中考數學總復習專題01 中點四邊形模型（全國）（解析版）

專題01中點四邊形模型中點四邊形:依次連接四邊形四邊中點連線的四邊形得到中點四邊形O。結論1:點M、N、P、Q是任意四邊形的中點，則四邊形MNPQ是平行四邊形結論2:對角線垂直的四邊形的中點四邊形是矩形結論3：對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形結論4:對角線垂直且相等的四邊形的中點四邊形是正方形【典例1】（2024?長沙模擬）如圖，E、F、G、H分別是四邊形ABCD四條邊的中點，則四邊形EFGH一定是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】A【解答】解：如圖，連接AC，∵E、F、G、H分別是四邊形ABCD邊的中點，∴HG∥AC，HG＝AC，EF∥AC，EF＝AC；∴EF＝HG且EF∥HG；∴四邊形EFGH是平行四邊形．故選：A．【典例2】（2023?陽春市二模）若順次連接四邊形ABCD各邊的中點所得的四邊形是菱形，則四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD一定是（）A．互相平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直 D．相等【答案】D【解答】解：∵E，F，G，H分別是邊AD，DC，CB，AB的中點，∴EH＝AC，EH∥AC，FG＝AC，FG∥AC，EF＝BD，∴EH∥FG，EF＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，假設AC＝BD，∵EH＝AC，EF＝BD，則EF＝EH，∴平行四邊形EFGH是菱形，即只有具備AC＝BD即可推出四邊形是菱形，故選：D．【典例3】（2023?銅川一模）如圖，AC、BD是四邊形ABCD的兩條對角線，順次連接四邊形ABCD各邊中點得到四邊形EFGH，要使四邊形EFGH為矩形，應添加的條件是（）A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD【答案】A【解答】解：∵E、F、G、H分別為AB、BC、CD、AD的中點，∴EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，EH∥BD，∴EF＝GH，EF∥GH，∴四邊形EFGH為平行四邊形，當AC⊥BD時，EF⊥EH，則四邊形EFGH為矩形，故選：A．1．（2023春?宿豫區(qū)期中）順次連接對角線相等且垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形一定是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】D【解答】解：∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點，∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，EF＝AC，FG＝BD，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵AC⊥BD，AC＝BD，∴EF⊥FG，FE＝FG，∴四邊形EFGH是正方形，故選：D．2．（2023春?福山區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA邊上的中點，則下列結論一定正確的是（）A．四邊形EFGH是矩形 B．四邊形EFGH的面積等于四邊形ABCD面積的 C．四邊形EFGH的內角和小于四邊形ABCD的內角和 D．四邊形EFGH的周長等于四邊形ABCD的對角線長度之和【答案】D【解答】解：A．如圖，連接AC，BD，在四邊形ABCD中，∵點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA邊上的中點，∴EH∥BD，EH＝BD，FG∥BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，故A選項錯誤；B．四邊形EFGH的面積不等于四邊形ABCD的面積的，故B選項錯誤；C．∵四邊形EFGH的內角和等于360°，四邊形ABCD的內角和等于360°，故C選項錯誤；D．∵點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA邊上的中點，∴EH＝BD，FG＝BD，∴EH+FG＝BD，同理：EF+HG＝AC，∴四邊形EFGH的周長等于四邊形ABCD的對角線長度之和，故D選項正確．故選：D．3．（2023春?覃塘區(qū)期末）在矩形ABCD中，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點．