第十章 第1講 兩個計(jì)數(shù)原理

第十章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第1講兩個計(jì)數(shù)原理單擊此處添加文本具體內(nèi)容，簡明扼要地闡述你的觀點(diǎn)教材幫讀透教材融會貫通高考幫研透高考明確方向03練習(xí)幫練透好題精準(zhǔn)分層01單擊添加標(biāo)題單擊此處添加正文02單擊添加標(biāo)題單擊此處添加正文目錄Contents課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測了解分類加

法計(jì)數(shù)原

理、分步乘

法計(jì)數(shù)原理

及其意義.分類加法計(jì)

數(shù)原理2023新高考卷ⅠT13兩個計(jì)數(shù)原理是解決排列、

組合問題的基本方法，也是

與實(shí)際聯(lián)系密切的部分，既

能單獨(dú)命題，也常與排列組

合問題、概率計(jì)算問題綜合

命題，題型以小題為主，難

度不大.課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測了解分類加

法計(jì)數(shù)原

理、分步乘

法計(jì)數(shù)原理

及其意義.分步乘法計(jì)

數(shù)原理2023全國卷乙T7；2022

新高考卷ⅡT5；2021全

國卷乙T6；2020新高考

卷ⅠT3；2020全國卷

ⅡT14兩個計(jì)數(shù)原理是解決排列、

組合問題的基本方法，也是

與實(shí)際聯(lián)系密切的部分，既

能單獨(dú)命題，也常與排列組

合問題、概率計(jì)算問題綜合

命題，題型以小題為主，難

度不大.課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測了解分類加法計(jì)數(shù)原

理、分步乘法計(jì)數(shù)原

理及其意義.兩個計(jì)數(shù)原理的綜

合應(yīng)用在2025年高考的復(fù)習(xí)備考

中要注意兩個計(jì)數(shù)原理的

區(qū)別并能靈活應(yīng)用.學(xué)生用書P2241.分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有

m

種不同的方法，在第2類方案中有

n

種不同的方法，那么完成這件事共有

N

＝①

種不同的方法.m

＋

n

2.分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有

m

種不同的方法，做第2步有

n

種不同的方

法，那么完成這件事共有

N

＝②

種不同的方法.m

×

n

辨析比較兩個計(jì)數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別原理分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理聯(lián)系都是對完成一件事的方法種數(shù)而言.區(qū)別

一每類方案中的每一種方法都能

獨(dú)立完成這件事.各個步驟都完成才算完成這件事(每步中的

每一種方法都不能獨(dú)立完成這件事).區(qū)別

二各類方法之間是相互獨(dú)立的，

既不能重復(fù)也不能遺漏.各步之間是相互依存的，缺一不可.

1.[多選]下列說法正確的是

(BD)A.在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同B.在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事C.在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨(dú)的步驟都能完

成這件事D.從甲地經(jīng)丙地到乙地是分步問題BD12342.[教材改編]已知某公園有4個門，從一個門進(jìn)，另一個門出，則不同的進(jìn)出公園的

方式有

種.[解析]將4個門分別編號為1，2，3，4，從1號門進(jìn)入后，有3種出門的方式，同

理，從2，3，4號門進(jìn)入，也各有3種出門的方式，故不同的進(jìn)出公園的方式共有

3×4＝12(種).12

12343.[易錯題]某人有3個電子郵箱，他要發(fā)5封不同的電子郵件，則不同的發(fā)送方法

有

種.[解析]因?yàn)槊糠怆娮余]件有3種不同的發(fā)送方法，所以要發(fā)5封電子郵件，不同的

發(fā)送方法有3×3×3×3×3＝243(種).243

12344.[教材改編]書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，

第3層放有2本不同的體育書.從書架中任取1本書，則不同的取法種數(shù)為

?.[解析]分三類：第一類，從第1層取一本書，有4種取法；第二類，從第2層取一本

書，有3種取法；第三類，從第3層取一本書，有2種取法.共有取法4＋3＋2＝9(種).9

1234學(xué)生用書P224命題點(diǎn)1

分類加法計(jì)數(shù)原理例1(1)我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如2022是“六合數(shù)”)，則

首位為2的“六合數(shù)”共有(B)A.18個B.15個C.12個D.9個[解析]依題意，這個四位數(shù)的百位數(shù)、十位數(shù)、個位數(shù)之和為4.由4，0，0組成3個

