中考數(shù)學總復習專題09 中考真題應用題匯編-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學一輪復習考點幫（全國）（解析版）

專題09中考真題應用題匯編題型一：二元一次方程組的應用1．（2023?牡丹江）某商場欲購進A和B兩種家電，已知B種家電的進價比A種家電的進價每件多100元，經(jīng)計算，用1萬元購進A種家電的件數(shù)與用1.2萬元購進B種家電的件數(shù)相同．請解答下列問題：（1）這兩種家電每件的進價分別是多少元？（2）若該商場欲購進兩種家電共100件，總金額不超過53500元，且A種家電不超過67件，則該商場有哪幾種購買方案？（3）在（2）的條件下，若A和B兩種家電的售價分別是每件600元和750元，該商場從這100件中拿出兩種家電共10件獎勵優(yōu)秀員工，其余家電全部售出后仍獲利5050元，請直接寫出這10件家電中B種家電的件數(shù)．【答案】（1）A種家電每件的進價為500元，B種家電每件的進價為600元；（2）該商場共有3種購買方案，方案1：購進A種家電65件，B種家電35件；方案2：購進A種家電66件，B種家電34件；方案3：購進A種家電67件，B種家電33件；（3）這10件家電中包含4件B種家電．【解答】解：（1）設A種家電每件進價為x元，則B種家電每件進價為（x+100）元，根據(jù)題意得：，解得：x＝500，經(jīng)檢驗，x＝500是所列方程的解，且符合題意，∴x+100＝500+100＝600．答：A種家電每件的進價為500元，B種家電每件的進價為600元；（2）設購進A種家電a件，則購進B種家電（100﹣a）件，根據(jù)題意得：，解得：65≤a≤67，又∵a為正整數(shù)，∴a可以為65，66，67，∴該商場共有3種購買方案，方案1：購進A種家電65件，B種家電35件；方案2：購進A種家電66件，B種家電34件；方案3：購進A種家電67件，B種家電33件；（3）設這10件家電中包含m件B種家電，則包含（10﹣m）件A種家電，當a＝65時，600×[65﹣（10﹣m）]+750（35﹣m）﹣500×65﹣600×35＝5050，解得：m＝，∵m為正整數(shù)，∴m＝不符合題意，舍去；當a＝66時，600×[66﹣（10﹣m）]+750（34﹣m）﹣500×66﹣600×34＝5050，解得：m＝，∵m為正整數(shù)，∴m＝不符合題意，舍去；當a＝67時，600×[67﹣（10﹣m）]+750（33﹣m）﹣500×67﹣600×33＝5050，解得：m＝4．答：這10件家電中包含4件B種家電．2．（2023?雅安）李叔叔批發(fā)甲、乙兩種蔬菜到菜市場去賣，已知甲、乙兩種蔬菜的批發(fā)價和零售價如下表所示：品名甲蔬菜乙蔬菜批發(fā)價/（元/kg）4.84零售價/（元/kg）7.25.6（1）若他批發(fā)甲、乙兩種蔬菜共40kg花180元，求批發(fā)甲、乙兩種蔬菜各多少千克？（列方程或方程組求解）（2）若他批發(fā)甲、乙兩種蔬菜共80kg花m元，設批發(fā)甲種蔬菜nkg，求m與n的函數(shù)關系式；（3）在（2）的條件下，全部賣完蔬菜后要保證利潤不低于176元，至少批發(fā)甲種蔬菜多少千克？【答案】（1）批發(fā)甲種蔬菜25千克，批發(fā)乙種蔬菜15千克；（2）m＝0.8n+320；（3）至少批發(fā)甲種蔬菜60千克．【解答】解：（1）設批發(fā)甲種蔬菜x千克，批發(fā)乙種蔬菜y千克，根據(jù)題意得，，解得，答：批發(fā)甲種蔬菜25千克，批發(fā)乙種蔬菜15千克；（2）根據(jù)題意得m＝4.8n+（80﹣n）×4，整理得m＝0.8n+320；（3）設全部賣完蔬菜后利潤為w元，根據(jù)題意得，w＝（7.2﹣4.8）n+（5.6﹣4）（80﹣n），整理得w＝0.8n+128，∵要保證利潤不低于176元，∴w＝0.8n+128≥176，解得n≥60，∴至少批發(fā)甲種蔬菜60千克．3．（2023?赤峰）某集團有限公司生產(chǎn)甲乙兩種電子產(chǎn)品共8萬件，準備銷往東南亞國家和地區(qū)．已知2件甲種電子產(chǎn)品與3件乙種電子產(chǎn)品的銷售額相同；3件甲種電子產(chǎn)品比2件乙種電子產(chǎn)品的銷售額多1500元．（1）求甲種電子產(chǎn)品與乙種電子產(chǎn)品銷售單價各多少元？（2）若使甲乙兩種電子產(chǎn)品的銷售總收入不低于5400萬元，則至少銷售甲種電子產(chǎn)品多少件？【答案】（1）甲種電子產(chǎn)品的銷售單價是900元，乙種電子產(chǎn)品的銷售單價是600元；（2）至少銷售甲種電子產(chǎn)品2萬件．