人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下大單元結(jié)構(gòu)化整合系列16.3 二次根式的加減八大題型解題技巧（含解析）

人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下大單元結(jié)構(gòu)化整合系列16.3二次根式的加減八大題型解題技巧知識(shí)要點(diǎn)歸納知識(shí)要點(diǎn)歸納知識(shí)點(diǎn)一、可以合并的二次根式的定義1.將一些二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，則這樣的二次根式就稱(chēng)為可合并的二次根式。2.合并二次根式的方法將根號(hào)外的因數(shù)相加，根指數(shù)和被開(kāi)方數(shù)不變。知識(shí)點(diǎn)二、二次根式的加減二次根式加減法則二次根式加減時(shí)，先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式合并。二次根式加減運(yùn)算的步驟化：將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，找：找出化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式。合：合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式——系數(shù)相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開(kāi)方數(shù)不變。知識(shí)點(diǎn)三、二次根式的混合運(yùn)算二次根式混合運(yùn)算種類(lèi)二次根式的加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算。二次根式混合運(yùn)算的順序二次根式混合運(yùn)算順序與整式混合運(yùn)算順序相同，先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的（或先去括號(hào)）。題型歸納【題型1判斷二次根式能否合并】【題型2根據(jù)能合并的二次根式特征求值】【題型3二次根式的加減】【題型4二次根式的混合運(yùn)算】【題型5一般二次根式化簡(jiǎn)求值】【題型6對(duì)稱(chēng)式的二次根式的求值】【題型7二次根式的整數(shù)部分、小數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算】【題型8二次根式的實(shí)際應(yīng)用】題型突破、典例精析【題型1判斷二次根式能否合并】【例1-1】．下列各式中，能與2合并的是（）A．4 B．24 C．12 D．8【例1-2】．寫(xiě)出一個(gè)最簡(jiǎn)二次根式，使它與12可以進(jìn)行合并，這個(gè)二次根式可以是．（寫(xiě)一個(gè)即可）解題技巧可以合并的二次根式必須同時(shí)滿(mǎn)足是最簡(jiǎn)二次根式和被開(kāi)方數(shù)相同兩個(gè)條件。與根號(hào)外的因數(shù)無(wú)關(guān)。被開(kāi)方數(shù)不同的二次根式不能合并?！咀兪?-1】．下列二次根式中，能與3合并的是（）A．8 B．18 C．12 D．6【變式1-2】．下列各式中，能與12合并的是（）A．8 B．20 C．27 D．32【變式1-3】．下列計(jì)算中，正確的是（）A．4?3=1 B．2×3=6【變式1-4】．下列二次根式中，可以與3合并的是（）A．6 B．9 C．12 D．18【題型2根據(jù)能合并的二次根式特征求值】【例2-1】．若最簡(jiǎn)二次根式2a+5與3a?2可以合并，則a的值為．解題技巧（1）.判斷兩個(gè)二次根式是否能合并，首先要將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，然后判斷被開(kāi)方數(shù)是否相同，相同就能合并，不相同就不能合并。（2）.幾個(gè)二次根式能否合并，只與被開(kāi)方數(shù)有關(guān)，與根號(hào)前面的系數(shù)無(wú)關(guān)。【變式2-1】．若最簡(jiǎn)二次根式1?a與33可以合并，則a2的值【變式2-2】．若12與最簡(jiǎn)二次根式52a?1可以合并，則a＝【變式2-3】．若最簡(jiǎn)二次根式2a?5與11?2a可以合并，則a的值是（）A．1 B．2.5 C．3 D．4【題型3二次根式的加減】【例3-1】計(jì)算：27?2【例3-2】．計(jì)算：（1）15（2）18?（3）12?4（4）23解題技巧化：將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，找：找出化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式。合：合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式——系數(shù)相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開(kāi)方數(shù)不變?！咀兪?-1】．計(jì)算：32【變式3-2】．計(jì)算：（1）18?（2）7a【變式3-3】．計(jì)算：（1）33（2）(4【變式3-4】．計(jì)算：612【變式3-5】．計(jì)算：18解：原式=32=82=(=115（1）以上解答過(guò)程中，從第步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤；（2）請(qǐng)寫(xiě)出本題的正確解答過(guò)程．【題型4二次根式的混合運(yùn)算】【例4-1】．48【例4-2】計(jì)算：（1）48+(?（2）已知x=3+1,y=3解題技巧（1）牢記運(yùn)算順序和運(yùn)算法則可確保運(yùn)算正確。（2）運(yùn)用運(yùn)算律與乘法公式可簡(jiǎn)化運(yùn)算。（3）結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)二次根式?！咀兪?-1】．．計(jì)算：8?【變式4-2】．．計(jì)算：（1）32（2）12【變式4-3】．計(jì)算：（1）2（2）4【變式4-4】．計(jì)算：8【變式4-5】數(shù)學(xué)課上，老師布置一道計(jì)算題：36?解：原式=6?72÷2+72÷請(qǐng)判斷她的解答是否正確？若是錯(cuò)誤的，請(qǐng)你寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．【題型5一般二次根式化簡(jiǎn)求值】【例5-1】．若x，y是實(shí)數(shù)，且y＝4x?1+1?4x+3，求（23【例5-2】．先化簡(jiǎn)，再求值：a+1?2a+a2如圖是小亮和小芳的解答過(guò)程．解：原式=a+=a+1?a=1解：原式=a+=a+a?1=2013（1）的解答過(guò)程是錯(cuò)誤的；（2）先化簡(jiǎn)，再求值：m+2m2?6m+9解題技巧由二次根式的定義，被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化成不等式問(wèn)題，確定字母的取值范圍。