2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《數(shù)列不等式的放縮問(wèn)題》專(zhuān)項(xiàng)測(cè)試卷及答案

第頁(yè)2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《數(shù)列不等式的放縮問(wèn)題》專(zhuān)項(xiàng)測(cè)試卷及答案學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________01先求和后放縮1．（2023·山東菏澤·高三菏澤一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且______請(qǐng)?jiān)谑枪顬榈牡炔顢?shù)列；是公比為的等比數(shù)列，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面題干中，并解答下面問(wèn)題.(1)求的通項(xiàng)公式(2)在與之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，使這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：2．（2023·吉林白城·高三?？茧A段練習(xí)）已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.3．（2023·天津·高三校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列滿(mǎn)足：，．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求(3)設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足：．證明：．4．（2023·陜西西安·高三西安市第三中學(xué)?？计谥校┰O(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為.證明：對(duì)一切正整數(shù)，.02裂項(xiàng)放縮5．（2023·貴州黔東南·高三天柱民族中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.6．（2023·湖南常德·高三臨澧縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且，，，.(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)求證：.7．（2023·福建廈門(mén)·高三廈門(mén)一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，.(1)判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列？若是，給出證明；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若數(shù)列的前10項(xiàng)和為361，記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.8．（2023·河北唐山·模擬預(yù)測(cè)）已知和是公差相等的等差數(shù)列，且公差的首項(xiàng)，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，．(1)求和；(2)若的前項(xiàng)和為，求證：．03等比放縮9．（2023·廣東梅州·高三梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，是與的等差中項(xiàng)．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，若數(shù)列是遞增數(shù)列，求的取值范圍．(3)設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）求證：（）.11．（2023·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求證：.04型不等式的證明12．（2023·河南·方城第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（）.(1)證明：；(2)若正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足，且，記的前項(xiàng)和為，證明：（）.13．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù).(1)證明：當(dāng)時(shí)，恒成立；(2)首項(xiàng)為的數(shù)列滿(mǎn)足：當(dāng)時(shí)，有，證明：.14．（2023·重慶·高三校聯(lián)考期中）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之積為，滿(mǎn)足.(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之和為，證明：.15．（2023·廣東廣州·高三華南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知正數(shù)數(shù)列滿(mǎn)足，且.（函數(shù)求導(dǎo)次可用表示）(1)求的通項(xiàng)公式.(2)求證：對(duì)任意的，，都有.16．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，證明：；(2)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且；（?。┣螅唬áⅲ┣笞C：．17．（2023·四川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求的取值范圍；(2)證明：.18．（2023·海南·海口市瓊山華僑中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；(2)若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．05型不等式的證明19．（2023·黑龍江大慶·高二大慶一中校考階段練習(xí)）已知曲線(xiàn)Cn：x2﹣2nx+y2=0，（n=1，2，…）.從點(diǎn)P（﹣1，0）向曲線(xiàn)Cn引斜率為kn（kn>0）的切線(xiàn)ln，切點(diǎn)為Pn（xn，yn）.(1)求數(shù)列{xn}與{yn}的通項(xiàng)公式；(2)證明：.20．（2023·浙江溫州·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列，滿(mǎn)足，，且，.（1）求及；（2）猜想，的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；（3）證明：對(duì)所有的，.21．（2023·山東青島·高二統(tǒng)考期末）在各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列中，，點(diǎn)在曲線(xiàn)上；對(duì)于數(shù)列，點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)，且以為方向向量的直線(xiàn)上．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若，問(wèn)是否存在，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)對(duì)任意正整數(shù)，不等式都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．06型不等式的證明22．（2023·山西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)證明：對(duì)恒成立；(2)是否存在，使得成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．23．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考三模）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知.(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列{}滿(mǎn)足且，的前n項(xiàng)和為，證明:.24．（2023·四川成都·高一成都七中?？计谀┮阎獢?shù)列滿(mǎn)足，（其中）(1)判斷并證明數(shù)列的單調(diào)性；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．25．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知當(dāng)時(shí)，，證明：.26．