數(shù)分別為400，040，004；由3，1，0組成6個數(shù)分別為310，301，130，103，013，

031；由2，2，0組成3個數(shù)分別為220，202，022；由2，1，1組成3個數(shù)分別為

211，121，112.共計(jì)3＋6＋3＋3＝15(個).B例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3(2)滿足

a

，

b

∈{－1，0，1，2}，且關(guān)于

x

的方程

ax

2＋2

x

＋

b

＝0有實(shí)數(shù)解的有序

數(shù)對(

a

，

b

)的個數(shù)為

?.[解析]當(dāng)

a

＝0時，

b

的值可以是－1，0，1，2，(

a

，

b

)的個數(shù)為4.當(dāng)

a

≠0時，要

使方程

ax

2＋2

x

＋

b

＝0有實(shí)數(shù)解，需使Δ＝4－4

ab

≥0，即

ab

≤1.若

a

＝－1，則

b

的值可以是－1，0，1，2，(

a

，

b

)的個數(shù)為4；若

a

＝1，則

b

的值可以是－1，0，

1，(

a

，

b

)的個數(shù)為3；若

a

＝2，則

b

的值可以是－1，0，(

a

，

b

)的個數(shù)為2.由分

類加法計(jì)數(shù)原理可知，(

a

，

b

)的個數(shù)為4＋4＋3＋2＝13.13

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3方法技巧分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用思路(1)根據(jù)題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素和關(guān)鍵位置等確定恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要

明確、統(tǒng)一；(2)分類時，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù).例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3訓(xùn)練1集合

P

＝{

x

，1}，

Q

＝{

y

，1，2}，其中

x

，

y

∈{1，2，3，…，9}，且

P

?

Q

.

把滿足上述條件的一對有序整數(shù)對(

x

，

y

)作為一個點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的點(diǎn)的個

數(shù)是(B)A.9B.14C.15D.21[解析]當(dāng)

x

＝2時，

x

≠

y

，

y

可從3，4，5，6，7，8，9中取，有7種方法.當(dāng)

x

≠2

時，由

P

?

Q

，得

x

＝

y

，

x

可從3，4，5，6，7，8，9中取，有7種方法.綜上，滿足

條件的點(diǎn)共有7＋7＝14(個).B例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3命題點(diǎn)2

分步乘法計(jì)數(shù)原理例2(1)[2023全國卷乙]甲、乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選

讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有(C)A.30種B.60種C.120種D.240種[解析]甲、乙二人先選1種相同的課外讀物，有6種情況，再從剩下的5種課外讀物

中各自選1本不同的讀物，有5×4＝20(種)情況，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，共有

6×20＝120(種)選法，故選C.C例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3(2)[多選]有4位同學(xué)報(bào)名參加三個不同的社團(tuán)，則下列說法正確的是(AC)A.每位同學(xué)限報(bào)其中一個社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有34種B.每位同學(xué)限報(bào)其中一個社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有43種C.每個社團(tuán)限報(bào)一個人，則不同的報(bào)名方法共有24種D.每個社團(tuán)限報(bào)一個人，則不同的報(bào)名方法共有33種[解析]對于A選項(xiàng)，第1個同學(xué)有3種報(bào)名方法，第2個同學(xué)有3種報(bào)名方法，后面的

2個同學(xué)也有3種報(bào)名方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理共有34種報(bào)名方法，A正確，B錯

誤；對于C選項(xiàng)，每個社團(tuán)限報(bào)一個人，則第1個社團(tuán)有4種選擇，第2個社團(tuán)有3種

選擇，第3個社團(tuán)有2種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有4×3×2＝24(種)選擇，

C正確，D錯誤.故選AC.AC例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3方法技巧分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用思路根據(jù)事件發(fā)生的過程合理分步，分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不

干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3訓(xùn)練2[多選]某校高二年級安排甲、乙、丙三名同學(xué)到

A

，

B

，

C

，

D

，

E

五個社區(qū)

進(jìn)行暑期社會實(shí)踐活動，每名同學(xué)只能選擇一個社區(qū)進(jìn)行實(shí)踐活動，且多名同學(xué)可

以選擇同一個社區(qū)進(jìn)行實(shí)踐活動，則下列說法正確的有(AC)A.如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有61種B.如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有50種C.如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有60種D.如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個社區(qū)，則不同的安排方法共有20種AC例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3[解析]對于A，如果社區(qū)

A

必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有53－43＝

61(種)，故A正確；對于B，如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)