再由方程的解確定字母的取值范圍，在字母求值范圍內(nèi)根據(jù)二次根式性質(zhì)化簡(jiǎn)求值。【變式5-1】．已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足關(guān)系式y(tǒng)=2x?6+3?x【變式5-2】．（1）當(dāng)a=3?22時(shí)，求代數(shù)式2（2）先化簡(jiǎn)，再求值：(3x+yx2?y【變式5-3】．．運(yùn)算能力]已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足3a+b【變式5-4】．已知x?69?x=x?6【變式5-5】．．已知|x?3|+【題型6對(duì)稱(chēng)式的二次根式的求值】【例6-1】．已知a=3+12，b=3【例6-2】．已知x=5+1，y=5?1，則【變式6-1】．已知：a=3求：（1）ab；（2）a2解題技巧對(duì)于對(duì)稱(chēng)式首先求a+b、a-b、ab的值，再代入求值【變式6-1】．．已知a=5（1）a2（2）(a?2)(b?2)．【變式6-2】．．若a=?2?5，b=?2+5，則【變式6-3】．．已知a=3+7，b=3?（1）a2-b2（2）a2-ab+b2【變式6-4】．．已知x=2?2，y=2+（1）求x2（2）求yx【題型7二次根式的整數(shù)部分、小數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算】【例7-1】．若3?2的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則代數(shù)式2+2a【例7-2】．我們知道5是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此5的小數(shù)部分我們不可能全部寫(xiě)出來(lái)，而2<5<3，所以5的整數(shù)部分是2，將5減去其整數(shù)部分2，所得的差5?2（1）17的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是；（2）如果3+7的小數(shù)部分為a，5?3的整數(shù)部分為b，求解題技巧先由無(wú)理數(shù)的大小估值確定整數(shù)部分，再由小數(shù)部分=原數(shù)-整數(shù)部分來(lái)確定小數(shù)部分。【變式7-1】．大家知道2是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此2的小數(shù)部分我們不可能全部地寫(xiě)出來(lái)，因?yàn)?的整數(shù)部分是1；于是用2?1來(lái)表示2請(qǐng)解答：（1）如果13的小數(shù)部分為a，29的整數(shù)部分為b，求a+b?13（2）已知：12+3=x+y，其中x是整數(shù)，且0<y<1，求【變式7-2】．已知13的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求(3a+b)(3a-b)的值.【變式7-3】．?dāng)?shù)學(xué)老師在課堂上提出一個(gè)問(wèn)題：“通過(guò)探究知道：2≈1.414?（1）請(qǐng)表示出7的小數(shù)部分；（2）若a為6的小數(shù)部分，b為5的整數(shù)部分，求a+b+24（3）已知6+13=x+y，其中x是一個(gè)正整數(shù)，0<y<1，求【變式7-4】．?dāng)?shù)學(xué)張老師在課堂上提出一個(gè)問(wèn)題：“通過(guò)探究知道：2≈1.414??（1）11的整數(shù)部分是．（2）a為3的小數(shù)部分，b為5的整數(shù)部分，求a+b?3（3）已知8+3=x+y，其中x是一個(gè)正整數(shù)，0<y<1，求【題型8二次根式的實(shí)際應(yīng)用】【例8-1】．（1）已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是6，3（2）已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和面積分別為10和45，則這個(gè)長(zhǎng)方形的寬為【例8-2】．A，B兩船同時(shí)同地出發(fā)，A船以x(km/h)的速度朝正北方向行駛，B船以（1）用含x的代數(shù)式表示兩船的距離d．（2）當(dāng)x=12時(shí)，兩船相距多少千米？解題技巧先根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列出二次根式，再進(jìn)行計(jì)算。【變式8-1】．．在一個(gè)邊長(zhǎng)為(32+26)cm的正方形的內(nèi)部挖去一個(gè)長(zhǎng)為【變式8-2】．【綜合與實(shí)踐】擺鐘的“滴答”聲提醒著我們時(shí)光易逝，我們要珍惜當(dāng)下，抓住每一秒，努力前行．某學(xué)習(xí)興趣小組通過(guò)觀察實(shí)驗(yàn)室的擺鐘發(fā)現(xiàn)：擺鐘的擺球的擺動(dòng)快慢與秒針的走動(dòng)，擺鐘的“滴答”聲，擺長(zhǎng)都有關(guān)系．于是他們通過(guò)查閱資料知道：擺鐘的擺球來(lái)回?cái)[動(dòng)一次的時(shí)間叫做一個(gè)周期。它的計(jì)算公式是：T=2πl(wèi)g，其中T表示周期（單位：s），l表示擺線長(zhǎng)（單位：m），g=9.8m/s（1）【思考填空】通過(guò)上面的計(jì)算公式我們知道了：擺球的快慢只與擺線的長(zhǎng)短有關(guān)，擺線越長(zhǎng)，周期越（填“長(zhǎng)”或“短”），擺得越；（填“快”或“慢”）（2）【實(shí)踐與計(jì)算】若一個(gè)擺鐘的擺線長(zhǎng)為0.49m，它每擺動(dòng)一個(gè)周期發(fā)出一次“滴答”聲，學(xué)習(xí)興趣小組的2名同學(xué)數(shù)該擺鐘1分鐘發(fā)出“滴答”聲的次數(shù)，其余成員計(jì)算擺鐘1分鐘發(fā)出“滴答”聲次數(shù)，再對(duì)照是否一致．請(qǐng)你也計(jì)算該擺鐘1分鐘發(fā)出多少次“滴答”聲；（3）對(duì)于一個(gè)確定的擺鐘，其內(nèi)部的機(jī)械結(jié)構(gòu)決定了它每來(lái)回?cái)[動(dòng)一次記錄的時(shí)間是一定的，如一個(gè)準(zhǔn)確的擺鐘的擺球的擺動(dòng)周期為1s，它每擺動(dòng)一個(gè)周期發(fā)出一次“滴答”聲，秒針就會(huì)走1格，顯示的時(shí)間1s，求該擺鐘的擺線長(zhǎng)．【變式8-3】．有一塊長(zhǎng)方形木板，木工采用如圖的方式在木板上截出兩個(gè)面積分別為27dm2和（1）求原長(zhǎng)方形木板的面積；（2）如果木工想從剩余的木塊中(陰影部分)截出長(zhǎng)為2dm，寬為1.5dm的長(zhǎng)方形木條，估計(jì)最多能裁出塊這樣的木條？請(qǐng)你直接寫(xiě)出答案.(參考數(shù)據(jù)：【變式8-4】．閱讀理解：若a>0，b>0，由(a?b)2≥0，得a+b≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取到等號(hào).利用這個(gè)結(jié)論，我們可以求一些式子的最小值．