若AB＝3，AD＝4，則中點四邊形EFGH的面積為（）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】B【解答】解：連接HF、EG，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC∥AD，BC＝AD，∵H、F分別為邊AD、BC的中點，∴AH＝BF，∴四邊形BFHA是平行四邊形，∴AB＝HF，AB∥HF，同理BC＝EG，BC∥EG，∵AB⊥BC，∴HF⊥EG，∴四邊形EFGH的面積是×EG×HF＝×3×4＝6．故選：B．4．（2023春?費縣期末）順次連接四邊形ABCD各邊中點所得四邊形是菱形．則四邊形ABCD一定是（）A．矩形 B．對角線相等的四邊形 C．菱形 D．對角線互相垂直的四邊形【答案】B【解答】解：∵E，F，G，H分別是邊AD，DC，CB，AB的中點，∴EH＝AC，EH∥AC，FG＝AC，FG∥AC，EF＝BD，∴EH∥FG，EF＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，假設AC＝BD，∵EH＝AC，EF＝BD，則EF＝EH，∴平行四邊形EFGH是菱形，即只有具備AC＝BD即可推出四邊形是菱形，故選：B．5．（2023?商丘模擬）一個四邊形四邊中點的連線所構成的中點四邊形是菱形，那么這個原四邊形是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．對角線相等【答案】D【解答】解：如圖，在四邊形ABCD中，點E、F、G、H是四邊形四邊上的中點，連接EF、EH、FG、GH、AC、BD，在△ADC中，EH＝AC，在△ABD中，EF＝BD，∵四邊形EFGH是菱形，∴EH＝EF，∴AC＝BD，∴原四邊形的對角線相等．故選：D．6．（2023春?路北區(qū)期末）順次連接矩形各邊中點，所得圖形的對角線一定滿足（）A．互相平分． B．互相平分且相等 C．互相垂直． D．互相平分且垂直【答案】D【解答】解：連接AC、BD，∵四邊形ABCD為矩形，∴AC＝BD，∵點E、F、G、H分別為AB、BC、CD、AD的中點，∴EF＝AC，FG＝BD，GH＝AC，EH＝BD，∴EF＝FG＝GH＝EH，∴四邊形EFGH為菱形，∴所得圖形的對角線一定滿足互相平分且垂直．故選：D．7．（2023春?達州期末）如圖，D是△ABC內一點，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點，則四邊形EFGH的周長是（）A．7 B．9 C．11 D．13【答案】C【解答】解：∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，∴BC＝＝＝5，∵E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點，∴EH＝FG＝BC，EF＝GH＝AD，∴四邊形EFGH的周長＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，又∵AD＝6，∴四邊形EFGH的周長＝6+5＝11．故選：C．8．（2023?浦東新區(qū)二模）順次連接四邊形ABCD各邊中點所得的四邊形是矩形，那么四邊形ABCD一定是（）A．菱形 B．對角線相等的四邊形 C．對角線互相垂直的四邊形 D．對角線互相垂直且平分的四邊形【答案】C【解答】解：如圖，四邊形EFGH是矩形，且E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點，由于E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點，根據三角形中位線定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；∵四邊形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD，即四邊形ABCD一定是對角線互相垂直的四邊形．故選：C．9．（2023?晉中模擬）如圖，順次連接正六邊形紙板ABCDEF各邊中點得到一個新的正六邊形．若將一個飛鏢隨機投擲到正六邊形紙板ABCDEF上，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵六邊形A'B'C'D'E'F'∽六邊形ABCDEF，∵∠B＝120°，∴，∵A'是AB的中點，∴AB＝2A'B，∴＝，∴，故選：C．10．（2023?佛山模擬）如圖，四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點．若四邊形EFGH為菱形，則對角線AC、BD應滿足條件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．