【解答】解：（1）設甲種電子產(chǎn)品的銷售單價是x元，乙種電子產(chǎn)品的銷售單價是y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：甲種電子產(chǎn)品的銷售單價是900元，乙種電子產(chǎn)品的銷售單價是600元；（2）設銷售甲種電子產(chǎn)品m萬件，則銷售乙種電子產(chǎn)品（8﹣m）萬件，根據(jù)題意得：900m+600（8﹣m）≥5400，解得：m≥2，∴m的最小值為2．答：至少銷售甲種電子產(chǎn)品2萬件．4.（2023?內(nèi)江）某水果種植基地為響應政府號召，大力種植優(yōu)質水果．某超市看好甲、乙兩種優(yōu)質水果的市場價值，經(jīng)調查，這兩種水果的進價和售價如表所示：水果種類進價（元/千克）售價（元/千克）甲a20乙b23該超市購進甲種水果15千克和乙種水果5千克需要305元；購進甲種水果20千克和乙種水果10千克需要470元．（1）求a，b的值；（2）該超市決定每天購進甲、乙兩種水果共100千克進行銷售，其中甲種水果的數(shù)量不少于30千克，且不大于80千克．實際銷售時，若甲種水果超過60千克，則超過部分按每千克降價3元銷售，求超市當天售完這兩種水果獲得的利潤y（元）與購進甲種水果的數(shù)量x（千克）之間的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；（3）在（2）的條件下，超市在獲得的利潤y（元）取得最大值時，決定售出的甲種水果每千克降價3m元，乙種水果每千克降價m元，若要保證利潤率（利潤率＝）不低于16%，求m的最大值．【答案】（1）a＝14；b＝19；（2）超市當天售完這兩種水果獲得的利潤y（元）與購進甲種水果的數(shù)量x（千克）之間的函數(shù)關系為：y＝．（3）m的最大值為1.2．【解答】解：（1）由題可列，解得．（2）由題可得當30≤x≤60時，y＝（20﹣14）x+（23﹣19）（100﹣x）＝2x+400，當60＜x≤80時，y＝（20﹣3﹣14）（x﹣60）+（20﹣14）×60+（23﹣19）（100﹣x）＝﹣x+580，答：超市當天售完這兩種水果獲得的利潤y（元）與購進甲種水果的數(shù)量x（千克）之間的函數(shù)關系為：y＝．（3）∵y＝，∴當x＝60時，y的值最大，即y＝520，由題可列×100%≥16%，解得m≤1.2，答：m的最大值為1.2．題型二：分式方程的應用5．（2023?牡丹江）某商場欲購進A和B兩種家電，已知B種家電的進價比A種家電的進價每件多100元，經(jīng)計算，用1萬元購進A種家電的件數(shù)與用1.2萬元購進B種家電的件數(shù)相同．請解答下列問題：（1）這兩種家電每件的進價分別是多少元？（2）若該商場欲購進兩種家電共100件，總金額不超過53500元，且A種家電不超過67件，則該商場有哪幾種購買方案？（3）在（2）的條件下，若A和B兩種家電的售價分別是每件600元和750元，該商場從這100件中拿出兩種家電共10件獎勵優(yōu)秀員工，其余家電全部售出后仍獲利5050元，請直接寫出這10件家電中B種家電的件數(shù)．【答案】（1）A種家電每件的進價為500元，B種家電每件的進價為600元；（2）該商場共有3種購買方案，方案1：購進A種家電65件，B種家電35件；方案2：購進A種家電66件，B種家電34件；方案3：購進A種家電67件，B種家電33件；（3）這10件家電中包含4件B種家電．【解答】解：（1）設A種家電每件進價為x元，則B種家電每件進價為（x+100）元，根據(jù)題意得：，解得：x＝500，經(jīng)檢驗，x＝500是所列方程的解，且符合題意，∴x+100＝500+100＝600．答：A種家電每件的進價為500元，B種家電每件的進價為600元；（2）設購進A種家電a件，則購進B種家電（100﹣a）件，根據(jù)題意得：，解得：65≤a≤67，又∵a為正整數(shù)，∴a可以為65，66，67，∴該商場共有3種購買方案，方案1：購進A種家電65件，B種家電35件；方案2：購進A種家電66件，B種家電34件；方案3：購進A種家電67件，B種家電33件；（3）設這10件家電中包含m件B種家電，則包含（10﹣m）件A種家電，當a＝65時，600×[65﹣（10﹣m）]+750（35﹣m）﹣500×65﹣600×35＝5050，解得：m＝，∵m為正整數(shù)，∴m＝不符合題意，舍去；當a＝66時，600×[66﹣（10﹣m）]+750（34﹣m）﹣500×66﹣600×34＝5050，解得：m＝，∵m為正整數(shù)，∴m＝不符合題意，舍去；當a＝67時，600×[67﹣（10﹣m）]+750（33﹣m）﹣500×67﹣600×33＝5050，解得：m＝4．答：這10件家電中包含4件B種家電．6.（2023?遂寧）端午節(jié)是我國入選世界非物質文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習俗．某超市為了滿足人們的需求，計劃在端午節(jié)前購進甲、乙兩種粽子進行銷售．