（2023·天津南開(kāi)·高三南開(kāi)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，滿(mǎn)足，，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)若數(shù)列滿(mǎn)足，，記．是否存在整數(shù)，使得對(duì)任意的都有成立？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．27．（2023·福建·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，.(1)是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，求證：.28．（2023·江西宜春·高二奉新縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).（1）若在處有極值，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式對(duì)任意及恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.；（2）若，設(shè).①求證：當(dāng)時(shí)，；②設(shè)，求證：07型不等式的證明29．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，，．令，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：．30．（2023·廣東廣州·高三廣州大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，證明：．31．（2023·山東日照·高二統(tǒng)考期末）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，滿(mǎn)足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，試比較與9的大小，并加以證明．參考答案01先求和后放縮1．（2023·山東菏澤·高三菏澤一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且______請(qǐng)?jiān)谑枪顬榈牡炔顢?shù)列；是公比為的等比數(shù)列，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面題干中，并解答下面問(wèn)題.(1)求的通項(xiàng)公式(2)在與之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，使這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：【解析】（1）若選：當(dāng)時(shí)，，所以，故，因?yàn)樗?，則時(shí)，累加得，故，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足上式，故.若選，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，首項(xiàng)為，故，則，兩式相減得，則，則，即，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足上式，故.若選，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)為，故，則時(shí)，累加得，故，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足上式，故.（2）證明：由于，所以所以，故，，得，即.2．（2023·吉林白城·高三?？茧A段練習(xí)）已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【解析】（1）設(shè)的公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所?（2）由（1）得，，所以，所以，又，所以.3．（2023·天津·高三校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列滿(mǎn)足：，．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求(3)設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足：．證明：．【解析】（1）由，得，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即．（2）當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，，顯然也滿(mǎn)足，故，結(jié)合，所以=，故.（3）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，,，設(shè)，則，兩式相減得，得，

所以，所以，得證．4．（2023·陜西西安·高三西安市第三中學(xué)校考期中）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為.證明：對(duì)一切正整數(shù)，.【解析】（1）因?yàn)?，即，?dāng)時(shí)，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，所以，即，即，則，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是（2）由（1）可得，所以，，所以，所以，因?yàn)椋?02裂項(xiàng)放縮5．（2023·貴州黔東南·高三天柱民族中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，即，由數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列可知，，又，即數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，即，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，成立，所以（2）由（1）可知，，則，當(dāng)時(shí)，，成立，，成立，當(dāng)時(shí)，，即.綜上可知，，得證.6．（2023·湖南常德·高三臨澧縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且，，，.(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)求證：.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由，得，所以，由，.得，所以，，故，所以.（2）當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，，則①②①-②得：即化簡(jiǎn)得：.所以.（3），當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以；?dāng)時(shí)，也成立.故.7．（2023·福建廈門(mén)·高三廈門(mén)一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，.(1)判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列？若是，給出證明；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若數(shù)列的前10項(xiàng)和為361，記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【解析】（1）數(shù)列成等比數(shù)列，證明如下：根據(jù)得，；，，，即數(shù)列成等比數(shù)列.（2）由（1）得，，，故，由，得.令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，故，，，，，當(dāng)時(shí)，，綜上，知8．（2023·河北唐山·模擬預(yù)測(cè)）已知和是公差相等的等差數(shù)列，且公差的首項(xiàng)，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，．(1)求和；(2)若的前項(xiàng)和為，求證：．【解析】（1）由已知得，即，解得，故．（2）由（1）得，則，得證．03等比放縮9．（2023·廣東梅州·高三梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，是與的等差中項(xiàng)．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，若數(shù)列是遞增數(shù)列，求的取值范圍．