模型的體積(單位：cm3)為(A)圖1圖2A1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰(非等邊)三角形D.三邊互不相等的三角形A1234567891011121314151617

12345678910111213141516174.[2024遼寧撫順德才高級(jí)中學(xué)模擬]2023年3月12日，在馬來(lái)西亞吉隆坡舉行的Yong

JunKLSpeedcubing比賽半決賽中，來(lái)自中國(guó)的9歲魔方天才王藝衡以4.69秒的成績(jī)

打破了“解三階魔方平均用時(shí)最短”吉尼斯世界紀(jì)錄.一個(gè)三階魔方由27個(gè)單位正方

體組成，如圖，把魔方的中間一層轉(zhuǎn)動(dòng)了45°，則該魔方的表面積增加了(C)A.54C1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

C1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

A.1C.2D.3A1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

12345678910111213141516179.[2024江西分宜中學(xué)、臨川一中等校聯(lián)考]在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱的

底面直徑為40cm，母線長(zhǎng)最短50cm，最長(zhǎng)80cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積

S

＝

?

cm2.2600π

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

11.[2023山西運(yùn)城高三模擬]巴普士(約公元3～4世紀(jì))，古希臘亞歷山大學(xué)派著名幾

何學(xué)家，生前有大量的著作，但大部分遺失在歷史長(zhǎng)河中，僅有《數(shù)學(xué)匯編》保存

下來(lái).《數(shù)學(xué)匯編》一共8卷，在《數(shù)學(xué)匯編》第3卷中記載著這樣一個(gè)定理：“如果

在同一平面內(nèi)的一個(gè)閉合圖形的內(nèi)部與一條直線不相交，那么該閉合圖形圍繞這條

直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于該閉合圖形的面積與該閉合圖形的重心旋

轉(zhuǎn)所得周長(zhǎng)的積”.已知在梯形

ABCD

中，

AD

∥

BC

，

AB

⊥

BC

，

AB

＝

BC

＝2

AD

＝4，如圖所示，利用上述定理可求得梯形

ABCD

的重心

G

到點(diǎn)

B

的距離為(C)C1234567891011121314151617

123456789101112131415161712.[2024四川部分學(xué)校高三聯(lián)考]已知某圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形

ABCD

，

在該圓柱的底面內(nèi)任取一點(diǎn)

E

，則當(dāng)四棱錐

E

－

ABCD

的體積最大時(shí)，該四棱錐的

側(cè)面積為(B)B1234567891011121314151617

123456789101112131415161713.[2023昆明市“三診一模”]某機(jī)床廠工人將一個(gè)實(shí)心圓錐的舊零件改造成一個(gè)正

四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圓錐的軸上，下底面在圓錐的底面內(nèi).已知該

圓錐的底面圓半徑為3cm，高為3cm，則該正四棱柱體積(單位：cm3)的最大值為

(B)B.8D.9B1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

123456789101112131415161714.[多選/2022新高考卷Ⅱ]如圖，四邊形

ABCD

為正方形，

ED

⊥平面

ABCD

，

FB

∥

ED

，

AB

＝

ED

＝2

FB

.

記三棱錐

E

－

ACD

，

F

－

ABC

，

F

－

ACE

的體積分別為

V

1，

V

2，

V

3，則(CD)A.V3＝2V2B.V3＝V1C.V3＝V1＋V2D.2V3＝3V1CD1234567891011121314151617

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