例如：已知x>0，求式子x+4x的最小值．

解：令a=x，b=4x，則由a+b≥2ab，得（1）當(dāng)x>0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，式子x+9x的最小值為(直接寫(xiě)出答案（2）如圖，用籬笆圍一個(gè)面積為50平方米的長(zhǎng)方形花園，使這個(gè)長(zhǎng)方形花園的一邊靠墻(墻長(zhǎng)20米，籬笆周長(zhǎng)指不靠墻的三邊之和)，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬各為多少米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少米？ 2024-2025人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下大單元結(jié)構(gòu)化整合系列16.3二次根式的加減八大題型解題技巧知識(shí)要點(diǎn)歸納知識(shí)要點(diǎn)歸納知識(shí)點(diǎn)一、可以合并的二次根式的定義1.將一些二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，則這樣的二次根式就稱(chēng)為可合并的二次根式。2.合并二次根式的方法將根號(hào)外的因數(shù)相加，根指數(shù)和被開(kāi)方數(shù)不變。知識(shí)點(diǎn)二、二次根式的加減二次根式加減法則二次根式加減時(shí)，先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式合并。二次根式加減運(yùn)算的步驟化：將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，找：找出化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式。合：合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式——系數(shù)相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開(kāi)方數(shù)不變。知識(shí)點(diǎn)三、二次根式的混合運(yùn)算二次根式混合運(yùn)算種類(lèi)二次根式的加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算。二次根式混合運(yùn)算的順序二次根式混合運(yùn)算順序與整式混合運(yùn)算順序相同，先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的（或先去括號(hào)）。題型歸納【題型1判斷二次根式能否合并】【題型2根據(jù)能合并的二次根式特征求值】【題型3二次根式的加減】【題型4二次根式的混合運(yùn)算】【題型5一般二次根式化簡(jiǎn)求值】【題型6對(duì)稱(chēng)式的二次根式的求值】【題型7二次根式的整數(shù)部分、小數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算】【題型8二次根式的實(shí)際應(yīng)用】題型突破、典例精析【題型1判斷二次根式能否合并】【例1-1】．下列各式中，能與2合并的是（）A．4 B．24 C．12 D．8【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】同類(lèi)二次根式【解析】【解答】解：A：4=2，不能與2合并，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