經(jīng)了解，每個乙種粽子的進價比每個甲種粽子的進價多2元，用1000元購進甲種粽子的個數(shù)與用1200元購進乙種粽子的個數(shù)相同．（1）甲、乙兩種粽子每個的進價分別是多少元？（2）該超市計劃購進這兩種粽子共200個（兩種都有），其中甲種粽子的個數(shù)不低于乙種粽子個數(shù)的2倍，若甲、乙兩種粽子的售價分別為12元/個、15元/個，設購進甲種粽子m個，兩種粽子全部售完時獲得的利潤為W元．①求W與m的函數(shù)關系式，并求出m的取值范圍；②超市應如何進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少元？【答案】（1）每個甲種粽子的進價為10元，每個乙種粽子的進價為12元；（2）①W與m的函數(shù)關系式為W＝﹣m+600；≤m＜200（m為正整數(shù)）；②購進甲種粽子134個，乙種粽子66個時利潤最大，最大利潤為466元．【解答】解：（1）設每個甲種粽子的進價為x元，則每個乙種粽子的進價為（x+2）元，根據(jù)題意得：＝，解得x＝10，經(jīng)檢驗，x＝10是原方程的根，此時x+2＝12，答：每個甲種粽子的進價為10元，每個乙種粽子的進價為12元；（2）①設購進甲種粽子m個，則購進乙種粽子（200﹣m）個，根據(jù)題意得：W＝（12﹣10）m+（15﹣12）（200﹣m）＝2m+600﹣3m＝﹣m+600，∴W與m的函數(shù)關系式為W＝﹣m+600；甲種粽子的個數(shù)不低于乙種粽子個數(shù)的2倍，∴m≥2（200﹣m），解得m≥，∴≤m＜200（m為正整數(shù)）；②由①知，W＝﹣m+600，﹣1＜0，m為正整數(shù)，∴當m＝134時，W有最大值，最大值為466，此時200﹣134＝66，∴購進甲種粽子134個，乙種粽子66個時利潤最大，最大利潤為466元．7．（2023?黑龍江）2023年5月30日上午9點31分，神舟十六號載人飛船在酒泉發(fā)射中心發(fā)射升空．某中學組織畢業(yè)班的同學到當?shù)仉娨暸_演播大廳觀看現(xiàn)場直播，學校準備為同學們購進A，B兩款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元購進A款和用400元購進B款的文化衫的數(shù)量相同．（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？（2）已知畢業(yè)班的同學一共有300人，學校計劃用不多于14800元，不少于14750元購買文化衫，求有幾種購買方案？（3）在實際購買時，由于數(shù)量較多，商家讓利銷售，A款七折優(yōu)惠，B款每件讓利m元，采購人員發(fā)現(xiàn)（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同，試求m值．【答案】（1）A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；（2）共有6種購買方案；（3）m＝5．【解答】解：（1）設B款文化衫每件x元，則A款文化衫每件（x+10）元，根據(jù)題意得：＝，解得：x＝40，經(jīng)檢驗，x＝40是所列方程的解，且符合題意，∴x+10＝40+10＝50．答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；（2）設購買y件A款文化衫，則購買（300﹣y）件B款文化衫，根據(jù)題意得：，解得：275≤y≤280，又∵y為正整數(shù)，∴y可以為275，276，277，278，279，280，∴共有6種購買方案；（3）設購買300件兩款文化衫所需總費用為w元，則w＝50×0.7y+（40﹣m）（300﹣y）＝（m﹣5）y+300（40﹣m），∵（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同，∴w的值與y值無關，∴m﹣5＝0，∴m＝5．答：m的值為5．8．（2023?阜新）為了進一步豐富校園文體活動，某中學準備一次性購買若干個足球和排球，用480元購買足球的數(shù)量和用390元購買排球的數(shù)量相同，已知足球的單價比排球的單價多15元．（1）求：足球和排球的單價各是多少元？（2）根據(jù)學校實際情況，需一次性購買足球和排球共100個，但要求其總費用不超過7550元，那么學校最多可以購買多少個足球？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設足球的單價是x元，則排球的單價是（x﹣15）元，依題意得：，解得：x＝80，經(jīng)檢驗，x＝80是原方程的解，且符合題意，∴x﹣15＝65．答：足球的單價是80元，排球的單價是65元．（2）設學?？