浙江省杭州市金麗衢十二校2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期(3月)第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

金麗衢十二校學(xué)年高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題命題人：永康一中顏熙高雄略審核：浦江中學(xué)題的答案涂、寫(xiě)在答題紙上.選擇題部分一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出集合，利用并集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)?，，則.故選：B.2.已知向量，，，則的值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出向量的坐標(biāo)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，則，所以，解得.故選：C.3.已知復(fù)數(shù)滿足，則為（）第1頁(yè)/共25頁(yè)A.B.1C.D.2【答案】C【解析】【分析】由條件，結(jié)合復(fù)數(shù)除法法則求的代數(shù)形式，再由復(fù)數(shù)的模的公式求結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：C.4.若圓錐的軸截面是一個(gè)邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則它的體積為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由條件確定圓錐的底面半徑和高，在利用圓錐的體積公式求結(jié)論.【詳解】因?yàn)閳A錐的軸截面是一個(gè)邊長(zhǎng)為的等邊三角形，所以圓錐的底面半徑，高，所以圓錐的體積.故選：A.5.已知函數(shù)，則（）A.B.C.1D.e【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式求，再求即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，第2頁(yè)/共25頁(yè)所以，所以.故選：B.6.已知兩條相交直線，在平面內(nèi)，在平面外．設(shè)的夾角為，直線與平面所成角為，．則由確定的平面與平面夾角的大小為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)直線的交點(diǎn)為，過(guò)直線上異于點(diǎn)的一點(diǎn)作平面的垂線，設(shè)垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，由已知可得，，根據(jù)平面與平面夾角定義可得由確定的平面與平面夾角為，解三角形求夾角大小.【詳解】設(shè)直線的交點(diǎn)為，過(guò)直線上異于點(diǎn)的一點(diǎn)作平面的垂線，設(shè)垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，如圖：因?yàn)?，所以為直線在平面內(nèi)的投影，所以直線與平面所成角為，由已知，，因?yàn)?，，所以，又，，平面，所以直線平面，又平面，所以，即，所以由確定的平面與平面夾角為,在中，，在中，，即，第3頁(yè)/共25頁(yè)在中，，即，所以，又，，所以，所以，又，所以，所以由確定的平面與平面夾角的大小為.故選：B7.設(shè)拋物線焦點(diǎn)為，斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若，則的值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合設(shè)而不求法根據(jù)關(guān)系可求，再求，，，根據(jù)余弦定理求結(jié)論.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)直線的方程為，第4頁(yè)/共25頁(yè)聯(lián)立，消可得，方程的判別式，故，設(shè)，，不妨設(shè)，由已知為方程的根，所以，，設(shè)點(diǎn)，在準(zhǔn)線上的投影分別為，，因?yàn)椋?，故，所以，即為方程的根，故，，所以，，又，由余弦定理?故選：B.8.在”是“為直角”的（）A.充分但非必要條件B.必要但非充分條件第5頁(yè)/共25頁(yè)C.充要條件D.既非充分條件也非必要條件【答案】B【解析】角三角函數(shù)的平方關(guān)系可證等式成立，從而證明了必要性；對(duì)于非充分性，構(gòu)造函數(shù),其中.足夠小時(shí)是存在3充分性..【詳解】第一步：檢驗(yàn)必要性.如果是直角，那么.此時(shí)，等式可變?yōu)?，這是成立的，因此，如果是直角，等式成立；第二步：驗(yàn)證充分性.若，構(gòu)造函數(shù),其中.則,記以,則，因?yàn)?所以,,令,得,令,解得,列表如下：0第6頁(yè)/共25頁(yè)減增減增,,,當(dāng)時(shí)，，故存在使得，而，且，從而函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)，每個(gè)零點(diǎn)都可以作為角的值，所以的值有三個(gè)，存在不是直角的情況，即存在角不是直角的情況，所以充分性不成立.”是“為直角”必要不充分條件.故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題中非充分性的檢驗(yàn)問(wèn)題，一開(kāi)始嘗試證明充分性，發(fā)現(xiàn)不能給出證明，于是開(kāi)始時(shí)嘗試舉反例來(lái)進(jìn)行邏輯否定，例子常常很難找到，通?？梢杂?jì)算的例子都不會(huì)成功的否定，需要極端情況下才能找到適合的例子,這里利用構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求是否有多余1個(gè)的零點(diǎn)，從而說(shuō)明原等式對(duì)于給定得角,除了它的余角滿足等式，探索是否其它得角滿足，從而確定是否必須是使得角為直角.36分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.設(shè)，則下列說(shuō)法正確的有（）第7頁(yè)/共25頁(yè)A.B.C.該二項(xiàng)式的所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為64D.【答案】ACD【解析】利用賦值法求，AD，利用二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式求項(xiàng)的系數(shù)判斷B，結(jié)合二項(xiàng)式展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)判斷C.【詳解】因?yàn)?，取，可得，A正確，取，可得，所以，D正確，二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，，取可得，，所以，B錯(cuò)誤；二項(xiàng)式的所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為,C正確；故選：ACD.10.已知函數(shù)，，下列說(shuō)法正確的有（）A.的最小正周期為B.是偶函數(shù)C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.