B：24=26，不能與2合并，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

C：12=23，不能與2合并，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

D：故答案為：D.【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)各項(xiàng)，根據(jù)同類(lèi)二次根式的定義，即可求解．【例1-2】．寫(xiě)出一個(gè)最簡(jiǎn)二次根式，使它與12可以進(jìn)行合并，這個(gè)二次根式可以是．（寫(xiě)一個(gè)即可）【答案】3（答案不唯一）【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式；同類(lèi)二次根式解題技巧可以合并的二次根式必須同時(shí)滿(mǎn)足是最簡(jiǎn)二次根式和被開(kāi)方數(shù)相同兩個(gè)條件。與根號(hào)外的因數(shù)無(wú)關(guān)。被開(kāi)方數(shù)不同的二次根式不能合并?！咀兪?-1】．下列二次根式中，能與3合并的是（）A．8 B．18 C．12 D．6【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】同類(lèi)二次根式【解析】【解答】解：A原式=22，故不能合并，B原式=32，故不能合并，C原式=23，故能合并，D原式=6，故不能合并，故選C【分析】將各式化為最簡(jiǎn)二次根式后即可判斷．【變式1-2】．下列各式中，能與12合并的是（）A．8 B．20 C．27 D．32【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式；同類(lèi)二次根式【解析】【解答】解：12=23.

A、8=22，不能與12合并，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、20=25，不能與12合并，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、27=33，可與12合并，故此選項(xiàng)符合題意；

D、32=4【變式1-3】．下列計(jì)算中，正確的是（）A．4?3=1 B．2×3=6【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除法；同類(lèi)二次根式【解析】【解答】解：對(duì)于A，4?3=2?3，故A錯(cuò)誤，不符合題意；

對(duì)于B，2×3=6，故B正確，符合題意；

對(duì)于C，3+【變式1-4】．下列二次根式中，可以與3合并的是（）A．6 B．9 C．12 D．18【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】同類(lèi)二次根式【解析】【解答】解：A：6是最簡(jiǎn)二次根式，和3不是同類(lèi)根式，不能與3合并。A不合題意；

B：9＝3，和3不是同類(lèi)根式，不能與3合并。B不合題意；C：12＝23，和3是同類(lèi)根式，能與3D：18＝32，和3不是同類(lèi)根式，不能與3故答案為：C.

【分析】先判斷是否為最簡(jiǎn)二次根式，再看是否和3是同類(lèi)根式，如果是則能合并，如果不是則不能合并?！绢}型2根據(jù)能合并的二次根式特征求值】【例2-1】．若最簡(jiǎn)二次根式2a+5與3a?2可以合并，則a的值為．【答案】7【知識(shí)點(diǎn)】同類(lèi)二次根式【解析】【解答】解：∵2a+5與3a?2可以合并，

∴2a+5=3a?2，2a+5=3a-2，故答案為：7.【分析】利用二次根式及合并同類(lèi)項(xiàng)法則求解即可.【例2-2】．若27與最簡(jiǎn)二次根式m+1可以合并，則m=．【答案】2【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式；同類(lèi)二次根式【解析】【解答】由題可知m+1=3，解得m=2；

正確答案：2.

【分析】因?yàn)閮啥胃娇梢院喜ⅲ适峭?lèi)二次根式；且27可以化簡(jiǎn)為解題技巧（1）.判斷兩個(gè)二次根式是否能合并，首先要將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，然后判斷被開(kāi)方數(shù)是否相同，相同就能合并，不相同就不能合并。（2）.幾個(gè)二次根式能否合并，只與被開(kāi)方數(shù)有關(guān)，與根號(hào)前面的系數(shù)無(wú)關(guān)?！咀兪?-1】．若最簡(jiǎn)二次根式1?a與33可以合并，則a2的值【答案】2【知識(shí)點(diǎn)】同類(lèi)二次根式【解析】【解答】解：由題意得：1?a=3，解得：a=?2．∴a2∴a2故答案為：2．【分析】根據(jù)同類(lèi)二次根式的定義求出a，再進(jìn)行計(jì)算即可.【變式2-2】．若12與最簡(jiǎn)二次根式52a?1可以合并，則a＝【答案】2【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式；同類(lèi)二次根式【解析】【解答】解：∵12與最簡(jiǎn)二次根式52a?1可以合并，

∴12和52a?1是同類(lèi)二次根式，

∵12=23，52a?1是最簡(jiǎn)二次根式，

∴2a－1=3，

解得：a=2.

故答案為：2.

【分析】根據(jù)題意得12【變式2-3】．若最簡(jiǎn)二次根式2a?5與11?2a可以合并，則a的值是（）A．1 B．2.5 C．3 D．4【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式；同類(lèi)二次根式【解析】【解答】解：

∵最簡(jiǎn)二次根式2a?5與11?2a可以合并，

∴2a?5與11?2a是同類(lèi)根式，

∴2a-5=11-2a

解得，a=4故答案為：D.