A

，則不同的安排方法有52＝

25(種)，故B錯誤；對于C，如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法

共有5×4×3＝60(種)，故C正確；對于D，甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個社區(qū)，第

一步，將甲、乙視作一個整體，第二步，兩個整體挑選社區(qū)，則不同的安排方法共

有52＝25(種)，故D錯誤.故選AC.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3命題點(diǎn)3

兩個計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用例3(1)《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，其中記載了“勾股圓方

圖”(如圖)，用以證明勾股定理.現(xiàn)提供4種不同顏色給圖中5個區(qū)域涂色，規(guī)定每個

區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為(C)A.36B.48C.72D.96C例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

②對于區(qū)域

C

，

D

，若區(qū)域

C

與區(qū)域

A

顏色相同，則區(qū)域

D

有2種涂色方法，若區(qū)域

C

與區(qū)域

A

顏色不同，當(dāng)

A

，

B

，

E

涂色確定時，則區(qū)域

C

和區(qū)域

D

涂色方法確

定，只有1種，由分類加法計(jì)數(shù)原理可知區(qū)域

C

，

D

有2＋1＝3(種)涂色方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共有24×3＝72(種)不同的涂色方法.故選C.[解析]

解法一根據(jù)題意得，涂色分2步進(jìn)行：解法二可分兩種情況：①區(qū)域

A

，

C

不同色，先涂區(qū)域

A

有4種，區(qū)域

C

有3種，

區(qū)域

E

有2種，區(qū)域

B

，

D

各有1種，有4×3×2＝24(種)涂法.②區(qū)域

A

，

C

同色，先

涂區(qū)域

A

有4種，區(qū)域

E

有3種，區(qū)域

C

有1種，區(qū)域

B

，

D

各有2種，有4×3×2×2

＝48(種)涂法.故共有24＋48＝72(種)涂色方法.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3(2)由0，1，2，3，4，5，6這7個數(shù)字可以組成

個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù).[解析]要完成的一件事為“組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)”，所以千位數(shù)字不能為

0，個位數(shù)字必須是偶數(shù)，且組成的四位數(shù)中的四個數(shù)字不重復(fù).因此應(yīng)先分類，再

分步.第1類，當(dāng)千位數(shù)字為奇數(shù)，即取1，3，5中的任意一個時，個位數(shù)字可取0，

2，4，6中的任意一個，百位數(shù)字不能取與個位、千位數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位數(shù)字

不能取與個位、百位、千位數(shù)字重復(fù)的數(shù)字.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的取法種

數(shù)為3×4×5×4＝240.第2類，當(dāng)千位數(shù)字為偶數(shù)，即取2，4，6中的任意一個時，

個位數(shù)字可以取除千位數(shù)字外的任意一個偶數(shù)數(shù)字，百位數(shù)字不能取與個位、千位

數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位數(shù)字不能取與個位、百位、千位數(shù)字重復(fù)的數(shù)字.根據(jù)分步乘

法計(jì)數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為3×3×5×4＝180.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，可以組

成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為240＋180＝420.420例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3方法技巧1.利用兩個計(jì)數(shù)原理解決問題的一般步驟2.涂色問題常用的兩種方法例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3訓(xùn)練3(1)如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面

對”.在一個正方體中，由兩個頂點(diǎn)確定的直線與含有四個頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交

線面對”的個數(shù)是(D)A.48B.18C.24D.36[解析]第1類，對于每一條棱，都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的

“正交線面對”有2×12＝24(個)；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個對

角面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個.所以正方體中“正交線面

對”共有24＋12＝36(個).D例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3(2)甲與其四位同事各有一輛汽車，甲的車牌尾號為9，其四位同事的車牌尾號分別

是0，2，1，5.為遵守當(dāng)?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定(奇數(shù)日車牌尾號為奇數(shù)的車

通行，偶數(shù)日車牌尾號為偶數(shù)的車通行)，五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)

定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)為(B)A.64B.80C.96D.120[解析]

5日至9日，有3個奇數(shù)日，2個偶數(shù)日.第一步，安排偶數(shù)日出行，每天都有2

種選擇，不同的用車方案共有2×2＝4(種).第二步，安排奇數(shù)日出行，分兩類討論：

第一類，選1天安排甲的車，不同的用車方案共有3×2×2＝12(種)；第二類，不安

排甲的車，每天都有2種選擇，不同的用車方案共有2×2×2＝8(種).綜上，不同的用

車方案種數(shù)為4×(12＋8)＝80，故選B.B例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