梢再徺Im個足球，則可以購買（100﹣m）個排球，依題意得：80m+65（100﹣m）≤7550，解得：m≤70．又∵m為正整數(shù)，∴m可以取的最大值為70．答：學校最多可以購買70個足球．9．（2023?濟南）某校開設智能機器人編程的校本課程，購買了A，B兩種型號的機器人模型．A型機器人模型單價比B型機器人模型單價多200元，用2000元購買A型機器人模型和用1200元購買B型機器人模型的數(shù)量相同．（1）求A型，B型機器人模型的單價分別是多少元？（2）學校準備再次購買A型和B型機器人模型共40臺，購買B型機器人模型不超過A型機器人模型的3倍，且商家給出了兩種型號機器人模型均打八折的優(yōu)惠．問購買A型和B型機器人模型各多少臺時花費最少？最少花費是多少元？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設A型編程機器人模型單價是x元，B型編程機器人模型單價是（x﹣200）元．根據(jù)題意：，解這個方程，得：x＝500，經(jīng)檢驗，x＝500是原方程的根，∴x﹣200＝300，答：A型編程機器人模型單價是500元，B型編程機器人模型單價是300元；（2）設購買A型編程機器人模型m臺，購買B型編程機器人模型（40﹣m）臺，購買A型和B型編程機器人模型共花費w元，由題意得：40﹣m≤3m，解得：m≥10，w＝500×0.8?m+300×0.8（40﹣m），即：w＝160m+9600，∵160＞0∴w隨m的減小而減?。攎＝10時，w取得最小值11200，∴40﹣m＝30答：購買A型機器人模型10臺和B型機器人模型30臺時花費最少，最少花費是11200元．10．（2023?煙臺）中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化源遠流長，是中華文明的智慧結晶．《孫子算經(jīng)》、《周髀算經(jīng)》是我國古代較為普及的算書，許多問題淺顯有趣．某書店的《孫子算經(jīng)》單價是《周髀算經(jīng)》單價的，用600元購買《孫子算經(jīng)》比購買《周髀算經(jīng)》多買5本．（1）求兩種圖書的單價分別為多少元？（2）為等備“3.14數(shù)學節(jié)”活動，某校計劃到該書店購買這兩種圖書共80本，且購買的《周髀算經(jīng)》數(shù)量不少于《孫子算經(jīng)》數(shù)量的一半．由于購買量大，書店打折優(yōu)惠，兩種圖書均按八折出售，求兩種圖書分別購買多少本時費用最少？【答案】（1）《孫子算經(jīng)》的單價是30元，《周髀算經(jīng)》的單價是40元；（2）當購買53本《孫子算經(jīng)》、27本《周髀算經(jīng)》時，總費用最少．【解答】解：（1）設《周髀算經(jīng)》的單價是x元，則《孫子算經(jīng)》的單價是x元，根據(jù)題意得：﹣＝5，解得：x＝40，經(jīng)檢驗，x＝40是所列方程的解，且符合題意，∴x＝×40＝30．答：《孫子算經(jīng)》的單價是30元，《周髀算經(jīng)》的單價是40元；（2）設購買m本《孫子算經(jīng)》，則購買（80﹣m）本《周髀算經(jīng)》，根據(jù)題意得：80﹣m≥m，解得：m≤．設購買這兩種圖書共花費w元，則w＝30×0.8m+40×0.8（80﹣m），∴w＝﹣8m+2560，∵﹣8＜0，∴w隨m的增大而減小，又∵m≤，且m為正整數(shù)，∴當m＝53時，w取得最小值，此時80﹣m＝80﹣53＝27．答：當購買53本《孫子算經(jīng)》、27本《周髀算經(jīng)》時，總費用最少．11．（2023?常德）“六一”兒童節(jié)將至，張老板計劃購買A型玩具和B型玩具進行銷售，若用1200元購買A型玩具的數(shù)量比用1500元購買B型玩具的數(shù)量多20個，且一個B型玩具的進價是一個A型玩具進價的1.5倍．（1）求A型玩具和B型玩具的進價分別是多少？（2）若A型玩具的售價為12元/個，B型玩具的售價為20元/個，張老板購進A，B型玩具共75個，要使總利潤不低于300元，則A型玩具最多購進多少個？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設A型玩具的進價為x元/個，則B型玩具的進價是1.5x元/個．由題意得：，解得：x＝10，經(jīng)檢驗，x＝10是原方程的解，∴B型玩具的進價為10×1.5＝15（元/個），答：A型玩具的進價是10元/個，B型玩具的進價是15元/個．（2）設購買A型玩具m個，則購進B型玩具（75﹣m）個．根據(jù)題意得，（12﹣10）m+（20﹣15）（75﹣m）≥300，解得：m≤25，答：最多可購進A型玩具25個．12．（2023?南通）為推進全民健身設施建設，某體育中心準備改擴建一塊運動場地．