【分析】?jī)筛娇梢院喜?，說(shuō)明它們是同類(lèi)根式，即被開(kāi)方數(shù)相同，由此列方程進(jìn)行求解即可。【題型3二次根式的加減】【例3-1】計(jì)算：27?2【答案】解：原式=3=53【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的加減法【解析】【分析】先化簡(jiǎn)二次根式，再合并同類(lèi)二次根式即可.【例3-2】．計(jì)算：（1）15（2）18?（3）12?4（4）23【答案】（1）解：原式=55?1055

=（2）解：原式=32?32（3）解：原式=23?2?3?22（4）解：原式=2x+3x?2【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的加減法；二次根式的混合運(yùn)算；實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算（含開(kāi)方）【解析】【分析】（1）先將分母有理化，進(jìn)而再根據(jù)二次根式的減法計(jì)算法則計(jì)算即可；

（2）利用二次根式的性質(zhì)對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)二次根式的加減計(jì)算法則計(jì)算即可；

（3）利用二次根式的性質(zhì)對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)二次根式的加減計(jì)算法則計(jì)算即可；

（4）利用二次根式的性質(zhì)對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)二次根式的加減計(jì)算法則計(jì)算即可.解題技巧化：將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，找：找出化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式。合：合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式——系數(shù)相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開(kāi)方數(shù)不變。【變式3-1】．計(jì)算：32【答案】解：原式=3【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的加減法【解析】【分析】先根據(jù)二次根數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)各個(gè)二次根式，再合并同類(lèi)二次根式即可求解.【變式3-2】．計(jì)算：（1）18?（2）7a【答案】（1）解：18=3=0；（2）解：7a=7a×2=14a=20a2a【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的加減法【解析】【分析】（1）利用二次根式的加減運(yùn)算的計(jì)算方法求解即可；

（2）先利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再計(jì)算即可。【變式3-3】．計(jì)算：（1）33（2）(4【答案】（1）解：原式=3=?（2）解：原式=4=4【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的加減法【解析】【分析】（1）先根據(jù)二次根式的化簡(jiǎn)法則將各二次根式化到最簡(jiǎn)，再將同類(lèi)二次根式進(jìn)行合并即可；

（2）將同類(lèi)二次根式合并即可.【變式3-4】．計(jì)算：612【答案】解：原式=12=6【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算【解析】【分析】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題型.先將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后在合并同類(lèi)二次根式即可求解.【變式3-5】．計(jì)算：18解：原式=32=82=(=115（1）以上解答過(guò)程中，從第步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤；（2）請(qǐng)寫(xiě)出本題的正確解答過(guò)程．【答案】（1）3（2）解：原式=3=8【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算【解析】【解答】（1）由題意得第3步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，82+33≠(8+3)【題型4二次根式的混合運(yùn)算】【例4-1】．48【答案】解：原式=48÷3【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算【解析】【分析】先根據(jù)二次根式的除法法則及乘法法則分別計(jì)算，再根據(jù)二次根式性質(zhì)化簡(jiǎn)即可.【例4-2】計(jì)算：（1）48+(?（2）已知x=3+1,y=3【答案】（1）解：原式=43?（2）解：∵x=3+1，∴x?y=(3+1)?(3∴x2y-xy2=xy(x-y)=2×2=4．【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；二次根式的化簡(jiǎn)求值【解析】【分析】（1）先算乘除，再算加減，據(jù)此計(jì)算；（2）根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則計(jì)算x-y和xy的值，將x2y-xy2變形為xy(x-y)，再整體代入，計(jì)算即可．解題技巧（1）牢記運(yùn)算順序和運(yùn)算法則可確保運(yùn)算正確。（2）運(yùn)用運(yùn)算律與乘法公式可簡(jiǎn)化運(yùn)算。（3）結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)二次根式?！咀兪?-1】．．計(jì)算：8?【答案】解：原式=2=5【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算【解析】【分析】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算即可求解?！咀兪?-2】．．計(jì)算：（1）32（2）12【答案】（1）解：原式=42?522+3（2）解：原式=12×13?(2?3)(2+3)(2?3)【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的加減法；二次根式的混合運(yùn)算【解析】【分析】（1）首先化簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算，即可得出答案；

（2）首先進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算，在進(jìn)行加減運(yùn)算即可得出答案?！咀兪?-3】．計(jì)算：（1）2（2）4【答案】（1）解：原式=43（2）解：原式=160÷8【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算【解析】【分析】（1）先計(jì)算乘法，再計(jì)算減法即可求解；

（2）先根據(jù)根據(jù)完全平方公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而計(jì)算除法和加減法即可求解?！咀兪?-4】．計(jì)算：8【答案】解：原式=2【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算【解析】【分析】分別把8=2【變式4-5】數(shù)學(xué)課上，老師布置一道計(jì)算題：36?解：原式=6?72÷2+72÷請(qǐng)判斷她的解答是否正確？若是錯(cuò)誤的，請(qǐng)你寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．【答案】解：小紅的解答是錯(cuò)誤的，正確解答如下：

36?72÷(2+8)