1.[命題點(diǎn)1]設(shè)集合

I

＝{1，2，3，4}，

A

與

B

是

I

的子集，若

A

∩

B

＝{1，2}，則稱

(

A

，

B

)為一個“理想配集”.若將(

A

，

B

)與(

B

，

A

)看成不同的“理想配集”，則

符合此條件的“理想配集”有

個.9

[解析]

對子集

A

分類討論：當(dāng)

A

是{1，2}時，

B

可以為{1，2，3，4}，{1，2，4}，{1，2，3}，{1，2}，共4種

情況；當(dāng)

A

是{1，2，3}時，

B

可以為{1，2，4}，{1，2}，共2種情況；當(dāng)

A

是{1，2，4}時，

B

可以為{1，2，3}，{1，2}，共2種情況；當(dāng)

A

是{1，2，3，4}時，

B

為{1，2}，有1種情況.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有4＋2＋2＋1＝9(種)結(jié)果，即符合此條件的“理想

配集”有9個.12342.[命題點(diǎn)2]已知集合

M

＝{1，－2，3}，

N

＝{－4，5，6，－7}，從

M

，

N

這兩個

集合中各選一個元素分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中

可表示第一、二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個數(shù)是(C)A.12B.8C.6D.4[解析]分兩步：第一步先確定橫坐標(biāo)，有3種情況，第二步再確定縱坐標(biāo)，有2種

情況，因此可表示第一、二象限內(nèi)不同點(diǎn)的個數(shù)是3×2＝6.C12343.[命題點(diǎn)3]如果一個三位正整數(shù)“

a

1

a

2

a

3”滿足

a

1＜

a

2，且

a

2＞

a

3，則稱這樣的

三位數(shù)為凸數(shù)(如120，343，275等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為

?.[解析]若

a

2＝2，則百位數(shù)字只能選1，個位數(shù)字可選1或0，凸數(shù)為120與121，共2個.若

a

2＝3，則百位數(shù)字有兩種選擇，個位數(shù)字有三種

選擇，則凸數(shù)有2×3＝6(個).若

a

2＝4，則凸數(shù)有3×4＝12(個)，……，若

a

2＝9，則

凸數(shù)有8×9＝72(個).所以凸數(shù)共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個).240

12344.[命題點(diǎn)3/2023哈爾濱六中檢測]涂色能鍛煉手眼協(xié)調(diào)能力，更能提高審美能力.現(xiàn)

有四種不同的顏色：湖藍(lán)色、米白色、橄欖綠、薄荷綠，欲給圖中的小房子中的四

個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不涂同一顏色，且橄欖綠與薄荷綠也不涂在相鄰的區(qū)域

內(nèi)，則共有

種不同的涂色方法.66

1234

1234學(xué)生用書·作業(yè)幫P3821.[2024四川成都模擬]“數(shù)獨(dú)九宮格”的游戲規(guī)則為：將1到9這9個自然數(shù)填到如圖

所示的九宮格的9個空格里，每個空格填1個數(shù)，且9個空格的數(shù)字各不相同.若中間

空格已填數(shù)字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至

下所填的數(shù)字都是從小到大排列的，則不同的填法種數(shù)為(C)5A.72B.108C.144D.196C123456789101112[解析]按題意，5的上方和左邊只能從1，2，3，4中選取，5的下方和右邊只能從

6，7，8，9中選取.第一步，填上方空格，有4種填法；第二步，填左方空格，有3種

填法；第三步，填下方空格，有4種填法；第四步，填右方空格，有3種填法.由分步

乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的填法種數(shù)為4×3×4×3＝144.故選C.1234567891011122.[2023全國卷甲]現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日

兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安

排方式共有(B)A.120種B.60種C.30種D.20種[解析]先從5人中選擇1人兩天均參加公益活動，有5種方式；再從余下的4人中選2

人分別安排到星期六、星期日，有4×3＝12(種)安排方式.所以不同的安排方式共有

5×12＝60(種).故選B.B1234567891011123.[2024北京市順義區(qū)聯(lián)考]某班一天上午有4節(jié)課，下午有2節(jié)課.現(xiàn)要安排該班一天

中語文、數(shù)學(xué)、政治、英語、體育、藝術(shù)6門課的課程表，要求數(shù)學(xué)課排在上午，

體育課排在下午，則不同的排法有(D)A.48種B.96種C.144種D.192種[解析]