在上的值域?yàn)椤敬鸢浮緼BD【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式求函數(shù)的周期判斷A，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，根據(jù)偶函數(shù)定義判斷B，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)的單調(diào)性，判斷C，結(jié)合單調(diào)性求函數(shù)第8頁(yè)/共25頁(yè)在上的值域，判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的最小正周期，A正確；因?yàn)?，所以，所以，函?shù)的定義域?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以函數(shù)是偶函數(shù)，B正確，，當(dāng)時(shí)，令，可得，設(shè)方程的解為，即，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，第9頁(yè)/共25頁(yè)其中，，又，，，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?，D正確；故選：ABD.已知正項(xiàng)等差數(shù)列與正項(xiàng)等比數(shù)列，中正確的有（）A.的公比為B.，使得C.對(duì)，數(shù)列為遞增數(shù)列D.【答案】ACD【解析】【分析】由已知得出，代入可求出的公比，可判斷A選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，分析數(shù)列的單調(diào)性，比較與的大小，可判斷B選項(xiàng)；利用數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷C選項(xiàng)；求得，結(jié)合放縮法可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由已知，則，則，即，所以，，因?yàn)?，解得，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由題意可得，則，，且，所以，，第10頁(yè)/共25頁(yè)令，則，當(dāng)時(shí)，，即，所以，數(shù)列從第三項(xiàng)開(kāi)始單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，故對(duì)任意的且，，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，令，對(duì)任意的，，對(duì)任意的，由于，則，則，所以，對(duì)，數(shù)列為遞增數(shù)列，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，則，D對(duì).故選：ACD.BC化，進(jìn)而結(jié)合不等關(guān)系求解.非選擇題部分三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共分）12.已知橢圓的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)分別為的傾斜角為的離心率為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】由橢圓的幾何性質(zhì)可得坐標(biāo)，結(jié)合條件列出方程可得，再由離心率的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，則直線的斜率為，第11頁(yè)/共25頁(yè)又直線的傾斜角為，所以，即，所以橢圓的離心率為.故答案為：13.已知函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，若在上的最大值為，則的最大值為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并確定，再結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求的最大值.【詳解】因?yàn)?，所以，令，可得或，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取極大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極小值，所以，，故，又，，，當(dāng)時(shí)，令可得，，所以，故，解得（舍去）或，所以的最大值為.第12頁(yè)/共25頁(yè)故答案為：.14.有，，，，，個(gè)位置上的卡片恰好寫(xiě)有數(shù)字個(gè)位置恰有一次點(diǎn)數(shù)為的概率為_(kāi)_________．【答案】【解析】為偶數(shù)為為，表示第次試驗(yàn)中拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)表示第次試驗(yàn)中拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)為或，設(shè)表示第次試驗(yàn)中拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)為，，利用事件表示事件，，利用概率公式求概率，結(jié)合條件概率公式求結(jié)論.【詳解】由已知，試驗(yàn)前卡片朝上的數(shù)字之和為，數(shù)字之和為奇數(shù)，若拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，則試驗(yàn)后卡片朝上的數(shù)字之和仍然為奇數(shù)，若拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，則試驗(yàn)后卡片朝上的數(shù)字之和變?yōu)榕紨?shù)，所以事件進(jìn)行余下兩次為奇數(shù)，或三次試驗(yàn)中拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)都為偶數(shù)，設(shè)事件次試驗(yàn)后，卡片朝上的數(shù)字之和為偶數(shù)為，設(shè)事件三次試驗(yàn)中拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)恰有一次為為，記表示第次試驗(yàn)中拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，，則，設(shè)表示第次試驗(yàn)中拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)為或，，則，設(shè)表示第次試驗(yàn)中拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)為，，則，所以，事件表示三次試驗(yàn)中有一次骰子的點(diǎn)數(shù)為，另兩次的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)或，第13頁(yè)/共25頁(yè)所以，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于確定試驗(yàn)前后卡片上的數(shù)字和的變化與拋擲的骰子的點(diǎn)數(shù)的關(guān)系.四、解答題（本題共5小題，共分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.