=6?6【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算【解析】【分析】根據(jù)二次根式混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可.【題型5一般二次根式化簡(jiǎn)求值】【例5-1】．若x，y是實(shí)數(shù)，且y＝4x?1+1?4x+3，求（23【答案】解：由題意可知：x＝14原式＝（2xx+2xy）﹣（xx+5xy）＝xx﹣3xy＝141＝18﹣【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；二次根式的化簡(jiǎn)求值【解析】【分析】由二次根式性質(zhì)可知，4x?1≥01?4x≥0，解得x=14，則y=3，對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得原式＝xx【例5-2】．先化簡(jiǎn)，再求值：a+1?2a+a2如圖是小亮和小芳的解答過(guò)程．解：原式=a+=a+1?a=1解：原式=a+=a+a?1=2013（1）的解答過(guò)程是錯(cuò)誤的；（2）先化簡(jiǎn)，再求值：m+2m2?6m+9【答案】（1）小亮（2）解：原式=m+2(m=?2024，∴m?3<0，∴原式=m+2【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的化簡(jiǎn)求值【解析】【解答】解：（1）∵a+1?2a+a2=a+1?a2，a=1007，

∴1?a<0，

∴a+1?2a+a解題技巧由二次根式的定義，被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化成不等式問(wèn)題，確定字母的取值范圍。再由方程的解確定字母的取值范圍，在字母求值范圍內(nèi)根據(jù)二次根式性質(zhì)化簡(jiǎn)求值?！咀兪?-1】．已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足關(guān)系式y(tǒng)=2x?6+3?x【答案】解：∵2x?6≥0，3?x≥0，

∴x≥3且x?3，

∴x=3，

∴y=?2，∴2x+y÷1=?2(【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件；二次根式的化簡(jiǎn)求值【解析】【分析】根據(jù)2x?6≥0，3?x≥0，求得x=3，于是可得y=-2.先計(jì)算分式除法，再把x，y代入運(yùn)算.【變式5-2】．（1）當(dāng)a=3?22時(shí)，求代數(shù)式2（2）先化簡(jiǎn)，再求值：(3x+yx2?y【答案】（1）解：a=3?22<3

2a+a2?6a+9=（2）解：原式=3x+y當(dāng)x=3+1，y=3時(shí)，原式=(【知識(shí)點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值；二次根式的化簡(jiǎn)求值【解析】【分析】（1）由a的范圍化簡(jiǎn)得：原式=2?1a+3，把a(bǔ)=3?22代入求解即可.【變式5-3】．．運(yùn)算能力]已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足3a+b【答案】解：∵3a+b?5+3a?b+3=0，

∴【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件；二次根式的化簡(jiǎn)求值【解析】【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，先列出關(guān)于a，b的二元一次方程組，求得a，b的值，然后再把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入數(shù)值計(jì)算即可解答．【變式5-4】．已知x?69?x=x?6【答案】解：∵x?69?x=x?6解得6≤x<9．x為奇數(shù)，x=7，∴(1+x)·x2?5x+4x2?1-=(1+x)·=(【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)；二次根式的化簡(jiǎn)求值【解析】【分析】解帶根號(hào)的分式方程，先要確定分式有意義，本題給出了x為奇數(shù)，根據(jù)題意可算出x的值，再化簡(jiǎn)整式，將x的值代入即可得出答案.【變式5-5】．．已知|x?3|+【答案】解：∵|∴x?3=0，x?y+1=0，解得：x=3，y=4，∵x===|x+1當(dāng)x=3，y=4時(shí)，原式=|3+1【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的化簡(jiǎn)求值；算術(shù)平方根的性質(zhì)（雙重非負(fù)性）；絕對(duì)值的非負(fù)性【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值及二次根式的非負(fù)性求出x、y值，再將原式化簡(jiǎn)為|x+1【題型6對(duì)稱(chēng)式的二次根式的求值】【例6-1】．已知a=3+12，b=3【答案】5【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式及運(yùn)用；二次根式的混合運(yùn)算；求代數(shù)式的值-整體代入求值【解析】【解答】解：∵a=3∴a+b=3+12∴a2故答案為：52【分析】根據(jù)二次根式的加法及乘法法則先算出a+b及ab的值，再將a2+ab+b【例6-2】．已知x=5+1，y=5?1，則【答案】4【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；求代數(shù)式的值-直接代入求值；因式分解的應(yīng)用-化簡(jiǎn)求值【解析】【解答】解：∵x=5+1，y=5?1，

∴x+y=5故答案為45．

【分析】先分別求出x+y與x-y，再將x【變式6-1】．已知：a=3求：（1）ab；（2）a2【答案】（1）解：∵a=3?2∴ab=(=3?2=1；（2）解：∵a=3?2∴=(a+b)(a?b)=(=2=?46【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式及應(yīng)用；二次根式的混合運(yùn)算；因式分解的應(yīng)用-簡(jiǎn)便運(yùn)算【解析】【分析】（1）利用平方差公式及二次根式的性質(zhì)展開(kāi)括號(hào)，再計(jì)算有理數(shù)的減法即可；

（2）先利用平方差公式將待求式子分解因式，然后將a、b的值代入，進(jìn)而合并括號(hào)內(nèi)的同類(lèi)二次根式，最后計(jì)算二次根式的乘法即可得出答案.【變式6-1】．．已知a=5（1）a2（2）(a?2)(b?2)．【答案】（1）解：原式=aba+b，