(3)設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【解析】（1）是與的等差中項(xiàng)，；當(dāng)時(shí)，，又，；當(dāng)且時(shí)，，，，又，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，.（2）由（1）得：，數(shù)列為遞增數(shù)列，；①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，設(shè)，，數(shù)列為遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，；②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，由①知：數(shù)列為遞減數(shù)列，則數(shù)列為遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，；綜上所述：的取值范圍為.（3）由（1）得：，，，，，10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）求證：（）.【解析】因?yàn)椋裕?，則，兩式相減得，所以，即不等式（）得證.11．（2023·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求證：.【解析】（1）由于，故，，∴，∴，，∴，，，可得，所以數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為2的一個(gè)等比數(shù)列；（2）由（1）可知，，所以原式，又因?yàn)楹愠闪ⅲ?04型不等式的證明12．（2023·河南·方城第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（）.(1)證明：；(2)若正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足，且，記的前項(xiàng)和為，證明：（）.【解析】（1）證明：（1）令，，則，令，得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，.令，由得，，可得，∴，即.（2）（2）由（1）知，則，即則當(dāng)時(shí)，，…，，則，則（），∴當(dāng)時(shí)，，接下來(lái)只需證明：，即，即證，由函數(shù)中，，對(duì)稱(chēng)軸為，試證，即證，即證，顯然成立，∴在上單調(diào)遞增，∴成立，綜上，（）.13．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù).(1)證明：當(dāng)時(shí)，恒成立；(2)首項(xiàng)為的數(shù)列滿(mǎn)足：當(dāng)時(shí)，有，證明：.【解析】（1）要證，即，只需證，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，則，單調(diào)遞增，則，故當(dāng)時(shí)，恒成立；（2），由（1）知，則，即，依此類(lèi)推，可知，等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，（等價(jià)于），下證，即證，即證，因?yàn)椋瑒t只要證，即，令，則，令，則，所以單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，，則單調(diào)遞增，，所以，即，所以，即所以.14．（2023·重慶·高三校聯(lián)考期中）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之積為，滿(mǎn)足.(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之和為，證明：.【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)之積為，滿(mǎn)足，所以當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，化為，變形為，又，所以，即且，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列所以．（2）由（1）可得：，解得，當(dāng)時(shí)，．，需要證明，即證明，設(shè)，，則，設(shè)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，所以．15．（2023·廣東廣州·高三華南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知正數(shù)數(shù)列滿(mǎn)足，且.（函數(shù)求導(dǎo)次可用表示）(1)求的通項(xiàng)公式.(2)求證：對(duì)任意的，，都有.【解析】（1）由，得，所以或，因?yàn)椋?，所以，所以?）證明：當(dāng)時(shí)，恒成立，令，即，則，……，所以在上遞增，所以，所以在上遞增，所以，所以在上遞增，……所以在上遞增，所以，所以在上遞增，所以，綜上對(duì)任意的，，都有.16．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，證明：；(2)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且；（?。┣螅唬áⅲ┣笞C：．【解析】（1）證明：令，其中，則，因?yàn)?，則，又因?yàn)?，則，所以，，則且不恒為零，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即.（2）（i）對(duì)任意的，，當(dāng)時(shí)，則，可得，當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩個(gè)等式作差可得，所以，，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故；（ii）令，其中且，則，因?yàn)椋瑒t，又因?yàn)?，則，所以，，則且不恒為零，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，令，則，當(dāng)時(shí)，則有，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)數(shù)列從第二項(xiàng)開(kāi)始單調(diào)遞減，所以，對(duì)任意的，，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，所以，，上述兩個(gè)等式作差可得，所以，，所以，，所以，，當(dāng)時(shí)，則，所以，，則，所以，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，，綜上所述，對(duì)任意的，.17．（2023·四川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求的取值范圍；(2)證明：.【解析】（1）由題設(shè)，設(shè).當(dāng)，即，此時(shí)，則，則在上單調(diào)遞減，所以.當(dāng)，即或，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則，則均小于零，所以在上恒成立，即在上單調(diào)遞減，則；若，則，可設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，不符合題意.綜上，的取值范圍是.（2）當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，令，其中，則，則，記，則，即，，所以，故.18．（2023·海南·海口市瓊山華僑中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；(2)若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【解析】（1）根據(jù)題意得，，則，則為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)．，令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故在上單調(diào)遞增，且．當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，故恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故時(shí)，函數(shù)僅有這一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，由于，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，必存在，使得．由于在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，此時(shí)，取，則，當(dāng)時(shí)，可知，故函數(shù)還有一個(gè)在上的零點(diǎn)，不合題意，舍去．