現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊參與施工，具體信息如下：信息一工程隊每天施工面積（單位：m2）每天施工費用（單位：元）甲x+3003600乙x2200信息二甲工程隊施工1800m2所需天數(shù)與乙工程隊施工1200m2所需天數(shù)相等．（1）求x的值；（2）該工程計劃先由甲工程隊單獨施工若干天，再由乙工程隊單獨繼續(xù)施工，兩隊共施工22天，且完成的施工面積不少于15000m2．該段時間內(nèi)體育中心至少需要支付多少施工費用？【答案】（1）x的值為600；（2）該段時間內(nèi)體育中心至少需要支付56800元施工費用．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：＝，解得：x＝600，經(jīng)檢驗，x＝600是所列方程的解，且符合題意．答：x的值為600；（2）設甲工程隊施工m天，則乙工程隊單獨施工（22﹣m）天，根據(jù)題意得：（600+300）m+600（22﹣m）≥15000，解得：m≥6，設該段時間內(nèi)體育中心需要支付w元施工費用，則w＝3600m+2200（22﹣m），即w＝1400m+48400，∵1400＞0，∴w隨m的增大而增大，∴當m＝6時，w取得最小值，最小值＝1400×6+48400＝56800．答：該段時間內(nèi)體育中心至少需要支付56800元施工費用．題型三：一元二次方程13．（2022?德州）如圖，某小區(qū)矩形綠地的長寬分別為35m，15m．現(xiàn)計劃對其進行擴充，將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個新的矩形綠地．（1）若擴充后的矩形綠地面積為800m2，求新的矩形綠地的長與寬；（2）擴充后，實地測量發(fā)現(xiàn)新的矩形綠地的長寬之比為5：3．求新的矩形綠地面積．【答案】（1）新的矩形綠地的長為40m，寬為20m；（2）新的矩形綠地面積為1500m2．【解答】解：（1）設將綠地的長、寬增加xm，則新的矩形綠地的長為（35+x）m，寬為（15+x）m，根據(jù)題意得：（35+x）（15+x）＝800，整理得：x2+50x﹣275＝0解得：x1＝5，x2＝﹣55（不符合題意，舍去），∴35+x＝35+5＝40，15+x＝15+5＝20．答：新的矩形綠地的長為40m，寬為20m．（2）設將綠地的長、寬增加ym，則新的矩形綠地的長為（35+y）m，寬為（15+y）m，根據(jù)題意得：（35+y）：（15+y）＝5：3，即3（35+y）＝5（15+y），解得：y＝15，∴（35+y）（15+y）＝（35+15）×（15+15）＝1500．答：新的矩形綠地面積為1500m2．14．（2022?畢節(jié)市）2022北京冬奧會期間，某網(wǎng)店直接從工廠購進A、B兩款冰墩墩鑰匙扣，進貨價和銷售價如下表：（注：利潤＝銷售價﹣進貨價）類別價格A款鑰匙扣B款鑰匙扣進貨價（元/件）3025銷售價（元/件）4537（1）網(wǎng)店第一次用850元購進A、B兩款鑰匙扣共30件，求兩款鑰匙扣分別購進的件數(shù)；（2）第一次購進的冰墩墩鑰匙扣售完后，該網(wǎng)店計劃再次購進A、B兩款冰墩墩鑰匙扣共80件（進貨價和銷售價都不變），且進貨總價不高于2200元．應如何設計進貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？（3）冬奧會臨近結束時，網(wǎng)店打算把B款鑰匙扣調價銷售，如果按照原價銷售，平均每天可售4件．經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，每降價1元，平均每天可多售2件，將銷售價定為每件多少元時，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元？【答案】（1）購進A款鑰匙扣20件，B款鑰匙扣10件；（2）當購進40件A款鑰匙扣，40件B款鑰匙扣時，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是1080元；（3）30元或34元．【解答】解：（1）設購進A款鑰匙扣x件，B款鑰匙扣y件，依題意得：，解得：．答：購進A款鑰匙扣20件，B款鑰匙扣10件．（2）設購進m件A款鑰匙扣，則購進（80﹣m）件B款鑰匙扣，依題意得：30m+25（80﹣m）≤2200，解得：m≤40．設再次購進的A、B兩款冰墩墩鑰匙扣全部售出后獲得的總利潤為w元，則w＝（45﹣30）m+（37﹣25）（80﹣m）＝3m+960．∵3＞0，∴w隨m的增大而增大，∴當m＝40時，w取得最大值，最大值＝3×40+960＝1080，此時80﹣m＝80﹣40＝40．答：當購進40件A款鑰匙扣，40件B款鑰匙扣時，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是1080元．