∵a=5+2，b=5?2，

∴原式=（2）解：原式=5+2?25?2?2

=5×【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；求代數(shù)式的值-直接代入求值；求代數(shù)式的值-化簡(jiǎn)代入求值【解析】【分析】（1）先提取公因式ab，得到原式為aba+b，最后把a(bǔ)=5+2，b=5?2【變式6-2】．．若a=?2?5，b=?2+5，則【答案】-5【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的加減法【解析】【解答】解：根據(jù)條件，a+b+ab=?2?故答案為：-5.【分析】給定了a和b的具體值，首先需要將這兩個(gè)值代入到給定的代數(shù)式中，然后利用二次根式的運(yùn)算規(guī)則、平方差公式來(lái)化簡(jiǎn)和求解.【變式6-3】．．已知a=3+7，b=3?（1）a2-b2（2）a2-ab+b2【答案】（1）解：a2-b2=（a+b）（a﹣b）=（3+7+3﹣7）（3+7﹣3+7）=6×27=127（2）解：a2-ab+b2=（a+b）2﹣3ab=（3+7+3﹣7）2﹣3（3+7）（3﹣7）=62﹣3（9﹣7）=36-6=30【知識(shí)點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；二次根式的混合運(yùn)算；配方法的應(yīng)用【解析】【分析】（1）利用平方差公式將待求式子分解因式，然后將a、b的值代入分別合并后，利用二次根式的乘法法則計(jì)算可得答案；

（2）利用配方法將待求式子變形為（a+b）2﹣3ab，然后將a、b的值代入計(jì)算可得答案.【變式6-4】．．已知x=2?2，y=2+（1）求x2（2）求yx【答案】（1）解：∵x=2?2，y=2+∴x+y=2?2+2+2x2（2）解：∵x=2?2，y=2+∴x+y=2?2+2+2y?x=2+2yx【知識(shí)點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值；二次根式的混合運(yùn)算；配方法的應(yīng)用【解析】【分析】（1）先根據(jù)二次根式的加減法及乘法法則計(jì)算出x+y與xy的值，然后將待求式子利用配方法變形為(x+y)2-xy，從而整體代入進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）先根據(jù)二次根式的加減法及乘法法則計(jì)算出x+y、xy與y-x的值，然后根據(jù)分式的減法進(jìn)行化簡(jiǎn)，整體代入計(jì)算即可求解.【題型7二次根式的整數(shù)部分、小數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算】【例7-1】．若3?2的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則代數(shù)式2+2a【答案】2【知識(shí)點(diǎn)】無(wú)理數(shù)的估值；二次根式的混合運(yùn)算【解析】【解答】解：∵1＜2＜2，∴?2＜?2＜?1，∴1＜3?2＜2

∴3?2的整數(shù)部分為1，即a=1，∴

小數(shù)部分是3?

【分析】先確定2的范圍，再確定3?2的范圍，求出3?2的整數(shù)部分和小數(shù)部分，得出a，b值，代入【例7-2】．我們知道5是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此5的小數(shù)部分我們不可能全部寫(xiě)出來(lái)，而2<5<3，所以5的整數(shù)部分是2，將5減去其整數(shù)部分2，所得的差5?2（1）17的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是；（2）如果3+7的小數(shù)部分為a，5?3的整數(shù)部分為b，求【答案】（1）4；17（2）解：∵2<7<3，

∴2+3<3+7∴3+7的整數(shù)部分是5，小數(shù)部分a=∵1<3<2，

∴∴5?2<5?3<5?1，

即∴5?3的整數(shù)部分b=3，

∴a+【知識(shí)點(diǎn)】無(wú)理數(shù)的估值；二次根式的混合運(yùn)算；不等式的性質(zhì)【解析】【解答】解：（1）∵16<17<25，

∴4<17<5，

∴17的整數(shù)部分為4，小數(shù)部分為17?4，

故答案為：4，17?4；

【分析】（1）先根據(jù)無(wú)理數(shù)的大小估值得到：4<17<5，進(jìn)而即可求解；解題技巧先由無(wú)理數(shù)的大小估值確定整數(shù)部分，再由小數(shù)部分=原數(shù)-整數(shù)部分來(lái)確定小數(shù)部分。【變式7-1】．大家知道2是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此2的小數(shù)部分我們不可能全部地寫(xiě)出來(lái)，因?yàn)?的整數(shù)部分是1；于是用2?1來(lái)表示2請(qǐng)解答：（1）如果13的小數(shù)部分為a，29的整數(shù)部分為b，求a+b?13（2）已知：12+3=x+y，其中x是整數(shù)，且0<y<1，求【答案】（1）解：∵9<13<16，∴9<13∴13的小數(shù)部分為13?3，即∵25<29<36，∴25<29∴29的整數(shù)部分為5，即b=5則a+b?13（2）解：∵1<3<4，∴1<3∴13<12+3∴13<x+y=12+3∵x是整數(shù)，且0<y<1，∴x=13，y=3∴x?y=13?(則x?y的相反數(shù)是3?14【知識(shí)點(diǎn)】無(wú)理數(shù)的估值；二次根式的化簡(jiǎn)求值；相反數(shù)的意義與性質(zhì)；無(wú)理數(shù)的混合運(yùn)算【解析】【分析】（1）根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算分別求出a、b的值，再代入計(jì)算即可；