AC⊥BD且AC＝BD D．不確定【答案】B【解答】解：滿足的條件應為：AC＝BD．理由如下：∵E，F，G，H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，∴在△ADC中，HG為△ADC的中位線，所以HG∥AC且HG＝AC；同理EF∥AC且EF＝AC，同理可得EH＝BD，則HG∥EF且HG＝EF，∴四邊形EFGH為平行四邊形，又AC＝BD，所以EF＝EH，∴四邊形EFGH為菱形．故選：B．11．（2023春?南京期中）如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是線段AD、BD、BC、AC的中點，要使四邊形EFGH是菱形，需添加的條件是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB⊥CD【答案】C【解答】解：∵點E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BD、BC、CA的中點，∴EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD，∵當EF＝FG＝GH＝EH時，四邊形EFGH是菱形，∴當AB＝CD時，四邊形EFGH是菱形．故選：C．12．（2022春?惠城區(qū)校級期中）在四邊形ABCD中，E，F，G，H分別為各邊的中點，順次連結E，F，G，H，得到中點四邊形EFGH．當AC＝BD時，則四邊形EFGH是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】C【解答】解：∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，∴EF＝AC，GH＝AC，FG＝BD，EH＝BD，∵AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝EH，∴四邊形EFGH是菱形，故選：C．13．（2022?老河口市模擬）如圖，四邊形ABCD是矩形，E，F，G，H分別為各邊的中點，則四邊形EFGH一定是（）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．對角線相等的四邊形【答案】A【解答】解：如圖，連接AC和BD，∵E，F，G，H分別為各邊的中點，∴EF是△BAC的中位線，HG是△DAC的中位線，EH是△ADB的中位線，FG是△DBC的中位線，∴HG＝EF＝AC，EH＝FG＝BD，∵矩形ABCD中，AC＝BD，∴EF＝FG＝HG＝EH，∴四邊形EFGH是菱形．故選：A．14．（2022春?青白江區(qū)校級月考）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，垂足為O，點E、F、G、H分別為邊AD、AB、BC、CD的中點．若AC＝8，BD＝6，則四邊形EFGH的面積為（）A．48 B．24 C．32 D．12【答案】D【解答】解：∵點E、F分別為四邊形ABCD的邊AD、AB的中點，∴EF∥BD，且EF＝BD＝3．同理求得EH∥AC∥GF，且EH＝GF＝AC＝4，又∵AC⊥BD，∴EF∥GH，FG∥HE且EF⊥FG．四邊形EFGH是矩形．∴四邊形EFGH的面積＝EF?EH＝3×4＝12，即四邊形EFGH的面積是12．故選：D．15．（2023春?金湖縣期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AB⊥AC，AB＝8，AD＝10，則AO的長為3．【答案】3．【解答】解：∵平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AB⊥AC，AB＝8，AD＝10，∴，∠BAC＝90°，∴，∴；故答案為：3．16．（2022春?皇姑區(qū)期末）在四邊形ABCD中，AC＝6cm，BD＝9cm，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，則四邊形EFGH的周長為15cm．【答案】15．【解答】解：∵E、F分別是邊AB、BC的中點，G、H分別是邊CD、DA的中點，∴EF＝AC，GH＝AC，∴EF＝GH＝AC，同理得，EH＝FG＝BD，∴四邊形EFGH的周長＝EF+GH+EH+FG＝AC+BD＝6+9＝15（cm）．故答案為：15．17．（2023秋?丹東期末）【問題初探】數學活動課上，張老師引導學生探究中點四邊形的形狀及性質．首先，張老師給出中點四邊形的定義：順次連接任意四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形．接下來張老師提出問題：如圖1，在四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，則中點四邊形EFGH是什么形狀？