綜上所述，的取值范圍為．（2）證明：依題意，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)榧?，成立，?dāng)時(shí)，由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，，則，故．因?yàn)椋?，故，（），綜合以上可知.05型不等式的證明19．（2023·黑龍江大慶·高二大慶一中?？茧A段練習(xí)）已知曲線(xiàn)Cn：x2﹣2nx+y2=0，（n=1，2，…）.從點(diǎn)P（﹣1，0）向曲線(xiàn)Cn引斜率為kn（kn>0）的切線(xiàn)ln，切點(diǎn)為Pn（xn，yn）.(1)求數(shù)列{xn}與{yn}的通項(xiàng)公式；(2)證明：.【解析】(1)設(shè)直線(xiàn)ln：y=kn（x+1），聯(lián)立x2﹣2nx+y2=0，得（1+kn2）x2+（2kn2﹣2n）x+kn2=0，則△=（2kn2﹣2n）2﹣4（1+kn2）kn2=0，∴kn（負(fù)值舍去），可得xn，yn=kn（1+xn）；(2)證明：，由4n2>4n2﹣1，即為，即有，x1x3x5…x2n﹣1，可得x1x3x5…x2n﹣1；由，設(shè)f（x）=xcosx，f′（x）=1sinx，由0，可得sinx>0，即f′（x）>0，f（x）在（0，]遞增，由f（0）0，f（）cos（coscos）<0，可得xcosx，即有cos，即cos，則.20．（2023·浙江溫州·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列，滿(mǎn)足，，且，.（1）求及；（2）猜想，的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；（3）證明：對(duì)所有的，.【解析】（1）因?yàn)?，，且，令，得到，解得，；令，得到，解得，；令，得到，解得，；?）證明：猜測(cè)，，用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，由上可得結(jié)論成立.②假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即，，那么當(dāng)時(shí)，，，，所以當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立.由①②，可知，對(duì)一切正整數(shù)都成立.（3）由（2）知，，于是所證明的不等式即為（?。┫茸C明：因?yàn)?，所以，從而，即，所以（ⅱ）再證明，令，則，設(shè)函數(shù)，，則，.因?yàn)樵趨^(qū)間上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，從而在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)，因此對(duì)于一切都成立，所以綜上所述，對(duì)所有的，均有成立.21．（2023·山東青島·高二統(tǒng)考期末）在各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列中，，點(diǎn)在曲線(xiàn)上；對(duì)于數(shù)列，點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)，且以為方向向量的直線(xiàn)上．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若，問(wèn)是否存在，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)對(duì)任意正整數(shù)，不等式都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由題意可得，則，即且，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差為，故.過(guò)點(diǎn)，且以為方向向量的直線(xiàn)的方程為，由已知可得.（2）由已知可得.當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，則為偶數(shù)，由可得，解得，合乎題意；當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，則為奇數(shù)，由可得，解得，合乎題意.綜上所述，或.（3）因?yàn)?，由可得，令，則，，所以，，故數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以數(shù)列的最小項(xiàng)為，所以，.06型不等式的證明22．（2023·山西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)證明：對(duì)恒成立；(2)是否存在，使得成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）證明：由，得，，令，得，令，得，，且當(dāng)且僅當(dāng)，所以在上單調(diào)遞增，故，且當(dāng)且僅當(dāng)，所以在上也單調(diào)遞增，故，且當(dāng)且僅當(dāng)，所以在上仍單調(diào)遞增，故；（2）對(duì)于右側(cè)：由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，即，故，所以，所以該側(cè)不等號(hào)始終成立；對(duì)于左側(cè)：由（1）可知當(dāng)時(shí)，．設(shè)，，則．在上有，所以在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，．此時(shí)，令，可知，所以當(dāng)時(shí)，，令，注意到，所以可得到一個(gè)充分條件，即，所以任取，則該側(cè)不等式成立，（表示整數(shù)部分），因此，對(duì)于任意，原不等式都成立．即所求的n是存在的．23．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？既＃┯洖閿?shù)列的前n項(xiàng)和，已知.(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列{}滿(mǎn)足且，的前n項(xiàng)和為，證明:.【解析】（1）由，由可得，則時(shí)，兩式相減可得，化為，因?yàn)?，所以，?shù)列{}是首項(xiàng)與公差都是2的等差數(shù)列，所以；（2）由（1）得，又，所以，，所以，，，24．（2023·四川成都·高一成都七中校考期末）已知數(shù)列滿(mǎn)足，（其中）(1)判斷并證明數(shù)列的單調(diào)性；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【解析】（1）單調(diào)遞減，理由如下：．∵，∴，∴數(shù)列單調(diào)遞減；（2）∵，，，∴，又，則.∵，，∴，則，當(dāng)，累加可得，則，則，則，∴，則．25．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知當(dāng)時(shí)，，證明：.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)椋傻?，，所以，解得，所以，即?shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由，可得，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，故，.所以.26．（2023·天津南開(kāi)·高三南開(kāi)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，滿(mǎn)足，，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)若數(shù)列滿(mǎn)足，，記．是否存在整數(shù)，使得對(duì)任意的都有成立？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，所以，因?yàn)椋?，所以，解得，所以，；?）由（1）得，則①，②，由①②得，所以；（3）由題設(shè)可得，假設(shè)存在滿(mǎn)足要求的整數(shù)，令，則，解得；令，則，解得；令，則，解得；所以，又已知，故若存在，則，下證：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都有成立，，，，即，又，所以，則，，又因，所以，即對(duì)任意的都有成立，得證.所以存在整數(shù)，使得對(duì)任意的都有成立．27．（2023·福建·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，.(1)是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，求證：.【解析】（1）①