（3）設B款鑰匙扣的售價定為a元，則每件的銷售利潤為（a﹣25）元，平均每天可售出4+2（37﹣a）＝（78﹣2a）件，依題意得：（a﹣25）（78﹣2a）＝90，整理得：a2﹣64a+1020＝0，解得：a1＝30，a2＝34．答：將銷售價定為每件30元或34元時，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元．題型四：一次函數(shù)的應用15．（2023?麗水）我市“共富工坊”問海借力，某公司產(chǎn)品銷售量得到大幅提升．為促進生產(chǎn)，公司提供了兩種付給員工月報酬的方案，如圖所示，員工可以任選一種方案與公司簽訂合同．看圖解答下列問題：（1）直接寫出員工生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時，兩種方案付給的報酬一樣多；（2）求方案二y關于x的函數(shù)表達式；（3）如果你是勞務服務部門的工作人員，你如何指導員工根據(jù)自己的生產(chǎn)能力選擇方案．【答案】（1）30；（2）y＝20x+600；（3）若生產(chǎn)件數(shù)x的取值范圍為0≤x＜30，則選擇方案二，若生產(chǎn)件數(shù)x＝30，則選擇兩個方案都可以，若生產(chǎn)件數(shù)x的取值范圍為x＞30，則選擇方案一．【解答】解：（1）觀察圖象得：方案一與方案二相交于點（30，1200），∴員工生產(chǎn)30件產(chǎn)品時，兩種方案付給的報酬一樣多；（2）設方案二的函數(shù)圖象解析式為y＝kx+b，將點（0，600）、點（30，1200）代入解析式中：，解得：，即方案二y關于x的函數(shù)表達式：y＝20x+600；（3）由兩方案的圖象交點（30，1200）可知：若生產(chǎn)件數(shù)x的取值范圍為0≤x＜30，則選擇方案二，若生產(chǎn)件數(shù)x＝30，則選擇兩個方案都可以，若生產(chǎn)件數(shù)x的取值范圍為x＞30，則選擇方案一．16．（2023?廣西）【綜合與實踐】：有言道：“桿秤一頭稱起人間生計，一頭稱起天地良心”，某興趣小組將利用物理學中杠桿原理制作簡易桿秤，小組先設計方案，然后動手制作，再結合實際進行調試，請完成下列方案設計中的任務，【知識背景】：如圖，稱重物時，移動秤砣可使桿秤平衡，根據(jù)杠桿原理推導得：（m0+m）?l＝M?（a+y），其中秤盤質量m0克，重物質量m克，秤砣質量M克，秤紐與秤盤的水平距離為l厘米，秤紐與零刻線的水平距離為a厘米，秤砣與零刻線的水平距離為y厘米．【方案設計】：目標：設計簡易桿秤．設定m0＝10，M＝50，最大可稱重物質量為1000克，零刻線與末刻線的距離定為50厘米．任務一：確定l和a的值．（1）當秤盤不放重物，秤砣在零刻線時，桿秤平衡，請列出關于l，a的方程；（2）當秤盤放入質量為1000克的重物，秤砣從零刻線移至末刻線時，桿秤平衡，請列出關于l，a的方程；（3）根據(jù)（1）和（2）所列方程，求出l和a的值；任務二：確定刻線的位置．（4）根據(jù)任務一，求y關于m的函數(shù)解析式；（5）從零刻線開始，每隔100克在秤桿上找到對應刻線，請寫出相鄰刻線間的距離．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由題意得：m＝0，y＝0，∵m0＝10，M＝50，∴10l＝50a，∴l(xiāng)＝5a；（2）由題意得：m＝1000，y＝50，∴（10+1000）l＝50（a+50），∴101l﹣5a＝250；（3）由（1）（2）可得：，解得：；（4）由（3）可知：l＝2.5，a＝0.5，∴2.5（10+m）＝50（0.5+y），∴；（5）由（4）可知：，∴當m＝0時，則有y＝0；當m＝100時，則有y＝5；當m＝200時，則有y＝10；當m＝300時，則有y＝15；當m＝400時，則有y＝20；當m＝500時，則有y＝25；當m＝600時，則有y＝30；當m＝700時，則有y＝35；當m＝800時，則有y＝40；當m＝900時，則有y＝45；當m＝1000時，則有y＝50；∴相鄰刻線間的距離為5厘米．17．（2023?廣州）因活動需要購買某種水果，數(shù)學活動小組的同學通過市場調查得知：在甲商店購買該水果的費用y1（元）與該水果的質量x（千克）之間的關系如圖所示；在乙商店購買該水果的費用y2（元）與該水果的質量x（千克）之間的函數(shù)解析式為y2＝10x（x≥0）．（1）求y1與x之間的函數(shù)解析式；（2）現(xiàn)計劃用600元購買該水果，選甲、乙哪家商店能購買該水果更多一些？【答案】（1）y1與x之間的函數(shù)解析式為y1＝；（2）在甲商店購買更多一些．