中點四邊形EFGH的面積與原四邊形ABCD的面積有怎樣的關系？請各組討論，并給出證明過程．班級的“希望小組”經討論發(fā)現：中點四邊形EFGH是平行四邊形，且中點四邊形EFGH的面積是原四邊形ABCD面積的一半．證明如下：證明：如圖2，連接AC，BD∵點H，G分別為AD，CD的中點∴HG是△ADC的中位線，根據三角形中位線定理可得：HG與AC的位置關系為HG∥AC，數量關系為HG＝AC．同理可得：EF∥AC，∴HG∥EF，HG＝EF∴四邊形EFGH是平行四邊形根據線段HG，AC的關系，進而可得△DHG∽△DAC，且＝同理∴（1）請你將“希望小組”的證明過程補充完整．【類比探究】（2）在（1）問的討論過程中，“善思小組”有了新的發(fā)現：中點四邊形EFGH的形狀還可能是菱形、矩形或正方形，中點四邊形EFGH的周長與對角線AC，BD長度有一定的數量關系．張老師把這個問題同時給了其它小組進行研究．請你結合（1）的分析過程，解決下面的問題：（其中①，②問直接填空）①當對角線AC，BD滿足AC＝BD關系時，中點四邊形EFGH為菱形？②當對角線AC，BD滿足AC⊥BD關系時，中點四邊形EFGH為矩形？③中點四邊形EFGH的周長與對角線AC，BD長度有怎樣的數量關系，并說明理由．【學以致用】（3）如圖3，在四邊形ABCD內部有一點O，連接OA，OB，OC，OD，點H，G分別是AD，BC的中點，連接HG，若∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝150°，OA＝OB＝2，OC＝OD＝3，求HG的長．【答案】（1）HG∥AC，HG＝AC，．（2）①AC＝BD．②AC⊥BD．③中點四邊形EFGH的周長＝AC+BD．（3）HG的長為．【解答】（1）證明：如圖2，連接AC，BD，∵點H，G分別為AD，CD的中點，∴HG是△ADC的中位線，根據三角形中位線定理可得：HG與AC的位置關系為HG∥AC，數量關系為HG＝AC．同理可得：EF∥AC，，∴HG∥EF，HG＝EF，∴四邊形EFGH是平行四邊形，根據線段HG，AC的關系，進而可得△DHG∽△DAC，且＝，同理，∴，，故答案為：HG∥AC，HG＝AC，．（2）解：①當對角線AC，BD滿足AC＝BD時，中點四邊形EFGH為菱形．故答案為：AC＝BD．②當對角線AC，BD滿足AC⊥BD時，中點四邊形EFGH為矩形．故答案為：AC⊥BD．③中點四邊形EFGH的周長＝AC+BD，理由如下：如圖，連接AC、BD，∵點H，G分別為AD，CD的中點，∴HG是△ADC的中位線，根據三角形中位線定理可得：HG＝AC，同理可得：EF＝AC，EH＝FG＝BD，∴中點四邊形EFGH的周長＝EF+FG+HG+EH＝AC+BD+AC+BD＝AC+BD．（3）如圖3，連接AC，取AC的中點F，連接FH，GF，延長GF交CD于K，延長BA、CD交于點E，過點H作HM⊥FG于M，∵∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB＝2，OC＝OD＝3，∴△AOB和△COD都是等腰直角三角形，∴AB＝2，CD＝3，∠ABO＝∠DCO＝45°，∵∠BOC＝150°，∴∠OBC+∠OCB＝30°，∴∠EBC+∠ECB＝∠ABO+∠DCO+∠OBC+∠OCB＝120°，∴∠E＝180°﹣120°＝60°，∵點F，G分別是AC，BC的中點，∴FG是△ABC的中位線，根據三角形中位線定理可得：FG∥AB，FG＝AB＝，同理可得：FH∥CD，FH＝CD＝，∵FG∥AB，FH∥CD，∴∠CKG＝∠E＝60°，∠HFK＝∠CKG＝60°，∴HM＝FH?sin∠HFK＝sin60°＝，FM＝FH?cos∠HFK＝cos60°＝，∴GM＝FG+FM＝+＝，在Rt△GHM中，HG＝＝＝．18．（2023春?鹽城期中）閱讀理解，我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點得到的四邊形叫中點四邊形，如圖1，在四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，依次連接各邊中點得到中點四邊形EFGH．（1）這個中點四邊形EFGH的形狀是平行四邊形；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，點M在AB上且△AMD和△MCB為等邊三角形，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、AD的中點，試判斷四邊形EFGH的形狀并證明．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）中點四邊形EFGH是平行四邊形；理由如下：連接AC，如圖1所示：∵E，F，G，H分別是邊AB，BC，C