學(xué)和語(yǔ)文成績(jī)整理如表：?jiǎn)挝唬喝苏Z(yǔ)文成績(jī)數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀優(yōu)秀不優(yōu)秀優(yōu)秀（1）依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)有關(guān)聯(lián)？（25位學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀，求隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望．附：【答案】（1）依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)有關(guān)聯(lián)；（2）分布列見(jiàn)解析，.【解析】第14頁(yè)/共25頁(yè)1）提出零假設(shè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文無(wú)關(guān)，計(jì)算，比較其與臨界值的大小，由此確定結(jié)論；（2）確定的可能取值，結(jié)合二項(xiàng)分布定義判斷，根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式求取各值的概率，由此可得其分布列，再由二項(xiàng)分布期望公式求期望.【小問(wèn)1詳解】零假設(shè)為：學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文無(wú)關(guān)，由題，所以依據(jù)斷犯錯(cuò)誤的概率不大于.【小問(wèn)2詳解】由題意可知數(shù)學(xué)不優(yōu)秀的學(xué)生中語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的概率為，隨機(jī)變量的取值有，由已知，則，，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.16.已知等軸雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為的直線與的漸近線相交于點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，是線段的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；第15頁(yè)/共25頁(yè)（2）當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求的方程．【答案】（1）（2）或.【解析】1點(diǎn)的坐標(biāo)，列方程求，由此可得結(jié)論；（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合設(shè)而不求法表示的面積，列方程求可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，故可設(shè)雙曲線方程為，則，，所以雙曲線的漸近線方程為，若點(diǎn)漸近線上，則，故，代入漸近線，可得，所以雙曲線的方程為，若點(diǎn)在漸近線上，則，故，代入漸近線，可得，所以雙曲線的方程為，故雙曲線方程為.【小問(wèn)2詳解】第16頁(yè)/共25頁(yè)由題直線不與軸垂直，不妨設(shè)的方程為，聯(lián)立，消可得，由已知，，設(shè)，，由已知為方程的根，所以，，所以，又點(diǎn)到直線距離，所以的面積，所以，所以直線的方程為或.17.如圖，在等腰直角三角形中，，，為的中點(diǎn)，分別為邊分別沿著翻折成在平面的同一側(cè)，面面．第17頁(yè)/共25頁(yè)（1）證明：共面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)平面？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）的情況下，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）直線與平面所成角的正弦值為.【解析】1）延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，證明，，再證明，由此可證共面；（2平面，平面，根據(jù)面面平行判定定理證明平面平面，取上靠近的三等分點(diǎn)，根據(jù)線面平行判定定理證明平面；（3與相交于點(diǎn)平面就是直線與平面所成角，解三角形求角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，故，又，所以，又，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，?8頁(yè)/共25頁(yè)而，，所以，故，故共線，且，又，所以，所以共面，【小問(wèn)2詳解】由（1），又平面，平面，所以平面，因?yàn)?，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，由?），取上靠近的三等分點(diǎn)，則，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，，所以平面，【小問(wèn)3詳解】第19頁(yè)/共25頁(yè)由（2）可得直線與平面所成角即為直線與所成角，作與相交于點(diǎn).由平面，平面，可得，又，，平面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，所以直線在平面上的投影為，所以就是直線與平面所成角，在中，，，，所以，所以，在中，，，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知、，函數(shù)．（1）若曲線在處的切線方程為，求的值；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；第20頁(yè)/共25頁(yè)（3）若對(duì)，函數(shù)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出，可求出、的值，即可得解；（2對(duì)任意的的最小值，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，則，由題意可得，，解得，，故.【小問(wèn)2詳解】由題意可知，對(duì)任意的，，可得，令，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以，，第21頁(yè)/共25頁(yè)因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問(wèn)3詳解】由（2）得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，作圖所示：由圖可知，存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，對(duì)，函數(shù)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，當(dāng)或，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，所以，函數(shù)的極大值為，極小值為，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.第22頁(yè)/共25頁(yè)故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，不合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與想