（2）根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算x＋y的值，再由其中x是整數(shù)，且0<y<1分別求出x、y的值，再根據(jù)相反數(shù)的定義求出y-x即可.【變式7-2】．已知13的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求(3a+b)(3a-b)的值.【答案】解：∵3=9，4=16，9＜13＜16；

∴a=3，b=13?3；

∴3a+b3a?b

=9a2?【知識(shí)點(diǎn)】無(wú)理數(shù)的估值；平方差公式及應(yīng)用；二次根式的化簡(jiǎn)求值【解析】【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)估值的方法，先找到13相鄰的整數(shù)，進(jìn)而求出a和b的值；將所求等式先化簡(jiǎn)，再將a和b的值代入化簡(jiǎn)后的代數(shù)式，計(jì)算即可.【變式7-3】．?dāng)?shù)學(xué)老師在課堂上提出一個(gè)問(wèn)題：“通過(guò)探究知道：2≈1.414?（1）請(qǐng)表示出7的小數(shù)部分；（2）若a為6的小數(shù)部分，b為5的整數(shù)部分，求a+b+24（3）已知6+13=x+y，其中x是一個(gè)正整數(shù)，0<y<1，求【答案】（1）解：∵4<7<9，∴2<7∴7的小數(shù)部分是7（2）解：∵4<6<9，∴2<6∴a=6∵4<5<9，∴2<5∴b=2．∴a+b+24（3）解：∵9<13<16∴3<∴9<6+∵x是一個(gè)正整數(shù)，0<y<1，∴x是6+13的整數(shù)部分，y是6+∴x=9，y=6+∴(x+3y【知識(shí)點(diǎn)】無(wú)理數(shù)的估值；二次根式的混合運(yùn)算【解析】【分析】（1）估算出7的取值范圍可得答案；（2）估算出6和5的取值范圍，可得a、b的值，然后代入計(jì)算即可．（3）估算出6+13的取值范圍，求出x和y【變式7-4】．?dāng)?shù)學(xué)張老師在課堂上提出一個(gè)問(wèn)題：“通過(guò)探究知道：2≈1.414??（1）11的整數(shù)部分是．（2）a為3的小數(shù)部分，b為5的整數(shù)部分，求a+b?3（3）已知8+3=x+y，其中x是一個(gè)正整數(shù)，0<y<1，求【答案】（1）3（2）解：∵a為3的小數(shù)部分，b為5的整數(shù)部分，∴a=3?1，∴a+b?==1；（3）解：∵8+3=x+y，其中x是一個(gè)正整數(shù)，∴x=8+1=9，y=3∴2x+=2×9+=18+=18?1=17．【知識(shí)點(diǎn)】無(wú)理數(shù)的估值；二次根式的混合運(yùn)算【解析】【解答】解：∵3<11（2）根據(jù)題意得出a=3（3）先估算3的整數(shù)部分，進(jìn)而確定x、y的值，然后代入計(jì)算即可．【題型8二次根式的實(shí)際應(yīng)用】【例8-1】．（1）已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是6，3（2）已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和面積分別為10和45，則這個(gè)長(zhǎng)方形的寬為【答案】（1）3（2）2【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除法；二次根式的應(yīng)用【解析】【解答】解：（1）該長(zhǎng)方形面積=6故答案為：32（2）該長(zhǎng)方形的寬=45÷10=80÷10=8【例8-2】．A，B兩船同時(shí)同地出發(fā)，A船以x(km/h)的速度朝正北方向行駛，B船以（1）用含x的代數(shù)式表示兩船的距離d．（2）當(dāng)x=12時(shí)，兩船相距多少千米？【答案】（1）解：d=2x（2）解：代入x=12d=4x2+100km【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用【解析】【分析】（1）算出2h后A、B各自所行駛的距離，然后結(jié)合勾股定理表達(dá)出d；

（2）代入x=12到d的表達(dá)式計(jì)算化簡(jiǎn)即可.解題技巧先根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列出二次根式，再進(jìn)行計(jì)算?！咀兪?-1】．．在一個(gè)邊長(zhǎng)為(32+26)cm的正方形的內(nèi)部挖去一個(gè)長(zhǎng)為【答案】解：(3=(18+12=42+24=33+233答：剩余部分的面積為(33+233【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；二次根式的應(yīng)用【解析】【分析】分別求出正方形與長(zhǎng)方形的面積，再用正方形面積減去長(zhǎng)方形面積即可．【變式8-2】．【綜合與實(shí)踐】擺鐘的“滴答”聲提醒著我們時(shí)光易逝，我們要珍惜當(dāng)下，抓住每一秒，努力前行