【解答】解：（1）當0≤x≤5時，設y1與x之間的函數(shù)解析式為y1＝kx（k≠0），把（5，75）代入解析式得：5k＝75，解得k＝15，∴y1＝15x；當x＞5時，設y1與x之間的函數(shù)解析式為y1＝mx+n（m≠0），把（5，75）和（10，120）代入解析式得，解得，∴y1＝9x+30，綜上所述，y1與x之間的函數(shù)解析式為y1＝；（2）在甲商店購買：9x+30＝600，解得x＝63，∴在甲商店600元可以購買63千克水果；在乙商店購買：10x＝600，解得x＝60，∴在乙商店600元可以購買60千克，∵63＞60，∴在甲商店購買更多一些．18．（2023?紹興）一條筆直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N兩地相距1000米．甲、乙兩機器人分別從M，N兩地同時出發(fā)，去目的地N，M，勻速而行．圖中OA，BC分別表示甲、乙機器人離M地的距離y（米）與行走時間x（分鐘）的函數(shù)關系圖象．（1）求OA所在直線的表達式；（2）出發(fā)后甲機器人行走多少時間，與乙機器人相遇？（3）甲機器人到P地后，再經(jīng)過1分鐘乙機器人也到P地，求P，M兩地間的距離．【答案】（1）OA所在直線的表達式為y＝200x．（2）出發(fā)后甲機器人行走分鐘，與乙機器人相遇．（3）P，M兩地間的距離為600米．【解答】解：（1）由圖象可知，OA所在直線為正比例函數(shù)，∴設y＝kx，∵A（5，1000），1000＝5k，k＝200，∴OA所在直線的表達式為y＝200x．（2）由圖可知甲機器人速度為：1000÷5＝200（米/分鐘），乙機器人速度為：1000÷10＝100（米/分鐘），兩人相遇時：＝（分鐘），答：出發(fā)后甲機器人行走分鐘，與乙機器人相遇．（3）設甲機器人行走t分鐘時到P地，P地與M地距離為200t，則乙機器人（t+1）分鐘后到P地，P地與M地距離1000﹣100（t+1），由200t＝1000﹣100（t+1），解得t＝3，∴200t＝600，答：P，M兩地間的距離為600米．19．（2023?連云港）目前，我市對市區(qū)居民用氣戶的燃氣收費，以戶為基礎、年為計算周期設定了如表的三個氣量階梯：階梯年用氣量銷售價格備注第一階梯0～400m3（含400）的部分2.67元/m3若家庭人口超過4人的，每增加1人，第一、二階梯年用氣量的上限分別增加100m3、200m3．第二階梯400～1200m3（含1200）的部分3.15元/m3第三階梯1200m3以上的部分3.63元/m3（1）一戶家庭人口為3人，年用氣量為200m3，則該年此戶需繳納燃氣費用為534元；（2）一戶家庭人口不超過4人，年用氣量為xm3（x＞1200），該年此戶需繳納燃氣費用為y元，求y與x的函數(shù)表達式；（3）甲戶家庭人口為3人，乙戶家庭人口為5人，某年甲戶、乙戶繳納的燃氣費用均為3855元，求該年乙戶比甲戶多用多少立方米的燃氣？（結果精確到1m3）【答案】（1）534；（2）y與x的函數(shù)表達式為y＝3.63x﹣768（x＞1200）；（3）該年乙戶比甲戶多用約26立方米的燃氣．【解答】解：（1）200×2.67＝534（元），故答案為：534；（2）根據(jù)題意得：y＝400×2.67+（1200﹣400）×3.15+3.63（x﹣1200）＝3.63x﹣768，∴y與x的函數(shù)表達式為y＝3.63x﹣768（x＞1200）；（3）∵400×2.67+（1200﹣400）×3.15＝3588＜3855，∴甲戶該年的用氣量達到了第三階梯，由（2）知，當y＝3855時，3.63x﹣768＝3855，解得x＝1273.6，又∵2.67×（100+400）+3.15×（1200+200﹣500）＝4170＞3855，且2.67×（100+400）＝1335＜3855．∴乙戶該年的用氣量達到第二階梯，但未達到第三階梯，設乙戶年用氣量為am3則有2.67×500+3.15（a﹣500）＝3855，解得a＝1300，1300﹣1273.6＝26.4≈26m3，答：該年乙戶比甲戶多用約26立方米的燃氣．20．（2023?新疆）隨著端午節(jié)的臨近，A，B兩家超市開展促銷活動，各自推出不同的購物優(yōu)惠方案，如下表：A超市B超市優(yōu)惠方案所有商品按八折出售購物金額每滿100元返30元（1）當購物金額為80元時，選擇A超市（填“A”或“B”）更省錢；當購物金額為130元時，選擇B超市（填“A”或“B”）更省錢；（2）若購物金額為x（0≤x＜200）元時，請分別寫出它們的實付金額y（元）與購物金額x（元）之間的函數(shù)解析式，并說明促銷期間如何選擇這兩家超市去購物更省錢？（3）對于A超市的優(yōu)惠方案，隨著購物金額的增大，顧客享受的優(yōu)惠率不變，均為20%（注：優(yōu)惠率＝×100%）．若在B超市購物，購物金額越大，享受的優(yōu)惠率一定越大嗎？請舉例說明．【答案】（1）A；B；（2）當0＜x＜100或150＜x＜200時，選擇A超市更省錢，當100≤x＜150時，選擇B超市更省錢，當x＝0或150時，A、B兩超市花費一樣多；（3）不一定，舉例見解析．