人教A版高一數(shù)學(xué)必修二第二學(xué)期711數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念

第七章復(fù)數(shù)7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念人教A版高一數(shù)學(xué)必修二第二學(xué)期7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念核心素養(yǎng)目標(biāo)1.數(shù)學(xué)抽象：從實(shí)際三角形情境中抽象出正弦定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式。2.直觀想象：借助三角形圖形理解正弦定理中邊與角正弦值的關(guān)系。3.邏輯推理：運(yùn)用多種方法（如向量法等）合理推導(dǎo)正弦定理。4.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用正弦定理準(zhǔn)確計(jì)算三角形的邊與角。教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、復(fù)數(shù)相等的條件。教學(xué)難點(diǎn)：對引入虛數(shù)單位(i)的必要性理解，以及復(fù)數(shù)概念的形成。教學(xué)目標(biāo)情境導(dǎo)入

我們把一個數(shù)集連同規(guī)定的運(yùn)算以及滿足的運(yùn)算律叫做一個數(shù)系.回顧從自然數(shù)系逐步到實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充過程，每一次數(shù)系擴(kuò)充的主要原因其實(shí)都是為了解決生產(chǎn)生活中的問題.他們分別解決了什么實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題呢？自然數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集刻畫相反意義的量引入了負(fù)數(shù)解決測量等分問題引入了分?jǐn)?shù)解決度量正方形對角線等問題引入了無理數(shù)計(jì)數(shù)的需要引入了自然數(shù)？從社會實(shí)踐來看引入新數(shù)知識講解

你能借助下面的方程，從解方程的角度加以說明嗎？（1）在自然數(shù)集中求方程

x+1=0的解；（2）在整數(shù)集中求方程2x-1=0的解；（3）在有理數(shù)集中求方程

x2-2=0的解.從數(shù)學(xué)發(fā)展的角度來看（2）在整數(shù)集中求方程2x-1=0的解；無解有解無解有解有解無解（3）在有理數(shù)集中求x2-2=0方程的解；（4）在實(shí)數(shù)集中求x2+1=0方程的解．無解有解？（1）在自然集中求方程x+1=0的解；自然數(shù)集N整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集R數(shù)系的每一次擴(kuò)充解決了原有數(shù)集中某種運(yùn)算不能解決的問題．知識講解探究新知1545年意大利有名的數(shù)學(xué)“怪杰”卡爾丹第一次開始討論負(fù)數(shù)開平方的問題，當(dāng)時這種數(shù)被他稱作“詭辯”.幾乎過了100年，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾才給這種“虛幻之?dāng)?shù)”取了一個名字--虛數(shù)，1777年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉還是說這種數(shù)只是存在于“幻想之中”并用i(imaginary,即虛幻的縮寫)來表示它的單位。直到1801年，德國數(shù)學(xué)家高斯系統(tǒng)地使用了i這個符號，于是使之通行于世。歷史再現(xiàn)如果沒有運(yùn)算，數(shù)只是孤立的符號！知識講解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式實(shí)部虛部問題：復(fù)數(shù)可以分幾類？()知識講解思考：求方程x2+1=0的解。問題引入回顧數(shù)系的擴(kuò)充過程知識講解現(xiàn)在我們就引入這樣一個新數(shù)

i

，并且規(guī)定：我們把

i

叫做虛數(shù)單位。（1）i2

1；（2）實(shí)數(shù)可以與

i

進(jìn)行四則運(yùn)算，在進(jìn)行四則運(yùn)算時，原有的加法與乘法的運(yùn)算律(包括交換律、結(jié)合律和分配律)仍然成立。（x=i是方程x2+1=0的解）知識講解思考：把新引進(jìn)的數(shù)i添加到實(shí)數(shù)集中，我們希望數(shù)i和實(shí)數(shù)之間仍然能像實(shí)數(shù)那樣進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，并希望加法和乘法都滿足交換律、結(jié)合律，以及乘法對加法滿足分配律.那么，實(shí)數(shù)系經(jīng)過擴(kuò)充后，得到的新數(shù)系由哪些數(shù)組成呢?知識講解形如a+bi(a、b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)。全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，一般用字母C表示

。一、復(fù)數(shù)的概念新知講解知識講解1.復(fù)數(shù)的概念形如a+bi

(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù).i

叫做虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做復(fù)數(shù)集.復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R)2.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部b叫做復(fù)數(shù)的虛部注意：復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部都是

數(shù).-3實(shí)1．復(fù)數(shù)i－2的虛部是(

)A．i

B．

－2C．1D．2C知識講解實(shí)部二、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式虛部

練習(xí):把下列式子化為

a+bi（a、b

R）的形式，并分別指出它們的實(shí)部和虛部。2-i=

；-2i=

；5=

；0=

.5+0i0+(-2)i0+0i2+(-1)i思考:根據(jù)上述幾個例子，復(fù)數(shù)Z=a+bi可以是實(shí)數(shù)嗎？滿足什么條件？（a、b

R其中

稱為虛數(shù)單位。）知識講解三、復(fù)數(shù)的分類思考：復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間有什么關(guān)系？復(fù)數(shù)集虛數(shù)集實(shí)數(shù)集純虛數(shù)集知識講解如果兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等．四、復(fù)數(shù)相等注意：兩個復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小。但兩個實(shí)數(shù)可以比較大小。若a、b、c、d∈R，a+bi=c+di知識講解兩個復(fù)數(shù)a+bi,c+di相等的充要條件是什么？a+bi=c+di當(dāng)且僅當(dāng)a=c且b=d知識講解當(dāng)且僅當(dāng)

b=0時，它叫做當(dāng)且僅當(dāng)

b≠0時，它叫做當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時，它是實(shí)數(shù)0;z=az=0z=a+bi(b≠0)z=bi(b≠0)虛數(shù)實(shí)數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)

時，它叫做a=0b≠0純虛數(shù)實(shí)數(shù)m取什么值時，復(fù)數(shù)Z=m+1+(m-1)i是（1）實(shí)數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)。解:（1）當(dāng)，即時，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)。（2）當(dāng)，即時，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)。（3）當(dāng)，即

時，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)。知識講解練習(xí):當(dāng)m為何實(shí)數(shù)時，復(fù)數(shù)Z=m2+m-2+(m2-1)i是（1）實(shí)數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)；（4）零。(3)m=-2(1)m=(2)m(4)m=1解:知識講解

已知

，其中x、y∈R,求x與y的值。解：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得方程組知識講解C練習(xí)知識講解知識講解知識講解知識講解