由題意，要求數(shù)學(xué)課排在上午，體育課排在下午，先考慮這兩門課程，有

4×2＝8(種)排法，再排其余4節(jié)課，有4×3×2×1＝24(種)排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)

原理，共有8×24＝192(種)排法，故選D.D1234567891011124.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，已知甲同學(xué)喜歡牛、馬和猴的吉祥物，乙同學(xué)喜

歡牛、狗和羊的吉祥物，丙同學(xué)對所有的吉祥物都喜歡.讓甲、乙、丙三位同學(xué)依次

從中選一個珍藏，若每個人所選取的吉祥物都是自己喜歡的，則不同的選法共有

(C)A.50種B.60種C.80種D.90種[解析]

根據(jù)題意，按甲的選擇分兩類討論：第一類，若甲選擇牛的吉祥物，則乙

的選法有2種，丙的選法有10種，此時不同的選法有2×10＝20(種)；第二類，若甲

選擇馬或猴的吉祥物，則甲的選法有2種，乙的選法有3種，丙的選法有10種，此時

不同的選法有2×3×10＝60(種).所以不同的選法共有20＋60＝80(種).故選

C

.

C1234567891011125.[2023南京六校聯(lián)考]如圖，用4種不同的顏色把圖中

A

，

B

，

C

，

D

四塊區(qū)域區(qū)分

開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有(C)A.144種B.73種C.48種D.32種[解析]由于

A

，

B

，

C

三塊區(qū)域兩兩相鄰，因此需填涂3種不同的顏色.①當(dāng)

D

區(qū)域

與

A

區(qū)域顏色相同時，只需從4種不同的顏色中選取3種分別填涂到

A

，

B

，

C

三塊

區(qū)域，有4×3×2＝24(種)涂法；②當(dāng)

D

區(qū)域與

A

區(qū)域顏色不同時，只需將4種不同

的顏色分別填涂到

A

，

B

，

C

，

D

四塊區(qū)域，有4×3×2×1＝24(種)涂法.所以不同

的涂法共有24＋24＝48(種)，故選C.C1234567891011126.如圖所示，從正八邊形的八個頂點(diǎn)中任選三個構(gòu)成三角形，則與正八邊形有公共

邊的三角形有

個(用數(shù)字作答).[解析]把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：第一類，有一條公共邊的三角

形，此類三角形由正八邊形中兩個相鄰的頂點(diǎn)和一個與所選頂點(diǎn)均不相鄰的頂點(diǎn)構(gòu)

成，共有8×4＝32(個)；第二類，有兩條公共邊的三角形，此類三角形由正八邊形

中三個相鄰的頂點(diǎn)構(gòu)成，共有8個.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有32＋8＝40(個).40

1234567891011127.[2023北京通州區(qū)質(zhì)檢]一個三位數(shù)，如果滿足個位上的數(shù)字和百位上的數(shù)字都大

于十位上的數(shù)字，那么我們稱該三位數(shù)為三位數(shù)“凹數(shù)”，則沒有重復(fù)數(shù)字的三位

數(shù)“凹數(shù)”的個數(shù)為

.(用數(shù)字作答)[解析]依題意，無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)“凹數(shù)”，十位數(shù)字只可能為0，1，2，3，

4，5，6，7之一，個位和百位上的數(shù)字從比對應(yīng)十位數(shù)字大的數(shù)字中任取兩個進(jìn)行

排列，所以沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)“凹數(shù)”的個數(shù)為9×8＋8×7＋7×6＋6×5＋

5×4＋4×3＋3×2＋2×1＝72＋56＋42＋30＋20＋12＋6＋2＝240.240

123456789101112

8.[2024北京市景山學(xué)校期末]在0，1，2，3，4，5，6這7個數(shù)中任取4個數(shù)，將其組

成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被5整除且比4351大的數(shù)共有(C)A.54個B.62個C.74個D.82個[解析]根據(jù)被5整除的數(shù)特點(diǎn)，分成兩類.第一類：個位為0，則千位為5或6時，有

2×5×4＝40(個)四位數(shù)大于4351；千位為4，百位為5或6時，有2×4＝8(個)四位數(shù)

大于4351；千位為4，百位為3時，十位為6，有1個四位數(shù)大于4351.第二類：個位為5，則千位為6時，有5×4＝20(個)四位數(shù)大于4351；千位為4，百位

是6時，有4個四位數(shù)大于4351；千位為4，百位為3時，有1個四位數(shù)大于435