【解答】解：（1）∵80＜100，∴A超市八折優(yōu)惠，B超市不優(yōu)惠，∴選擇A超市更省錢；∵100＜130＜200，∴A超市應付：130×0.8＝104元，B超市應付：130﹣100＝30元，∵104＞100，∴選擇B超市更省錢；故答案為：A；B．（2）當x＝0時，A、B兩超市花費一樣多；當0＜x＜100時，A超市八折優(yōu)惠，B超市不優(yōu)惠，∴選擇A超市更省錢，當100≤x＜200時，A超市函數(shù)表達式為：y＝0.8x，B超市函數(shù)表達式為：y＝x﹣30，當0.8x＜x﹣30，即150＜x＜200時，選擇A超市更省錢；當0.8x＝x﹣30，即x＝150時，A、B兩超市花費一樣多；當0.8x＞x﹣30，即100≤x＜150時，選擇B超市更省錢．（3）不一定，例：在B超市購物，購物金額越大，享受的優(yōu)惠率不一定越大，例如：當B超市購物100元，返30元，相當于打7折，即優(yōu)惠率為×100%＝30%，當B超市購物120元，返30元，則優(yōu)惠率為×100%＝25%，∴在B超市購物，購物金額越大，享受的優(yōu)惠率不一定越大，題型五：二次函數(shù)的應用21．（2023?無錫）某景區(qū)旅游商店以20元/kg的價格采購一款旅游食品加工后出售，銷售價格不低于22元/kg，不高于45元/kg．經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y（kg）與銷售價格x（元/kg）之間的函數(shù)關系如圖所示．（1）求y關于x的函數(shù)表達式；（2）當銷售價格定為多少時，該商店銷售這款食品每天獲得的銷售利潤最大？最大銷售利潤是多少？【銷售利潤＝（銷售價格﹣采購價格）×銷售量】【答案】（1）y＝；（2）當銷售價格為35元/kg時，利潤最大為450元．【解答】解：（1）當22≤x≤30時，設函數(shù)表達式為y＝kx+b，將（22，48），（30，40）代入解析式得，，解得，∴函數(shù)表達式為：y＝﹣x+70；當30＜x≤45時，設函數(shù)表達式為：y＝mx+n，將（30，40），（45，10）代入解析式得，，解得，∴函數(shù)表達式為：y＝﹣2x+100，綜上，y與x的函數(shù)表達式為：y＝；（2）設利潤為w元，當22≤x≤30時，w＝（x﹣20）（﹣x+70）＝﹣x2+90x﹣1400＝﹣（x﹣45）2+625，∵在22≤x≤30范圍內(nèi)，w隨著x的增大而增大，∴當x＝30時，w取得最大值為400；當30＜x≤45時，w＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，當x＝35時，w取得最大值為450；∵450＞400，∴當銷售價格為35元/kg時，利潤最大為450元．22．（2023?貴州）如圖①，是一座拋物線型拱橋，小星學習二次函數(shù)后，受到該圖啟示設計了一建筑物造型，它的截面圖是拋物線的一部分（如圖②所示），拋物線的頂點在C處，對稱軸OC與水平線OA垂直，OC＝9，點A在拋物線上，且點A到對稱軸的距離OA＝3，點B在拋物線上，點B到對稱軸的距離是1．（1）求拋物線的表達式；（2）如圖②，為更加穩(wěn)固，小星想在OC上找一點P，加裝拉桿PA，PB，同時使拉桿的長度之和最短，請你幫小星找到點P的位置并求出坐標；（3）為了造型更加美觀，小星重新設計拋物線，其表達式為y＝﹣x2+2bx+b﹣1（b＞0），當4≤x≤6時，函數(shù)y的值總大于等于9．求b的取值范圍．【答案】（1）拋物線的解析式為：y＝﹣x2+9；（2）點P的位置見解答；P點的坐標為（0，6）；（3）b的取值范圍為．【解答】解：（1）設拋物線的解析式為y＝ax2+9，把點A（3，0）代入，得：9a+9＝0，解得：a＝﹣1，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+9；（2）作A點關于y軸的對稱點A′（﹣3，0），連接A′B交OC于點P，則P點即為所求；把x＝1代入y＝﹣x2+9，得：y＝8，∴B（1，8）設直線A′B的解析式為y＝kx+m，∴，解得：，∴y＝2x+6，令x＝0，得y＝6，∴P點的坐標為（0，6）；（3）y＝﹣x2+2bx+b﹣1＝﹣（x﹣b）2+b2+b﹣1，∴拋物線的對稱軸為直線x＝b，頂點坐標為（b，b2+b﹣1），當0＜b≤4時，得：﹣62+12b+b﹣1≥9，解得：，∴≤b≤4，當4＜b＜6時，由b﹣4＞6﹣b，得：b＞5，∴﹣42+8b+b﹣1≥9，解得：，∴5＜b＜6；由b﹣4≤6﹣b，得：b≤5，∴﹣62+12b+b﹣1≥9，∴4＜b≤5；∴當4＜b＜6時，都成立；當b≥6時，得：∴﹣42+8b+b﹣1≥9，解得：，∴b≥6都成立；綜上所述，b的取值范圍為．23．（2023?黃石）某工廠計劃從現(xiàn)在開始，在每個生產(chǎn)周